Trabajo practico en equipos

1. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 1 ÁREA DE MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
UNIDAD 01: CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
TALLER 1: CURVAS PARAMÉTRICAS Y SUS APLICACIONES
NIVEL 1: [Conocimiento/Compresión]
1. Grafique las siguientes ecuaciones paramétricas por tabulación e indique su dominio
y rango.
a)  
1, 3 2, 0,2
x t y t t
     b)
2
1, 1, [ 3; 3]
x t y t t
     
c)  
2
, 2, 0,2
x t y t t
    d)
2
, 1, [ 1; 1]
t t
x e y e t
    
INGENIERÍA

2. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 2 ÁREA DE MATEMÁTICAS
2. Se tiene las siguientes ecuaciones paramétricas 𝐶: {
𝑥 = 𝑡2
− 1
𝑦 = 2𝑡
. Obtenga la gráfica
para cada uno de los siguientes intervalos que se indica. Indique la orientación para
cada una de ellas. Obtenga la ecuación cartesiana por medio de la eliminación del
parámetro "𝑡".
A) −∞ < 𝑡 < +∞
B) −1 ≤ 𝑡 ≤ 2
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

3. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 3 ÁREA DE MATEMÁTICAS
3. Utilizando la eliminación del parámetro, obtenga las ecuaciones cartesianas de las
siguientes ecuaciones paramétricas.
a) 𝑥 = 𝑡 + 1, 𝑦 = 𝑡2
, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3
b) 𝑥 = 2𝑡, 𝑦 = 𝑡2
+ 4, −1 ≤ 𝑡 ≤ 5
c) 𝑥 = 𝑡 + 1, 𝑦 = 𝑡2
, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3
d) 𝑥 = 𝑒𝑡
, 𝑦 = 𝑒2𝑡
, −2 ≤ 𝑡 ≤ 3
e) 𝑥 = 𝑒2𝑡
, 𝑦 = 𝑒𝑡
+ 1, 𝑡 ∈ [−1;1]
f) 𝑥 = 𝑡, 𝑦 = √1 − 𝑡2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 1
4. Parametrice las siguientes ecuaciones cartesianas y obtenga su gráfico, indicando su
orientación:
A)
𝑥2
9
+
𝑦2
4
= 1 B)
𝑥2
4
+
𝑦2
9
= 1
C) (𝑥 − 4)2
+ (𝑦 − 4)2
= 4 D) (𝑥 + 4)2
+ (𝑦 + 4)2
= 4
5. Utilice las identidades trigonométricas para obtener las ecuaciones cartesianas
respectivas.
a) 𝑥 = cos(𝑡), 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
b) 𝑥 = 3cos(𝑡), 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
c) 𝑥 = 3 + cos(𝑡) , 𝑦 = 2 + 𝑠𝑒𝑛(𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
d) 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 3, 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋
e) 𝑥 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑡) − 3, 𝑦 = 3𝑐𝑜𝑠(𝑡) − 2, 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋

4. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 4 ÁREA DE MATEMÁTICAS
NIVEL 2: [Aplicación/análisis]
6. Parametrice la curva que se encuentra en el cilindro 𝑥2
+ 𝑦2
= 4 a 2 unidades del
plano xy, en sentido antihorario visto desde la parte superior del cilindro.
7. Parametrice la curva que se encuentra en la esfera 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 9 a 2 unidades
del plano xy, en sentido antihorario visto desde la parte superior de la esfera.
8. Parametrice el borde del triángulo mostrado en sentido antihorario visto desde el
origen de coordenadas.

5. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 5 ÁREA DE MATEMÁTICAS
NIVEL 3: [Síntesis/evaluación]
9. Del siguiente gráfico, obtenga la ecuación cartesiana y paramétrica de la curva 𝐶 de
intersección de las superficies 𝑆1: 𝑥2
+ 𝑦2
= 1, 𝑆2: 𝑦 + 𝑧 = 2.
10. Parametrice la curva que representa el borde de la región sombreada en cada gráfico
del siguiente cuadro:
A)
B)
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA

6. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 6 ÁREA DE MATEMÁTICAS
C) D)
I. Referencia bibliográfica
N° CÓDIGO AUTOR TITULO EDITORIAL AÑO
1
516.3
OROZ
Orozco Mayren,
Gilberto
Geometría Analítica: Teoría
y Aplicaciones.
Trillas 2007
2
516.182
ESPI/E
Espinoza,
Ramos Eduardo
Geometría Vectorial en R3
2004, s.n. 2004

7. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 7 ÁREA DE MATEMÁTICAS
UNIDAD 01: CURVAS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
HOJA DE TALLER 2: SISTEMA DE COORDENADAS POLARES
NIVEL 1: [Conocimiento/Compresión]
1) Grafique cada punto de la tabla en la roseta polar:
𝑷 = (𝒓, 𝜽)
𝑷𝟏 = (𝟐, 𝟒𝟓°)
𝑷𝟐 = (𝟑, 𝟏𝟐𝟎°)
𝑷𝟑 = (𝟏, 𝟐𝟒𝟎°)
𝑷𝟒 = (𝟑, −𝟔𝟎°)
𝑷𝟓 = (−𝟒, −𝟐𝟒𝟎°)
2) Complete la tabla, reemplazando cada valor “𝜃" que se encuentra en la tabla en
la ecuación polar 𝑟 = 4 + 4cos(𝜃). Grafique todos los puntos en la roseta polar.
𝜽 𝒓
𝟎𝒐
𝝅
𝟔
𝝅
𝟒
𝝅
𝟑
𝝅
𝟐
𝟐𝝅
𝟑
𝟒𝝅
𝟑

8. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 8 ÁREA DE MATEMÁTICAS
𝝅
3) Identifique los puntos 𝑃1, 𝑃2, 𝑃3, 𝑃4, 𝑃5 que se encuentra en la roseta polar:
4) Transforme los siguientes puntos a coordenadas polares, donde 𝜃𝜖[0,2𝜋]:
 (3,0)
 (-4,0)
 (2,2)
 (4,3)
 (𝟏, √𝟑)
NIVEL 2: [Aplicación/análisis]
5) Relacione cada gráfico con su ecuación correspondiente:
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA
𝑷𝟏 = ( , )
𝑷𝟐 = ( , )
𝑷𝟑 = ( , )
𝑷𝟒 = ( , )
𝑷𝟓 = ( , )

9. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 9 ÁREA DE MATEMÁTICAS
ALTERNATIVAS:
𝐴) 𝜃 =
𝜋
3
𝐵) 𝑟 = 2
𝐶) 𝑟 = 𝑠𝑒𝑐 𝜃
6) Se tiene el gráfico de las ecuaciones polares 𝑟 = 4 y 𝑟 = 4 + 4cos(𝜃).

10. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 10 ÁREA DE MATEMÁTICAS
Se pide lo siguiente:
a) Sombree la región que se encuentra en el interior del cardioide
𝑟 = 4 + 4cos(𝜃) y exterior a la circunferencia 𝑟 = 4.
b) Sombrear la región que se encuentra en el interior de la circunferencia 𝑟 = 4
y exterior al cardioide 𝑟 = 4 + 4cos(𝜃).
c) Exprese como conjunto por comprensión la región sombreada obtenida en la
parte a).
d) Exprese como conjunto por comprensión la región sombreada obtenida en la
parte b).
7) Sombree la región que represente al conjunto 𝐴. Donde:
𝐴 = {(𝒓, 𝜽)/𝟏 ≤ 𝒓 ≤ 𝟑, −
𝝅
𝟒
≤ 𝜽 ≤
𝝅
𝟒
}
8) Exprese la región polar sombreada como conjunto, indicando las restricciones:

11. DEPARTAMENTO DE CIENCIAS 11 ÁREA DE MATEMÁTICAS
𝑅 = {(𝑟, 𝜃): … … . ≤ 𝑟 ≤. . … . ., … . . ≤ 𝜃 ≤ ⋯ … … … }
NIVEL 3: [Síntesis/evaluación]
9) Exprese la región polar sombreada como conjunto, indicando las restricciones:
𝑅 = {(𝑟, 𝜃): … … . ≤ 𝑟 ≤. . … . ., … . . ≤ 𝜃 ≤ ⋯ … … … }