1. 1 PROBLEMAS DE APLICACIÓN SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS

2. 2 PROBLEMA 1 Las márgenes superior e inferior de una página son ambas 1.5 cm y las márgenes laterales son de 1 cm cada una. Si el área del material impreso por página es fijo e igual a ¿cuáles deben ser las dimensiones de la página de modo que la cantidad de papel a emplear fuera mínima?

3. 3 PASO1 Y PASO 2 (GRÁFICA Y VARIABLES QUE INTERVIENEN) X= largo de la página. Y= ancho de la página. A= área de la página buscada.

4. 4 PASO 3 Y PASO 4: ÁREA A MINIMIZAR EXPRESADA EN UNA SÓLA VARIABLE.

5. 5 PASO 5: HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS

6. 6 PASO 6:DECIDIR SI EL MÍNIMO HALLADO TIENE LUGAR EN PROBLEMA HUMBERTO AGUDELO ZAPATA

7. 7 PROBLEMA 2 Se quiere construir un envase cilíndrico de base circular cuyo volumen sea 125 cm3. Hallar las dimensiones que debe tener para que la cantidad de lámina empleada (área total) sea mínima.

8. 8 PASO1 Y PASO 2 (GRÁFICA Y VARIABLES QUE INTERVIENEN) r = radio de los círculos h= altura del cilindro

9. PASO 3 Y PASO 4: ÁREA A MINIMIZAR EXPRESADA EN UNA SÓLA VARIABLE. 9 El área a minimizar en este caso, es el área de la lámina que se va a gastar, las dos tapas (área de dos círculos) y el área que envuelve al cilindro (un rectángulo de altura h y de largo 2πr h . A= Sabemos que el volumen de cilindro de tener 125 cm3 Y la ecuación de volumen de un cilindro es Por lo tanto, ÁREA A MINIMIZAR

10. 10 PASO 5: HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS Para hallar la menor cantidad de material empleado derivamos a A con respecto a r: Los valores críticos de A se obtienen cuando A’=0 o cuando A’ no existe; es decir cuando: Ó De estos valores críticos descartamos de una vez a (no existen radios =0).

11. 11 PASO 6:DECIDIR SI EL MÍNIMO HALLADO TIENE LUGAR EN PROBLEMA Finalmente comprobamos que es un valor mínimo calculando A’’ y verificando que A’’ Este valor dadas las condiciones será positivo. Calculando la A’’ se tiene El valor de h lo obtenemos reemplazando el valor de r en la ecuación de volumen de un cilindro Luego las dimensiones del cilindro deben ser : cm cm

12. 12 PROBLEMA 3 Hallar las dimensiones de un cono circular recto de volumen mínimo que se puede circunscribir en una esfera de 8 cm de radio.

13. 13 PASO1 Y PASO 2 (GRÁFICA Y VARIABLES QUE INTERVIENEN) Como los triángulos rectángulos AED son semejantes , entonces podemos establecer proporcionalidad entre sus lados correspondientes; así: 1

14. PASO 3 Y PASO 4: VOLUMEN A MINIMIZAR EXPRESADA EN UNA SÓLA VARIABLE. 14 Continuación… Elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación 1 Factorizando el miembro derecho Simplificando 2 4 Ahora bien, el volumen de un cono es: Donde 3 5 Sustituyendo y en 4 5 3 6 Sustituyendo en 2 6 Esta es la función de volumen a minimizar 7

15. 15 PASO 5: HALLAR LOS VALORES CRÍTICOS Derivando el volumen con respecto a “y” tenemos: 7 Resolviendo operaciones Resolviendo operaciones Reduciendo términos en el numerador Factorizando el numerador 8 Continúa

16. 16 Los valores críticos de A se obtienen cuando A’=0 o cuando A’ no existe; es decir cuando: ó Luego los valores críticos son: Analizando estos valores encontramos que y =-8 y y =8 deben descartarse (y =-8 por ser negativo y y = 8 es un absurdo dentro del contexto del problema).

17. 17 PASO 6:DECIDIR SI EL MÍNIMO HALLADO TIENE LUGAR EN PROBLEMA Derivando por segunda vez el volumen, tenemos Hallando la segunda derivada de v podemos comprobar que y = 24 es un valor mínimo. Obsérvese que se sustituimos y=24 en v’’ el resultado será v’’> 0 Finalmente, tomando como valor y =24 , encontramos que: HUMBERTO AGUDELO ZAPATA

18. 18 PROBLEMAS PROPUESTOS SOBRE MÁXIMOS Y MÍNIMOS SEGUNDA PARTE PROBLEMA 1 Una caja rectangular de base cuadrada se construye de tal manera que el área de sus seis caras es . ¿Cuáles son las dimensiones de la caja que hacen que su volumen Sea máximo?. PROBLEMA 2 Un cono circular recto tiene un volumen de . ¿cuáles deben ser sus dimensiones para que su área lateral sea mínima. Una ventana tiene forma de rectángulo coronado por un semicírculo. Hallar sus dimensiones cuando el perímetro es de y el área es la mayor posible. PROBLEMA 3 PROBLEMA 4 Hallar las dimensiones del cilindro de mayor área lateral que se puede Inscribir en una esfera de radio . PROBLEMA 5 Un terreno rectangular va ha ser cercado. El material que se necesita Para para dos de sus lados paralelos cuesta $ 120 por cada metro lineal. Los otros dos lados paralelos serán cercados con un material que cuesta $ 200 por metro lineal. ¿Hallar las dimensiones del terreno de mayor área posible que puede ser cercado con un costo de $ 18000?

19. 19 RESUELVA LOS EJERCICIOS SINO LOS HA REALIZADO, ES POR SU BIEN.