notas

1. Plan de Estudios
Licenciatura en Ingeniería en Energía y Sustentabilidad
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
20
Ignacio Franco Torres ifranco@fie.umich.mx 2016/2017
3.- LEY DE GAUSS (8 HRS.)
Cuando una distribución de carga tiene una simetría sencilla, es posible calcular el campo
eléctrico que crea con ayuda de la ley de Gauss. La ley de Gauss deriva del concepto de
flujo del campo eléctrico.
3.1 Flujo eléctrico
El flujo del campo eléctrico se define de manera análoga al flujo de masa. El flujo de masa
a través de una superficie S se define como la cantidad de masa que atraviesa dicha
superficie por unidad de tiempo.
El campo eléctrico puede representarse mediante unas líneas imaginarias denominadas
líneas de campo y, por analogía con el flujo de masa, puede calcularse el número de líneas
de campo que atraviesan una determinada superficie. Conviene resaltar que en el caso del
campo eléctrico no hay nada material que realmente circule a través de dicha superficie.

2. Plan de Estudios
Licenciatura en Ingeniería en Energía y Sustentabilidad
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
21
Ignacio Franco Torres ifranco@fie.umich.mx 2016/2017
Como se aprecia en la figura anterior, el número de líneas de campo que atraviesan una
determinada superficie depende de la orientación de esta última con respecto a las líneas de
campo. Por tanto, el flujo del campo eléctrico debe ser definido de tal modo que tenga en
cuenta este hecho.
Una superficie puede ser representada mediante un vector

Sd de módulo el área de la
superficie, dirección perpendicular a la misma y sentido hacia afuera de la curvatura. El
flujo del campo eléctrico es una magnitud escalar que se define mediante el producto
escalar:
 = Flujo Eléctrico 


S
SdE
Cuando la superficie es paralela a las líneas de campo (figura (a)), ninguna de ellas
atraviesa la superficie y el flujo es por tanto nulo

E y

Sd son en este caso
perpendiculares, y su producto escalar es nulo.
Cuando la superficie se orienta perpendicularmente al campo (figura (d)), el flujo es
máximo, como también lo es el producto escalar de

E y

Sd
3.2 La Ley de Gauss
El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga q
contenida dentro de la superficie, dividida por la constante Ɛ0.
La superficie cerrada empleada para calcular el flujo del campo eléctrico se denomina
superficie gaussiana.
Matemáticamente,

O
S
q
SdE

 

La ley de Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell. Fue formulado por Carl Friedrich
Gauss en 1835.
Para aplicar la ley de Gauss es necesario conocer previamente la dirección y el sentido de
las líneas de campo generadas por la distribución de carga. La elección de la superficie
gaussiana dependerá de cómo sean estas líneas.
3.3 Aplicaciones de la Ley de Gauss
Campo eléctrico producido por un hilo rectilíneo cargado

3. Plan de Estudios
Licenciatura en Ingeniería en Energía y Sustentabilidad
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
22
Ignacio Franco Torres ifranco@fie.umich.mx 2016/2017
Para una línea indefinida cargada, la aplicación de la ley
de Gauss requiere los siguientes pasos:
1. A partir de la simetría de la distribución de carga,
determinar la dirección del campo eléctrico.
La dirección del campo es radial y perpendicular a la
línea cargada
2. Elegir una superficie cerrada apropiada para calcular
el flujo
Tomamos como superficie cerrada, un cilindro de
radio r y longitud L.
 Flujo a través de las bases del cilindro: el campo E
y el vector superficie S1 o S2 forman 90º, luego el
flujo es cero.
 Flujo a través de la superficie lateral del cilindro:
el campo E es paralelo al vector superficie dS. El
campo eléctrico E es constante en todos los puntos
de la superficie lateral.
rLEdSEEdSSdE
SSS
20cos  


El flujo total es, rLE 2
3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
La carga que hay en el interior de la superficie cilíndrica de longitud L y radio r es
igual a la densidad de carga (λ) por la L es decir: q=λ L
Donde λ es la carga por unidad de longitud (C/m).
4. Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico
0
2



L
rLE  , 
02 

rL
L
E  , 
02 

r
E 
Campo eléctrico de una distribución esférica y uniforme de carga
Para una distribución esférica y uniforme de carga, la aplicación de la ley de Gauss requiere
los siguientes pasos:
1. A partir de la simetría de la distribución de carga, determinar la dirección del campo
eléctrico.
La distribución de carga tiene simetría esférica, la dirección del campo es radial

4. Plan de Estudios
Licenciatura en Ingeniería en Energía y Sustentabilidad
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
23
Ignacio Franco Torres ifranco@fie.umich.mx 2016/2017
2. Elegir una superficie cerrada apropiada para
calcular el flujo
Tomamos como superficie cerrada, una esfera
concéntrica de radio r.
El campo eléctrico E es paralelo al vector
superficie dS. Por simetría el campo es constante
en todos los puntos de la superficie esférica de
radio r, por lo que,
2
40cos rEdSEEdSSdE
SSS
 


El flujo total es, 2
4 rE  (campo eléctrico por el área de una esfera de radio r)
3. Determinar la carga que hay en el interior de la superficie cerrada
 Para r<R. (figura de la izquierda)
Si estamos calculando el campo en el interior de la esfera uniformemente cargada, la
carga (q) que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es una parte de la
carga total (Q en color gris), que se calcula multiplicando la densidad de carga
(ρ=C/m3
) por el volumen de la esfera de radio r.
Si RVQ  y rVq   3
3
4
RQ  y 3
3
4
rq 
Entonces: 3
3
R
r
Qq 
 Para r>R (figura de la derecha)
Si estamos calculando el campo en el exterior de la esfera uniformemente cargada, la
carga que hay en el interior de la superficie esférica de radio r es la carga total q=Q.
4. Aplicar la ley de Gauss y despejar el módulo del campo eléctrico

5. Plan de Estudios
Licenciatura en Ingeniería en Energía y Sustentabilidad
Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo
24
Ignacio Franco Torres ifranco@fie.umich.mx 2016/2017
0
2
4


q
rE 
Se obtiene
3
00
2
3
3
44 R
Qr
r
R
r
Q
E

 Para r<R y
2
04 r
Q
E

 Para r>R
El campo en el exterior de una esfera cargada con carga Q, tiene la misma expresión que el
campo producido por una carga puntual Q situada en su centro.