conjuntos,números reales,plano numérico,valor absoluto y representación grafica de las conicas

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto, Edo.-Lara
P.N.F Contaduría Pública
Unidad II
Ilian González
C.I. 24325582
Sección 0201

2. Conjuntos
Un conjunto se puede entender como una colección o agrupación de elementos con
características comunes.
Todo conjunto se representa con letras mayúsculas A, B, C, y sus elementos con letra
minúscula a, b, c,… y entre llaves { } separados mediante comas.
Ejemplo:
El conjunto de las letras de nuestro alfabeto; xa, b, c,…, x, y, z, se pude escribir así:
L= {a; b; c;…; x; y; z}
En teoría de conjuntos no se acostumbra repetir los elementos por ejemplo: El conjunto
{x; x; x; y; y; z} simplemente será {x; y; z}.
Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:
 Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos
los elementos de A y de B.
 Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que
contiene todos los elementos comunes de A y B.
 Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A B que
contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
 Diferencia simétrica. La diferencia simétrica entre dos conjuntos A y B es el
conjunto que contiene los elementos de A y B que no son comunes.
 Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que
contiene todos los elementos que no pertenecen a A.

3.  Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el
conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer
elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.
Números Reales
Los números reales están representados con la letra RR, su inició surgió en el siglo XVI
y el XVII cuando apareció la necesidad de realizar operaciones numéricas más
complejas, en esa época con el avance de la tecnología era necesario utilizar cifras con
expresiones exactas. La creación de nuevas fórmulas matemáticas llegó con el
desarrollo de la humanidad y sus herramientas.
Los números reales pueden estar conformados por cifras naturales, negativos, decimales
y fraccionarios. En Europa los números negativos fueron utilizados en el siglo XVII,
culturas como la hindú y la china ya habían considerado estas cifras antes de que
Europa comenzará a utilizarlos y se llegó a pensar que podían descartar la posibilidad de
ser usados porque los consideraban números irreales, con el avance de la tecnología se
pudo confirmar que los números negativos tienen una gran función y utilidad dentro de
la sociedad.
Los números reales se expresan de la siguiente manera, por números enteros
(5,30,1535), por decimales (5,44; 789,3;25744,4523). Con estas cifras se pueden
realizar diferentes operaciones como las sumas (internas, asociativa, conmutativa, de
elemento neutro, multiplicaciones y de elemento opuesto).
Las operaciones que se pueden realizar con los números reales son de diversos tipos,
pero existen excepciones sumamente importantes, no se puede hacer una división entre
cero, porque el cero no posee inverso multiplicativo y no se puede encontrar el
logaritmo de un número real negativo.
Desigualdad
Una desigualdad es una expresión matemática que contiene un signo de desigualdad.
Los signos de desigualdad son:

4. ≠ no es igual
< menor que
> mayor que
≤ menor o igual que
≥ mayor o igual que
De la definición de desigualdad, lo mismo que de la escala de los números algebraicos,
se deducen algunas consecuencias, a saber:
1º Todo número positivo es mayor que cero
Ejemplo:
5 > 0; porque 5 – 0 = 5
2º Todo número negativo es menor que cero
Ejemplo:
–9 < 0; porque –9 –0 = –9
3º Si dos números son negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto;
Ejemplo:
–10 > –30; porque -10 – (–30) = –10 +30 = 20
Una desigualdad que contiene al menos una variable se llama inecuación.
Por ejemplo:
X + 3 < 7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ejemplos:
3 < 4, 4 > 3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que conocer y entender las
propiedades de las desigualdades.
Propiedades de las desigualdades

5. 1. Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados:
a < b / ± c (sumamos o restamos c a ambos lados)
a ± c < b ± c
Ejemplo:
2 + x > 16 / – 2 (restamos 2 a ambos lados)
2 + x − 2 > 16 − 2
X > 14
2. Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica o divide por un número
positivo:
a < b / • c (c > 0) (c es positivo, mayor que cero)
a • c < b • c
a > b / • c (c > 0) ( c es positivo, mayor que cero)
a • c > b • c
Ejemplo
3 ≤ 5 • x /:5
3/5 ≤ x esto es, todos los reales mayores o iguales que 3/5
3. Una desigualdad varía su sentido si se multiplica o divide por un número
negativo:
a < b / • c (c < 0) (c es negativo, menor que cero)
a • c > b • c
a > b / • c (c < 0) ( c es negativo, menor que cero)
a • c < b • c
Ejemplo:
15 – 3 • x ≥ 39 / −15
− 3 • x ≥ 39 – 15 /: −3

6. X ≤ 24: (−3)
X ≤ − 8. Esto es, todos los reales menores o iguales que −8.
De manera recíproca, cuando la parte de la incógnita resulta negativa deben invertirse
los signos a ambos lados y cambiar el sentido de la desigualdad, ya que no puede haber
desigualdades con incógnita negativa.
Valor Absoluto
El valor absoluto representa la distancia desde el origen o cero de una recta numérica
hasta un número o un punto. Geométricamente los valores absolutos de |x| son números
reales de x y es un valor geométrico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o
negativo (-). Así, por ejemplo, 5 es el valor absoluto de +5 y de -5. Los valores absolutos
están representados por dos líneas verticales, tales como |x| (el cual se lee como módulo
de x).
El valor absoluto se representa como |A|, donde A es el número cuyo valor absoluto tiene
que ser determinado.
El valor absoluto se define como:
 |x| = x si x ≥ 0
 |x| = -x si x < 0
DEFINICIONES EQUIVALENTES
Si a es un número real, su valor absoluto es un número real no negativo definido de las
dos siguientes maneras:
 |x| = √(x2
)
 |x| es igual al máximo de { x, -x }
PROPIEDADES

7. PROPIEDADES FUNDAMENTALES
 |x| > 0 No negatividad
 |x| = 0 ↔ x = 0 Definición positiva
 |x∙y| = |x|∙|y| Propiedad multiplicativa
 |x + y| ≤ |x| + |y| Desigualdad triangular
OTRAS PROPIEDADES
 |-x| = |x| Simetría
 |a – b| = 0 ↔ a = b Identidad de indiscernibles
 |a – b| ≤ |a – c| + |c – b| Desigualdad triangular
 |a – b| ≥ |(|a| – |b|)| (equivalente a la propiedad aditiva)
 |x ÷ y|= |x| ÷ |y| si b ≠ 0 Preservación de la división (equivalente a la
propiedad multiplicativa)
VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL
Para todos los números reales los valores absolutos “x” satisfacen las siguientes
condiciones:
 |x| = x ; si x ≥ 0
 |x| = -x ; si x < 0
En una recta numérica, las representaciones de los valores absolutos de un número real
es la distancia entre número y el cero u origen. Por ejemplo, |3| es la distancia de tres
unidades al cero.

8. Tanto 3 y -3 son las distancias de dos unidades desde el cero. |3| = |-3| = 3. En matemática,
la medición de cualquier distancia siempre es un valor no negativo.
El valor absoluto de un número real x, es siempre positivo o cero, pero nunca negativo.
Plano numérico
Un plano es un objeto ideal que solo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos
y rectas; es un concepto fundamental de la geometría junto con el punto y la recta.
Distancia
En las matemáticas, la distancia entre dos puntos del espacio euclídeo equivale a la
longitud del segmento de la recta que los une, expresado numéricamente. En espacios
más complejos, como los definidos en la geometría no euclidiana, el «camino más
corto» entre dos puntos es un segmento recto con curvatura llamada geodésica.
Punto Medio
Punto medio o punto equidistante: en matemática, es el punto que se encuentra a la misma
distancia de cualquiera de los extremos.
Representación grafica de las cónicas
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g, que llamamos
generatriz, alrededor de otra recta e, eje, con el cual se corta en un punto, V vértice.
 g = la generatriz
 e = el eje
 V = el vértice

9. La Circunferencia
Es la sección producida por un plano perpendicular al eje.
ß=90º

10. La parábola
Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al
eje, siendo paralelo a la generatriz.
a =ß
La elipse
Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al
eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que
el que forman eje y generatriz.
a < ß < 90º

11. La hipérbola
Es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al
eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide
en las dos hojas de la superficie cónica.
a > ß
La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos
ramas separadas.
Ejercicios
Inecuaciones y desigualdades
1) Inecuación lineal
3x + 2 < 5
3x < 5 – 2
3x < 3
3x < 3
3
< 1

12. - ∞ │ + ∞
1
Solución
(-∞, 1)
2) Desigualdades o inecuaciones cuadráticas
6x2 - 4x - ≤ 0
ax2 +bx + c
6
6x2 - 4x -2
36x2 – 4x – 12
(6x – 6) (6x + 2)
3.2
(2x -2) (3x +1)
(2x -2) (3x+1)
+ -
Caso 1:
2x -2 ≥ 0 3x + 1 ≤ 0
2x ≥ 2 3x ≤ -1
X ≥ 2 x ≤ -1
2 3

13. -∞ │ │ │ + ∞
-1 0 2
3 2
Caso 1 = X E Ø
Caso 2:
(2x -2) (3x+1)
- +
2x -2 ≤ 0 3x +1 ≥ 0
2x ≤ 2 3x ≥-1
X ≤ 2 x ≥ -1
2 3
-∞ │ │ │ +∞
-1 0 2
3 2
- 1 , 2
3 2
Caso 2: X E - 1 , 2
3 2
Ø U - 1 , 2
3 2
X E - 1 , 2
3 2