BIOMETANO SÍ, PERO NO ASÍ. LA NUEVA BURBUJA ENERGÉTICA
Conjuntos
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andres Eloy Blanco
Barquisimeto – Lara
Kerlys Perdomo
Conjunto de los
números reales.
2. Conjunto
La palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una agrupación
o colección de objetos que reciben el nombre de elementos. Esta
idea nos sirve para introducirnos en el concepto de conjuntos
que, en Matemática es un término primitivo. Es decir no lo
definimos, no contestamos a la pregunta ¿qué es?
Los conjuntos se designan con letras mayúsculas imprenta: A, B , C, ...
y los elementos con letras minúsculas imprenta: a, b, c, d....
Si a es un elemento del conjunto A, dicho elemento pertenece al
conjunto y escribimos a ∈ A. En caso contrario, si ano es un
elemento de A se simboliza a A.
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3. Conjuntos Numéricos
Los conjuntos numéricos permiten
representar diversas situaciones del entorno, tales
como: la cantidad de elementos que tiene un conjunto
(los naturales), las partes de una unidad (los
racionales), la medida de la diagonal de un cuadrado
de lado 1 (los irracionales) o diversas cantidades o
entes físicos que están compuestos por una parte real
y otra imaginaria (los complejos).
Los conjuntos numéricos utilizados en las
matemáticas básicas son: Naturales (N), enteros (Z),
racionales(Q), irracionales (I), reales (R) y complejos
(C). Son utilizados en diversas situaciones, por todas
las ramas del conocimiento.
Podemos recordarlo utilizando el siguiente
diagrama.
3
4. Números naturales (N)
Los números naturales fueron los primeros que
utilizó el ser humano para contar objetos. El
conjunto de los números naturales tiene
infinitos elementos y se simboliza.
N = {1,2,3,4,5…}
¿Por qué ponemos los puntos suspensivos? Porque
si bien el conjunto tiene un primer elemento
(el uno), no tiene un último elemento, es por lo
tanto, un conjunto infinito.
Al conjunto de los naturales con el cero incluido, se
simboliza:
N0 = { 0,1,2,3,4,5…}
✘ Operaciones en N:
No todas las operaciones son siempre posibles en el conjunto
de los números naturales, veamos primero cuáles
podemos resolver sin tener problemas:
• Suma
• Multiplicación
• Potenciación
• Resta (Si el minuendo es mayor que el sustraendo en N, y
si el minuendo es mayor o igual que el sustraendo en N0)
• Cociente (Si el dividendo es múltiplo del divisor y éste es
distinto de cero)
• Radicación (Podemos extraer raíces cuadradas de
cuadrados perfectos, raíces cúbicas de cubos perfectos,
etc.).
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5. Números Enteros (Z)
✘ Los números enteros abarcan a los números
naturales, el cero y a los números negativos.
Z = { …-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5…}
“Todo numero natural es un número entero”
Algunas de las propiedades de los números
enteros(Z), son las siguientes:
No tiene primero ni último elemento.
Entre dos enteros consecutivos, no existe
ningún otro entero.
Si n es un número entero, existe−n∈Z, tal que
n+(−n) =0. Es decir, todo número entero, tiene
un inverso aditivo.
Al sumar, restar o multiplicar dos números
enteros, el resultado es otro número entero.
✘ Se define valor absoluto de un número entero,
x, y se simboliza |x|, al mismo número x si éste
es positivo o nulo y al opuesto de x(–x) si el
número es negativo. En símbolos:
|x| = x, x ≥ 0
x, x < 0
Con respecto a las operaciones podemos hacer las
siguientes observaciones:
• No hay inconvenientes para efectuar la resta.
• Para el producto y el cociente se debe tener
en cuenta la regla de los signos.
• La potenciación es posible si la base es entera
pero el exponente es natural.
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6. Números Racionales (Q)
✘ Se llama números racional a todo número que
puede representarse como el cociente de dos
enteros con denominador distinto de cero. Se
define de la siguiente manera
Q = { m/n; m, n ∈ Z ∧ n≠0}
Todos los números enteros son números racionales,
ya que cualquier entero se puede expresar
como la división entre él mismo y el 1, es decir si
n ∈ Z, n = n/1 ∈ Q.
. Luego, un número es racional si verifica alguna de
las siguientes condiciones:
- es un número entero(positivo, negativo o 0).
- es un número decimal, con un número finito de
cifras.
- es un número decimal periódico.
✘ Operaciones en Q
• Suma y resta:
A) B)
• Multiplicación:
• División:
• Potenciación
A) B)
• Radicación:
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7. Números Irracionales (I)
✘ Los números irracionales I son
números que no se pueden
escribir como el cociente de
dos enteros, y que a sus cifras
decimales no se les puede
determinar un período y su
número de cifras decimales es
indefinido.
✘ Ejemplo:
• π=3.141592654..
• e=2.718281828...
• −√2=−1.414213562…
• √3= 1.732050808…
• −π^2=−9.869604401..
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8. Números Reales (R)
Si unimos al conjunto de los números racionales el de los números irracionales
obtendremos el conjunto de los números reales, al que simbolizaremos con R.
-Todo número natural es un número real.
- Todo número entero es un número real.
- Todo número racional es un número real.
-Todo número irracional es un número real.
9. Operaciones en R
Propiedades de los números reales.
1)Propiedad conmutativa
Operación: Suma y multiplicación
Definición: a + b = b + a y a.b = b.a
2) Propiedad asociativa
Operación: Suma y multiplicación.
Definición: a+(b+c) = (a+b)+c y a(b.c) =
(a.b)c
3) Propiedad identidad:
Operación: Suma y multiplicación:
Definición: a + 0= a y a.(1) = a
4)Propiedad Inversa
Operación: Suma y multiplicación
Definición: a + (-a) = 0 y (a)(1/a) = 1
5) Propiedad Distributiva
Operación: Suma con respecto
a la multiplicación
Definición: a(b + c) = ab + ac
10. 1)Propiedad reflexiva
Definición: Toda cantidad o expresión es igual
a sí misma.
x = x
2) Propiedad simétrica
Definición: Se puede cambiar el orden de los
miembros sin que la igualdad se altere.
a +b = c, entonces c = a +b
3)Propiedad transitiva
Definición: Enuncia que dos igualdades tienen
un miembro en común los otros dos
miembros también son iguales
Si x + y = z y p + q = z entonces x + y = p + q
4) Propiedad uniforme
Definición: Si se aumenta o disminuye la misma
cantidad en ambos miembros, la igualdad
se conserva
a = b, entonces a + x = b + x
5) Propiedad cancelativa
Definición: En una igualdad se pueden suprimir
dos elementos iguales en ambos
miembros y a igualdad no se altera.
a + b = c + d, entonces a = c
11. Operaciones con conjuntos.
✘ Unión
Nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro
conjunto que contendrá a todos los elementos que
queremos unir pero sin que se repitan
Dados dos conjuntos A y B, la unión A y B es;
A∪B = {x ∈ U| x ∈ A ó x ∈ B}
Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos es:
Solución :
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}.
✘ Intersección:
Nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos
comunes involucrados en la operación.
Dados dos conjuntos A y B, la intersección de A y B es;
A ∩B = {x ∈ U| x ∈ A y x ∈ B}
Ejemplo 1: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y
B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos
conjuntos es:
Solución:
A ∩B={4,5}
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1
2
3
4 6 7
5 8
9
1
2
3
4 6 7
5 8
9
12. ✘ Diferencia:
Si A y B son dos conjuntos, se define la diferencia
de A y B, que se simboliza A -B al conjunto
formado por los elementos que pertenecen al
conjunto A que no pertenecen al conjunto B.
Simbólicamente: A - B = {x / x ∈ A y x B}
Gráficamente:
✘ Complemento
Si U es el conjunto universal que contiene al
conjunto A, se llama complemento de A y se
simboliza A, al conjunto formado por todos
los elementos del universo que no pertenecen
al conjunto A.
Simbólicamente: A = {x ∈ U/ x ∈ A }
Gráficamente
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13. Desigualdades
✘ Una desigualdad es una relación de orden que se da
entre dos valores cuando estos son distintos. Si los
valores en cuestión son elementos de un conjunto
ordenado, como los enteros o los reales, entonces
pueden ser comparados.
Propiedades de las desigualdades:
1- Si a y b son números reales, sucede una y solo una de las
siguientes relaciones.
• a = b
• a < b
• a > b
2- (Propiedad transitiva) : Si a<b y b<c entonces a<c
3- Si a < b y c ∈ R, entonces a + c < b + c.
4- Si a<b, y c>0 entonces ac < cb.
5- Si a<b , y c>0 entonces ac > bc y podemos tener los
siguientes casos.
Intervalos
✘ Un subconjunto de la recta real se llama intervalo, y
contiene a todos los números reales que están
comprendidos entre dos cualesquiera de sus
elementos. Los intervalos finitos pueden ser
cerrados, abiertos o semiabiertos.
o Intervalos abiertos: un intervalo es abierto cuando
no incluye sus extremo. Por ejemplo (a,b) es un
intervalo abierto ya que a y b no pertenecen al
intervalo.
(a,b) = {x / x ∈ R ^ a < x < b}
o Intervalos cerrados: un intervalo es cerrado
cuando incluye a sus extremos. Por ejemplo [a,b] es
un intervalo cerrado ya que a y b pertenecen al
intervalo.
[a,b] = {x / x ∈ R ^a ≤ x ≤ b}
14. 14
Intervalos
o Intervalos semiabierto a izquierda (o semicerrado
a derecha) : Es el conjunto de números reales
formado por b y los números comprendidos entre a y
b.
(a,b] = {x / x ∈ R ^ a < x ≤ b}
o Intervalos semiabierto a derecha (o semicerrado a
izquierda): Es el conjunto de números reales formado
por a y los números comprendidos entre a y b.
[a,b) = {x / x ∈ R ^ a ≤ x < b}
o Intervalos infinitos:
(-∞, +∞)={x/ x ∈ R }
✘ Problemas de desigualdades
Completa la tabla llenando los espacios con la
notación adecuada
Intervalo Desigualdad Grafica en la
recta
[-3,5) -3≤ x <5
(-∞,5] x ≤ 5
[3,8] 3≤ x ≤8
(-5,4) -5< x <4
15. ✘ Inecuaciones
Una inecuación es una desigualdad algebraica en
la que se relacionan letras y números.
Las letras se llaman incógnitas, las cuales
aparecen una o más incógnitas en
los miembros de la desigualdad.
Tipos de inecuaciones
• Inecuación de primer grado o lineal
Las inecuaciones de primer grado en una
inecuación, son de la
forma:
ax + b > , < , ≥ , ≤ 0 , a≠0
15
Para resolver este tipo de inecuaciones se
debe considerar a>0, es decir, si a>0,
entonces:
x > -b/a ó x < - b/a
Su representación gráfica es:
Luego la solución está dada en la forma
x ∈ ( -b/a, +∞) ò x ∈ (-∞, -b/a)
16. Ejemplos
1- Resuelva la desigualdad 2 + x < 9x +6 y dibuje la grafica de
la solución.
Solución:
2 + x < 9x +6
-2 +2 + x < 9x + 6 -2 (Restamos 2 a ambos lados)
x < 9x +4 (Restamos 9x a ambos lados)
-9x + x < 9x – 9x + 4
-8x < 4 (Multiplicamos por 1/8 a ambos lados)
(1/8)(-8x) < 4(1/8)
-x < 4/8 (Multiplicamos por -1 a ambos lados)
(-1)(-x) < (4/8)(-1)
x > -4/8
x > -1/2
La solución de la desigualdad es el intervalo
(-1/2 , +∞)
La representación grafica de la solución es
16
Ejemplos
2- Resuelva la desigualdad 3x + 5 ≤ -7x + 25 y dibuje la
grafica de la solución.
Solución:
3x + 5 ≤ -7x + 25
7x + 3x + 5 ≤ -7x + 7x + 25 (Sumamos 7x a ambos lados)
10x + 5 ≤ 25 (Restamos 9x a ambos lados)
10x +5 -5 ≤ 25 -5 (Sumamos -5 a ambos lados)
10x ≤ 20
(1/10)10x ≤ 20(1/10) (Multiplicamos (1/10 a ambos lados)
X ≤ 2
La solución de la desigualdad es el intervalo
(-∞,2 ]
La representación grafica de la solución es
17. • Inecuación de segundo grado o
cuadrática.
Las inecuaciones de segundo grado en una
inecuación, son de la forma:
ax2 + bx +c>,<≥,≤o, a≠0
Donde a,b,c ∈ R, siendo a≠0, la solución de estas
ecuaciones, se obtiene mediante las
propiedades de los números reales o
también por medio de la naturaleza de
las raíces del trinomio: ax2 + bx+c
a) Carácter de las raíces del trinomio de
segundo grado
ax2 + bx+c=0 , con a>0
Al analizar el valor del discriminante de la
ecuación dando valores reales a “x” se
representa tres casos:
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I. Caso: Si Δ=b.b - 4ac>0, entonces hay
dos valores diferentes r1, r2 que anulan
el trinomio ax2 + bx+c=0
II. Caso: Si Δ=b.b - 4ac=0, entonces hay
un solo valor real r1=r2, que anulan el
trinomio ax2 + bx+c=0
III.Caso: Si Δ=b.b - 4ac<0, entonces se
tiene dos valores no reales r1=∞-βi que
anulan el trinomio ax2 + bx+c=0
18. 18
Ejemplo
Resuelva la desigualdad x^2 - x < 6
Solución:
x^2 - x < 6
x^2 - x – 6 < 0 (Sumamos -6 a ambos lados)
(x-3)(x+2) < 0 (factorizamos)
Luego los factores que hacen cero la inecuación son:
X – 3 = 0 y x +2 = 0
X = 3 y x = -2
Estos intervalos son (- ∞, -2) (-2,3)(3, + ∞). Buscamos los signos en cada intervalo
tomando valores de prueba, los cuales serán, -4,0,5.
En x = -4 tenemos (-4-3)(-4+2)=14
En x = 0 tenemos (0-3)(0+2) = -6
En x = 5 tenemos (5-3)(5+2) = 14
Concluimos que (x-3)(x+2) < 0 se cumple en un solo intervalo, el cual es (-2,3)
La representación grafica es:
x ∈ (-2,3)
19. Valor absoluto
✘ El valor absoluto de un numero real x lo
denotamos por |x| y lo definiremos de la
siguiente manera:
x, si x > 0
✘ |x| = 0, si x= 0
-x , si x<0
Observa que |x| siempre es un número real positivo
o cero, además -|x| < x < |x|
Ejemplos
• |-3| = - (-3) = 3
• |3| = 3
✘ Propiedades del valor absoluto
Sean a y b dos números reales, entonces.
1.
2.
3.
4.
19
20. Desigualdades con valor absolutos.
1. Resolver |5x – 2| < 5
Solución:
Utilizando las propiedades del valor absoluto
tenemos, por ser 5 un numero positivo
-5< 5x -2 < 5
-5+2 < 5x -2 +2 < 5 +2
-3 < 5x < 7
(1/5)(-3) < 5x (1/5) < 7(1/5)
-3/5 < x < 7/5
Es decir, x ∈ (-3/5,7/5)
✘ 2. Resolver |6x -5|> 4x+7
Solución:
Utilizando las propiedades del valor absoluto tenemos
dos desigualdades:
Así , x es solución si satisface que x > 6 y x <-1/5, es
decir
x ∈(-∞,-1/5)u(6, +∞).
20
6x – 5 > 4x + 7
6x – 4x > 7 + 5
2x > 12
x > 12/2
x > 6
6x – 5 < -( 4x + 7)
6x -5 < - 4x – 7
6x + 4x < - 7 + 5
10x < -2
x < -2/10
x < -1/5
