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NUMEROS REALES Y PLANO NUMERICO
- 1. Franklin Díaz, CI: 24.549.723 Sección: 0401 Grupo: B NÚMEROS REALES Y PLANO NUMÉRICO
- 2. CONJUNTO Es el concepto fundamental de la matemática. Mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones. Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …} Conjunto de figuras Geométricas Conjunto de Números
- 3. OPERACIONES CON CONJUNTOS UNIÓN DE CONJUNTOS: Nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS: Permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es: ∪. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A∪B Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} La intersección de estos conjuntos es A∩B={4,5}.
- 4. DIFERENCIA DE CONJUNTOS: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} DIFERENCIA
- 5. DIFERENCIA DE SIMETRICA DE CONJUNTOS: Permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} La diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}.
- 6. COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO: Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, es decir: A' en donde el conjunto A es al que se le hace la operación de complemento. Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9} El conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}.
- 7. PRODUCTO CARTESIANO: Es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse de forma que el primer elemento del par ordenado pertenezca al primer conjunto y el segundo elemento pertenezca al segundo conjunto. El producto cartesiano de dos conjuntos, es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden obtener con los elementos de dos conjuntos. Un par ordenado o una tupla de dos elementos, estará compuesto por un primer elemento de un conjunto y un segundo elemento de otro conjunto. Un par ordenado se escribe encerrando los elementos entre paréntesis y separados por una coma. Si A={3,4} y B={1,3,8} y C={3,8,9} Hallar (A x B) ⋂ (B x C) Hallamos el producto cartesiano de AxB ={(3,1),(3,3),(3,8),(4,1),(4,3),(4,8)} Hallamos el producto cartesiano de BxC={(1,3),(1,8),(1,9),(3,3),(3,8),(3,9),(8,3),(8,8),(8,9)} Ahora hallamos la intersección de (A x B) ⋂ (B x C) = {(3,3),(3,8)}
- 8. NÚMEROS REALES: Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros, racionales e irracionales. Se representa con la letra R. Los números reales se expresan con decimales que tienen una secuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como por ejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntos consecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan más dígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.
- 9. DESIGUALDADES: Son las relaciones de orden que se dan entre dos valores cuando estos son distintos. Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. La notación a < b significa a es menor que b. La notación a > b significa a es mayor que b. La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b. La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b. La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b. La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b. La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables. La notación a < b significa a es menor que b. La notación a > b significa a es mayor que b. La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b. La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b. La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b. La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b. La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
- 10. VALOR ABSOLUTO: El valor absoluto de un número consiste en su valor, sin importar su signo. Cuando tomamos el valor absoluto de un número, éste es siempre positivo o cero. El valor absoluto de un número positivo es justo el mismo número, y el valor absoluto de un número negativo es su opuesto. El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en una recta numérica.
- 11. DESIGUALDADES CON VALOR ABSOLUTO: Es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
- 12. PLANO NUMÉRICO: La recta numérica es una línea recta en la que se pueden ubicar todos los números reales debido a que está graduada, es decir, tiene marcados los números enteros ordenados y espaciados homogéneamente (a la misma distancia cada uno y el siguiente). Al centro de la recta numérica va el número cero, a la derecha van los positivos y a la izquierda los negativos. El número con el que se identifica cualquier punto en la recta numérica indica la distancia de dicho punto hacia el centro de la misma. -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
- 13. Los números enteros se ubican directamente en la posición correspondiente al número. El -2 está 2 unidades a la izquierda (por ser negativo) del 0 mientras que el 1 está 1 unidad a la derecha del 0. Las fracciones propias positivas siempre van entre el 0 y el 1. Para ubicar 1/2, se divide la unidad en dos partes y se elige la primera división. Para ubicar 3/4, por ejemplo, se divide la unidad en cuatro partes y se elige la tercera división. Para ubicar 1/2, se divide la unidad en dos partes y se elige la primera división.
- 14. PUNTO MEDIO Y DISTANCIA: Se encuentra a la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas, entre otros. Es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento. Dados dos puntos cualesquiera A(x1,y1), B(x2,y2), definimos la distancia entre ellos, d(A,B), como la longitud del segmento que los separa. La distancia entre dos puntos equivale a la longitud del segmento de recta que los une, expresado numéricamente. La Distancia entre dos puntos en la recta numérica es la distancia de cualquier punto P(x) al origen será ( x ) , ya que (x -O)= (x). La distancia entre dos puntos cualquiera A(X) y B(y) será el valor absoluto de la resta de sus coordenadas en el orden que se prefiera, (x -y) =(y-x).
- 15. CÓNICAS: Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g, que llamamos generatriz, alrededor de otra recta e, eje, con el cual se corta en un punto V, vértice. g= la generatriz e= el eje V= el vértice
- 16. ELIPSE: La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz.
- 17. CIRCUNFERENCIA: La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular al eje. Es un caso particular de elipse.
- 18. PARÁBOLA: La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz. Es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.
- 19. HIPÉRBOLA: La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica. Una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.