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            118
Alumna: Alejandra Patiño uriza
Materia: matemáticas 3
Profesor: Luis miguel Villarreal Matías

       Número áureo y serie de
             fibonacci.




                         Índice
Introducción…………………………… 1
  Numero áureo……………………………2
Serie de fibonacci…………………………3
 Actividad…………………………………4
Conclusión………………………………..5




            Introducción
Es impresionante como la serie de fibonacci puede
aparecer en cualquier cosa por ejemplo en los vértices de
una piña o dentro de un molusco.




                                     Numero áureo
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de
recta a y b que cumplen la siguiente relación:




El segmento menor es b. El cociente     es el valor del número áureo: φ.

Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma
que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la
longitud del mayor entre la del menor.

Cálculo del valor del número áureo
Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple:




Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será:




Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos:



Igualamos a cero:



La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:




Que es el valor del número áureo, equivalente a la relación   .




                                   Serie de fibonacci
Una sucesión de Fibonacci es aquella cuya ley de recurrencia es:

                                     an = an-1 + an-2

Es decir, cada término de la sucesión se obtiene sumando los dos
anteriores. Para empezar a construirla necesitamos, por tanto, dos
números de partida, a1 y a2. De esta forma, a3 sería a2 + a1 ; a4 sería
a3 + a2 y así sucesivamente.

La más conocida es la que tiene a1 = 1 y a2 = 1, cuyos términos son:
1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377...

Números que son conocidos como Números de Fibonacci.

Los términos de cualquier sucesión de Fibonacci tienen la
particularidad de que el cociente entre dos términos consecutivos se
aproxima al Número de Oro (1.6180339887499...), es decir, el límite
de los cocientes an+1/an tiende al Número de Oro cuando n tiende a
infinito.

Además, las series de Fibonacci cumplen otras curiosas propiedades,
como por ejemplo, que la suma de n términos es igual al término n+2
menos uno:

          a1 + a2 + a3 + a4 +..... + an-1 + an = an+2 – 1




                            Actividad
Conclusion
Esta sucesión de números aparece en la
Naturaleza en formas curiosas. Las escamas de
una piña aparecen en espiral alrededor del
vértice. Si contamos el número de espirales de
una piña, encontraremos que siempre es igual a
uno de los números de la sucesión de
FIBONNACI.
Esta sucesión también aparece en el estudio de
las leyes mendelianas de la herencia, en la
divergencia foliar, en la formación de la concha
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Número aureo.3.12 (5) PATIÑO

  • 1. Esc. Sec. Tec. 118 Alumna: Alejandra Patiño uriza Materia: matemáticas 3 Profesor: Luis miguel Villarreal Matías Número áureo y serie de fibonacci. Índice
  • 2. Introducción…………………………… 1 Numero áureo……………………………2 Serie de fibonacci…………………………3 Actividad…………………………………4 Conclusión………………………………..5 Introducción
  • 3. Es impresionante como la serie de fibonacci puede aparecer en cualquier cosa por ejemplo en los vértices de una piña o dentro de un molusco. Numero áureo El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación: El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ. Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor. Cálculo del valor del número áureo
  • 4. Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple: Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será: Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos: Igualamos a cero: La solución positiva de la ecuación de segundo grado es: Que es el valor del número áureo, equivalente a la relación . Serie de fibonacci Una sucesión de Fibonacci es aquella cuya ley de recurrencia es: an = an-1 + an-2 Es decir, cada término de la sucesión se obtiene sumando los dos anteriores. Para empezar a construirla necesitamos, por tanto, dos números de partida, a1 y a2. De esta forma, a3 sería a2 + a1 ; a4 sería a3 + a2 y así sucesivamente. La más conocida es la que tiene a1 = 1 y a2 = 1, cuyos términos son:
  • 5. 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377... Números que son conocidos como Números de Fibonacci. Los términos de cualquier sucesión de Fibonacci tienen la particularidad de que el cociente entre dos términos consecutivos se aproxima al Número de Oro (1.6180339887499...), es decir, el límite de los cocientes an+1/an tiende al Número de Oro cuando n tiende a infinito. Además, las series de Fibonacci cumplen otras curiosas propiedades, como por ejemplo, que la suma de n términos es igual al término n+2 menos uno: a1 + a2 + a3 + a4 +..... + an-1 + an = an+2 – 1 Actividad
  • 6. Conclusion Esta sucesión de números aparece en la Naturaleza en formas curiosas. Las escamas de una piña aparecen en espiral alrededor del vértice. Si contamos el número de espirales de una piña, encontraremos que siempre es igual a uno de los números de la sucesión de FIBONNACI. Esta sucesión también aparece en el estudio de las leyes mendelianas de la herencia, en la
  • 7. divergencia foliar, en la formación de la concha de algunos moluscos.