Ecuaciones

1. La potencia del álgebra
Didáctica de la Matemática
Agosto de 2014
LORENA CABAÑA

2. La potencia del álgebra 2014
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I N D I C E
¿Para qué sirven las letras en matemática?........................................... Pág. 3
El sentido de los símbolos ………………………………………………….
Pág. 4
¿De qué hablamos cuando hablamos de resolver ecuaciones?............
Pág. 5
Enseñanza y aprendizaje de ecuaciones………………………………….
Pág. 7
Bibliografía…………………………………………………………… Pág. 9

3. La potencia del álgebra 2014
3
¿PARA QUÉ SIRVEN
LAS LETRAS EN
MATEMÁTICA?
¿No es suficiente con
los números? ¿Para qué
nos agregan letras
ahora? Estas son quejas
que a menudo solemos
escuchar por parte de
nuestros alumnos, es
probable que esto se deba a que, en general, el modo en el que estas letras se
hacen presentes pareciera ser que es “por arte de magia”. Se suele introducir
al trabajo algebraico con actividades en las que tienen por objetivo el simple
hecho de traducir expresiones coloquiales al lenguaje simbólico y viceversa. De
este modo aparecen las letras antes de que los alumnos tengan la oportunidad
de necesitarlas, puede que a ello se deba que luego no les resulte útil ni
necesario el trabajo con las mismas. Una de las consecuencias que conlleva
este modo de introducir el álgebra es que luego se les dificulta reconocer en
qué ocasiones es conveniente o no utilizarla.
Por otro lado, “Chevallard (1989) plantea que la noción de modelización
permite “mirar” globalmente la actividad matemática desde la escuela hasta la
universidad y suministra un marco de referencia a partir del cual es posible
reconocer diferencias significativas entre “aritmética” y “álgebra”.”1
Con respecto a lo mencionado anteriormente Sadovsky dice que esta idea
ofrece elementos para estudiar la relación entre estos dos dominios
considerando el tipo de problemas que pueden modelizarse en cada uno, los
modelos que toleran, las herramientas que ofrece el algebra para modelizar la
aritmética y los aportes de esta última para justificar el trabajo algebraico. Por
ejemplo si a un alumno se le plantea el siguiente interrogante: ¿Qué ocurre al
sumar tres números consecutivos?, el alumno podría plantear 12 + 12 + 1 +
1 Sadovsky, Patricia. Condiciones didácticas para un espacio de articulación entre prácticas aritméticas y
prácticas algebraicas. Tesis de doctorado, Facultad de filosofía y letras. UBA. P 36

4. La potencia del álgebra 2014
12 + 2 = 3.12 + 3 y afirmar que el resultado es siempre un múltiplo de 3. Si
bien este razonamiento se basa en un ejemplo numérico tiene en cierto modo
un grado de generalización puesto que si el 12 se reemplaza por cualquier otro
número se obtendrá la misma conclusión. Se podría decir que generalmente la
escuela primaria está relacionada con la aritmética mientras que la escuela
secundaria está más relacionada con el trabajo algebraico. Por ello, es posible
que al principio muchos alumnos usen números de forma general como si
estuviesen usando letras.
En el siguiente link se puede ver una breve descripción sobre que es el álgebra
y un poco de su historia.
4
http://www.slideshare.net/alejandritro/el-algebra-12236177?related=1
EL SENTIDO DE LOS SIMBOLOS
“Creemos que el sentido de
símbolo debería incluir, más allá
de la invocación relevante de los
símbolos y de su uso correcto, la
apreciación de la elegancia, de la
brevedad, de la comunicabilidad y
el poder de los símbolos para
mostrar y probar relaciones en un
sentido en que con la aritmética no
puede hacerse.”2
Luego del trabajo con el lenguaje
coloquial y simbólico, se comienza a trabajar con las ecuaciones, que en
general, se las plantea como expresiones en las que es necesario utilizar las
letras para designar números desconocidos, aparece la letra como una
incógnita a descubrir. Sessa señala que esta idea de ecuación deja afuera a las
ecuaciones sin solución y a las que tienen infinitas soluciones, ya que en
ninguno de estos casos hay un número para encontrar. Dicha definición
2 Arcavi, A. Symbol sense: Informal sense-making in Formal Mathematics" aparecido en la revista For the
Learning of Mathematics,1994.P 6

5. La potencia del álgebra 2014
tampoco contempla las ecuaciones cuadráticas o las ecuaciones en dos o más
variables. Suelen ser escasos los problemas en que se pregunta por la posible
existencia de una solución y bastante inusuales los problemas que tengan
infinitas soluciones o ninguna. Con esta concepción de ecuación los alumnos
van construyendo una noción limitada o incompleta de la idea de ecuación.
5
¿DE QUE HABLAMOS CUANDO HABLAMOS DE RESOLVER
ECUACIONES?
Cuando se habla de pasaje de términos o de
aplicar la propiedad uniforme, descripta a
continuación:
(https://www.youtube.com/watch?v=xO_fbXB
J-m8), no se hace evidente que las
transformaciones que se pueden hacer en
una ecuación, son aquellas que conservan el
conjunto solución. Son ecuaciones diferentes
que tienen las mismas soluciones. Por ejemplo: no es posible afirmar si
5푥 + 2 = 22 es o no una igualdad. Ya que si 푥 vale 2, la expresión se
transforma en una igualdad falsa. En cambio para 푥 = 4 se convierte en una
igualdad verdadera. Lo que sí se puede afirmar es que 5푥 + 2 = 22 tiene el
mismo conjunto solución que 5푥 = 20 y que 푥 = 4, aunque las tres son
ecuaciones diferentes tienen el mismo conjunto solución. Si tenemos en
cuenta la siguiente expresión: 5푥 − 6 = 5푥 + 3 se puede observar que nunca
puede obtenerse el mismo número si se resta que si se suma tres a 5푥, para
cualquier valor de 푥 se obtendrá una igualdad falsa. Esta expresión no
cumpliría con la definición planteada anteriormente, de ecuación como igualdad
con una incógnita a descifrar, pero no deja de ser una ecuación. En este caso
estaríamos hablando de una ecuación en la que el conjunto solución es vacío.
Del mismo modo, si consideramos 5푥 − 6 = 5푥 − 3 − 3, las expresiones que
aparecen en ambos miembros son equivalentes, por lo tanto el conjunto
solución de esta ecuación son todos los números. Por lo expuesto se podría
afirmar que no es posible hablar siempre de una igualdad cuando interviene
una incógnita. Dado que las ecuaciones se convierten en igualdades

6. La potencia del álgebra 2014
verdaderas o falsas una vez que la variable es reemplazada por números. Por
otro lado, se podría decir entonces, que lo que se hace es transformar las
ecuaciones de modo tal que mantengan el mismo conjunto solución y que de
este modo se facilita la lectura de la solución.
“Para lograr un buen desempeño con las ecuaciones, los alumnos deberán
aprender que en las mismas, el signo igual representa una condición sobre un
cierto dominio.” 3
En cuanto a la resolución de ecuaciones habitualmente se basa en el pasaje de
términos o través de la propiedad uniforme y para lograr el dominio de la
técnica se suelen proponer varias ecuaciones similares. En otros casos se
plantean ecuaciones como esta: 푥 + 32 − 16: 22 = 8100: 100 + 50 en las que
la complicación radica en cuestiones aritméticas y en la resolución de
ecuaciones, ya que si se resuelven todos los cálculos indicados la ecuación a
resolver sería la siguiente: 푥 + 5 = 10
“De este modo, separada de un elemental principio de necesidad, la nueva
herramienta aparece como una complicación innecesaria. Su sentido no puede
llegar a ser construido por los alumnos principiantes que se atienen a
memorizar las reglas que permiten “despejar la x”.”4
También se podría agregar que no siempre es necesario llegar a la expresión
푥 = 퐴 para resolver una ecuación, ya que si pensamos que resolver una
ecuación significa encontrar, si existen, el o los valores de la variable que
hacen verdadera la igualdad. En el ejemplo planteado resulta fácil determinar
que en 5푥 = 20 la solución es 4. Con esto no se intenta decir que no es
necesario llegar al último paso, si no que plantear un debate de este estilo
puede ser fructífero, con el objetivo final de poner en discusión que significa
resolver una ecuación y que hacemos para resolverla.
3 Sadovsky, Patricia. Condiciones didácticas para un espacio de articulación entre prácticas aritméticas y
prácticas algebraicas. Tesis de doctorado, Facultad de filosofía y letras. UBA. P 38
4 Sessa, Carmen. Iniciación al estudio didáctico del álgebra. El zorzal. PP. 2
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7. La potencia del álgebra 2014
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ENSEÑANZA Y APRENDIZAJE DE ECUACIONES
Se pueden citar algunas paradojas en torno a la enseñanza y el aprendizaje de
las ecuaciones: a veces por tratarse de una herramienta nueva se les suelen
proponer ecuaciones demasiado sencillas que pueden resolver utilizando
herramientas que ya disponen de la aritmética y esto se contradice el regular
funcionamiento de las clases que en general son del modo: “si estamos viendo
ecuaciones para resolver una actividad que se plantea se deben utilizar
ecuaciones.” Es por ello que: “muchos alumnos primero resuelven
aritméticamente y luego lo traducen a ecuación, porque esto último es lo que el
profesor quiere.”5 Para evitar esto se le podrían proponer antes problemas que
les muestren las limitaciones de las resoluciones aritméticas y las ventajas de
las algebraicas. Por ejemplo: se podría utilizar el problema que propone Arcavi
en su texto el Problema de los Cuadrados Mágicos
En estos cuadrados mágicos, la suma de todas las filas, columnas y diagonales
debe ser la misma. Los casilleros deben completarse con números enteros y
ellos pueden repetirse. Las consignas son las siguientes
a) Completar los casilleros vacíos para obtener un cuadrado mágico con la
suma de 9.
3
2
1
b) Completar el siguiente cuadrado mágico para el cual la suma es 8.
4
2 2
5 Sessa, Carmen. Iniciación al estudio didáctico del álgebra. El zorzal. PP. 2

8. La potencia del álgebra 2014
c) ¿Siempre es posible completar el cuadrado mágico? Explique por qué.
La resolución de este problema se puede iniciar sin grandes problemas, dado
que se cuenta con los datos suficientes para poder llenar todos los casilleros de
los dos primeros cuadros.
El problema surge al intentar completar el último cuadrado, los casilleros
tienen que dar el mismo resultado sin importar desde dónde se los mire y esto
no es posible. El problema radica justamente aquí, en justificar o encontrar las
razones por las cuales no se puede completar este cuadrado y porque los
anteriores sí. A partir de aquí se espera que comience un proceso de revisión
de lo ya resuelto intentando analizar cuáles pudieron haber sido las causas que
posibilitaron el llenado o no del cuadrado mágico. Es probable que los alumnos
formulen hipótesis y traten mediante ejemplos demostrar lo pedido. Luego de
varios intentos se espera que se den cuenta de que la exploración numérica no
es la más adecuada y aunque se encuentre un ejemplo que “verifique” la
hipótesis planteada, nada puede asegurar que sea válida siempre. Este
problema se podría utilizar para mostrar el límite de lo numérico, puesto que
muestra la insuficiencia de mirar los ejemplos dados para buscar qué hay de
general en ellos y al mismo tiempo brinda un contexto para el uso de letras.
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9. La potencia del álgebra 2014
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BIBLIOGRAFÍA
ARCAVI, A. Symbol sense: “Informal sense-making in Formal Mathematics"
aparecido en la revista For the Learning of Mathematics, 1994.P 6
SADOVSKY, PATRICIA. “Condiciones didácticas para un espacio de
articulación entre prácticas aritméticas y prácticas algebraicas.” Tesis de
doctorado, Facultad de filosofía y letras. UBA. P 36
SESSA, CARMEN. “Iniciación al estudio didáctico del álgebra.” El zorzal. PP. 2
http://www.slideshare.net/alejandritro/el-algebra-12236177?related=1
http://www.slideshare.net/alejandritro/el-algebra-12236177?related=1