Este documento presenta la asignatura de Matemáticas Especiales, la cual cubre temas de números complejos, cálculo diferencial e integral en variables complejas, y series de Fourier. El objetivo es utilizar estas herramientas matemáticas avanzadas en problemas de ingeniería. La asignatura desarrolla competencias numéricas, operacionales y funcionales a través de exposiciones teóricas, ejercicios y proyectos. La evaluación consta de tres pruebas parciales y un examen final.

1. INGENIERÍA EN CONTROL Y AUTOMATIZACIÓN INDUSTRIAL
Asignatura:
MATEMATICAS ESPECIALES
Semestre: 5 Código:
No. de Créditos: 3
Horas Trabajo Aula:
48 h/semest re
Horas Trabajo
Independien t e:
96 h/semest re
Presentación o justificación de la asignatu ra
La asignatura MATEMÁTICAS ESPECIALES comprende básicamente dos tópicos principales; uno
proporciona el manejo formal del sistema de los números complejos, el calculo diferencial e
integral en variable compleja, herramientas fundamentales en los campos de la ingeniería. El
otro retoma aspectos centrales del análisis de Fourier el cual se ha convertido hoy dia en un
instrumento indispensable en el tratamiento de casi toda cuestión de física moderna, análisis de
señales, teoría de comunicación, análisis de circuitos, electrónica digital, etc.
Competencias que desarrolla
Numérica. Los estudiantes utilizan el concepto de número complejo.
Operacional . Los estudiantes utilizan las operaciones matemáticas y las relaciones entre
ellas para entender la matemática:
utilizando técnicas apropiadas incluyendo aplicaciones gráficas para hacer operaciones de
numeros complejo
elevando los números complejos a exponentes racionales y complejos efectuando todo
tipo de operación sobre números complejos.
combinando funciones utilizando la operaciones básicas y la composición de
funciones.complejas
Reresentacion representando gráficamente la suma y la diferencia de dos números
complejos.
modelando y resolviendo problemas que involucran al valor absoluto,
determinando los efectos de cambiar parámetros de las gráficas de funciones.
utilizando funciones polinomiales, racionales, trigonométricas y exponenciales para
modelar relaciones cotidianas.
Funcional. Analiza funciones diferenciando parte real y parte imaginaria, Utiliza
transformaciones usando funciones exponenciales.
Tecnológica. Los estudiantes utilizan la tecnología para resolver problemas en el contexto
matemático, conociendo y manejando herramientas de software general (Maple).
Objetivo General
Utilizar correctamente las matemáticas avanzadas como los axiomas de campo de los números
complejos, el teorema del resto para la integral compleja y el desarrollo en series de Fourier
de problemas relacionados con la ingeniería.
Objetivos Específicos

2. Identificar los números complejos y su álgebra .
Aplicar los limites, continuidad y derivadas de funciones analíticas .
Aplicar el teorema de Cauchy y del resto en la integración compleja .
Desarrollar las series de potencias de funciones especiales .
Comprender y aplicar las series de Fourier .
Metodología
Se hará exposición de los conceptos fundamentales a nivel teórico, la aplicación de dichos
conceptos se realizara mediante ejercicios desarrollados en clase, en grupo o individualmente,
se asignaran pequeños trabajos de investigación para sustentarlos en clase por los
estudiantes , se harán talleres en clase para reforzar los conceptos básicos por unidad.
Evaluación
Durante el semestre se efectuarán tres evaluaciones conjuntas, las cuales aportan el 70 % de
la nota definitiva y un examen final conjunto con valor de 30 %.
Cada calificación parcial corresponde a evaluaciones individuales, tareas, exposiciones, talleres
y laboratorios realizados durante el semestre.
Planeador de la asignatu ra por Contenido
Contenido Temático Logro esperado Fecha
1. TEMAS: NÚMEROS
COMPLEJOS
Definición: Números
complejos
Propiedades
Representación Geométrica
(rectangular y polar)
Operaciones Aritméticas
Propiedades de las
operaciones
Números complejos
conjugados
Realizar operacions con números
complejos, suma, resta, multiplicación y
división. Comprender y reconocer
algunos tipos de curvas, regiones y
funciones, y sus representaciones
mediante ecuaciones y desigualdades.
Julio 31 a Agosto 5
2. Teorema de Moivre
Raíces (raíz n -ésima de z)
Números complejos
conjugados
Hallar potencias y raíces de números
complejos en forma polar.
Agosto 7
A
Agosto 12
3. Funciones parte real y
parte imaginaria
Limites, continuidad
Descomponer una función en su perte
real y parte imaginaria. Hallar límites y
determinar dónde una función es
continua.
Agosto 14
A
Agosto 19
4 y derivadas, reglas para
diferenciar . Funciones
analíticas. Ecuaciones de
Cauchy – Riemann
Derivar sumas, productos y
composiciones de funciones. Aplicar las
ecuaciones de Cauchy- Riemann para
determinar si una función es analítica o
no. Hallar la derivada usando las E.C.R.
Agosto 21
A
Agosto 26
5. Funciones exponenciales y
logarítmicas complejas
Definir y reconocer las funciones
elementales: Exponenciales y
Agosto 28
A

3. Ejercicios logarítmicas. Resolver ecuaciones que
incluyen estas funciones y sus inversas.
Reconocer el dominio de analiticidad de
dichas funciones.
Septiembre 2
PRIMER PARCIAL Septiembre 1
6. Funciones trigonometricas
e hiperbólicas complejas
Definir funciones trigonométricas e
hiperbólicas complejas, manejar
identidades que permiten resolver
ecuaciones con dichas funciones.
Septiembre 4
Septiembre 9
7. Integración compleja
Integración de línea del plano
complejo.
Teorema de Cauchy-Goursat
Extender los resultados del cálculo
multivariado a funciones de una variable
compleja. Parametrizar curvas en el
plano complejo e integrar sobre ellas.
Aplicar correctamente el teorema de
Cauchy-Goursat.
Septiembre 11
Septiembre 16
Formula integral de Cauchy.
Teorema Fundamental del
álgebra, de Liouville, de
Morera y del Módulo
Máximo.
Aplicar la fórmula integral de Cauchy
para evaluar integrales complejas.
Septiembre 18
Septiembre 23
Sucesiones y Series
complejas.
Series de potencias.
Determinar la convergencia o
divergencia de sucesiones numéricas y
de series infinitas. Representar las
funciones elementales por medio de
series. Determinar el radio y el círculo
de convergencia de una serie.
Octubre
2
Octubre
7
SEGUNDO PARCIAL Octubre 6
Series de Taylor y de
Laurent.
Representar las funciones elementales
por medio de series de Taylor y de
Laurent.
Octubre
9
Octubre
14
Polos y singularidades.
Teorema del Residuo.
Cálculo de algunas integrales
reales.
Determinar los puntos singulares de una
función usando su representación en
series de potencias. Clasificar las
singularidades de una función. Resolver
algunas integrales usando el teorema del
residuo.
Octubre
16
Octubre
21
Series de Fourier real y
compleja. Funciones
periódicas par e impar.
Determinación de los
coeficientes de Fourier
mediante diferenciación.
Calcular la serie de Fourier de una
función. Determinar los coeficientes de
Fourier por medio de la derivada.
Octubre
23
Octubre
28
Convergencia, derivación e
integración de Series de
Fourier.
Determinar la convergencia de una serie
de Fourier
Octubre
30
Noviembre
4
TERCER PARCIAL Noviembre 3
Integral de Fourier real y
compleja.
Desarrollar una función por medio de
una integral de Fourier compleja.
Noviembre
7
Noviembre
11
Transformada de Fourier. Determinar la transformada de Fourier Noviembre

4. Propiedades. Transformada
inversa.
de una función y la transformada
inversa.
14
Noviembre
18
8. Transformada de Fourier
de algunas señales sencillas
Aplicar la teoría de Fourier en problemas
que involucran señales.
Noviembre
20
Noviembre
25
EXAMEN FINAL Diciembre 1°
Fuentes de Información o referentes (digitales e impresos)
Texto Guía
• Variable Compleja con Aplicaciones, Churchill, Editorial Mc Graw-Hill
Textos Complementarios
Variable compleja con aplicaciones , William Derrick , Grupo editorial Iberoamerica .
Variable compleja con aplicaciones , Wunsch , Adisson Wesley
Matemáticas avanzadas para ingeniería , Erwin Kreyzyg , Editorial Limusa
Señales y sistemas modelos y comportamiento , Ml Meadle y C.R. Dilon , Editorial Adisson
Wesley Iberoamericana Segunda Edición 1993
Análisis de Fourier , Hwei P. Hsu
Revistas
• Revista de Matematicas; Sociedad Colombiana de Matematicas.
• www.emis.de/journals/RCM/index.html
Direcciones de Internet
www.guiamath.sytes.net
HISTORIA DE MATEMATICOS FAMOSOS - http://www.mat.usach.cl/histmat/html/indice.html
HISTORIA DEL CÁLCULO - DEL ABACO AL LOGARITMO -
http://www.matematicas.profes.net/archivo2.asp?id_contenido=6987
LA HISTORIA DE LAS MATEMATICAS DE LAS DIFERENTES CIVILIZACIONES -
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/indice.htm
LA TEORIA DE LOS CUATRO COLORES -
http://www.um.es/docencia/pherrero/mathis/colores/4colores.htm NOTAS HISTORICAS SOBRE
EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL -
http://kolmogorov.cmat.edu.uy/~mordecki/courses/calculo1/notash.html