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Matemática
secundaria
Día a día
en El aula 3
Proyecto Crecemos juntos
Programación de las unidades

Recursos complementarios
para el trabajo
en el aula

Atención
a la diversidad:
refuerzo, ampliación, adaptación
curricular, multiculturalidad
Programas especiales:
lectura, nuevas Tecnologías,
investigaciones
Evaluación

En esta unidad se tratan temas de la lógica proposicional, relacionados con los métodos de razonamiento, suministrando
reglas y técnicas que permiten decidir si una argumentación o una deducción es correcta o no.
Por otro lado, con el tratamiento de los número reales se busca que el estudiante pueda resolver situaciones problemáticas a
partir del reconocimiento de los números en sus diferentes presentaciones (fracciones, números enteros, decimales, notación
científica, etc.).
La presente unidad, en su parte final, profundiza el desarrollo de temas relacionados con las potencias, las raíces, y el
proceso de racionalización.
Lógica. Números reales
1
Lógica, enunciado y proposición Números racionales (I
Q)
Números irracionales (II)
Proposiciones simples
y compuestas
Conectivos lógicos
y tablas de valores
Evaluación de fórmulas lógicas
Lógica proposicional
Números Reales (IR)
Potenciación y radicación
Radicales. Operaciones
Potencias y raíces
Racionalización de radicales
Números reales
Permiten desarrollar habilidades y destrezas matemáticas útiles
para afrontar situaciones de contexto real.
Razonamiento
matemático:
Cuatro
operaciones
Actividades
integradas, de
BI y prueba
tipo PISA
Ficha de
orientación
didáctica:
Taller
matemático
Estrategia
para resolver
problemas:
Usar
integramas en
problemas de
razonamiento
lógico
Síntesis,
recursos
en la web y
autoevaluación
Uso de
software
matemático:
Geogebra
Solucionario
de las
actividades
Competencias Desempeños Conocimientos Capacidades Desempeños precisados
Resuelve
problemas de
cantidad
• Traduce relaciones entre
cantidades a expresiones
numéricas con números
racionales y sus operaciones.
Comprueba si dicha
expresión reproduce todas las
condiciones de la situación.
• Expresa el significado de los
racionales como decimales
periódicos, las operaciones con
racionales y sus propiedades.
• Selecciona, emplea y combina
estrategias y propiedades de
las operaciones con números
racionales para simplificar,
calcular o estimar el resultado
de operaciones
• Plantea y compara afirmaciones
sobre: relaciones entre
las propiedades de las
operaciones con números
racionales
• Números
racionales (I
Q)
• Números
irracionales (II)
• Números Reales
(IR)
• Potenciación y
radicación
• Radicales.
Operaciones
• Racionalización
de radicales
Traduce
cantidades a
expresiones
numéricas
• Plantea situaciones cotidianas recurriendo a las operaciones con números reales.
• Contrasta planteamientos de situaciones que se relacionan con las operaciones en IR.
Comunica su
comprensión sobre
los números y las
operaciones
• Identifica y clasifica los números racionales y reales ubicándolos en el conjunto correspondiente.
• Expresa intervalos en su representación geométrica, simbólica y conjuntista.
• Aplica procedimientos de la potenciación al simplificar expresiones numéricas y algebraicas.
• Identifica el factor racionalizador o la conjugada del denominador al racionalizar expresiones.
Usa estrategias y
procedimientos
de estimación y
cálculo
• Resuelve problemas que demandan el uso de operaciones con números reales.
• Aplica procedimientos para resolver problemas que requieren comparar y ordenar en IR.
• Resuelve problemas que requieren el cálculo de operaciones y propiedades con números reales.
• Aplica estrategias operativas para resolver situaciones de contexto matemático utilizando radicales.
• Transforma radicales en otros equivalentes eliminando las raíces del denominador.
Argumenta
afirmaciones
sobre las relaciones
numéricas y las
operaciones
• Analiza los procedimientos matemáticos para representar números racionales.
• Comprende el conjunto de los números reales estableciendo relaciones entre los conjuntos de los
números racionales e irracionales.
• Establece relaciones entre los datos para codiﬁcar y decodiﬁcar intervalo.
• Analiza y resuelve situaciones de contexto matemático que involucran la racionalización.
Resuelve
problemas de
regularidad,
equivalencia y
cambio
• Expresa, interpreta y explica
en el contexto de la situación,
usando lenguaje algebraico y
haciendo uso de conexiones
entre representaciones
gráficas, tabulares y
simbólicas.
• Lógica,
enunciado y
proposición
• Proposiciones
simples y
compuestas
• Conectivos
lógicos y tablas
de valores
• Evaluación de
fórmulas lógicas
Traduce datos
y condiciones
a expresiones
algebraicas
• Reconoce relaciones explícitas en el lenguaje común y lo convierte en símbolos.
• Traduce proposiciones en lenguaje formal y simbólico, identificándolas como tautológicas,
contradictorias o contingentes.
Comunica su
comprensión sobre
las relaciones
algebraicas
• Formula enunciados y proposiciones resaltando sus características.
• Diferencia una proposición simple de una compuesta.
• Interpreta y expresa verbalmente formalizaciones lógicas.
• Traduce proposiciones para representarlas simbólicamente.
Usa estrategias y
procedimientos
para encontrar
reglas generales
• Determina el valor de verdad de fórmulas lógicas.
• Resuelve problemas que implican evaluar fórmulas lógicas en tablas de verdad.
• Selecciona estrategias para resolver problemas que involucran organizar los datos en un integrama.
Argumenta
afirmaciones
sobre relaciones
de cambio y
equivalencia
• Diferencia e identifica enunciados y proposiciones.
• Determina el valor de verdad de proposiciones a partir del valor de una fórmula lógica.
• Evalúa fórmulas lógicas usando tablas de verdad.
• Deduce los datos de un problema a partir de otros ya conocidos.
Texto escolar y Libro de actividades Tiempo estimado: 4 semanas
Solo Texto escolar Solo Libro de actividades
ESQUEMA
PRESENTACIÓN PROGRAMACIÓN
RECURSOS
Santillana Digital
Secuencia digital: Números reales
Para empezar
Breve introducción al tema
¿Qué aprenderé?
Aprendizajes y habilidades que logrará el estudiante
Compruebo lo que sé
Actividad interactiva: Saberes previos sobre números
reales
Una situación por resolver
Actividad interactiva: Situación significativa sobre
números reales
El entrenamiento
Animación: Información sobre operaciones con
números decimales
Calculo el valor exacto de una expresión numérica
Video: Procedimiento para calcular el valor numérico
de una expresión
Sala de operaciones
Animación: Información sobre las propiedades de la
potenciación
La profecía
Animación: Información sobre las potencias
Refuerzo mis conocimientos
Actividad interactiva: Se da respuesta a la situación
planteada inicialmente
Aplicamos lo aprendido
Actividad interactiva: Aplicación de las operaciones con
números reales en una situación cotidiana
Compruebo lo que aprendí
Actividad interactiva: Evaluación interactiva
Para finalizar
Actividad interactiva: Actividades de metacognición
LibroMedia
Texto escolar Libro de actividades
Biblioteca del docente
• Día a día en el aula (págs. 34-79)
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S.
A.
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su
reproducción.
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TEXTO ESCOLAR
1 Lógica. Números reales
Buscamos en la web
Digita en algún buscador (Edge, Firefox, Chrome,
etc.) lo siguiente:
bicicleta + salud + infografías
Luego, haz clic en Imágenes. Así obtendrás
más información sobre los beneficios del uso
de la bicicleta como medio de transporte.
APLICA LA CIENCIA
Manejar bicicleta, un beneficio saludable
que evita la contaminación
El uso de bicicletas como medio de transporte es
una excelente opción, ya que contribuye al cuidado
de la salud: nos ayuda a quemar calorías, a mejorar
el ritmo de nuestra presión arterial y a estimular
la función pulmonar. Por otro lado, contribuye,
también, a reducir la contaminación ocasionada
por los vehículos motorizados.
Analicemos el caso de un ciclista que maneja una
bicicleta a una determinada velocidad constante.
¿Es posible saber qué distancia se desplazará en
un tiempo determinado? Si se conoce el diámetro
de las ruedas de una bicicleta, ¿se podrá saber
cuántas vueltas darán al recorrer una distancia
establecida?
• Supón que un joven se traslada en bicicleta
desde su casa a su centro de estudios a
una velocidad constante de 16 km/h. Si tarda
15 minutos, ¿a qué distancia de su casa está
su centro de estudios?
• Reúnete en equipo y estima con tus compañeros
la distancia de sus respectivas viviendas a su
centro de estudios (1 cuadra ≈ 100 metros) y
calculen el tiempo aproximado que tardarían
en llegar en bicicleta a una velocidad constante
de 20 segundos por cada cuadra.
4 km
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Prohibido
fotocopiar.
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APRENDEREMOS A…
• Argumentar con la ayuda de la lógica
proposicional.
• Usar tablas de valores y evaluar fórmulas lógicas.
• Resolver problemas utilizando las operaciones
con números reales.
• Resolver operaciones con radicales semejantes
y homogéneos.
• Racionalizar fracciones con denominadores
irracionales.
• Mostrar rigurosidad en el desarrollo de los
procesos.
REPASAMOS LO QUE SABEMOS
Indica si los siguientes enunciados son
proposiciones o no lo son.
1 Juan maneja bicicleta. 2 Pilar es deportista.
3 x + 1 es un número par. 4 59 = 2x + 1
Calcula.
5 0,͡3
3 + 1,0͡3 6 (1 + 1
__
2)÷ (1 − 1
__
2)
Redondea los números al milésimo.
7 0,17318 8 23,0788 9 6,2͡74
Reduce a la mínima expresión.
10 43
∙ 823 11
3
√
_____
√
___
712
12 ( 1
__
13)
−2
13
3
√
___
12 ·
3
√
___
10
Sí Sí
No
3
275
169
0,173 23,079 6,275
49
2
3
√
___
15
41
___
30
No
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Prohibido
fotocopiar.
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UNIDAD 1 Lógica. Números reales
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1 Lógica. Números reales
Criticidad
¿De qué manera
afrontas retos o tareas
que te demandan
emplear nuevos
conceptos?
VALORES Y
ACTITUDES
La pantalla del televisor de Iván mide 59,9 cm de altura y 106,2 cm de largo. Si la
medida de la pantalla, expresada en pulgadas, se determina por la longitud de su
diagonal, ¿de cuántas pulgadas es la pantalla del televisor de Iván? (1 pul = 2,54 cm)
APRENDEREMOS A...
• Argumentar con la ayuda de la lógica proposicional.
• Usar tablas de valores y evaluar fórmulas lógicas.
• Resolver problemas utilizando las operaciones con números reales.
• Resolver operaciones con radicales semejantes y homogéneos.
• Racionalizar fracciones con denominadores irracionales.
48 pulgadas
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Capacidades y desempeños precisados
Comunica
• Aplica procedimientos de la potenciación y radicación al simplificar
expresiones numéricas. (10-13)
Usa
estrategias y
procedimientos
• Resuelve problemas que demandan el uso de operaciones con
números reales. (5-6)
• Aproxima números decimales al milésimo. (7-9)
Argumenta
afirmaciones
• Identifica enunciados que son proposiciones. (1-4)
Sugerencias didácticas
Para iniciar
Solicite que lean la situación inicial. Pregunte: ¿Qué figura forman la diagonal, la
altura y el largo de la pantalla? (Un triángulo rectángulo). ¿Qué teorema se debe
aplicar para determinar la medida de la diagonal? (El teorema de Pitágoras).
¿Qué operaciones deben realizar? (Adición, potenciación y radicación). ¿Les
resulta sencillo hallar el valor de la raíz cuadrada del número obtenido? ¿Por
qué? Motive a usar la calculadora para obtener la raíz del número decimal y
solicite que aproximen el resultado al centésimo. Pregunte: ¿A qué conjunto
pertenecen los números obtenidos en el proceso?
Para desarrollar
Pida que observen la imagen de la apertura y pregunte: ¿Qué acción se
realiza? ¿Por dónde circula la bicicleta? Comente sobre el uso adecuado de
las ciclovías y de las normas que debe cumplir un ciclista. Pregunte: ¿Qué
datos se necesitan para determinar la distancia recorrida y qué operación se
debe realizar? (Multiplicar la velocidad y el tiempo)
Recuérdeles que es necesario trabajar con unidades homogéneas. Por
ejemplo: Si la velocidad se encuentra en kilómetros por hora, y el tiempo, en
minutos (como en la primera actividad de “Aplica la ciencia”), ¿qué debemos
hacer? (Convertir minutos a horas o viceversa). Indique que algunas
conversiones se pueden realizar mentalmente asociando las cantidades a
fracciones. Pregunte: ¿Qué fracción de hora equivale a 30 minutos? ¿Y a 15
minutos? (1/2; 1/4).
Para consolidar
Invite a un representante de cada equipo para que comparta sus procesos
y dificultades si las hubiera. A continuación, proponga la siguiente situación:
Fátima recorre en bicicleta 1920 metros en 8 minutos. Si lo hace a una
velocidad constante, ¿cuál es dicha velocidad? (4 m/s).
Motive a realizar la actividad sugerida en “Buscamos en la web” para que
conozcan los beneficios de manejar bicicleta. Luego, pídales que elaboren
una infografía con los datos obtenidos.
Texto escolar (pág. 5) Libro de actividades (págs. 8-9)
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Unidad
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Santillana
S.
A.
Prohibida
su
reproducción.
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LIBRO DE ACTIVIDADES

TEXTO ESCOLAR
Enunciado y proposición
Un enunciado es toda frase u oración. Por ejemplo:
• ¿Cuánto cuesta el libro? • Lima es la capital del Perú.
• ¡Qué alegría! • Ojalá salga sorteado
• Prohibido fumar • ¿Irás a la fiesta?
Una proposición es un enunciado declarativo que afirma o niega algo y tiene la propiedad
de poder ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambos a la vez. Los demás tipos de enunciados
se consideran no proposicionales. Por ejemplo:
• Lima es la capital del Perú. ► Proposición verdadera
• El Lanzón monolítico se encuentra en Ica. ► Proposición falsa
Proposiciones simples y compuestas
Las proposiciones simples o atómicas son aquellas que tienen un solo sujeto y un solo
predicado. Se denotan por las letras p, q, r, s, ..., a las que se les denomina variables
proposicionales. Por ejemplo:
• p: César Vallejo nació en Huamachuco.
• q: El cuadrado es un polígono.
• r: Londres es una ciudad de Alemania.
• s: 40 − 18 = 99
Las proposiciones compuestas o moleculares son aquellas que comprenden dos o más
proposiciones simples unidas mediante conectivos o conectores. Por ejemplo:
• César Vallejo nació en Santiago de Chuco y es autor de “Trilce”.
• El cuadrado es un polígono o cuadrilátero.
• Si el cuadrado es un cuadrilátero, entonces es un polígono.
• Un número es compuesto si y solo si tiene más de dos divisores.
También se considera proposición compuesta a la negación de una proposición simple.
Por ejemplo: No es cierto que Arequipa sea una región de la selva.
Observamos que las proposiciones simples están ligadas por los conectivos lógicos:
y, o, si... entonces, si y solo si, no, pero, etc.
La lógica es la ciencia del razonamiento; por ello, constituye una herramienta
eficaz para comprobar si las proposiciones que se formulan son confiables o
no. Un discurso comprende un conjunto de proposiciones que sostienen una
posición ante un hecho.
DESARROLLA TUS CAPACIDADES
Identifica aquellos enunciados que son
proposiciones y determina su valor de verdad.
1 6 es divisible por 9. 2 ¿Dónde vives?
3 Sé honrado. 4 x + 1 9
5 n es una consonante. 6 Japón es un país.
Determina si las siguientes proposiciones son
simples o compuestas.
7 Fernando Belaunde es un expresidente peruano.
8 Melisa estudia y trabaja.
9 Si César es tacneño, entonces es peruano.
Comunica: 1-9
L
i
b
r
o
de activ
i
d
a
d
e
s
Págs. 10-13
Un enunciado abierto es
aquel que tiene una o
más variables. Su valor de
verdad depende de los
valores que tomen sus
variables. Por ejemplo:
El enunciado x2
+ 1 = 10 es
verdadero si x = 3 y es falso
si x = 8.
TEN EN CUENTA
Sí No
No No
Sí Sí
Simple
Compuesta
Compuesta
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LÓGICA PROPOSICIONAL
1
Lógica: enunciado y proposición
Clasifica los siguientes enunciados como E (no proposicionales),
P (proposiciones) o EA (enunciados abiertos).
• ¡Hace calor! ► E • ∀ x ∈ IR − {0}, 2x 0 ► P
• a + b = 17 ► EA • Toma tu remedio. ► E
Una proposición es un enunciado declarativo que afirma o niega algo y tiene
la propiedad de poder ser verdadero (V) o falso (F), pero no ambos a la vez. Los demás
tipos de enunciados se consideran no proposicionales.
Un enunciado abierto es aquel que tiene una o más variables. Su valor de verdad
depende de los valores que tomen sus variables.
EJEMPLO 1
Hay enunciados que
parecen proposiciones,
pero que no lo son
porque no tienen sentido
o porque no se puede
determinar su valor de
verdad.
Ejemplos:
– Los números primos
son graciosos.
– Esta oración es falsa.
TEN EN CUENTA
La lógica es la ciencia del razonamiento. Es una herramienta sumamente confiable para
comprobar si los razonamientos son válidos o no lo son.
Un enunciado es toda frase u oración. Por ejemplo:
• La Luna es un satélite. ► Enunciado declarativo (afirmación)
• ¡Ojalá salga sorteado! ► Enunciado desiderativo (deseo)
• ¡Deja de fastidiar! ► Enunciado imperativo (orden, ruego o consejo)
• ¿Irás a la fiesta? ► Enunciado interrogativo (pregunta)
• Quizá vaya al paseo. ► Enunciado dubitativo (duda)
• Un triángulo tiene 3 lados. ► Proposición verdadera
• Cusco está al noreste del Perú. ► Proposición falsa
• El enunciado “2x – 1 = 7” es verdadero si x = 4 y es falso si x = 3.
• El enunciado “P descubrió América” es verdadero si P = Cristóbal Colón y es falso
si P = Francisco Pizarro.
Analiza los siguientes enunciados e identifica cuáles son proposiciones. Luego,
indica el valor de verdad de cada una de ellas.
a) Evite detenerse sobre el cruce peatonal.
No es una proposición porque se trata de un enunciado imperativo, pues da
una recomendación a los conductores.
b) Usar celulares mientras se conduce bicicleta disminuye la concentración.
Sí es una proposición porque se puede determinar su valor de verdad, que en
este caso es verdadero.
Propón cuatro enunciados relacionados con la educación vial, de los cuales dos
sean proposiciones. Luego, comparte tu trabajo con tus compañeros y evalúen
el valor de verdad de las proposiciones.
EJEMPLO 2
Ejerce tu ciudadanía
Delibera sobre asuntos
públicos. (Problematiza
sobre asuntos públicos a
partir del análisis crítico).
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Nombra cada enunciado como declarativo,
desiderativo, imperativo, interrogativo o dubitativo.
1 Juan es ingeniero. ▶ ________________
2 ¡Ojalá gane! ▶ ________________
3 √
__
2 = 1,4142… ▶ ________________
4 ¡Sal rápido! ▶ ________________
5 (a + b)2
= a2
+ b2
+ 2ab ▶ ________________
6 ¿Terminaste de estudiar? ▶ ________________
7 (x + y) (x + y) = x2
+ y2
▶ ________________
8 Es posible que viaje. ▶ ________________
9 ¡Mírame cuando te hablo! ▶ ________________
10 ¿Puedo salir? ▶ ________________
Clasifica los enunciados como P (proposiciones),
EA (enunciados abiertos), E (enunciados no
proposicionales) o S (enunciados sin sentido).
11 Los números irracionales. ( )
12 25 · 3 − 15 8 · 2 + 11 ( )
13 La sombra de tu sonrisa. ( )
14 Los palos son de madera. ( )
15 4 – n = 268 + n ( )
16 Fray Martín de Porres es un santo. ( )
17 Los jueces han estudiado leyes. ( )
18 ¿Podría ayudarme? ( )
19 ∀ x ∈ IR, x3
≥ 0 ( )
20 Las lágrimas de mi madre. ( )
21 El Manco de Lepanto. ( )
22 x 9 ( )
23 Francisco Pizarro era español. ( )
24 Juan sonríe dos kilos al día. ( )
25 … fue el que descubrió América ( )
26 ¡Ojalá me saque la lotería! ( )
27 23
+ 22
= 25
( )
28 2x + 1 = x + 7 ( )
29 Te aconsejo que no llegues tarde. ( )
30 1359 es un número múltiplo de 3. ( )
31 x2
+ 4x + 3 = –11 ( )
Escribe lo que se indica.
32 Dos proposiciones simples verdaderas.
33 Dos proposiciones simples falsas.
34 Dos enunciados abiertos.
Analiza cada enunciado y explica si se trata de una
proposición.
35 Fumar es dañino para la salud.
36 ¡Ojalá César Pérez sea elegido presidente!
37 Los ciudadanos mayores de 16 años tienen derecho
al voto.
COMPARTIMOS LA TAREA
38 Extrae todas las proposiciones existentes
en el siguiente texto:
Los girasoles se veían hermosos en el jardín de la
casa de mi abuela. De pronto se escuchó una voz:
Pasen a tomar el lonche.
Mi madre y yo nos dirigimos al comedor sin
pensarlo dos veces. Es que los lonches de mi
abuela siempre han sido ricos y saludables.
Justifica tu selección.
Comunica: 1-34 Argumenta afirmaciones: 35-38
Declarativo
Desiderativo
Declarativo
Imperativo
Declarativo
Interrogativo
Declarativo
Dubitativo
Imperativo
Interrogativo
E
EA
P
P
P
S
P
E
EA
E
P
EA
P
P
E
S
EA
P
E
EA
E
Respuesta modelo:
a) Madrid es la capital de España.
b) 16 ⋅ 5 − 20 = 60
Respuesta modelo:
a) La Luna es el satélite de Marte.
b) 24 ÷ 8 + 27 = 4 ⋅ 5
Respuesta modelo:
a) x + 11 = 36
b) 2x 88
35. Sí es una proposición porque puede evaluarse
su valor de verdad, que es verdadero.
36. No es una proposición, es un enunciado
desiderativo (expresa un deseo).
37. Sí es una proposición porque puede evaluarse
su valor de verdad, que es falso.
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Lógica. Enunciado y proposición
Comunica
• Formula enunciados y proposiciones resaltando sus
características. (1-9) (1-34)
Argumenta
afirmaciones
• Diferencia un enunciado de una proposición. (1-6; 35-38)
Para iniciar
Invite a los estudiantes a leer la información que se encuentra asociada con
la imagen. Pregunte: ¿Para qué se utiliza la lógica? (Para comprobar si los
razonamientos son confiables o no). ¿En qué situaciones podemos aplicar la
lógica? (En discursos, debates o presentaciones). Comente que es necesario
el análisis de las definiciones básicas de la lógica para su mejor comprensión.
Para desarrollar
Presente los siguientes enunciados: ¿Cuánto de nota obtuviste?; ¡Quisiera ir al
concierto!; ¡Ven inmediatamente!; Quizá apruebe el examen; El cuadrado es
un cuadrilátero. Pregunte: ¿Cómo se pueden clasificar los enunciados? (De
acuerdo con lo que expresan: preguntas, exclamaciones, órdenes, deseos,
afirmaciones). ¿Cuál de los enunciados emite una orden? ¿Cuál expresa un
deseo? ¿Qué enunciado emite una duda? ¿Cuál expresa una afirmación o
negación? ¿Cuál es una proposición? ¿Por qué?
A fin de reforzar la noción de proposición, invite a mencionar otros ejemplos
y a validarlos en forma conjunta. Pregunte: ¿Todo enunciado declarativo es
una proposición? (Sí). ¿El enunciado “Las ecuaciones son bonitas” es una
proposición? ¿Por qué?
Considere que los estudiantes pueden presentar dificultades para reconocer
los enunciados abiertos. Por ello, proponga una lista de enunciados y pídales
que identifiquen aquellos que son abiertos. Luego de leer el ejemplo 1,
solicite que desarrollen las actividades 11 a la 31 para que refuercen sus
conocimientos. Pregunte: ¿Cuántos enunciados no son proposiciones? (13).
¿Cuántos enunciados son abiertos? (5).
Motive a los estudiantes a desarrollar la actividad propuesta en “Compartimos
la tarea”. Oriéntelos a través de las siguientes preguntas: ¿Existe un enunciado
imperativo? ¿Cuál? (Sí, “Pasen a tomar el lonche”). “Los lonches de mi abuela
son ricos y saludables”, ¿es una proposición? (Sí). Pídales que compartan sus
respuestas y justificaciones.
Para consolidar
Anime a los estudiantes a elaborar un organizador gráfico sobre el tema
trabajado. Pídales que incluyan ejemplos y ejercicios diferentes a los
planteados en clase.
Indíqueles que recorten una noticia e identifiquen las proposiciones y los
tipos de enunciados estudiados en clase.
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Unidad
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Prohibida
su
reproducción.
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reproducción.
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COMUNICA
Formula de manera
literal una proposición
compuesta que
corresponda a la
representación simbólica
(p ∧ q) → (r ∨ s).
2
Las proposiciones simples o atómicas son aquellas que tienen un solo sujeto y un solo
predicado. Se denotan por las letras p, q, r, s, …, a las que se les denomina variables
proposicionales. Por ejemplo:
p: Matías es dibujante. q: La palta es una fruta.
r: 15 ⋅ 20 + 13 = 313 s: 17 es un número compuesto.
Las proposiciones compuestas o moleculares son aquellas que comprenden dos o más
proposiciones simples unidas mediante conectivos o conectores. También se considera
proposición compuesta a la negación de una proposición simple.
Existen otras formas de referirse a los conectivos. Por ejemplo:
y: aunque, pero, sin embargo, además, no obstante, también, pues, etc.
O… o…: o bien… o bien…, a no ser que, excepto que.
Si… , entonces…: por consiguiente, en consecuencia, de ahí que, en vista que, dado que, etc.
… si y solo si…: cuando y solo cuando, entonces y solo entonces.
No: no es cierto que, es falso que, es imposible que.
Simboliza las siguientes proposiciones compuestas:
• Sebastián canta y toca la guitarra. ► p ∧ q
• Sofía baila o está en la casa. ► p ∨ q
• O compro un libro de arte o uno de cocina. ► p _
∨ q
• Si una figura tiene cinco lados, entonces es un pentágono. ► p → q
• Fabricio irá a la fiesta si y solo si le dan permiso. ► p ↔ q
• No es cierto que Antonio tenga 300 soles. ► ~p
EJEMPLO 3
Simboliza la siguiente proposición:
Voy al colegio caminando o en bicicleta si y solo si salgo temprano de casa o
vivo cerca del colegio.
• Identificamos las proposiciones simples:
p: Voy al colegio caminando. q: Voy al colegio en bicicleta.
r: Salgo temprano de casa. s: Vivo cerca del colegio.
• El conectivo principal es el bicondicional.
• El primer disyuntivo es exclusivo (no se puede ir a un lugar de dos formas
diferentes al mismo tiempo), mientras que el segundo es inclusivo (las
condiciones de salir de casa temprano o de vivir cerca del colegio pueden
darse a la vez).
La simbolización es (p _
∨ q) ↔ (r ∨ s).
Simboliza la siguiente proposición: Si paso la Navidad en Colombia o en
Ecuador, entonces tengo ahorros en el banco y consigo un préstamo.
EJEMPLO 4
TEN EN CUENTA
Conectivo
lógico
Símbolo
Negación ~
Conjunción ∧
Disyunción
débil o
inclusiva
∨
Disyunción
fuerte o
exclusiva
_
∨
Condicional →
Bicondicional ↔
(p _
∨ q) → (r ∧ s)
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Comunica: 1-22
Identifica las proposiciones disyuntivas como
DI (inclusivas) o DE (exclusivas).
13 La solución de x2
= 9 puede ser 3 o –3. ( )
14 Leeré un libro o escucharé música. ( )
15 Álex vive en el segundo o tercer piso. ( )
Sean estas proposiciones:
p: 121 es un cuadrado perfecto.
q: 3
__
5
es una fracción irreductible.
Simboliza lo siguiente:
16 121 es un cuadrado perfecto; sin embargo,
3
__
5
no es una fracción irreductible. ___________
17 121 no es un cuadrado perfecto,
aunque 3
__
5
es una fracción irreductible. __________
18 No es verdad que 121 sea un cuadrado perfecto
y 3
__
5
no sea una fracción irreductible. ___________
Simboliza las siguientes proposiciones compuestas:
19 Euclides demostró la infinitud de los números
primos y también la irracionalidad de √
__
2.
20 Arreglaré el auto si y solo si me pagas por
adelantado y no me apuras en hacerlo.
Sean estas proposiciones:
p: Valeria cobra su sueldo.
q: Valeria compra un celular nuevo.
r: Valeria regala su celular viejo.
Simboliza lo siguiente:
21 Valeria compra un celular nuevo si regala su celular
viejo.
22 Si Valeria cobra su sueldo, entonces compra un
celular nuevo y regala el viejo.
Escribe S si la proposición es simple o C si es
compuesta.
1 José está en el techo. ( )
2 El tenedor era bonito, pero caro. ( )
3 Los turistas que ves son de Italia. ( )
4 Saltó porque corrió. ( )
5 ∀ n ∈ IN, 2n es un número par. ( )
Traduce al lenguaje cotidiano a partir de las
siguientes proposiciones simples:
p: 2 es un número primo. r: 3 es divisor de 15.
q: 5 es un número impar. s: 16 es múltiplo de 4.
6 p ∧ ~s 7 ~q ∨ ~p
8 p ↔ s 9 ~p ∧ ~r
Identifica las proposiciones simples y simbolízalas.
10 Luis no es deportista; sin embargo, Pedro sí lo es.
11 Si Antonio no baila, yo tampoco bailo.
12 a + b = c si y solo si c − b = a.
S
C
C
S
S
6. 2 es un número primo y 16 no es múltiplo de 4.
7. 5 no es un número impar o 2 no es un número
primo.
8. 2 es un número primo si y solo si 16
es múltiplo de 4.
9. 2 no es número primo y 3 no es un divisor de 15.
19. p: Euclides demostró la infinitud
de los números primos.
q: Euclides demostró la irracionalidad de √
__
2.
p ∧ q
20. p: Arreglaré el auto.
q: Me pagas por adelantado.
r: Me apuras en hacerlo.
p ↔ (q ∧ ~r)
DI
DI
DE
p ∧ ~q
~p ∧ q
~ (p ∧ ~q)
r → q
p → (q ∧ r)
10. p: Luis es deportista.
q: Pedro es deportista
~ p ∧ q
11. p: Antonio baila.
q: Yo bailo
~p → ~q
12. p: a + b = c
q: c – b = a.
p ↔ q
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Comunica
• Diferencia una proposición simple de una compuesta.
(7-9; 1-5)
• Simboliza proposiciones lógicas. (10-22)
• Interpreta y expresa verbalmente formalizaciones lógicas.
(6-9)
Para iniciar
A partir de la actividad propuesta en la clase anterior, referida a identificar
proposiciones y enunciados de un recorte periodístico, invite a los estudiantes a
mencionar las proposiciones encontradas y anote las que considere oportunas
para introducir el tema. Realice las siguientes preguntas: ¿Qué proposiciones
tienen un solo sujeto y predicado? (Libre). ¿Qué proposiciones están enlazadas
mediante conectivos gramaticales? (Libre). Para variar esta actividad, presente
las siguientes proposiciones y, luego, formule las mismas preguntas.
– Los peatones deben cruzar la calzada por los puentes peatonales o
cruces subterráneos.
– No usar audífonos cuando se conduce una bicicleta.
– El conductor y el pasajero de una motocicleta deben usar casco
protector autorizado.
– Si conducen varios ciclistas en grupo, entonces tienen que ir uno detrás
del otro.
– Los ciclistas pueden manejar de noche si y solo si llevan encendidas las
luces reglamentarias.
Para desarrollar
Indique a los estudiantes que denoten las proposiciones simples de la
actividad inicial. Pregunte: ¿Cuál es la diferencia entre una proposición simple
y una compuesta? (Las proposiciones compuestas contienen dos o más
proposiciones simples, las cuales se enlazan a partir de conectivos). A modo
de refuerzo, motívelos a desarrollar las actividades 1 a la 5.
Previamente a la lectura del ejemplo 3, pídales que identifiquen los conectivos
lógicos y sus símbolos correspondientes presentados en “Ten en cuenta”.
Hágales recordar que los conectivos gramaticales tienen su equivalente
conectivo lógico; asimismo, manifieste que las variables proposicionales
deben estar escritas en letras minúsculas. Forme parejas de estudiantes para
que simbolicen las proposiciones compuestas de la situación inicial. Luego,
sugiera proposiciones simples para que realicen la negación correspondiente
y las simbolicen. Pídales que compartan los procedimientos que han
realizado en las actividades 6 a la 9.
Comente que existe una gran variedad de palabras que se relacionan con
los conectivos lógicos, lo cual permite realizar variaciones en la redacción de
proposiciones. Por ejemplo:
Francisco es deportista y estudioso.
A la vez que Francisco es deportista, es estudioso.
Francisco es deportista, además es estudioso.
Pida a los estudiantes que elaboren una tabla donde relacionen los
conectivos lógicos con sus respectivos conectivos gramaticales incluyendo
los propuestos en el libro. Relacione lo aprendido con las actividades 10
a la 12. Además, invítelos a realizar variaciones en la redacción de las
proposiciones compuestas.
Aclare la diferencia entre disyunción inclusiva y exclusiva a partir de la
siguiente situación: Se sabe que para postular a un puesto de trabajo en
la empresa ABC, las personas deben saber inglés o francés. Explique a
los estudiantes que esto quiere decir que alguien que sabe inglés puede
postular a un puesto en esta empresa, alguien que sabe francés también y,
por supuesto, alguien que sabe tanto inglés como francés. Este es el caso
de disyunción débil o inclusiva, que incluye todas las opciones. En cambio,
en la disyunción fuerte o exclusiva, solo se considera una de las opciones.
Por ejemplo: O la puerta está abierta o cerrada. Pregunte: ¿Es posible que la
puerta esté abierta y cerrada al mismo tiempo? (No). Aclare que no pueden
ser posibles ambas opciones: o es una o es la otra. Invite a los estudiantes
a elaborar proposiciones compuestas que incluyan los conectivos ∨ y ∨
_ e
interpretar cada una de ellas. Motívelos a resolver las actividades 13 a la 15.
En las actividades 16 a la 18, tenga en cuenta que se está trabajando a partir
de dos proposiciones. En la actividad 18, hágales notar a los estudiantes
que, al no existir coma en la proposición, la primera negación incluye a las
dos proposiciones. Pregunte: ¿Qué conectivos lógicos son comunes en todas
las proposiciones compuestas? (La conjunción y la negación). ¿Qué enlaces
hacen referencia a una conjunción? (Los enlaces sin embargo, aunque, y).
¿Qué otros conectivos gramaticales se pueden emplear para la negación?
(Es falso que, es imposible que…). Invite a los estudiantes a realizar una
expresión verbal diferente a las presentadas en las actividades. Luego de
verificar la pertinencia de dichas expresiones, pida que las escriban en la
pizarra.
Organice un plenario y solicite la participación voluntaria para que expliquen
los procesos realizados en las actividades 19 a la 22. Realice previamente la
revisión de los ejercicios. Pregunte: ¿Cuál es el conectivo principal de cada
proposición? (Conjunción, bicondicional, condicional para las dos actividades
finales). A partir de la actividad 22, proponga otras simbolizaciones
cambiando los conectivos o el orden de los paréntesis para que realicen la
expresión verbal respectiva.
Para consolidar
Pida a los estudiantes que desarrollen las actividades 7 a la 9 de la página
6 y elaboren la simbolización de cada una de ellas. Luego, indíqueles que
intercambien sus cuadernos para que realicen la corrección.
Resalte la importancia de
realizar una secuencia de
pasos para la simbolización
de proposiciones
compuestas. Pregunte:
¿Qué procesos debemos
realizar para simbolizar una
proposición?
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Unidad
1
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reproducción.
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reproducción.
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Las proposiciones se articulan mediante palabras enlace que ayudan a
mejorar su comprensión. Dichas proposiciones pueden representarse
de manera simbólica a través de fórmulas lógicas, las cuales pueden
evaluarse según su valor de verdad.
Al observar los valores de la
columna principal, notamos
que una fórmula lógica
será:
Tautológica, si todos los
valores de verdad son
verdaderos.
Contradictoria, si todos
los valores de verdad son
falsos.
Contingente, si hay por lo
menos un valor verdadero
y uno falso.
TEN EN CUENTA
Conectivos y evaluación de fórmulas
L
i
b
r
o
de activ
i
d
a
d
e
s
Págs. 14-19
Los conectivos lógicos, llamados también operadores, son símbolos del lenguaje
convencional que reemplazan a los conectivos gramaticales y al adverbio de negación no.
Valores de verdad
El valor de verdad de una proposición compuesta depende de los valores de verdad
de las proposiciones que la componen.
La negación es un tipo de proposición compuesta que cambia el valor de verdad
de la proposición original.
Conjunción Disyunción
Disyunción
exclusiva
Condicional Bicondicional
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F
p q p ∨
_ q
V V F
V F V
F V V
F F F
p q p → q
V V V
V F F
F V V
F F V
p q p ↔ q
V V V
V F F
F V F
F F V
TEN EN CUENTA
Operación
lógica
Esquema
Negación ~p
Conjunción p ∧ q
Disyunción
inclusiva
p ∨ q
Disyunción
exclusiva
p ∨
_ q
Condicional p → q
Bicondicional p ↔ q
Simboliza las siguientes proposiciones:
1 El perro no es un mamífero y el pollo no es un ave.
2 El pentágono tiene 6 lados o 15 ÷ 5 = 3.
Evalúa las siguientes fórmulas lógicas.
3 (p → q) ∨ (r ∨ p)
4 ~{[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)}
Comunica: 1-2 Usa estrategias y procedimientos: 3-4
EJEMPLO 1
Evalúa la fórmula [(p → q) ∧ q] → p.
• Como la fórmula lógica tiene 2 variables, p y q, el número de combinaciones
posibles de los valores de verdad, V y F, es 22
= 4 combinaciones.
• Resolvemos la condicional en ①
según los valores de verdad de p y q.
• Resolvemos la conjunción en ②
según los valores de verdad de ① y q.
• Resolvemos la condicional en ③
según los valores de ② y p.
La fórmula lógica es contingente.
p q [(p → q) ∧ q)] → p
V V V V V V V
V F F F F V V
F V V V V F F
F F V F F V F
① ② ③
Columna principal
Tautológica
Contradictoria
p ∨ q
∼p ∧ ∼q
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3
Conectivos lógicos y tablas de valores
Los conectivos lógicos están asociados a determinadas operaciones lógicas que permiten
encontrar el valor de verdad de una proposición compuesta a partir del valor de verdad de las
proposiciones simples que la conforman.
La negación (~)
Sea la proposición p: París es la capital de Francia.
• París no es la capital de Francia.
• No es cierto que París sea la capital de Francia.
• Es falso que París sea la capital de Francia.
• Es imposible que París sea la capital de Francia.
Cualquiera de los enunciados anteriores se puede simbolizar por ~p.
La conjunción (∧)
Sean las proposiciones p: Alquilo un PlayStation, y q: Compro un CD.
Entonces, la proposición “Alquilo un PlayStation y compro un CD” se simboliza por p ∧ q.
Para que esta proposición compuesta sea verdadera, debe cumplirse que ambas proposiciones
sean verdaderas.
La disyunción débil o inclusiva (∨)
Sean las proposiciones p: Como un flan, y q: Tomo un jugo.
Entonces, la proposición “Como un flan o tomo un jugo”, se simboliza por p ∨ q.
Para que esta proposición compuesta sea verdadera, es suficiente que al menos una
de las proposiciones componentes sea verdadera.
La disyunción fuerte o exclusiva (_
∨)
Sean las proposiciones p: Viajo a Ica, y q: Viajo al Cusco.
Entonces, la proposición “O viajo a Ica o viajo al Cusco” se simboliza por p _
∨ q.
Para que esta proposición compuesta sea verdadera, debe cumplirse que una proposición sea
verdadera y la otra falsa.
Si una proposición es verdadera, la negación de su enunciado es falsa y viceversa. Es decir.
si p es verdadera, entonces ~p es falsa.
Una proposición conjuntiva es verdadera cuando ambas proposiciones son verdaderas.
En los demás casos es falsa.
Una proposición disyuntiva débil o inclusiva es falsa cuando ambas proposiciones son
falsas. En los demás casos es verdadera.
Una proposición disyuntiva fuerte o exclusiva es verdadera cuando las proposiciones
simples que la conforman tienen distintos valores de verdad.
p ~ p
V
F
F
V
p q p ∧ q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
F
p q p ∨ q
V V
V F
F V
F F
V
V
V
F
p q p _
∨ q
V V
V F
F V
F F
F
V
V
F
Valores de verdad
de la negación
Valores de verdad
de la conjunción
Valores de verdad
de la disyunción débil
Valores de verdad
de la disyunción fuerte
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El condicional (→)
Sean las proposiciones p: Me pagan la gratificación, y q: Te compro un regalo.
Entonces, la proposición “Si me pagan la gratificación, entonces te compro un regalo” se
simboliza por p → q.
Esta proposición compuesta será falsa únicamente cuando la primera proposición sea
verdadera y la segunda sea falsa.
El bicondicional (↔)
Sean las proposiciones: p: Te doy permiso, y q: Terminas tus tareas.
Entonces, la proposición “Te doy permiso si y solo si terminas tus tareas” se simboliza
por p ↔ q.
Esta misma proposición puede entenderse de la siguiente manera: “Si terminas tus tareas, te
doy permiso, y si te doy permiso, significa necesariamente que terminaste tus tareas”, lo cual se
simboliza por (p → q) ∧ (q → p).
Podemos concluir que ambas proposiciones son equivalentes, es decir:
(p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Una proposición condicional es falsa cuando, al ser verdadera la primera proposición
llamada antecedente, es falsa la segunda proposición llamada consecuente. En los
demás casos es verdadera.
Una proposición bicondicional es verdadera cuando las proposiciones que la conforman
tienen el mismo valor de verdad.
Valores de verdad
del condicional
Valores de verdad
del bicondicional
p q p → q
V V
V F
F V
F F
V
F
V
V
p q p ↔ q
V V
V F
F V
F F
V
F
F
V
Dos proposiciones son
equivalentes cuando
tienen el mismo valor
de verdad.
RECUERDA
EJEMPLO 5
Si p ≡ F, q ≡ V y r ≡ V, ¿en cuáles de las siguientes fórmulas lógicas puede
conocerse con exactitud el valor de verdad?
a) (p _
∨ q) ∧ m ► (F _
∨ V) ∧ m ► V ∧ m
Si m ≡ V, entonces: V ∧ V ≡ V Si m ≡ F, entonces: V ∧ F ≡ F
No es posible precisar el valor de verdad.
b)~q → n ► (F → ?) ≡ V
Si n ≡ V, entonces: F → V ≡ V Si n ≡ F, entonces: F → F ≡ V
Independientemente del valor de n, la expresión ~q → n siempre es
verdadera.
c) (r ∨ k) _
∨ (p ∧ l) ► (V ∨ ?) _
∨ (F ∧ ?)
La proposición r ∨ k será verdadera porque la disyunción débil es
verdadera cuando al menos uno de los componentes es verdadero.
La proposición p ∧ l será falsa porque la conjunción es falsa cuando al
menos uno de los componentes es falso.
Por lo tanto: (V ∨ ?) _
∨ (F ∧ ?) ≡ V _
∨ F ≡ V
d)h → (q ∧ r) ► h → (V ∧ V) ► h → V
Si h ≡ V, entonces: V → V ≡ V Si h ≡ F, entonces: F → V ≡ V
La proposición h → (q ∧ r) siempre es verdadera.
Hay expresiones lógicas
cuyos valores de verdad
son independientes de los
valores que toman algunas
de sus variables.
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TEXTO ESCOLAR
Conectivos lógicos y tablas
de valores
Comunica
• Traduce proposiciones para representarlas simbólicamente.
(1-2; 1-3)
Usa estrategias y
procedimientos
• Determina el valor de verdad de fórmulas lógicas. (4-7)
Argumenta
afirmaciones
• Determina el valor de verdad de proposiciones simples a partir del
valor de verdad de una fórmula lógica. (8-22)
Para iniciar
Presente la siguiente situación: Es cierto que María viajó a Iquitos y a San Martín
durante sus vacaciones. Pregunte: ¿María viajó a Iquitos? (Sí). ¿María viajó a San
Martín? (Sí). ¿María viajó a Iquitos y a San Marín? (Sí). Si p: María viajó a Iquitos, y
q: María viajó a San Martín, ¿cuál es el valor de verdad de la proposición p? (V).
¿Cuál es el valor de verdad de la proposición q? (V). ¿Cuál es la expresión verbal
y simbólica de la negación de cada proposición? (~p: María no viajó a Iquitos;
~q: María no viajó a San Martín). ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición
~p? (F). ¿Cuál es el valor de verdad de la proposición ~q? (F). ¿Cuál es la
expresión simbólica de “María viajó a Iquitos y a San Martín”? (p ∧ q). ¿Cuál es
su valor de verdad? (Verdadero). ¿Qué conectivos lógicos se han empleado? (La
negación y la conjunción).
Para desarrollar
Analice junto con los estudiantes los valores de verdad de la conjunción a partir
de la situación inicial. Supongan que se les preguntó a cuatro amigos sobre el
viaje de María y ellos respondieron lo siguiente:
Valores de verdad
p q p ∧ q
Ana
Justo
Carlos
Isabel
María viajó a Iquitos y a San Martín.
María no viajó a Iquitos y sí viajó a San Martín.
María viajó a Iquitos y no viajó a San Martín.
María no viajó a Iquitos y no viajó a San Martín.
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
F
F
Pregunte: Si María viajó a ambos lugares (p ∧ q), ¿quién dijo la verdad?
Luego, proponga otros ejemplos para demostrar los valores de verdad de las
proposiciones compuestas. Ejercite este tipo de demostraciones para que los
estudiantes comprendan la tabla y no las memoricen
Para consolidar
Solicite que, a modo de resumen, elaboren en su cuaderno un organizador
gráfico sobre los valores de verdad. Luego, indíqueles que resuelvan las
actividades 1 y 2 propuestas en “Desarrolla tus capacidades” y determinen el
valor de verdad en cada caso.
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Evalúa la fórmula lógica (~p ∨ q) ∨ (~r → p).
• Como la fórmula lógica tiene 3 variables, el número de casos
posibles de V y F es 23
= 8.
– Negamos p en ①.
– Resolvemos la disyunción
en ② según los valores
de ~p y q.
– Negamos r en ③.
– Resolvemos el condicional
en ④ según los valores
de ~r y p.
– Finalmente, resolvemos
la disyunción en ⑤ según
los resultados en ② y ④.
Como en la columna principal ⑤ todos los valores son verdaderos, la fórmula
lógica (~p ∨ q) ∨ (~r → p) es tautológica; es decir, los valores de verdad
siempre son verdaderos, independientemente de los valores de p, q y r.
EJEMPLO 7
Una tabla de valores es un esquema de filas y columnas que muestra los valores
de verdad de una fórmula lógica, considerando todos los casos posibles
de valores de verdad de sus variables proposicionales.
Una fórmula lógica
puede ser:
Tautológica. Todos los
valores de verdad de la
columna principal son
verdaderos.
Contradictoria. Todos
los valores de verdad de
la columna principal son
falsos.
Contingente. De todos
los valores de verdad
de la columna principal,
hay por lo menos uno
verdadero y uno falso.
IMPORTANTE
4
Sea la proposición compuesta “Si tomo mi medicina, me curaré, pero si no tomo mi medicina,
no me curaré”. ¿Esta proposición será siempre verdadera, siempre falsa o a veces verdadera y
otras veces falsa? Para responder esta pregunta, la lógica sigue estos pasos:
1.° Se identifican las proposiciones simples:
p: Tomo mi medicina, y q: Me curaré.
2.° Se simboliza la proposición compuesta convirtiéndola en una fórmula lógica:
(p → q) ∧ (~p → ~q)
3.° Se evalúa la fórmula lógica en una tabla de valores. Como dicha fórmula tiene 2 variables,
p y q, el número de casos posibles de los valores
de verdad, V y F, es 22
= 4 casos.
Observa el desarrollo:
– Resolvemos el condicional en ①
según los valores de p y q.
– Negamos p en ② y q en ③.
– Resolvemos el condicional en ④
según los valores de ~p y ~q.
– Resolvemos la conjunción en ⑤
según los resultados de ① y ④.
Concluimos que la fórmula lógica (p → q) ∧ (~p → ~q) es contingente; es decir, que entre
los valores de verdad hay por lo menos uno verdadero y uno falso, dependiendo de los valores
de p y q.
p q r (~p ∨ q) ∨ (~r → p)
V V V F V V V F V V
V V F F V V V V V V
V F V F F F V F V V
V F F F F F V V V V
F V V V V V V F V F
F V F V V V V V F F
F F V V V F V F V F
F F F V V F V V F F
① ② ⑤ ③ ④
Si la fórmula tiene n
variables proposicionales,
el número de casos
posibles para realizar la
evaluación
es 2
n
.
p q (p → q) ∧ (~p → ~q)
V V V V F V F
V F F F F V V
F V V F V F F
F F V V V V V
① ⑤ ② ④ ③
Columna
principal
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EJEMPLO 8
EJEMPLO 9
EJEMPLO 10
Halla el valor de verdad
de cada fórmula lógica
sin necesidad de elaborar
tablas de verdad.
(p ∨ ~p) ∨ (q → r)
(p ∧ ~p) → (q ↔ r)
DESAFÍO
Fórmulas equivalentes
Dos fórmulas lógicas,
A y B, son equivalentes
cuando al unirlas por el
bicondicional resulta una
tautología.
Se escribe A ≡ B.
TEN EN CUENTA
Evalúa la fórmula [(p → ~q) ∨ r] ∧[~(p → r) ∧ q].
• Elaboramos la tabla de valores:
Evalúa la fórmula lógica [(p ∨ q) → r] ∨ [~r ↔ q].
• Elaboramos
la tabla de valores:
La fórmula lógica
[(p ∨ q) → r] ∨ [~r ↔ q]
es contingente; es decir,
presenta valores
verdaderos y falsos
al menos una vez.
Se sabe que la fórmula lógica [p → (~q ∨ s)] ∨ [~r _
∨ q] es falsa. Halla los
valores de verdad de p, q, r y s.
• Si la fórmula es falsa, entonces
colocamos F en ① y ②,
que es el único caso en que
la disyunción débil es falsa.
• Por la regla del condicional,
colocamos V (p ≡ V) en ③ y F en ④.
• Como ④ es F, entonces por la regla
de la disyunción, colocamos
F (q ≡ V) en ⑤ y ponemos F (s ≡ F) en ⑥.
• Si q ≡ V, ponemos V en ⑦. Luego, por la regla de la disyunción fuerte,
ponemos V en ⑧ y colocamos F (r ≡ F) en ⑨.
De este modo, concluimos que p ≡ V, q ≡ V, r ≡ F y s ≡ F.
La fórmula lógica
[(p → ~q) ∨ r] ∧
[~(p → r) ∧ q] es
contradictoria;
es decir, los
valores de verdad
siempre son falsos,
independientemente
de los valores
de p, q y r.
p q r [(p → ~q) ∨ r] ∧ [~ (p→ r) ∧ q]
V V V V F F V V F F V F V
V V F V F F F F F V F V V
V F V V V V V V F F V F F
V F F V V V V F F V F F F
F V V F V F V V F F V F V
F V F F V F V F F F V F V
F F V F V V V V F F V F F
F F F F V V V F F F V F F
[ p → ( ~ q ∨ s ) ] ∨ [ ~ r _
∨ q ]
F V F
F
V
F
F
F
F
V
V
⑤
③
①
④ ②
⑥ ⑧ ⑨ ⑦
p q r [(p ∨ q) → r] ∨ [~r ↔ q]
V V V V V V V V V F F V
V V F V V V F F V V V V
V F V V V F V V V F V F
V F F V V F F F F V F F
F V V F V V V V V F F V
F V F F V V F F V V V V
F F V F F F V V V F V F
F F F F F F V F V V F F
V
V
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Comunica: 1-3 Usa estrategias y procedimientos: 4-7 Argumenta afirmaciones: 8-22
Simboliza las siguientes proposiciones compuestas
y determina su valor de verdad.
1 Los triángulos no son poliedros y las ballenas no
son mamíferos.
2 El tigre no es un felino o el canario es un anfibio.
3 Los triángulos son polígonos o 3 · 7 = 20.
Sean las proposiciones:
p: 0,23 es un número racional. ( V )
q: π es un número irracional. ( V )
r: El cubo es un prisma. ( V )
s: 39 es un número primo. ( F )
Determina el valor de verdad de las siguientes
fórmulas lógicas:
4 (p ↔ ~q) _
∨ r
5 ~r → ~ (q ∨ ~s)
6 (~s ∨ ~p) ↔ (r ∧ ~q)
7 (q → ~p) _
∨ ~(r → ~s)
8 Si se sabe que [(p → q) → s] ∧ ~[s ∨ ~p]
es verdadera, determina los valores de verdad de
p, q y s, respectivamente.
Si (p _
∨ ~q) → (p → ~r) es falsa, evalúa como
verdadera o falsa cada una de estas afirmaciones:
9 p ∧ q es falsa. 10 ~p → q es verdadera.
11 r _
∨ q es falsa. 12 ~r ∧ p es verdadera.
Sean p ≡ V, q ≡ F, r ≡ F y s ≡ V. Escribe V o F según
corresponda.
13 (c → ~s) es verdadera. ( )
14 (q ∨ s) ∧ (d ∧ h) es falsa. ( )
15 (~p _
∨ q) → k es verdadera. ( )
16 (m ↔ r) ∨ q es falsa de todos modos. ( )
Sean p ≡ V, q ≡ F, r ≡ F y s ≡ V. Determina en cada
caso el valor de X.
17 (p → X) ≡ F 18 (X ↔ ~p) ≡ F
19 (~q ∧ ~X) ≡ V 20 (~X _
∨ ~q) ≡ V
Indica qué conectivos lógicos pueden ir en las
casillas.
21 Si p ≡ V y q ≡ F, entonces (p ∨ q) □ (p ∧ q)
es verdadera.
22 Se sabe que (p ∨ ~p) □ (p ∧ ~p) es falsa.
EJEMPLO 6
Si (p ∧ q) → r es falsa, halla el valor de verdad de
p, q y r.
• En la fórmula lógica, el conectivo principal es
el condicional, el cual es falso solo cuando el
antecedente es V y el consecuente es F.
(p ∧ q) → r
V F F ► r ≡ F
• En el paréntesis tenemos una conjunción que
será verdadera cuando ambos proposiciones
sean verdaderas.
(p ∧ q)
V V V ► p ≡ V; q ≡ V
1. p: Los triángulos son poliedros. (F)
q: Las ballenas son mamíferos. (V)
~ p ∧ ~ q
V F F
2. p: El tigre es un felino. (V)
q: El canario es un anfibio. (F)
~ p ∨ q
F F F
3. p: Los triángulos son polígonos. (V)
q: 3 · 7 = 20 (F)
p ∨ q
V V F
4. (V ↔ F) _
∨ V
F _
∨ V ≡ V Verdadero
5. F → ~ (V ∨ V)
F → F ≡ V Verdadero
6. (V ∨ F) ↔ (V ∧ F)
V ↔ F ≡ F Falso
7. (V → F) _
∨ ~ (V → V)
F _
∨ F ≡ F Falso
F
F V
p ≡ V; q ≡ F; s ≡ F
V F
F
F V
∨; _
∨
∧, →, ↔
F V
V
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Usa estrategias y
procedimientos
• Resuelve problemas que implican evaluar fórmulas lógicas en
tablas de verdad. (3-4; 1-3)
Argumenta
afirmaciones
• Evalúa fórmulas lógicas usando tablas de verdad. (4-9)
Para iniciar
Presente la fórmula lógica (p ∧ q) → ∼q. Pregunte: ¿Cuántas variables
tiene la fórmula? (2). ¿Cuántas formas posibles de los valores de verdad se
pueden formar? (4). ¿Cuál es el conectivo principal? (La condicional). ¿En
qué orden se resuelve esta fórmula lógica? (Primero la conjunción, luego la
negación y, al final, la condicional).
Para desarrollar
Defina el término fórmula lógica como un conjunto de variables
proposicionales y operaciones lógicas con o sin paréntesis. Resalte que, en
algunos casos, el uso de los paréntesis es imprescindible para determinar el
sentido de la proposición lógica. Acompañe la lectura de la situación inicial
con estas preguntas: ¿De qué depende el número de valores de verdad?
(Del número de variables). ¿Cuál es el conectivo principal? (La conjunción).
¿Por qué la fórmula lógica es contingente? Enfatice en que la columna
principal es aquella que contiene al conectivo principal de la fórmula lógica
y es el último en evaluarse.
En el ejemplo 8, destaque que la negación no solo afecta a la variable p,
sino también al resultado de evaluar p → r. Invite a los estudiantes a explicar
el orden que se ha empleado para evaluar las fórmulas lógicas de los
ejemplos 8 y 9. Para reafirmar este conocimiento, motívelos a desarrollar las
actividades 1 a la 3 y socializar sus procedimientos.
En el ejemplo 10, enfatice en que no es necesario hallar todas las
posibilidades de la fórmula lógica porque ya se conoce el resultado.
Recuérdeles que, al evaluar una fórmula, se aplica la regla de cada uno de
los conectores empezando por el de menor alcance hasta llegar al de mayor
jerarquía. En este caso, se comienza a resolver en forma contraria porque
ya se conoce el resultado y se quieren hallar los valores de verdad de las
variables que intervienen en la fórmula lógica. Para ello, sugiera que resalten
los conectores.
Para consolidar
Pregunte: ¿De qué depende que una fórmula lógica se defina como
tautología, contradicción o contingencia? (De los valores de verdad
obtenidos en la columna principal). ¿Qué dificultades encontraron al
evaluar las fórmulas lógicas? ¿Cómo las superaron?
45
44
Unidad
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Usa estrategias y procedimientos: 1-3 Argumenta afirmaciones: 4-9
Resuelve.
6 Sean las operaciones # y @ definidas como:
p # q
V V V
V F F
F V V
F F F
p @ q
V F V
V F F
F V V
F V F
Evalúa la fórmula lógica (~p # q) @ (~q # p).
7 Sean las operaciones #, @ y % definidas como:
p # q
V V V
V V F
F F V
F V F
p @ q
V F V
V V F
F F V
F F F
p % q
V F V
V F F
F F V
F V F
Evalúa la fórmula lógica (p # ~q) % ~ (r @ ~p).
¿Qué conectivo lógico debe ir en las casillas?
8 9
Evalúa si las siguientes fórmulas lógicas son
tautológicas, contradictorias o contingentes.
1 [ p ∨ ( p ∧ q ) ] ↔ ~ p
p q [ p ∨ ( p ∧ q ) ] ↔ ~p
V
V
F
F
V
F
V
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
2 (p _
∨ ~q) → (~p ∧ q)
p q ( p _
∨ ~ q ) → ( ~ p ∧ q )
3 [p ∨ (p ∧ q)] ↔ p
Determina, en cada caso, los valores de verdad
de p, q, r y s.
4 (p ∧ q) ∧ (q → r) es verdadera.
5 (~p _
∨ r) → (~r ∨ s) es falsa.
~p q
V
F
F
V
(~p q) (p ~q)
F
V
F
F
V
V
V
p
V
V
q
V
V
[ p
V
V
∨
F
V
( p
F
V
∧
F
V
q ) ]
F
V
↔
V
V
p
La fórmula es contradictoria.
La fórmula es contingente.
La fórmula es tautológica.
4. (p ∧ q) ∧ (q → r) p ≡ V, q ≡ V, r ≡ V
V V V V V V V
5. (~ p _
∨ r) → (~ r ∨ s) p ≡ V, r ≡ V, s ≡ F
F V V V F F V F F
V F F
V
V
V
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
F
V
V F F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
F
F F F V
F
F
F
F
F
F
F
V
F
V
F
F
F
V
F
F
V
F
F
F F F V
p q (~p # q) @ (~q # p)
V
V
F
F
V
F
V
F
F
F
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
V
F
F
La fórmula lógica es contingente.
p q r (p # ~q) % ~ (r @ ~p)
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
F
V
V
V
V
V
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
La fórmula lógica es contradictoria.
V
∨ ∧
→
F
F V
V
V V
V
F
V F
F
_
∨
F F
F V
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LIBRO DE ACTIVIDADES Estrategia para resolver
problemas
Comunica • Comunica la información representada en un integrama. (1-4)
Usa estrategias y
procedimientos
• Selecciona estrategias para resolver problemas que
involucran organizar los datos en un integrama. (1-4)
Argumenta
afirmaciones
• Deduce los datos de un problema a partir de otros ya
conocidos. (1-4)
Para iniciar
Presente la siguiente situación: Tres amigos, Pablo, Julio y César, tienen
diferentes empleos: constructor, electricista y vigilante, y diferentes
aficiones: la pintura, el surf y el cine. Se sabe que el electricista no corre
tabla ni va al cine, César no va a la playa ni pinta, el vigilante le cuenta
todas las películas a sus amigos y Julio no pinta. Pregunte: ¿En qué trabaja
Pablo y qué hace en sus ratos libres? (Electricista, pintar). Luego de un
tiempo prudencial, anote las posibles respuestas de los estudiantes y la
estrategia empleada para su resolución.
Comente que para relacionar elementos de dos o más variables, como
el nombre de una persona con su profesión, es necesario organizar la
información para representar las correspondencias. Una estrategia es
utilizar una tabla de doble entrada llamada integrama y, de acuerdo con los
datos, indicar qué correspondencias SÍ son correctas o cuáles NO lo son.
Para desarrollar
Solicite que den lectura a la situación presentada. Pregunte: ¿Cuáles son
las variables que se deben relacionar? (Nombres de los esposos, nombres
de las esposas, profesiones y pasatiempos). ¿Qué variables se encuentran
en la segunda columna? (Ocupaciones, pasatiempos y nombres de
esposos). ¿Qué variables se encuentran en la segunda fila? (Nombres de
las esposas, ocupaciones y pasatiempos). ¿Por qué las columnas de las
variables “ocupación” y “pasatiempo” no están completas? (Porque se
volverían a relacionar con las mismas variables, lo cual no tiene sentido).
¿Qué variables se relacionan en cada uno de los datos? (Dato I: Esposo,
profesión y pasatiempo. Dato II: Esposo y pasatiempo. Dato III: Esposa
y pasatiempo. Dato IV: Esposa y profesión). Invite a los estudiantes a
expresar la relación correcta entre las cuatro variables, por ejemplo, Daniel
es médico, es esposo de Flor y le gusta jugar ajedrez.
Para consolidar
Para cada problema, elija a un grupo al azar a fin de que explique y
comparta su procedimiento con toda la clase.
Libro de actividades (págs. 20-21)
ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS
Usar integramas en problemas de razonamiento lógico
Daniel, Enrique y Franco trabajan como abogado, profesor y médico, y están casados con Flor, Ana e Inés.
Además, sus pasatiempos son jugar ajedrez, completar sudokus y leer. A partir de la siguiente información,
averigua quién es el profesor.
I. Daniel es médico y le gusta jugar ajedrez.
III. Ana está casada con el que completa sudokus.
II. A Enrique le gusta leer.
IV. Inés ama mucho a su esposo, que es abogado.
Comprende
Sabemos que hay un grupo de tres hombres, cada uno casado con una de tres mujeres.
Además, ellos tienen una ocupación y un pasatiempo.
Debemos averiguar quién es el profesor.
Planifica
Identificamos cuatro variables que debemos relacionar: nombres de los esposos, nombres de
las esposas, ocupaciones y pasatiempos.
Representamos la información en una tabla escalonada llamada integrama y, según la
información, llenaremos algunas casillas con Sí y completaremos con No las demás casillas
de la misma fila y columna. Esta estrategia nos permitirá hacer deducciones ordenadas.
Resuelve
Organizamos
la información.
a) Según I, Daniel es médico y juega ajedrez (Sí en A6, A7 y D6).
b) Según II, a Enrique le gusta leer (Sí en B9). Entonces, Franco completa sudokus (Sí en C8).
c) Según III, Ana es esposa del que completa sudokus, es decir, de Franco (Sí en E2 y C2).
d) Según IV, Inés está casada con el abogado (Sí en G3).
e) Como Daniel no es abogado (por A4), entonces no es esposo de Inés (No en A3).
Por lo tanto, Enrique es el esposo de Inés (Sí en B3) y, además, es el abogado (Sí en B4).
f) Finalmente, Daniel es el esposo de Flor (Sí en A1) y Franco es profesor (Sí en C5).
Comprueba
Contrastamos las respuestas con los datos de manera que no haya contradicciones.
Se concluye que Franco es el profesor.
1 2 3 4 5 6 7 8 9
VARIABLES Esposas Ocupaciones Pasatiempos
Flor Ana Inés Abo. Prof. Méd. Aj. Sud. Leer
A
Esposos
Daniel Sí No No No No Sí Sí No No
B Enrique No No Sí Sí No No No No Sí
C Franco No Sí No No Sí No No Sí No
D
Pasat.
Ajedrez No No No Sí
E Sudoku No Sí No No
F Leer No No
G
Ocup.
Abogado No No Sí
H Profesor No
I Médico No
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Consolida la estrategia resolviendo las siguientes
situaciones:
1 Delia, Melisa, Julia y Sofía están en
3.°, 4.°, 5.° y 6.° grado de primaria,
aunque no necesariamente en ese
orden. Ellas participaron en un
concurso de gimnasia y obtuvieron
192; 195; 198 y 201 puntos. Averigua
en qué grado está cada niña y cuál fue
su puntaje en el concurso si se sabe
lo siguiente:
I. La participante que obtuvo 192 puntos es Sofía
o la niña que está en 5.° grado.
II. Delia obtuvo tres puntos más que
la niña que está en 5.° grado.
III. Sofía obtuvo más puntos que
la niña que está en 3.er
grado.
IV. Julia obtuvo más puntos
que la niña que está en 5.° grado.
V. La participante de 4.° grado es Delia o
la niña que obtuvo 192 puntos.
2 Un club cuenta con instalaciones deportivas para
practicar básquet, box, tenis, futsal y vóley. Estas
instalaciones se llaman Arturo Pomar, José Díaz,
Maruja Yáñez, Wilson Pinedo y Rosa Mejía, y tienen
capacidad para 300; 340; 380; 420 y 460 personas,
aunque no necesariamente en ese orden. Averigua el
nombre y la capacidad de cada instalación deportiva
si se sabe lo siguiente:
I. La instalación Wilson Pinedo, la instalación
en la que se practica futsal y la que tiene
capacidad para 420 personas están ubicadas
a la entrada del club.
II. De las instalaciones Arturo Pomar y
José Díaz, se sabe que una tiene capacidad
para 340 personas y en la otra se practica
futsal.
III.En la instalación que tiene capacidad para
300 personas no se practica básquet.
IV. En la instalación Rosa Mejía caben
80 personas menos que en la instalación que
se practica vóley.
V. De las instalaciones en donde se practican box
y vóley, se sabe que una tiene capacidad para
380 personas y la otra se llama Arturo Pomar.
3 Cuatro amigos, Aldo, Bruno, César y Dante, son
agrónomo, biólogo, cirujano y diseñador, y están
casados con Ada, Belén, Carol y Diana, aunque
no necesariamente en ese orden. Además, se sabe
que cada pareja realizó un viaje de vacaciones a
un lugar diferente, y que una de ellas viajó a París.
Averigua la profesión, el nombre de la esposa y
el lugar adonde viajó cada amigo si se sabe lo
siguiente:
I. Aldo es esposo de Belén.
II. Diana no es la esposa del cirujano.
III. Bruno viajó a Roma.
IV. Belén no viajó al Cusco.
V. Diana viajó a Miami.
VI. Dante no viajó a Miami.
VII. Carol es esposa del diseñador.
VIII. El biólogo viajó al Cusco.
4 Hilda, Irma, Juana y Katia estudian turismo,
marketing, economía y finanzas, aunque no
necesariamente en ese orden. Además, viven en los
distritos de Surco, Miraflores, Lince y San Isidro,
y gastan diariamente en taxi 12; 13; 14 y 15 soles.
Averigua qué carrera estudia cada una, en qué
distrito vive y cuánto gasta en taxi si se sabe lo
siguiente:
I. Irma vive en Lince o San Isidro.
II. La estudiante de economía gasta más
en taxi que la estudiante de marketing.
III. Katia gasta más en taxi que la estudiante
que vive en San Isidro.
IV. La estudiante de marketing gasta S/ 12
en taxi.
V. Katia gasta S/ 14 en taxi y no vive
en Miraflores.
VI. La estudiante que gasta S/ 15 en taxi
no vive en Surco ni en Lince.
VII. De la estudiante que vive en San Isidro e
Hilda, se sabe que una gasta S/ 12 en taxi y
la otra estudia turismo.
VIII. Irma no estudia economía.
IX. La que gasta S/ 13 en taxi no vive
en San Isidro.
Usa estrategias y procedimientos: 1-4
Melisa: 5.°, 192 puntos
Delia: 4.°, 195 puntos
Julia: 3.°, 198 puntos
Sofía: 6.°, 201 puntos
Rosa Mejía: tenis, 300
Arturo Pomar: box, 340
Wilson Pinedo: vóley, 380
Maruja Yáñez: básquet, 420
José Díaz: futsal, 460 Hilda: turismo, Miraflores, 15 soles
Irma: finanzas, Lince, 13 soles
Juana: marketing, San Isidro, 12 soles
Katia: economía, Surco, 14 soles
Aldo: Belén, cirujano, París
Bruno: Carol, diseñador, Roma
César: Diana, agrónomo, Miami
Dante: Ada, biólogo, Cusco
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5
NÚMEROS REALES
Números racionales ( I
Q )
Expresa los números 4; −5; 0,7 y 0,111... como números racionales fraccionarios.
• El número natural 4 = 4
__
1
. • El número entero –5 = –5
___
1
= – 5
__
1
.
• El decimal exacto 0,7 = 7
___
10
. • El decimal periódico 0,111... = 0,͡ 1 = 1
__
9
.
Representa el número 1,8333… en la recta numérica.
• Expresamos de la forma a
__
b
: 1,8333… = 1,8͡3 = 183 – 18
________
90
= 11
___
6
= 15
__
6
• Ubicamos 15
__
6
en la recta:
Del total de asistentes a una fiesta, 2
__
5
son mujeres. Además, de los varones, 3
__
4
tienen auto, y los 9 restantes no tienen auto. ¿Cuántas personas asistieron
a la fiesta?
• Analizamos los datos. Total de asistentes a la fiesta: x
Total de mujeres: 2
__
5
x Total de varones: 3
__
5
x
Varones con auto: 3
__
4
· (3
__
5
x) Varones sin auto: 1
__
4
· (3
__
5
x)
• Igualamos 1
__
4
· (3
__
5
x)= 9 3
___
20
x = 9 x = 60
Asistieron a la fiesta 60 personas.
Se cumple que 0,͡͡͡͡͡͡ xy + 0,͡yx = 1,͡6. Calcula el valor de x + y.
• Hallamos la fracción generatriz en cada caso:
__
xy
___
99
+
__
yx
___
99
= 16 – 1
______
9
(10x + y) + (10y + x)
_________________
99
= 15
___
9
11x + 11y
________
99
= 165
____
99
11(x + y) = 165 x + y = 15
EJEMPLO 11
EJEMPLO 12
EJEMPLO 13
EJEMPLO 14
Un número racional es todo aquel que se puede expresar de la forma a
__
b
, donde a, b ∈ Z
Z
y b ≠ 0, o mediante una expresión decimal finita o periódica.
USA ESTRATEGIAS
Y PROCEDIMIENTOS
Podemos deducir que el
total de asistentes es un
número múltiplo de 5 y 4.
¿Cómo resolverías este
problema con un gráfico
de 20 cuadrículas?
ARGUMENTA
AFIRMACIONES
¿Cómo ordenarías de
manera ascendente los
números 8
__
9
; 87
___
99
y 876
____
999
?
Un número es decimal cuando se puede expresar como una fracción decimal, es decir,
mediante una fracción con denominador potencia de 10.
0
11
___
6
= 1
5
__
6
1 2
Los números naturales
están incluidos en los
números enteros, y los
enteros, en los números
racionales.
IN ⊂ Z
Z ⊂ I
Q
TEN EN CUENTA
I
Q
Z
Z
IN
M M V V V
M M V V V
M M V V V
M M V V V
~A
A
Si = 9, entonces = 3.
Por lo tanto, 20 = 60.
876
____
999

87
___
99

8
__
9
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NÚMEROS REALES
Comunica: 1 Usa estrategias y procedimientos: 2-6;
Traduce cantidades: 10-12 Argumenta afirmaciones: 7-9
1 Marca con un ✓ según corresponda. Ten en cuenta
lo siguiente:
DE : Número decimal exacto
DPP : Número decimal periódico puro
DPM: Número decimal periódico mixto
I
Q : Número racional
DE DPP DPM I
Q
1,999...
0,18
−1,4
1,3555...
1,585858...
2 Ubica con exactitud el número 1,363636… en la
recta numérica.
3 Efectúa.
H = √
____________________
1,5 · 0,666... · 1,25 · 0,8
4 Calcula el valor de M.
M = √
_____________________
0,͡1 + 0,͡2 + 0,͡3 + ... + 0,͡8
5 Simplifica R.
R =
(0,25)(1
__
2
− 0,͡3)
−1
− (35
___
11
÷ 0,͡35)
__________________________
[2 − ( 8
___
17)
−1
]
1
__
3
6 Simplifica K.
K =
0,͡2 + 0,͡3 + ... + 0,͡7
___________________
0,3͡2 + 0,4͡3 + ... + 0,8͡7
7 Si x
__
y = 0,͡450 y MCM(x; y) = xy, calcula y – x.
8 Si 0,͡a(a + 3) = b
___
11
, calcula ab
.
9 Sea 0,͡ab + 0,͡ba = 1,͡4. Halla a ÷ b si se sabe que
a excede a b en 3.
10 En un club, 4
__
9
de los socios son varones. Además,
de las mujeres, 3
__
5
son madres, y las 8 restantes
no lo son. ¿Cuántos socios varones hay en el club?
11 Se tienen tres fracciones equivalentes a a
__
b
. Si
la suma de sus numeradores es 87 y la de sus
denominadores es 116, calcula a
__
b
.
12 Reduce M.
M =
0,1͡4 + 0,1͡5 + 0,1͡6
_______________
0,1͡7 + 0,1͡8 + 0,1͡9
✓ ✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
✓
Hallamos la fracción generatriz del número decimal
periódico puro 1,⁀
36: 136 – 1
_______
99
= 135
____
99
= 15
___
11
= 1 4
___
11
.
Luego, ubicamos dicho número en una recta
numérica:
Hallamos las fracciones generatrices:
H =
√
___________
3
__
2
∙ 2
__
3
∙ 5
__
4
∙ 4
__
5
= √
__
1 = 1
Hallamos las fracciones generatrices:
M =
√
________________
1
__
9
+ 2
__
9
+ 3
__
9
+ … + 8
__
9
M =
√
_______________
1 + 2 + 3 + … + 8
_______________
9
=
√
___
36
___
9
= 2
Expresamos todo en fracciones:
R =
1
__
4
∙ (1
__
2
– 1
__
3)
–1
– (35
___
11
∙ 99
___
35)
_____________________
[2 – 17
___
8 ]
1
__
3
R =
1
__
4
∙ 6 – 9
________
3
√
____
– 1
__
8
=
– 15
___
2
____
– 1
__
2
= 15
Encontramos las fracciones generatrices:
K =
2
__
9
+ 3
__
9
+ … + 7
__
9
________________
29
___
90
+ 39
___
90
+ … + 79
___
90
K =
2 + 3 + … + 7
____________
9
_______________
29 + 39 + … +79
_______________
90
=
27
___
9
____
324
____
90
= 5
__
6
61
81
1,6
16
3
__
4
14
___
17
1
1 4
___
11
11
___
11
15
___
11
22
___
11
2
23
©
Santillana
S.
A.
Prohibido
fotocopiar.
D.
L.
822
MatSec3_U1 p8-57.indd 23 22/02/18 9:25 a.m.
Números reales (IR)
Conjunto de los números racionales ( I
Q)
Conjunto de los números irracionales (II)
Para estimar precios, realizar cálculos o tomar medidas, utilizamos
el conjunto de números reales, ya sean estos en su expresión fraccionaria
o decimal. Conocer las propiedades de este conjunto te ayudará
a representar numéricamente situaciones de tu entorno.
L
i
b
r
o
de activ
i
d
a
d
e
s
Págs. 22-29
II
IR
Z
Z
I
Q
IN
IR = I
Q ∪ II
IMPORTANTE
Existen números
irracionales cuya escritura
decimal presenta cierta
regla de formación, pero
no periodo. Por ejemplo:
0,101100111000…;
0,2468101214…
Un número racional es aquel que puede expresarse como la razón a
__
b
, donde a y b son
números enteros y, además, b ≠ 0.
Un número irracional es aquel que tiene infinitas cifras decimales no periódicas. Además,
no se puede expresar como fracción.
Todo número racional puede expresarse a través de un decimal exacto (finito) o periódico.
Recíprocamente, cualquiera de estas expresiones decimales se puede escribir en forma
de fracción.
Los números irracionales pueden ser:
Números irracionales algebraicos. Son aquellos números que corresponden a soluciones
inexactas de ecuaciones algebraicas. Así, la ecuación x2
= 3 tiene dos soluciones irracionales
algebraicas: x1 = √
__
3 y x2 = −√
__
3.
Números irracionales trascendentes. Son aquellos números que no corresponden a
soluciones de ecuaciones algebraicas. Por ejemplo: π = 3,14159...
Conjunto de los números reales (IR)
El conjunto de los números reales incluye a los conjuntos I
Q e II.
Se caracteriza por las siguientes propiedades:
• Infinito. No tiene ni primer ni último número.
• Denso. Para cualquier par de números reales distintos, siempre existe un número real
entre ellos. Si a b, ∃ c ∈ IR tal que a c b.
• Completo. A cada punto de la recta le corresponde un número real y viceversa. Los
números reales “completan” la recta numérica.
• Ordenado. Para cualquier par de números reales distintos, a b o a b. Esto permite
ordenarlos en una recta numérica.
Escribe a qué conjuntos numéricos pertenecen
los siguientes números reales:
1 8,125 2 −6 3 3,1415962...
4
3
√
___
−1 5 √
___
37 6 1,3435
7
3
√
___
−5 8 1,64 9 9,111...
Realiza lo siguiente:
10 Escribe un número real entre √
___
17 y 4,1.
11 Ordena en forma creciente √
___
29; 5,341; 27
___
5
;
3
√
____
160.
12 Escribe cuatro números racionales entre
0,1892 y 0,1893.
Comunica: 1-9 Usa estrategias y procedimientos: 10-12
I
Q
I
Q
I
Q
Z
Z; I
Q
Z
Z; I
Q
II
II
II I
Q
8
©
Santillana
S.
A.
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L.
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MAT3_TE_U1 p5-16.indd 8 22/02/18 9:09 a.m.
Números reales.
Números racionales e irracionales
Usa estrategias
y procedimientos
• Realiza operaciones con números racionales al resolver
problemas. (2-6)
Comunica • Identifica y clasifica los números racionales. (1)
Argumenta
afirmaciones
• Analiza los procedimientos matemáticos para representar
números racionales. (12; 7-9)
Traduce
cantidades
• Expresa de manera simbólica cantidades. (10-12)
Para iniciar
Invite a los estudiantes a dar lectura a la información sobre el conjunto de los
números racionales. A partir de ejemplos, enfatice en que el cociente de un
número entre cero no existe.
Presénteles los números: 2/5; 7; 0; 0,333…; 1,2555…; 2,4; 1/3. Luego, con
ayuda de la información contenida en “Ten en cuenta”, solicite que respondan
estas preguntas: ¿A qué conjunto pertenecen los números presentados? ¿Qué
conjuntos contiene el conjunto I
Q? ¿Cómo se clasifican los números decimales?
¿Cuál es la diferencia entre un decimal periódico mixto y un decimal periódico
puro? ¿Todos los números presentados pueden expresarse como fracción? (Sí).
Pida que representen estos números en forma de fracción.
Para desarrollar
A partir de los números propuestos, pida que identifiquen el decimal exacto y
los periódicos. Recuérdeles que los decimales exactos se representan a través
de una fracción decimal y que una fracción irreductible, cuyo denominador
es una potencia de 2; 5 o 10, genera un decimal exacto; en caso contrario,
generará un decimal periódico. Solicite que realicen la actividad 1.
En el ejemplo 11, recuerde con los estudiantes la conversión de los decimales
periódicos puros. Proponga que conviertan a fracción los decimales: 0,222…;
1,͡5; 2,͡21. Informe que es posible determinar el número decimal que genera
una fracción irreductible sin necesidad de realizar la división, por ejemplo:
4/9 = 0,444….; 37/99 = 0,3737… Invite a los estudiantes a dar otros ejemplos.
Antes de analizar el ejemplo 14, recuerde a los estudiantes la escritura de
un numeral y su descomposición (por ejemplo: 23 = 10 · 2 + 3 y de manera
general:

__
du = 10d + u). En las actividades 7 a la 9, comente que primero deben
identificar el tipo de decimal al que se hace referencia. Resalte que el MCM de
dos números primos es el producto de ambos.
Para consolidar
Motive a elaborar un organizador gráfico sobre los conocimientos revisados.
Destaque que al realizar las operaciones con los números expresados como
fracción se obtendría un resultado exacto.
TEXTO ESCOLAR LIBRO DE ACTIVIDADES
49
48
Unidad
1
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Santillana
S.
A.
Prohibida
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822
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Santillana
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L.
822

NÚMEROS REALES
6
Un número irracional es aquel que tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
Un número irracional no se puede expresar como una fracción.
Los números irracionales pueden ser:
• Números irracionales algebraicos. Son aquellos números que son soluciones inexactas
de ecuaciones algebraicas. Así, la ecuación x2
= 2, tiene dos soluciones irracionales
algebraicas: x1 = √
__
2 y x2 = −√
__
2.
• Números irracionales trascendentes. Son números que no son soluciones de una
ecuación algebraica. Por ejemplo, π = 3,14159…; e = 2,7182…; 2
√
__
2
= 2,6651…; etc.
Existen números irracionales cuya escritura decimal presenta cierta regla de formación,
pero no periodo. Por ejemplo: 0,202200222000…; 0,12345678…
Según su representación o notación, hay números que:
• Solo tienen notación inexacta. Por ejemplo: 7,0093445…
• Tienen notación exacta e inexacta. Por ejemplo: el número áureo
ϕ = 1 + √
__
5
______
2
= 0,61803398…
Hay números irracionales
que son nombrados
por un símbolo dada su
importancia. Por ejemplo:
π = 3,14159265…
Hasta el año 2010, se
conocían 10 billones de
cifras decimales de π sin
que se observe algún
periodo.
TEN EN CUENTA
COMUNICA
¿Cómo representarías
2 + √
__
3 de manera exacta?
Representa el número irracional √
___
14 en la recta numérica.
• Analizamos que no es posible expresar 14 como la suma de dos números
cuadrados perfectos. Por eso, lo expresamos como la suma de un cuadrado
perfecto más otro que no lo es:
14 = 9 + 5
( √
___
14)2
= 32
+ ( √
___
5)2
• Representamos √
__
5 utilizando un triángulo rectángulo de catetos 2 u y 1 u.
Luego, señalamos el punto √
__
5
en la recta.
• Representamos √
___
14 utilizando un triángulo rectángulo de catetos √
__
5 y 3.
• La construcción de √
___
14 queda representada de la siguiente manera:
EJEMPLO 15
Expresa de dos formas
distintas √
___
50 en la recta
numérica. En el proceso
de construcción de
triángulos rectángulos,
utiliza solo números
naturales.
DESAFÍO
3
√
__
14
√
_
5
2
√
_
5
1
4
3
2
1
–1
A
E
D
C
–1 1 2 3
3
4
–2
–3
–4
B
√
__
14
√
__
14
√
_
5
√
_
5
7 y 1; 5 y 5
24
©
Santillana
S.
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L.
822
MatSec3_U1 p8-57.indd 24 22/02/18 9:25 a.m.
NÚMEROS REALES
DESARROLLA TUS CAPACIDADES Comunica: 1-24; 32-33 Argumenta afirmaciones: 25-31
Clasifica los siguientes números como I
Q (racionales)
o II (irracionales).
1 3,14159 2 √
__
3
3 −53,689… 4 7,010010001...
5
3
√
_____
0,512 6 4,4473684...
7 1,242526… 8
5
√
__
243
9
3
√
___
2,7 10 2,717375…
11 √
_____
0,625 12
4
√
______
0,0016
Clasifica los siguientes números como irracionales
algebraicos e irracionales trascendentes.
13 0,5732546… 14 9 + 4√
__
2
15 6 − √
__
5 16 −6π + 1
17 2,1416182… 18 2 − 5
√
__
3
19 √
__
6 − √
__
2 20
3
√
__
4 + √
__
6
Escribe la notación inexacta de los siguientes
números irracionales. Aproxima al centésimo.
21 √
__
7 + 5 22 12 − 3π
23 3 + √
__
2
______
4
24
8 − √
__
5
______
3
Completa con un número que permita la igualdad.
25 √
__
5 × = a, tal que a ∈ I
Q − {0}.
26 −√
___
12 × = b, tal que b ∈ I
Q +
.
27 √
___
80 ÷ = c, tal que c ∈ Z
Z−
.
28 (√
__
8 − π) + = d, tal que d ∈ I
Q+
.
Escribe un ejemplo para cada caso.
29 Dos números irracionales que sumados den un
número racional negativo.
30 Dos números irracionales algebraicos que
multiplicados den un número racional diferente
de cero.
31 Dos números irracionales algebraicos que
multiplicados den un número irracional negativo.
Representa con exactitud los siguientes números
irracionales en la recta numérica.
32 √
___
19
33 √
___
17
II
II
II
II
II
II
II
II
I
Q
I
Q
I
Q
I
Q
13. Trascendente
14. Algebraico
15. Algebraico
16. Trascendente
17. Trascendente
18. Trascendente
19. Algebraico
20. Algebraico
Respuestas modelo
29. (−8 + √
__
2) + (1,4 − √
__
2) = −6,6
30.
3
√
__
4 ×
3
√
__
2 = 2
31. −√
__
5 × √
__
3 = −√
___
15
21. 7,64575... ≈ 7,65
22. 2,57522... ≈ 2,58
23. 1,10355... ≈ 1,10
24. 1,92131... ≈ 1,92
Respuesta modelo
−√
__
5
−√
__
5
−√
__
3
π − √
__
8 + 1
(√
___
17)2
= 42
+ 12
√
___
17
1
1
2
3
2 3 4 5 6
19 = 9 + 10
(√
___
19)2
= 32
+ (√
___
10)2
√
___
10
√
___
10
√
___
19
√
___
19
1
1
1
2
3
3
2 3 4 5 6
√
___
17
25
©
Santillana
S.
A.
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L.
822
MatSec3_U1 p8-57.indd 25 22/02/18 9:25 a.m.
Comunica • Clasifica números irracionales. (1-24; 32-33)
Comunica
• Justifica la existencia de números irracionales algebraicos
en la recta numérica. (25-31)
Para iniciar
Solicite previamente a los estudiantes que traigan tres objetos circulares (por
ejemplo: lata, plato, moneda, etc.), hilo y calculadora. Forme equipos de
trabajo para realizar las siguientes actividades:
Actividad 1
– Midan la longitud de la circunferencia de uno de los objetos circulares
(pueden rodear el borde con un hilo y medir la longitud del hilo).
– Midan el diámetro de la circunferencia.
– Con la calculadora, hallen el cociente entre las medidas anteriores.
– Sigan el mismo procedimiento con cada uno de los objetos circulares.
Actividad 2
– Tracen una figura rectangular y, luego, midan sus lados y su diagonal.
– Hallen la diagonal aplicando el teorema de Pitágoras (usa la calculadora).
Comparen los resultados.
Invite a cada equipo a comparar sus resultados. Pregunte: ¿A qué conjunto
pertenecen los resultados obtenidos? ¿Por qué? (Al conjunto de los números
irracionales porque se obtienen decimales infinitos no periódicos). ¿El valor
del cociente que obtuvieron en la actividad 1 se acerca a π? (Sí).
Presente la definición de números irracionales e indique que den lectura a la
información contenida en “Importante”. Resalte la diferencia que existe entre
un número racional y un número irracional (los números racionales se pueden
expresar como fracción; en cambio, los números irracionales no).
Para desarrollar
Pida a los estudiantes que mencionen ejemplos de números irracionales
algebraicos e irracionales trascendentes. Como información complementaria,
comente que los números irracionales más utilizados son π (pi), e y el número
áureo ϕ (ﬁ). Informe que e aparece en contextos reales relacionados con
diferentes á reas del conocimiento: en economía, para generar modelos
económicos de carácter predictivo; en biología, para explicar el crecimiento
de poblaciones y en la datación de fósiles; en sanidad, para estudiar y evaluar
enfermedades epidémicas, etc. Por otro lado, el número áureo
(ϕ =  1 +
√
__
5
______
2
)
era utilizado por los griegos en las proporciones de sus construcciones (en
la fachada del Partenón, el cociente entre el ancho y la altura es el número
de oro). En la actualidad, se sigue utilizando en la concepción y diseño de
múltiples objetos (billetes, tarjetas de crédito...) y elementos arquitectónicos.
Destaque que no siempre un radical es un número irracional, por ejemplo:

√
_____
0,0025 = 0,05. Para reforzar lo aprendido, invite a los estudiantes a realizar
las actividades 1 a la 20 y pídales que justifiquen sus respuestas.
Previo a la lectura del ejemplo 15, hágales recordar la representación en la
recta numérica de algunos números irracionales, por ejemplo,

√
__
2
y

√
__
3.
Para ello, indíqueles que dibujen sobre la recta un triángulo rectángulo con la
medida de cada cateto igual a la unidad (1 u). Luego, pida que apliquen el
teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa cuyo valor es

√
__
2.
Con ayuda del compás, deben trazar un arco de circunferencia cuya medida
del radio sea igual al de la hipotenusa. A partir de la raíz obtenida, solicite
que representen

√
__
3. Haga notar que la estrategia para representar números
irracionales en la recta consiste en expresar el número como la suma de dos
números cuadrados perfectos o que por lo menos uno de ellos lo sea.
Solicite que analicen el valor de verdad de las siguientes afirmaciones y
justifiquen su respuesta a partir de ejemplos.
La suma o resta de dos números irracionales no siempre
es un número irracional. (V)
El producto de dos números irracionales es siempre
otro número irracional. (F)
El cociente de dos números irracionales a veces puede
ser un número entero. (V)
La potencia de un número irracional elevado al cuadrado
nunca es irracional. (F)
Relacione el análisis realizado con las actividades 25 a la 31.
Pregunte por la estrategia que seguirán para desarrollar las actividades 32 y
33. Confirme o corrija la respuesta. (Se deben buscar dos números enteros
cuyos cuadrados sumen la cantidad subradical). Resalte cómo siempre es
posible ubicar un número racional en la recta numérica.
Para consolidar
Concluya afirmando que hay puntos de la recta que no pertenecen al
conjunto de números racionales, pero que sí corresponden al conjunto de
números irracionales.
A modo de autoevaluación,
pregunte: ¿Cómo se
clasifican los números
irracionales? ¿Cómo
solucionaron las
dificultades que se les
presentaron? ¿Qué utilidad
tiene lo que aprendieron?
0 1
1
2
√
__
3
4
3
2
1
1
1
0
A B
C
–1
–2
–3
√
__
2
√
__
2 √
__
3
√
__
3
51
50
Unidad
1
©
Santillana
S.
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Prohibida
su
reproducción.
D.
L.
822
©
Santillana
S.
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su
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D.
L.
822

USO DE SOFTWARE MATEMÁTICO
GeoGebra, para representar números irracionales
Paso 1 Accede a http://web.geogebra.org/app/# y elige la opción “Geometría”. Luego, haz clic
en el centro de la pantalla y elige las opciones “Ejes” y “Cuadrículas”.
Paso 2 Ubica el número irracional √
__
5, que corresponde a la hipotenusa de un triángulo rectángulo
de catetos 2 y 1.
− Activa la herramienta
A
y marca puntos en A(0; 0) y en B(2; 0).
Luego, con la herramienta
A , traza una perpendicular al eje X que pase por B (figura ①).
A
y marca un punto C sobre la perpendicular trazada.
A , traza una perpendicular al eje Y que pase por C (figura ②).
EXPLORA E INTERACTÚA Comunica: 1-12
Representa con GeoGebra los siguientes números
irracionales (uno de los catetos es irracional).
7 √
___
11 8 √
___
14 9 √
___
18
10 √
___
21 11 √
___
27 12 √
___
28
Representa con GeoGebra los siguientes números
irracionales (ambos catetos son enteros).
1 √
___
29 2 √
___
37 3 √
___
40
4 √
___
53 5 √
___
61 6 √
___
65
A
(figura ③) y forma el triángulo ABC. A continuación,
con la herramienta
A
, reubica los puntos tal que AB = 2 y BC = 1.
A
, traza la circunferencia con centro en A y radio AC.
Finalmente, activa la herramienta
A
y marca el punto E de intersección
entre la circunferencia y el eje X (figura ④).
Puedes comprobar que la distancia aproximada AE es 2,24 y el valor exacto es √
__
5.
Figura ① Figura ②
Figura ③ Figura ④
2
A B
1.5
1
0.5
0
0 0.5
-0.5
-0.5
-1 1 1.5 2 2.5 3
2
1.5
0.5
0 A B
C
0 0.5
-0.5
-0.5
-1 1 1.5 2.5
2 3
1
0.5
-0.5
0 A
C
B
0 0.5
-0.5
-1 1
1
1.5
2
1.5 2 2.5 3
0.5
-0.5
0 A
C
B E
0 0.5
-0.5
-1 1
1
1.5
2
1.5 2 2.5 3
26
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822
MatSec3_U1 p8-57.indd 26 22/02/18 9:25 a.m.
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO
Resuelve y marca la opción correcta.
1 Jorge compra 30 sombreros por S/ 540 para
venderlos en su tienda de artesanías. Se sabe que
al vender 12 sombreros obtendrá una ganancia
equivalente al precio de compra de 6 sombreros.
¿Cuál será el precio de venta de los sombreros?
A) S/ 24 B) S/ 27
C) S/ 29 D) S/ 32
2 Tomás compró 86 pantalones por S/ 3715,20.
Luego, vendió una parte de ellos a S/ 1850
ganando S/ 6,80 en cada uno, y otra parte a
S/ 1517 perdiendo S/ 6,20 en cada uno.
Si Tomás ganó S/ 91,80 en total, ¿a cuánto vendió
cada uno de los pantalones que le quedaron?
A) S/ 55 B) S/ 54,50
C) S/ 54 D) S/ 53
3 Un mayorista compró 2200 botellas a S/ 27 el
ciento y pagó S/ 10,40 por el transporte de cada
millar, pero en el camino se rompieron 16 botellas.
Si el mayorista ha decidido regalar 4 botellas por
cada 100 que venda, ¿a cuánto debe vender el
ciento para ganar S/ 118,12?
A) S/ 27 B) S/ 30
C) S/ 35 D) S/ 29
4 Cecilia compró 6 docenas de polos a S/ 35 cada
polo, pero por cada docena le regalaron uno.
Además, se sabe que al pagar le hicieron un
descuento de S/ 650. Si venderá cada polo a
S/ 37,50, ¿cuál será su ganancia por la venta
de todos los polos?
A) S/ 1200 B) S/ 1155
C) S/ 1055 D) S/ 1040
5 Un ómnibus que cubre la ruta Lima-Pisco recaudó
S/ 587,50 cobrando una única tarifa de S/ 12,50. Se
sabe que, durante su recorrido, por cada pasajero
que bajó, subieron 3. Si el ómnibus llegó a Pisco
con 38 pasajeros, ¿cuántos pasajeros partieron
desde Lima?
A) 25 B) 28
C) 27 D) 20
6 El pasaje directo de una línea de transporte público
es de S/ 3. Una de las unidades ha llegado al
paradero final con 53 pasajeros y ha recaudado
un total de S/ 195. Si en cada paradero bajaba
un pasajero y subían 3, ¿cuántos pasajeros partieron
del paradero inicial?
A) 29 B) 33
C) 37 D) 39
EJEMPLO 17
Un ómnibus que cobra un pasaje único de S/ 2,75
recaudó S/ 283,25 en una vuelta. Se sabe que,
durante su recorrido, por cada pasajero que bajó,
subieron 3. Si el ómnibus llegó al paradero final
con 79 pasajeros, ¿cuántos pasajeros subieron en
el paradero inicial?
• Identificamos los datos:
Total de pasajeros: 283,25 ÷ 2,75 = 103
Pasajeros que bajaron: 103 − 79 = 24
Pasajeros que subieron: 24 · 3 = 72
• Concluimos que los pasajeros que subieron
en el paradero inicial fueron: 103 – 72 = 31
En el paradero inicial subieron 31 pasajeros.
Cuatro operaciones
EJEMPLO 16
Javier compró 120 pollos por S/ 1500. Luego,
vendió una parte de ellos a S/ 849,60 ganando
S/ 5,20 en cada pollo, y otra parte a S/ 226,20
perdiendo S/ 3,80 en cada pollo. Si Javier quiere
obtener una ganancia de S/ 440,60, ¿a cuánto debe
vender cada uno de los pollos que le quedan?
• Identificamos datos:
Precio de un pollo: 1500 ÷ 120 = 12,50
1.a
venta: 849,60 ÷ (12,50 + 5,20) = 48 pollos
2.a
venta: 226,20 ÷ (12,50 − 3,80) = 26 pollos
Falta vender: 120 − (48 + 26) = 46 pollos
El ingreso restante debe ser:
1500 – (849,60 + 226,20) + 440,60 = 864,80
• Calculamos el precio de venta de un pollo:
864,80 ÷ 46 = 18,80
Cada pollo que le queda debe venderlo a S/ 18,80.
Ganancia
1.
B
2.
A
3.
C
4.
C
5.
D
6.
A
27
©
Santillana
S.
A.
Prohibido
fotocopiar.
D.
L.
822
MatSec3_U1 p8-57.indd 27 22/02/18 9:25 a.m.
Uso de software matemático
Comunica
• Representa números irracionales haciendo uso de programas
matemáticos. (1-12)
Para iniciar
Presente la siguiente situación: En una competencia de caballos, se observa
que Nilo se encuentra a 3,5 m del punto de partida; Danubio, a

√
___
13 m, y
Neptuno, a 24/5 m. Solicite que representen gráficamente las ubicaciones y
pregunte: ¿A qué conjunto pertenecen los números mencionados? (Racionales,
irracionales, racionales). ¿Entre qué números enteros se encuentra el valor
de

√
___
13? (Entre 3 y 4). ¿Qué proceso deben realizar para representar en forma
exacta la ubicación de

√
___
13 en la recta numérica? (Formar un triángulo
rectángulo cuya hipotenusa sea

√
___
13 y cuyos catetos sean dos números
cuadrados perfectos o uno de ellos sea irracional. Luego, con ayuda de un
compás, trasladar la medida de la hipotenusa sobre la recta numérica).
Para desarrollar
Pregunte: ¿Qué teorema relaciona los catetos y la hipotenusa? (El teorema de
Pitágoras). ¿Cómo se enuncia el teorema? (El cuadrado de la hipotenusa es
igual a la suma de los cuadrados de los catetos). Indique que comprueben
los valores presentados en el paso 2.
Luego de ubicar los puntos (0; 0) y (2; 0), pida que hagan clic derecho sobre
el punto A y seleccionen “Etiqueta visible”. Indíqueles que procedan de igual
forma con los demás puntos que ubiquen para que se observe el nombre
de cada uno. Comuníqueles que para borrar alguna acción incorrecta,
hagan clic en el botón “deshacer”. Para nombrar y observar el valor del
punto D, indíqueles que hagan clic derecho sobre el punto, seleccionen
“Propiedades”, “Etiqueta visible” y “Nombre y valor”. A continuación,
proponga a los estudiantes que activen el botón “zoom” y hagan clic en el
punto D para visualizar su valor con mayor número de decimales.
En relación con la situación inicial, pídales que realicen la representación
de las ubicaciones de cada caballo en la recta numérica con ayuda de
GeoGebra. Pregunte: ¿Qué medidas deben tener los catetos para representar

√
___
13? (3 y 2). ¿Quién se encuentra más cerca del punto de partida? (Nilo).
¿Quién está más lejos? (Neptuno).
Para consolidar
Motive a los estudiantes a explicar los procesos para representar, con ayuda
de GeoGebra, los números irracionales en la recta numérica.
Presente la situación: Pedro se encuentra a

√
___
26 cuadras al este del colegio, y
Abel, a

√
___
40 cuadras al este del colegio. Si a 6 cuadras al este del colegio, se
encuentra la biblioteca, ¿quién está más cerca de la biblioteca? (Abel). Pida
que la grafiquen.
Libro de actividades (pág. 26)
Libro de actividades (pág. 27)
Razonamiento matemático
Usa estrategias
y procedimientos
• Resuelve problemas que implican el uso de las operaciones de
adición, sustracción, multiplicación y división. (1-6)
Argumenta
afirmaciones
• Justifica los pasos que se deben seguir al resolver los problemas.
(1-6)
Para iniciar
Presente a los estudiantes las siguientes situaciones:
– Un comerciante pagó S/ 3128 por 136 camisas iguales.
– Mariela compra al crédito una máquina remalladora que cuesta S/ 3444 y
da una cuota inicial de S/ 122,50.
– Un canal de televisión transmite un comercial 38 veces al día, de lunes a
viernes.
– Roberto compró 6 mesas iguales, un horno de microondas a S/ 349,50
y un televisor a S/ 1850,50. Pídales que, para cada situación, elaboren
preguntas cuyas soluciones impliquen dos o más operaciones y, a partir
de ellas, las resuelvan. Por ejemplo, para el primer caso: Si el comerciante
pierde 44 camisas y quiere recuperar el dinero que pagó por ellas,
¿a cuánto debe vender cada una de las camisas restantes? (S/ 34).
Finalmente, pregunte: ¿Qué operaciones han realizado para responder las
preguntas elaboradas?
Para desarrollar
Motive a leer la situación del ejemplo 16. Para verificar que la han
comprendido, solicite que la parafraseen e identifiquen lo más importante
de ella. Acompañe el análisis de la resolución con estas preguntas: ¿Cuánto
pagó Javier por cada pollo? (S/ 12,50). Si obtuvo una ganancia de S/ 5,20 en
cada pollo, ¿a cuánto vendió cada uno? (12,50 + 5,20 = S/ 15,70). Si perdió
S/ 3,80 en cada pollo, ¿a cuánto vendió cada uno? (12,50 – 3,80 = S/ 8,70).
En la primera y segunda venta, ¿qué permite hallar las divisiones realizadas?
(El número de pollos vendidos). ¿Cuántos pollos se vendieron y cuántos faltan
vender? (Se vendieron 74 y falta vender 46). ¿Cuál es la diferencia entre el
precio de venta del pollo que queda y el precio del pollo de la primera venta?
(18,80 – 15,70 = 3,10).
En ejemplo 17, destaque la relación que existe entre el número de pasajeros
que bajan y suben: el número de pasajeros que suben es el triple de los que
bajan.
Para consolidar
Motive a los estudiantes a crear un problema cuya solución implique realizar
las cuatro operaciones. Luego, solicite voluntarios para que expongan sus
problemas a fin de validar, entre todos, la pertinencia de los datos propuestos
y justificar los procedimientos que se deben emplear.
53
52
Unidad
1
©
Santillana
S.
A.
Prohibida
su
reproducción.
D.
L.
822
©
Santillana
S.
A.
Prohibida
su
reproducción.
D.
L.
822

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