Este documento presenta un cuadernillo de actividades y ejercicios sobre la resolución de ecuaciones de segundo grado mediante el uso de un puzzle algebraico. El cuadernillo incluye ejercicios para clasificar ecuaciones de segundo grado, comprobar soluciones, resolver ecuaciones por tanteo, representar expresiones algebraicas con piezas de puzzle, escribir expresiones a partir de representaciones geométricas, y factorizar expresiones mediante la construcción de rectángulos con el puzzle.

1. Matemáticas 3º E.S.O.
Resolución de Ecuaciones de 2º grado
con puzzle algebraico
Cuadernillo de actividades y ejercicios de la
unidad didáctica experimental
Juan Jesús Larrubia Martínez
Alumno/a:

3. Cuadernillo de actividades y ejercicios. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico _______________________________________________ _________________ 3
1. Clasifica las siguientes ecuaciones de segundo grado por su expresión algebraica, de acuerdo al
esquema visto en clase.
Ecuaciones de 2º grado Tipo o forma de la ecuación de 2º grado
a) 0122
=+− xx
b) ( ) 095
2
=−+x
c) 053 2
=+ xx
d) ( )( ) 05·2 =−+ xx
e) 0162
=−x
f) 0252 2
=+− xx
g) ( ) 012
2
=+x
h) 0182 2
=−x
i) ( )( ) 03·12 =−+ xx
j) ( ) 034
2
=−x
k) 072 2
=− xx
l) ( ) 0423
2
=+−x
Ecuación en forma de
producto de dos factores o
FACTORIZADA
Ejemplo: (x-2).(x+3)=0
Sin
Término en X
Ejemplo: x
2
-9=0
Sin
Término independiente
Ejemplo: x
2
+4x=0
incompleta completa
Ejemplo: x
2
-5x+6=0
Ecuación en forma
GENERAL
con
término independiente
Ejemplo: (x-2)
2
-4=0
sin
término independiente
Ejemplo: (x+3)
2
=0
Ecuación en forma de
BINOMIO AL CUADRADO
Clasificación
Ecuaciones de 2º grado
por su expresión algebraica

4. Cuadernillo de actividades y ejercicios. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico _______________________________________________ _________________ 4
Recuerda la definición de soluciones o raíces vista en clase:
2. Dada la ecuación 0162
=−x . Comprueba que sus soluciones son: X = 4 y X = - 4
a) Sustituimos los valores 4 y –4 en la ecuación, para comprobar si son o no soluciones:
0162
=−x
016)4( 2
=−
01616 =−
00 =
• La igualdad se cumple para X= 4
0162
=−x
016)4( 2
=−−
01616 =−
00 =
• La igualdad se cumple para X= -4
Por tanto, los valores X = 4 y X = -4 son soluciones de la ecuación: 0162
=−x
b) Comprueba que otros valores de X, por ejemplo X = 3 y X = 5, no son soluciones de la ecuación:
0162
=−x
016)3( 2
=−
0169 =−
07 ≠−
• La igualdad no se cumple para X= 3
0162
=−x
016)5( 2
=−
01625 =−
09 ≠
• La igualdad no se cumple para X= 5
c) Comprueba para cualquier otro valor de X que no es solución de la ecuación:
0162
=−x
016)( 2
=−
016 =−
0≠
• La igualdad no se cumple para X=
0162
=−x
016)( 2
=−
016 =−
0≠
• La igualdad no se cumple para X=
Las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado son los valores de X que al
sustituirlos en la ecuación, hacen que la igualdad se cumpla.
Para x = - 4Para x = 4
Para x = 3 Para x = 5
Para x = Para x =

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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 5
3. Comprueba sí alguno de estos valores X = -3, X = - 1, X = 0, X = 1, X = 3 y X = 5, es solución
de alguna de las siguientes ecuaciones de 2º grado.
a) 092
=−x b) 012
=−x c) 02
=− xx
4. Resuelve por tanteo las siguientes ecuaciones de 2º grado.
a) 092
=− xx b) 1062
=−x c) 3382
=+x

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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 6
5. Dibuja las piezas del puzzle algebraico que representan geométricamente cada una de las
siguientes expresiones de 2º grado:
▫ Recuerda el ejemplo visto en clase para 352 2
++ xx
a) 1102
+− xx
b) 172 2
++ xx
c) 252
−− xx
d) 382
−+ xx
X2
X2 111X XX X X

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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 7
6. Escribe la expresión algebraica asociada a cada uno de las siguientes representaciones
geométricas realizadas con las piezas del puzzle algebraico.
▫ Recuerda el ejemplo visto en clase:
El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:
a)
El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:
b)
El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:
c)
El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:
d)
El grupo de piezas representa la expresión algebraica de 2º grado:
X2
-1 -1-1x -x -x -x
322
−− xx
X2 xxX2
x x
x x
x 11 1
-x -x-x -x -xX2
X2 11
1
-x
-x
xxx x X2
1 1
1 1
-x -x-x
1 1
1 1
X2
x
x

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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 8
7. Recuerda las reglas de construcción de rectángulos y cuadrados con puzzle algebraico.
• El tablero de construcción:
• Reglas de agrupación y combinación de piezas:
• Medida de la base
Medidadelaaltura
Punto de partida
• para colocar las piezas X
2
• para determinar las
Dimensiones de la
construcción
X2
•
Punto de partida
• para colocar las piezas X2
• para determinar las
Dimensiones de la
construcción
Medida de la base
Medidadelaaltura
X2
-1
-1
-1
-1 -1
-1
111 1
1ª Regla
Los cuadrados unidad tienen
que estar agrupados en un
único bloque, formando un
rectángulo o un cuadrado.
X2
-1
-1
-1
-1 -1
-1
2ª Regla
La placa X
2
y el bloque de cuadrados unidad
tienen que estar situadas en diagonal
No pueden situarse en la
misma fila o columna
-x
xxx
-x
3ª Regla
Las tiras positivas X y negativas –X,
no pueden estar “mezcladas” entre si.
No pueden combinarse
en un mismo bloque

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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 9
8. Escribe las dimensiones de los siguientes rectángulos y cuadrados.
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
•
-X
-X
xX2
x x
-1 -1
-1-1
-1
-1
1 1
1 1
•
X2 x x
x
x
X2 xx
•
•
X2 x x x
-1
-1-1-1
-1 -1
-1 -1 -1
-X
-X
-X
1 1 1 1
1 1 1 1
X2 -x-x-x-x
-x
-x
•
•
X2
x
x
x
x
1
1
1
1
1
•
X2
X2
X2
x
x
x
x
x
x
x
X2
1
-x
-x
-x
1
•

10. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 10
Recuerda la actividad realizada en clase:
Actividad: Obtener una expresión factorizada equivalente a 652
++ xx mediante la construcción de
un rectángulo con puzzle algebraico.
a) Construido el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus
dimensiones:
• Área a partir de sus componentes: • Área a partir de sus dimensiones:
− El área del rectángulo como suma de sus
componentes, es:
− El área del rectángulo como producto de las
medidas de su base por su altura, es:
b) Con lo que obteniamos la factorización de la expresión inicial:
9. Factoriza la expresión: 862
++ xx . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico
a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresión, y dibújalo
con sus dimensiones.
b) Escribe la expresión factorizada equivalente a 862
++ xx obtenida a partir de la construcción:
=++ 862
xx
Área rectángulo = 652
++ xx Área rectángulo = ( ) ( )2x.3x ++
1 1 1
1 1 1
• X+3
X+2
X2 x x x
x
x
( )( )2·3652
++=++ xxxx

11. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 11
10.Factoriza la expresión: 372 2
++ xx . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle
algebraico
a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresión, y dibújalo
con sus dimensiones.
b) Escribe la expresión factorizada equivalente a 372 2
++ xx obtenida a partir de la construcción:
=++ 372 2
xx
11.Factoriza la expresión: 122
+− xx . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico
a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas del puzzle que representan la expresión.
Dibuja el rectángulo con sus dimensiones Representa de forma simplificada la
construcción realizada.
b) Escribe la expresión factorizada equivalente a 122
+− xx obtenida:
=+− 122
xx
12.Factoriza la expresión: 652
+− xx . A partir de la construcción de un rectángulo con puzzle algebraico
Representa el rectángulo construido: Escribe la expresión factorizada:
=+− 652
xx
X
X
•
X2
-X
-1
-1
-X
1
•

12. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 12
13. Escribe en forma factorizada las siguientes expresiones de 2º grado:
a) ( )( )3·41272
++=++ xxxx
b) ( )( )·1682
=++ xx
c) =−+ 22
xx
14.Completa la siguiente tabla:
1582
++ xx ( )( )3·5 ++ xx
( )( )·
672 2
+− xx ( )( )·
( )( )3·2 −+ xx
X
X
•
X
2
3X
+4
+3
4X
12
•
X
X
•
X
2
3X
+5
+3
5X
15
•
X
2
-2X
-6X
12
2X
X
• −3
−2
•

13. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 13
Recuerda la Actividad 1 realizada en clase: Resuelve la ecuación de 2º grado 0452
=+− xx con
puzzle algebraico mediante la construcción de un rectángulo.
a) Construido el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus
dimensiones:
• Mediante lo cual, obteníamos la ecuación de 2º
grado equivalente a 0452
=+− xx en forma
factorizada:
b) Resolviendo algebraicamente esta ecuación equivalente, teníamos las soluciones:
Esquema de resolución Procedimiento algebraico
( ) 01)·4( =−− xx
• Para que un producto sea cero, uno de los
factores (o los dos) debe ser cero:
( ) 01)·4( =−− xx ⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
01
04
xSí
xSí
⇒
⇒
1
4
=
=
x
x
• Por tanto, las soluciones son:
15.Resuelve la ecuación de 2º grado 0862
=+− xx mediante la construcción de un rectángulo.
a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación:
Dibuja el rectángulo con sus dimensiones Representa de forma simplificada el rectángulo.
b) Escribe la ecuación factorizada equivalente a 0862
=+− xx
• X-4
X-1
111
X2
-x 1
-x -x-x -x
( )( ) 01·4 =−− xx
Uno de los
factores es cero
(x-4) . (X-1) = 0
Soluciones X = 1X = 4
x−1 = 0x−4 = 0
Si (x−4)
es cero
Si (x−1)
es cero
4=x y 1=x
•

14. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 14
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
Esquema de resolución Procedimiento algebraico
16.Resuelve la ecuación de 2º grado 0342
=++ xx mediante la construcción de un rectángulo.
a) Construye un rectángulo, a partir de las piezas que representan el 1er miembro de la ecuación:
Dibuja el rectángulo con sus dimensiones Representa de forma simplificada el rectángulo.
b) Escribe la ecuación factorizada equivalente a 0342
=++ xx
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
Uno de los
factores es cero
(x−4) . (x−2) =
Soluciones X = 2X = 4
x−2 = 0x−4 = 0
Si (x−4)
es cero
Si (x−2)
es cero
•

15. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 15
Recuerda la Actividad 3 realizada en clase: Resuelve la ecuación de 2º grado 0822
=−+ xx con
puzzle algebraico mediante la construcción de un rectángulo.
a) Con la selección de piezas que representan el 1er
miembro de la ecuación obtenemos un rectángulo
incompleto.
• Para completar el rectángulo, añadimos parejas de piezas con signos opuestos que denominaremos
“parejas de área cero”.
b) Completado el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus
dimensiones:
• Mediante lo cual, obteníamos la ecuación de 2º
grado equivalente a 0822
=−+ xx en forma
factorizada:
c) Resolviendo esta ecuación factorizada equivalente obtenemos las soluciones:
( ) 02)·4( =−+ xx ⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=+
02
04
xSí
xSí
⇒
⇒
2
4
=
−=
x
x
• Por tanto, las soluciones son:
•
xX2 x x
-1 -1
-1-1
-1 -1
-1-1
x
-X
-X
En total, para completar
hemos necesitado:
x-x + + x-x +
2 parejas de tiras X y –X
que representan un área cero
022 =− XX
X+4
X-2
•
-X
-X
xX2 x x x
-1 -1
-1-1
-1 -1
-1-1
( ) ( ) 02-·4 =+ xx
4−=x y 2=x
Uno de los
factores es cero
(x+4)·(X-2) = 0
Soluciones X = 2X = - 4
x−2 = 0X+4 = 0
Si (x+4)
es cero
Si (x−2)
es cero

16. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 16
17.Resuelve la ecuación de 2º grado 022
=−+ xx con puzzle algebraico, mediante la construcción
de un rectángulo.
a) Representa el rectángulo construido, a
partir de las piezas que representan el 1er
miembro de la ecuación:
b) Escribe la ecuación factorizada
equivalente a 022
=−+ xx
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
18.Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado 0432
=−− xx .
a) Representa el rectángulo construido, a
partir de las piezas que representan el 1er
miembro de la ecuación:
b) Escribe la ecuación factorizada
equivalente a 0432
=−− xx
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
•
•

17. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 17
Recuerda la Actividad 5 realizada en clase: Resuelve con puzzle algebraico la ecuación incompleta
022
=+ xx mediante la construcción de un rectángulo.
a) Construido el rectángulo, calculábamos su área a partir de sus componentes y a partir de sus
dimensiones:
• Mediante lo cual, obteníamos la ecuación de 2º
grado equivalente a 022
=+ xx en forma
factorizada:
b) Resolviendo algebraicamente esta ecuación equivalente, teníamos las soluciones:
( ) 02· =+xx ⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=
02,
0,
xSí
xSí
⇒
⇒
2
0
−=
=
x
x
19.Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado incompleta
02
=− xx .
a) Representa el rectángulo construido, a
partir de las piezas que representan el 1er
miembro de la ecuación:
b) Escribe la ecuación factorizada
equivalente a 02
=− xx
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
X+2
X X2 xx
•
0=x y 2−=x
( ) 02· =+xx
•

18. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 18
20.Resuelve por factorización (construyendo un rectángulo) la ecuación de 2º grado incompleta
052
=+ xx .
a) Representa el rectángulo construido, a
partir de las piezas que representan el 1er
miembro de la ecuación:
b) Escribe la ecuación factorizada
equivalente a 052
=+ xx
c) Resuelve la ecuación equivalente obtenida:
Observación: Las ecuaciones de 2º grado incompletas, sin término independiente, del tipo 02
=+ bxx
vistas en los ejemplos anteriores, o del tipo general 02
=+ bxax siempre pueden factorizarse y
escribirse de la forma:
• Este tipo de factorización se denomina: “sacar factor común X”.
Ejemplos: Los ejercicios anteriores pueden resumirse en la siguiente tabla.
Ecuación de 2º grado incompleta sin
término independiente
Representación geométrica
“simplificada”
Ecuación factorizada:
“sacando factor común X”
022
=+ xx ( ) 02· =+xx
02
=− xx ( ) 01· =−xx
052
=+ xx ( ) 05· =+xx
( ) 0· =+ baxx
X+2
X
•
X
2
2X
X−1
X
•
X
2
−X
X+5
X
•
X
2
5X
•

19. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 19
21.Resuelve “sacando factor común X” las siguientes ecuaciones de 2º grado incompletas, sin
término independiente.
a) 092
=− xx
b) 0
3
12
=− xx
c) 052 2
=− xx
d) 043 2
=− xx

20. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 20
22.Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado factorizadas.
a) ( ) ( ) 01·2 =−− xx
• Recuerda: Para que un producto sea cero, uno
de los factores (o los dos) debe ser cero:
( ) 01)·2( =−− xx ⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
01
02
xSí
xSí
⇒
⇒
1
2
=
=
x
x
• En consecuencia, las soluciones son:
b) ( ) ( ) 04·3 =+− xx
c) ( ) 0·62 =+ xx
d) ( )( ) 02·1 =−− xx
2=x y 1=x
Que el producto es cero
Significa:
Uno de los
factores es cero
(x−2)·(x−1) = 0
Soluciones X = 1X = 2
x−1 = 0X−2 = 0
Si (x−2)
es cero
Si (x−1)
es cero

21. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 21
e) ( )( ) 011·5 =+− xx
f) ( )( ) 037·52 =−− xx
g) ( ) 0428·
4
3
=+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
− xx

22. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 22
23.Ecuaciones equivalentes. Criterios de equivalencia.
Dos ecuaciones (de primer o de segundo grado) son equivalentes si tienen las mismas soluciones o
raíces.
23.1. Criterios de equivalencia.
Recuerda los criterios de equivalencia vistos en el tema de ecuaciones de primer grado:
a) Criterio de la suma: Si a los dos miembros de una ecuación (de 1er
o 2º grado) se les suma o se
les resta un mismo número, obtenemos una ecuación equivalente.
b) Criterio del producto: Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un
mismo número, no nulo, obtenemos una ecuación equivalente.
Ejemplo: Dada la ecuación de 2º grado: 0232
=+− xx , con soluciones 1=x y 2=x :
a) Comprueba que se cumple el criterio de la suma para un número concreto.
b) Comprueba que se cumple el criterio del producto para un número concreto.
Prueba del criterio de la suma, para 5:
− Si sumamos 5 a los miembros de la ecuación,
505232
+=++− xx
− Obtenemos,
5732
=+− xx
Prueba del criterio del producto, para 3:
− Si multiplicamos por 3 los dos miembros de la
ecuación,
0·3)23·(3 2
=+− xx
− Obtenemos
0693 2
=+− xx
− Comprobemos que 1=x y 2=x son
soluciones de esta ecuación:
a) Sustituimos en la ecuación la solución 1=x
( ) 571·31
2
=+−
5731 =+−
55 =
La igualdad se cumple para 1=x
− Comprobemos que 1=x y 2=x son
soluciones de esta ecuación:
a) Sustituimos en la ecuación la solución 1=x
( ) 061·913
2
=+−
0693 =+−
00 =
La igualdad se cumple para 1=x
b) Sustituimos en la ecuación la solución 2=x
( ) 572·32
2
=+−
5764 =+−
55 =
La igualdad se cumple para 2=x
b) Sustituimos en la ecuación la solución 2=x
( ) 062·923
2
=+−
061812 =+−
00 =
La igualdad se cumple para 2=x
− Por tanto, se comprueba que la ecuación
resultante 5732
=+− xx es equivalente a la
primera.
− Por tanto, se comprueba que la ecuación
resultante 0693 2
=+− xx es equivalente a la
primera.

23. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 23
23.2. Aplicación de los criterios de equivalencia en la resolución de ecuaciones de 2º grado.
Los criterios de equivalencia en especial el criterio del producto puede aplicarse para la simplificación,
como para la elimininación de denominadores de ecuaciones de 2º grado, previamente a su resolución.
Ejemplo: Resuelve la ecuación de 2º grado
0168 2
=+ xx
− Los términos de la ecuación son a simple vista
multiplos de 8, por lo que podemos dividir los
dos miembros de la ecuación entre 8.
( ) 0·
8
1
168·
8
1 2
=+ xx
− Obtenemos la ecuación equivalente
simplificada:
022
=+ xx
Ecuación ya resuelta en apartados anteriores.
Ejemplo: Resuelve la ecuación de 2º grado
022
2
1 2
=+− xx
− Para eliminar el denominador podemos
multiplicar los dos miembros de la ecuación por
2
0·222
2
1
·2 2
=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+− xx
− Obteniendo la ecuación equivalente:
0442
=+− xx
Ecuación que resolvemos algebraicamente
( ) 02· =+xx ⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=
02
0
xSí
xSí
⇒
⇒
2
0
−=
=
x
x
( ) ( ) 02·2 =−− xx ⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−
=−
02
02
xSí
xSí
⇒
⇒
2
2
=
=
x
x
Por lo que tenemos las soluciones: Por lo que tenemos las soluciones:
Estas soluciones son también las soluciones de
la ecuación inicial: 0168 2
=+ xx
Estas soluciones son también las soluciones de
la ecuación inicial: 022
2
1 2
=+− xx
23.3. Simplifica las siguientes ecuaciones de 2º grado, mediante el criterio del producto.
Ecuaciones de 2º grado Multiplicar o Dividir por/entre: Ecuaciones “simplificadas”
a) 018153 2
=++ xx
b) 04
2
1 2
=−+ xx Multiplicando por 2 0822
=−+ xx
c) 01
3
82
=−− xx
d) 0305 2
=− xx
e) 0123 2
=−x
0=x y 2−=x 2=x y 2=x

24. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 24
Recuerda la actividad vista en clase.
Resuelve la ecuación de 2º grado 03134 2
=++ xx con puzzle algebraico, mediante la construcción
de un rectángulo.
a) Seleccionadas las piezas del puzzle que representan el primer miembro de la ecuación, construimos
el rectángulo con dimensiones:
• Considerando las dimensiones del rectángulo
construido, tenemos la igualdad de las dos
expresiones de 2º grado:
( ) ( )3x.143134 2
++=++ xxx
• Por tanto, la ecuación de 2º grado factorizada
equivalente a 3134 2
++ xx es:
( ) ( ) 03x·14x =++
b) Resolviendo algebraicamente esta ecuación de 2º grado equivalente tenemos las soluciones:
• Para que un producto sea cero, uno de los factores (o los dos) debe ser cero:
( ) ( ) 03·14 =++ xx ⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
03
014
x
x
⇒
⇒
3
4
1
−=
−=
x
x
• En consecuencia, las soluciones son:
24.Resuelve la ecuación de 2º grado 0372 2
=++ xx con puzzle algebraico, mediante la
construcción de un rectángulo.
a) Construye y dibuja un rectángulo con las piezas que representan la ecuación.
• Representa mediante la notación simplificada el
rectángulo construido.
1
1
1
•
X2
X2
X2
X2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
4X+1
X+3
4
1
−=x y 3−=x
2X
X
•
2X2
6X
+1
+3
X
3

25. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 25
b) Escribe la ecuación factorizada equivalente, a partir de la construcción desarrollada.
c) Resuelve la ecuación factorizada equivalente obtenida:
25.Resuelve la ecuación de 2º grado 0132 2
=+− xx con puzzle algebraico, mediante la
construcción de un rectángulo.
a) Construye un rectángulo con las piezas que representan la ecuación. Dibuja con sus
dimensiones el rectángulo construido.
• Representa mediante notación simplificada el
rectángulo construido.
b) Escribe la ecuación factorizada equivalente, a partir de la construcción desarrollada.
c) Resuelve la ecuación factorizada equivalente obtenida:
•

26. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 26
26.Resuelve la ecuación de 2º grado incompleta 043 2
=− xx con puzzle algebraico, mediante la
construcción de un rectángulo.
a) Construye un rectángulo y represéntalo
mediante notación simplificada.
b) Escribe la ecuación factorizada equivalente,
a partir de las dimensiones del rectángulo.
c) Resuelve la ecuación factorizada equivalente obtenida:
27.Resuelve la ecuación de 2º grado incompleta 0217 2
=+ xx simplificando y sacando factor
común X.
a) Escribe la ecuación factorizada equivalente:
b) Resuelve la ecuación factorizada equivalente obtenida:

27. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 27
28.Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado mediante factorización.
a) 0122
=++ xx
b) 0252 2
=+− xx
c) 01872
=−− xx

28. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 28
d) 0383 2
=−− xx
29.Simplifica y resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado mediante factorización.
a) 018153 2
=++ xx
b) 028217 2
=−+ xx

29. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 29
30.Método de completar cuadrados con puzzle algebraico.
El método de completar cuadrados con puzzle algebraico consiste en construir o completar un
cuadrado con las piezas del puzzle que representan el 1er
miembro de una ecuación de 2º grado en
forma general, para obtener una ecuación equivalente en forma de binomio al cuadrado, con o sin
término independiente.
• Ejemplos:
31.Escribe en forma de binomio al cuadrado las siguientes ecuaciones de 2º grado, a partir de la
construcción de un cuadrado con puzzle algebraico
a) 0962
=++ xx ( ) 03
2
=+x
b) 025102
=++ xx
c) 0144 2
=+− xx
d) 09124 2
=++ xx
0962
=++ xx
0)3( 2
=+x
x
1
1
1
•
X2 x
x
x
x
X+3
X+3
x
1
1
1
1
1
1
( )( ) ( )2
33.3 +=++ xxx
0342
=+− xx
1
1
1
•
X2 -x -x
-x
-x
+ 1 -1+
X-2
X-2
( )( ) ( ) 1212.2
2
−−=−−− xxx
01)2( 2
=−−x
x
1
1
1
•
X2 x
x
x
x
X+3
X+3
x
1
1
1
1
1
1

30. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 30
32.Resuelve las ecuaciones en forma de binomio al cuadrado obtenidas en el ejercicio anterior.
Recuerda la resolución de la ecuación ( ) 03
2
=+x vista en clase:
Esquema de resolución Procedimiento algebraico
• El binomio al cuadrado es una potencia por
lo que es igual al producto:
( ) 03).3( =++ xx
• Por tanto uno de los factores será cero:
( ) 03).3( =++ xx ⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+
=+
03
03
x
x
⇒
⇒
3
3
−=
−=
x
x
• En consecuencia, la ecuación tiene dos
soluciones iguales (también se llama
solución doble):
Ecuación general Ecuación binomio al cuadrado Soluciones
b) 025102
=++ xx
c) 0144 2
=+− xx
d) 09124 2
=++ xx
Uno de los factores
es cero
SolucionesX = − 3 X = − 3
Sí (x+3)
es cero
Una potencia al cuadrado
es igual a:
Sí (x+3)
es cero
( ) 03
2
=+x
( ) ( ) 03·3 =++ xx
3−=x y 3−=x

31. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 31
33.Escribe en forma de binomio al cuadrado las siguientes ecuaciones de 2º grado, por el método de
completar cuadrados
a) 0342
=+− xx ( ) 012
2
=−−x
b) 0362
=++ xx
c) 01282
=+− xx
d) 020102
=+− xx
e) 0522
=−+ xx
f) 0384 2
=++ xx
g) 08129 2
=+− xx
h) 082
=− xx
-x
-x
•
X2
X-2
X-2
1
1
-x -x
1
1
-1+

32. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 32
Recuerda las condiciones que deben cumplir los coeficientes de una ecuación de 2º grado
para aplicar el método de completar cuadrados.
Para poder aplicar el método de completar cuadrados los coeficientes a y b de la ecuación deben
cumplir las siguientes condiciones:
En el caso de no cumplirse alguna de las dos condiciones anteriores, podemos hacer que se
cumplan multiplicando los dos miembros de la ecuación por 4a.
Recuerda la Actividad 10. Resuelve mediante el método de completar cuadrados la ecuación
0552
=+− xx .
a) Comprobamos si se cumplen las condiciones para la aplicación del método:
− Los valores de los coeficientes son: a = 1 que es un cuadrado perfecto y b = − 5 que no es
múltiplo de 2. En consecuencia, estos no cumplen las condiciones requeridas.
b) Ajustamos los coeficientes para que se cumplan las condiciones:
Multiplicando los dos miembros de la ecuación inicial por a4 que en este caso vale 4:
0·4)55·(4 2
=+− xx
Obtenemos una ecuación equivalente que sí cumple las condiciones:
020204 2
=+− xx
c) Aplicando el método de completar cuadrados tenemos:
• Por lo que la ecuación de 2º grado equivalente (iguales soluciones) a 020204 2
=+− xx y a la
ecuación inicial 0552
=+− xx en forma de binomio al cuadrado, es:
El coeficiente de X2
“a” tiene que ser un cuadrado perfecto.
El coeficiente de X “b” tiene que ser múltiplo de 2.
( ) 0552
2
=−−x
-x -x
-x -x
-x -x
-x -x
-x
-x
-x
-x
-x
-x
-x
-x
-x
-x
-x -x
•
X2
X2
X2
X2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2X-5
2X-5
-1
-1
-1
-1
-1
+

33. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 33
34.Resuelve por el método de completar cuadrados la ecuación de 2º grado: 0232
=+− xx
a) Comprobamos si la ecuación cumple las condiciones para la aplicación del método:
b) Ajustamos los coeficientes para que se cumplan las condiciones:
c) Construcción del cuadrado:
d) Ecuación equivalente:
e) Resolución algebraica:
Esquema de resolución Procedimiento algebraico
Transponemos
términos
Extraemos
raíz cuadrada
en los dos miembros
de la ecuación
( ) 132
2
=−x
( ) 132
2
=−x
132 ±=−x
( ) 0132
2
=−−x
− 1+1
SolucionesX = 2 X = 1
2X−3 = −12X−3 = 1

34. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 34
35.Resuelve por el método de completar cuadrados la ecuación de 2º grado: 0742
=+− xx
a) Comprobamos si la ecuación cumple las condiciones para la aplicación del método:
b) Construcción del cuadrado y ecuación equivalente:
c) Resolución algebraica:
36.Resuelve por el método de completar cuadrados la ecuación de 2º grado: 0172 2
=++ xx

35. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 35
37.Resuelve las siguientes ecuaciones dadas en forma de binomio al cuadrado.
a) ( ) 093
2
=−−x
b) ( ) 01612
2
=−+x
c) ( ) 053
2
=−−x
d) ( ) 0412
2
=++x

36. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 36
Recuerda: Método resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico
1. Representación
geométrica de la ecuación
Ecuación de 2º grado
en forma general completa o incompleta
Selección del conjunto de piezas del puzzle
que representan el 1
er
miembro de la
ecuación de 2º grado
3. Obtención de ecuaciones
equivalentes mediante
el cálculo del
área.
4. Resolución
algebraica.
Soluciones de la ecuación
Aplicamos
Procedimiento algebraico
de resolución de ecuaciones
en forma de producto
Aplicamos
Procedimiento algebraico
de resolución de ecuaciones
en forma de binomio al
cuadrado
2. Construcción de rectángulos
y/o cuadrados.
No es
posible
construcción de un
cuadrado
(o completar un cuadrado)
partiendo del conjunto de
piezas seleccionadas
Ecuación de 2º grado
equivalente
en forma de binomio
al cuadrado
Si
Construcción de un
rectángulo
partiendo del conjunto de
piezas seleccionadas
Ecuación de 2º grado
equivalente
en forma de producto
de factores
A partir del producto de las
dimensiones del rectángulo
Obtenemos:
Si
A partir del producto de las
dimensiones del cuadrado
Obtenemos:

37. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 37
38.Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado.
a) 09102
=+− xx
b) 0752
=++ xx
c) 0962
=+− xx

38. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 38
Recuerda el método general de resolución de ecuaciones de 2º grado, visto en clase:
La generalización del método de completar cuadrados para una ecuación de segundo grado
expresada en forma general:
02
=++ cbxax
Nos proporciona una fórmula general para obtener las soluciones o raíces de la ecuación en
función de los coeficientes a, b y c.
La fórmula general, escrita en forma abreviada, es:
En forma desarrollada tenemos que las dos soluciones de la ecuación de 2º grado, se obtienen
mediante las fórmulas:
El método general de resolución consiste en:
• determinar los valores a, b y c de la ecuación de 2º grado expresada en forma general,
• sustituir los valores en la fórmula, y
• realizar las operaciones, hasta obtener las soluciones, si las hubiese.
Recuerda la actividad 12. Resuelve la ecuación 0652
=−+ xx aplicando el método general
Sustituyendo los valores 651 −=== cba en la fórmula tendríamos:
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=
−−
=
=
+−
=
=
±−
=
±−
=
−−±−
=
2
75
2
75
2
75
2
495
1.2
)6.(1.455
2
1
2
x
x
x
2
12
1
2
2
−
=
6−=
Por tanto, las soluciones son:
a
cabb
x
·2
··42
−±−
=
a
cabb
x
·2
··42
1
−+−
=
a
cabb
x
·2
··42
1
−−−
=
1=x y 6−=x

39. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 39
39.Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado utilizando la “fórmula” (método general).
a) 0252 2
=+− xx
b) 0742
=+− xx
c) 018153 2
=++ xx

40. Cuadernillo de actividades y ejercicios de la unidad didáctica experimental. J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico ________________________________________________________________ 40
40.Resuelve las siguientes ecuaciones de 2º grado utilizando la “fórmula” (método general).
a) 0122
=++ xx
b) 028217 2
=−+ xx
c) 0383 2
=−− xx