El documento presenta nueve problemas sobre la construcción de polígonos regulares inscritos en una circunferencia usando solo regla y compás. Explica cómo construir cuadrados, octógonos, hexágonos, triángulos equiláteros, dodecágonos y ofrece métodos para polígonos de cualquier número de lados.

1. PROFESORADO DE EDUCACION SECUNDARIA EN MATEMATICA
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CONSTRUCCION DE POLIGONOS REGULARES
Problema 1
Construir un cuadrado inscrito en una circunferencia
Solución: Basta trazar dos diámetros perpendiculares y unir sus extremos.
Actividad: justifica la solución anterior con las propiedades del cuadrado
Designando por l4 el lado del cuadrado, resulta 𝐴𝐵 = 𝑙4. El ángulo del centro < 𝐴𝑂𝐵 mide 90°
Problema 2
Construir un octógono regular inscrito en una circunferencia.
Solución:
1° Se trazan dos diámetros perpendiculares
2° Se trazan las bisectrices de los ángulos del centro de 90° que se formaron en el paso
anterior.
3° Se unen sucesivamente os puntos obtenidos sobre la circunferencia, resultando 𝐴𝐵 =
𝑙8 el lado del octógono. En este polígono el ángulo del centro mide 45°.

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Así podríamos seguir construyendo el polígono de 16, 32,64,….=4. 2 𝑛
siendo 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥
0
¿Puedes argumentar o justificar, por qué es cierto la última afirmación?
Problema 3
Construir un hexágono regular inscrito en una circunferencia
Solución:
1° Se traza un diámetro 𝑀𝑁̅̅̅̅̅
2° Se triseca el < 𝑀𝑂𝑁 = 180° para lo cual basta cortar con el radio sobre la
semicircunferencia desde M hasta N. Se obtiene 𝐴𝐵 = 𝑙6 que resulta ser el lado del
hexágono.
¿Por qué basta con realizar esa acción para trisecar el ángulo < 𝑴𝑶𝑵?
El ángulo del centro es < 𝐴𝑂𝐵 = 60°
Problema 4
Construir un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia

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Solución:
1° Se procede igual que en el hexágono aplicando el radio sucesivamente.
2° Al unir con segmentos “punto de por medio” se obtiene el triángulo equilátero inscrito
de lado 𝐴𝐵 = 𝑙3 y ángulo central < 𝐴𝑂𝐵 = 120°
¿Por qué hay que unir “punto de por medio”?
Problema 5
Construir un dodecágono regular inscrito en una circunferencia.
Solución 1:
1° Se procede igual que en el hexágono obteniéndose seis ángulos centrales de 60° cada
uno.

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2° Se trazan las bisectrices de estos ángulos y se unen sucesivamente los puntos
obtenidos en la circunferencia.
Resulta que < 𝐴𝑂𝐵 = 30°, 𝐴𝐵 = 𝑙12
¿Por qué hay que trazar las bisectrices de los ángulos centrales del hexágono
regular?
Solución 2:
1° Se marcan los extremos A,B,C y D de dos diámetros perpendiculares.
2° Desde estos puntos se corta la circunferencia con una magnitud igual al radio.
3° Se unen sucesivamente los puntos obtenidos, resultando el dodecágono regular.
De esta forma es posible seguir construyendo lo que se conoce como la “serie del
triángulo o del hexágono” que representa a los polígonos de 3,6,12,24,….3. 2 𝑛
siendo
𝑛 ∈ ℕ y 𝑛 ≥ 0
Utilizando esta técnica construye polígonos regulares de 24 y 48 lados
Problema 6
Construir un pentágono regular inscrito en una circunferencia.
Solución:
La solución más simple y rápida consiste en dibujar, con la ayuda de un transportador, un
ángulo central de 72°.
¿Podrías encontrar alguna forma de construir un ángulo de 72°, sin utilizar el
transportador, es decir, utilizando solamente la regla no graduada y el compás?

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Problema 7
Construir un decágono regular inscrito en una circunferencia.
Solución
Análogamente como se hizo en el pentágono bastaría dibujar con el transportador un
ángulo central de 36° ya que 360°: 10 = 36°. Entonces 𝐴𝐵 = 𝑙10
Podríamos seguir con polígons de 20,40, 80,… lados y obtener la “serie del pentágono”
5,10,20,…5. 2 𝑛
siendo 𝑛 ∈ ℕ y 𝑛 ≥ 0

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Problema 8
Construir un polígono regular de n-lados, siendo 𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 > 4
Daremos un método bastante aproximado que es útil tanto para dibujar un polígono
regular como para dividir una circunferencia en arcos iguales. Tomemos por ejemplo n=9,
es decir dibuja un nonágono regular, o bien, dividir una circunferencia en 9 arcos iguales.
1° Se trazan dos diámetros perpendiculares.
2° se divide el radio 𝑂𝑀̅̅̅̅̅ en n partes iguales, en nuestro ejemplo son 9 partes iguales.
3° Con centro en M y radio 𝑀𝑁̅̅̅̅̅ se corta la prolongación del otro diámetro determinándose
el punto A.
4° Se une A siempre con la 4ta
división del radio y se prolonga hasta cortar la
circunferencia en un punto, en este caso, es punto es llamado C.
5° La cuerda 𝐵𝐶̅̅̅̅ es el lado del polígono regular pedido. Con el compás se mide esta
cuerda y se la aplica sucesivamente a partir de B o C cortando la circunferencia.
De este modo la cuerda 𝐵𝐶̅̅̅̅ = 𝑙𝑛.
Problema 9
Construir un polígono regular de 7 lados
Este problema lo dejamos abierto para que investigues e intentes construir uno.