El método del algeblocks sirve para resolver ecuaciones cuadraticas sencillas mediante una bonita y animada forma de apren

1. Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 9
Introducción
El material didáctico puzzle algebraico es una colección de piezas con la que se
puede representar geométricamente una expresión algebraica de segundo grado. Está
inspirado en una versión simplificada (compuesta por placas, tiras y unidades) de los
Bloques Multibase de Dienes, utilizada por Bruner y el propio Dienes en 19631
para la
construcción de cuadrados, como representación geométrica de trinomios de términos
positivos de segundo grado que son cuadrados perfectos, en el contexto de una
investigación con escolares sobre etapas de desarrollo cognitivo.
Puzzle algebraico es una versión ampliada y original, en cuanto a la metodología de
combinación de las piezas, en cuanto a los trinomios que pueden representarse, y en
cuanto a su campo de aplicación a la resolución de todo tipo de ecuaciones de segundo
grado, del modelo de Dienes y de otros modelos también inspirados en la versión
simplificada de los Bloques Multibase, denominados algebra tiles2
(utilizados en Estados
Unidos) y orientados entre otras aplicaciones (como son el producto de monomios y de
binomios, el cuadrado de un binomio de 1er
grado, etc.) a la factorización de trinomios de
segundo grado.
Su aplicación a la resolución de ecuaciones de segundo grado, constituye un
método mixto (geométrico y algebraico) de resolución que tiene entre sus antecedentes la
factorización geométrica de trinomios de segundo grado y el método de completar
cuadrados desarrollado por Mohammed Ibn Musa Al-Khwarizmi (780-850), matemático
árabe considerado padre del álgebra por su obra “Hisab al-yabr wa´l muqqabala”, por lo
que puede ser considerado un método de resolución con raíces interculturales que
contempla el desarrollo histórico de las matemáticas.
El método de resolución de ecuaciones de segundo grado con puzzle algebraico
está basado en la trasformación algebraica de la expresión general de la ecuación que
se quiere resolver, en una ecuación equivalente más sencilla con expresión factorizada o
en forma de binomio al cuadrado, con o sin término independiente, obtenida de la medida
de las dimensiones de un rectángulo o un cuadrado, construido a partir de la colección de
piezas del puzzle algebraico que representa la expresión algebraica de la ecuación de
segundo grado inicial. Las soluciones de la ecuación, si las hubiese, se obtienen
aplicando a la ecuación equivalente procedimientos algebraicos “directos” de resolución
(como el del producto de dos factores cuyo resultado es cero o el criterio de la raíz).
1
Citado por Resnick, L y Ford, W. 1981. The Psychology of mathematics for instrucción, (pag. 119).
2
Leitze, A. R. y Kitt, N. A. 2000. Using homemade Algebra Tiles to develop Algebra and Prealgebra conceps. Mathematics
Teacher, Vol. 93 issue 6, september 2000, (pag. 462-520).

2. Representación geométrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ________________________________________________ 10
1. Representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado con puzzle algebraico.
1.1. Descripción del material didáctico puzzle algebraico.
Llamamos puzzle algebraico a una colección de figuras geométricas planas, formada por cuadrados
y rectángulos que representan:
el cuadrado de área 1 de dimensiones 1 x 1, que denominaremos unidad positiva.
el rectángulo de área X de dimensiones 1 x X, que denominaremos tira positiva.
el cuadrado de área X2
de dimensiones X x X, que denominaremos placa positiva.
Cuadrado de área 1
Unidad positiva
Rectángulo de área X
Tira positiva
Cuadrado de área X2
Placa positiva
Está colección está inspirada, como hemos comentado en la introducción, en una versión simplificada
de los Bloques Multibase de Dienes (Dienes [1964]), de las que las piezas del puzzle toman el
nombre, y con las que sólo se pueden representar trinomios de segundo grado de términos positivos.
En consecuencia, sí queremos representar cualquier trinomio de segundo grado (con términos
positivos y/o negativos), debemos completar la colección inicial con las versiones negativas de las
piezas anteriores.
Cuadrado de área - 1
Unidad negativa
Rectángulo de área – X
Tira negativa
Cuadrado de área - X2
Placa negativa
Aunque las áreas y las medidas de los lados de los rectángulos no pueden ser negativas, en el
modelo didáctico de representación desarrollado, las piezas negativas, representan figuras con área
negativa como consecuencia de ser negativa la medida de uno de sus lados.
1
1
1 X1
X
X2
X
X
- 1
1
- 1 - X- 1
X
- X
2
X
- X

3. Guía del material puzzle algebraico J.J. Larrubia.
___________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 11
1.2. Representación geométrica de expresiones algebraicas de 2º grado mediante un conjunto de
piezas.
Toda expresión de 2º grado en forma general completa ( cbxax2
) o incompleta ( bxax2
o
cax2
) puede ser representada geométricamente por un conjunto de piezas del puzzle algebraico.
Esta representación geométrica se realiza término a término.
En concreto:
1) El término cuadrático (
2
ax ) se representa mediante:
a) Una placa o conjunto de placas
2
X cuando
2
ax es positivo.
Ejemplos:
x2
2x2
3x2
4x2
···
b) Una placa o conjunto de placas
2
X , cuando
2
ax es negativo.
Ejemplos:
- x2
- 2x2
- 3x2
- 4x2
...
2) El término en X (bx ) puede ser representado mediante:
a) Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos conjuntos de tiras X ,
cuandobx es positivo.
Ejemplos:
x 2x 3x 4x 5x
···
b) Una tira, un conjunto de tiras o la combinación de dos grupos de tiras X , cuando
bx es negativo.
Ejemplos:
-x - 2x - 3x - 4x - 5x
...
X2
X2
X2
X2
-X2
-X2
-X2
-X2
-X2
-X2
-X2
-X2
-X2
-X2
X2
X2
X2
X2
X2
X2
x xx
x
x
x xx x
x
x
xx xx
-x-x -x
-x
-x -x
-x
-x
-x-x -x
-x
-x
-x -x

4. Representación geométrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia.
____________________________________________________________________________________________________________________________
Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 12
c) La combinación de dos grupos o conjunto de tiras X y X como se indica en las
figuras, siempre que la suma algebraica de los dos grupos coincida con el término bx
que queremos representar. Aquí se aplica el principio: “pares de valores opuestos se
anulan”
Ejemplos:
2x
xxx 224
- 3x
xxx 34
- x
xxx 54
...
3) El término independiente (c) se representa mediante:
a) Una unidad o conjunto de unidades positivas (1) cuando el término independiente es
positivo.
Ejemplos:
1 4
4
5
8
...
b) Una unidad o conjunto de unidades negativas ( 1) cuando el término independiente
es negativo.
Ejemplos:
- 1 - 4
- 7
- 9 - 12 - 12
...
Ejemplo: La expresión de 2º grado completa 352 2
xx se puede representar por las piezas:
2
2x x5 3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1 1 1
X2
X2 111X XX X X
-x
-x
xx x x
x
-x-x -x -x
x
x
x
x
-x-x-x -x -x
-1 -1 -1 -1-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1 -1 -1
-1 -1 -1
-1 -1 -1
-1
-1
-1
-1 -1 -1
-1 -1 -1
-1 -1 -1
-1
-1 -1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1

5. Guía del material puzzle algebraico J.J. Larrubia.
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Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 13
1.3. Expresión algebraica asociada a una representación geométrica con puzzle algebraico.
Hemos visto que toda expresión de 2º grado puede ser representada geométricamente mediante un
conjunto de piezas del puzzle. A la inversa también ocurre: Todo conjunto de piezas que incluya al
menos una placa (X2
) representa una expresión de 2º grado.
Ejemplo: Dado el siguiente conjunto de piezas.
Escribiendo la suma de todos los valores, tenemos la expresión:
1112
xxxxx
Agrupando términos y operando obtenemos la expresión de 2º grado asociada:
1.4. Utilidad del puzzle algebraico: Construcción de rectángulos y cuadrados para obtener
expresiones equivalentes más simples.
A partir del conjunto de piezas del puzzle que representa una expresión de 2º grado podemos
construir rectángulos y/o cuadrados. El cálculo del área de estas figuras nos permitirá obtener
expresiones más sencillas (en forma factorizada o en forma de binomio al cuadrado) equivalentes
(identicas) a la expresión general de 2º grado inicial representada.
Para fundamentar y describir este proceso de obtención de expresiones equivalentes
desarrollaremos dos ejemplos.
Ejemplo 1: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a 232
xx en forma
factorizada a partir de la construcción de un rectángulo, con el conjunto de piezas del puzzle que la
representa.
a) Seleccionamos las piezas que representan la expresión 232
xx
b) Construimos un rectángulo, eligiendo entre varias combinaciones posibles el siguiente:
X2
-1 -1-1x -x -x -x
xX2 11xx
X2
x
x
1 1
x
322
xx

6. Representación geométrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia.
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Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 14
c) Calculamos el área del rectángulo construido mediante dos procedimientos diferentes:
Cálculo del área a partir de sus componentes: Cálculo del área a partir de sus dimensiones:
El área del rectángulo es igual a la suma
de las áreas de las piezas que lo forman:
Área rectángulo = 112
xxxx
Agrupando términos, tenemos:
El área del rectángulo es el producto de
las dimensiones de su base por su altura:
Conclusión: Cómo el rectángulo es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son iguales.
Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una
expresión equivalente más sencilla, en forma factorizada, mediante la construcción de un rectángulo.
Ejemplo 2: Proceso de obtención de una expresión 2º grado equivalente a 122
xx en forma de
binomio al cuadrado a partir de la construcción de un cuadrado, con el conjunto de piezas del puzzle
que la representa.
a) Seleccionamos las piezas que representan
la expresión 122
xx
b) Construimos un cuadrado, eligiendo entre
varias combinaciones el siguiente:
Área rectángulo = 232
xx Área rectángulo = 1x.2x
x2
+3x+2 = (x+2).(x+1)
xxX2 1 1x++ + + +
X+2
X+1
1
X
X 11
Área rectángulo = base . alturaÁrea rectángulo = Suma área de las piezas
Área = (x+2).(x+1)Área = x2
+3x+2 =
X2 1-x -x
X 1
X 1
X2
1
-x
-x

7. Guía del material puzzle algebraico J.J. Larrubia.
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Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. _____________________________________________________________ 15
c) Calculamos el área de este cuadrado mediante los dos procedimientos vistos anteriormente:
Cálculo del área a partir de sus componentes: Cálculo del área a partir de sus dimensiones:
El área del cuadrado como suma de las áreas
de las piezas que lo forman es:
El área del cuadrado como producto de sus
dimensiones o como el cuadrado del lado es:
Conclusión: Cómo el cuadrado es el mismo y su área única, las dos expresiones del área son iguales.
Resultando que: A partir de una expresión de 2º grado en forma general hemos obtenido una
expresión equivalente en forma de binomio al cuadrado (sin término independiente), mediante la
construcción de un cuadrado.
2. Construcción de rectángulos y cuadrados con puzzle algebraico: Características y condiciones.
La construcción de rectángulos y cuadrados sirve para obtener expresiones equivalentes más
sencillas de expresiones de 2º grado en forma general.
Estas construcciones no son únicas, un mismo conjunto de piezas puede combinarse de diferentes
formas, dando lugar a rectángulos y/o cuadrados distintos.
Pero no todos los rectángulos o cuadrados que pueden construirse son válidos, sólo algunos de ellos
nos permiten obtener expresiones equivalentes más sencillas.
En consecuencia, será necesario establecer condiciones y reglas que nos faciliten la construcción de
rectángulos y cuadrados válidos.
Ejemplo: Construye un rectángulo a partir de la siguiente colección de piezas del puzzle que
representa la expresión algebraica de 2º grado: 62
xx
Un posible rectángulo que se podría construir con esta colección de piezas, sería:
En este rectángulo es imposible determinar las dimensiones
(medidas de la base y de la altura).
Debido a la combinación de piezas realizada, las medidas
de los lados paralelos son distintas cuando deberían ser
iguales.
Por tanto, no es posible calcular el área a partir de sus
dimensiones y en consecuencia: no es posible obtener
una expresión equivalente.
Área cuadrado= 122
xx Área cuadrado=
2
11·1 xxx
22
112 xxx
-1
-1 -1-1
-1-1
X2 -x -xx xx
-1
-x
x
X2
-x
-1
-1
-1
-1
-1
x
x
Área = (x-2)2
Área = x2
-2x+1 =

8. Representación geométrica de expresiones algebraicas J.J. Larrubia.
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Resolución de Ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico. ______________________________________________________________ 16
2.1. Tablero para la construcción de rectángulos y cuadrados con “puzzle algebraico”
La construcción de rectángulos o cuadrados, con objeto de unificar criterios y evitar errores en la
determinación de las dimensiones, se realizará sobre un tablero de construcción o “esquina” en
cualquiera de sus dos versiones: superior o inferior.
a) El vértice del tablero constituye el punto de partida para colocar las placas
2
x y para determinar las
dimensiones de las construcciones.
b) En las barras horizontal y vertical, independientemente del tablero adoptado, anotaremos las
medidas, respectivamente de la base y de la altura del rectángulo o cuadrado construido.
2.2. Reglas básicas de agrupación y combinación de piezas.
La construcción de figuras con puzzle algebraico se realizará siguiendo unas reglas de agrupación y
combinación de piezas. Para ilustrar la presentación de estas reglas partiremos del rectángulo del
ejemplo anterior, construido a partir de la representación de la expresión: 62
xx .
La primera regla es:
Medida de la base
Medidadelaaltura
Punto de partida
para colocar las piezas X
2
para determinar las
dimensiones de la
construcción
X2
Punto de partida
para colocar las piezas X
2
para determinar las
dimensiones de la
construcción
Medida de la base
Medidadelaaltura
X2
-x
-xx
X2
-1 -1
-1-1
-1
-1
x
x
1ª Regla
Las unidades tienen que estar
agrupadas en un único bloque,
en forma de cuadrado o de
rectángulo.
Esquina superior
Esquina inferior

9. Guía del material puzzle algebraico J.J. Larrubia.
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Resolución de ecuaciones de 2º grado con puzzle algebraico _______________________________________________________________ 17
La segunda regla es:
La tercera regla es:
Aplicando las tres reglas, obtenemos el siguiente rectángulo, cuyas dimensiones se indican:
En resumen, las reglas básicas de agrupación y combinación de piezas, o de forma abreviada las reglas
de construcción, serían:
X2 -x xx
-1
-1 -1
-1
-1
-1
x
-x
3ª Regla
Las tiras positivas X y negativas –X,
no pueden estar “mezcladas” entre si.
No pueden combinarse
en un mismo bloque
2ª Regla
La placa X
2
y el “bloque de unidades”
tienen que estar situadas en diagonal
No pueden situarse en la
misma fila o columna
X2
-1
-1
-1
-1 -1
-1
x
-x x x-x
X2
-x
xxx
-x -1
-1
-1-1
-1-1
X+3
X 2
1ª Regla: Los cuadrados unidad positivos o negativos tienen que estar agrupados formando
un rectángulo o un cuadrado.
2ª Regla: La placa X2
y el grupo de cuadrados unidad tienen que estar situados en diagonal.
No pueden coincidir en la misma columna ni en la misma fila.
3ª Regla: Las tiras X y –X, no pueden estar “mezcladas” entre si en la misma fila o columna.

10. Ministerio de Educación
Curso de Postgrado.
Tercer Ciclo de Educación Básica.
Especialidad Matemática. Curso: Álgebra de los Números Reales
Julio de 2010
POLITABLA DE DREYFOUS
1 1 1 1 1 x x x x x y y
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
y
y

11. Conozcamos la Politabla Dre*yfous@y multipiiquemos
f .,.-.-
,Objetivo: Conocer como utilizar la Politabla Dreyfousa a tnves de rnultipiicaci6n
, ,,,' ?-
Para empezar a trabajar es necesario que tengas la Politabla frente a ti. X continuacidn
aparece la Figun I que rnuestn Ias rnedidas de Ias longitudes de cada espacio. Es importance
que siempre recuerdes que la longitud miis pequeiia es la unidad. la que le sigue en tamaiio es
la x y la mas larga es la y. El rnismo arreglo de longitudes esta en la pane vertical y
horizontal.
Figun 1
Empeccmos con el siguiente cjcmplo: rnultipliquemos 2 por 3. Primero. rornemos una iiguilla
ilzul clara y utilizando las longitudes horizontales. cstlre la ligu~llaclc i~qulrrclaJ derccha
Ilasta cubrir dos unidadrs. iomo sc: Inuestra cn 1a Figura 2.

12. Es imponante que ahora intentrs hncer varios ejercicios por tu cuenta-.uti1iz;rndola
Politabla p m que de esa forma la aprendils a uliibr lo mis promo posibls. -
. / + .
Multiplica 10s siguientesnumeros: .
't
-A 'A
. r
% .
. .1) 3 veces 3 2)4por5
Ah(1r.l. tcncmo:. quc hoccr lo nilsnli)cot1 cl hcgundo factor:cl 3. Esto o.cl prlrlicr lnctor sc
COIIK.:I CII rl lndo tlor~ront;lly cl *cpulltiocn cl l;ldc, vcnical. kt1 I;! Figuc: ? sc pucdc vcr quc
.. 1;1 ~litcncccio~idc ];I do I ~ ~ u i l l u tic), d;~cl prtduc~ir.Lrl 1;1 F I ~ U C I;I UOIIIIIIU~CIOIICI ~ r c ; ~
. xi)n~hrc;ld;iindic;~cl productu.chit) c. 0 -A: . .
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1 I I 1 1
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I
1
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Multipliquemos
lado horizontal. como s
&
4
lado vertical.
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* . .
3por x. Recuerda. el primer factor. en este caso 3.se coloca
e muestra en la Figun 3. Ahora colocamos el segundo factor
~ C U Ae; la contestation a iste ejercici 3%
1 '
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!
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13. I < .
. . h1ultlpilquenloh( x + 1 I 1x1: t - +2 : I*nnwriimcntc rcprcxntcnlo. 1 + I en 1;i pan;
hoy=izont;ll l u q o + 2 J:r pan:- ~ c n ~ c z l7r4t;l de hnccrlo sln mlrw 1;1 F1gur;i 5 quc iluh[l..:
rl producio. - # .,,
;A"--. ; b
*,,* <.2 A! .iF
* . '-. .I
~CUAIes la contesracionfinal del ejerdcio?
Si-deseas utilizar10s Algdmkspan detcrminarel resultado final puedes hacerio.
pero tmta de identificarlas figurasque esdn dentro del h a sornbreada. Es imponante
w
stiialarque a1 multiplicar(x +1)tx +2)hay un patron. Ahora intents haccr 10s siguientcs
ejerciciosprimer0 con la Politablap a detnminar el patron y luepo sin hacer uso de la
mism.
!-
Ejercicios: Multiplique

14. Ahon vamos a multiplicarexpresiones con signos. Para multiplicarexpresionescon
signos vamos a utilizar las liguillasoscuraspara reqmsenm lo negativo. - p , ,- .
. ,.. .:!. '. . .t . "
Antes de ernpezara trabajarcon In dtipi&.zsih dc ndrnenu con signoses ix&~nte
repasar las reglas de 10s mismos. Contesta10s siguientesejercicios:
r ,
3) 3 - 6 1 4) Positivo por Pasitivof
+
.r -5I . , - .. - - . I ' :
5) PositivoporNegativo ' ' 6) Negativo por Positivo '..
w-'. *
7) Negativo por Negativo .. ..
.. . - * 9 .-r.
" -, * % , .
r * , . 1 .,
1 . t Y
!3a2u
.'.- ,a ,.
.". * . .L.;
C ' - *- "r a L,
. . . .-I .
*2 por -3. Primero repesen'tamos' ben la parre horizontaLcon una liguillacolor azul
ciaro. Luego vmos a representar -3en la parte vertid con una iiguilla azul oscuro. Ffjate
que a1 rnultlpiicar un numero positivo poi uno negativo tenemog dos laxios dei rectjngulo con
liguillas azul ciaro y dos lados azul oscun, esto nos indica que el resultado va a ser negativo ;
pues 10s lados dei enmcion de 'a-3.
+2 - * ,..
,
.%
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. .
Figura (7
, .I
4
,'A .
* Y.
- 4
I:ii;i[c ~ L I C1;1 I I I [ L ' ~ S C . C C ~ ~ ~ ~1;1 omhrc3rno con cl color osctlrt, Ir, cual qu~cn:~llu.lr'b
I!IIC I ~ c f l c t r l o tin n u n i c r o I I C C ~ I I V Opqr un!) p o u ~ t t ~ i )C! rcxulla~10tlcnc I t n o ~IL' IICC~IIV(I.
b Q ..

16. , - . . .
f.. .. . P-

17. La divisidn cs in opernci611opuesta la Illlllliplicaci6ll. [lsto es. ailora ~ C I I L ' I I I ~ Slil i~~l~rscccitil~
dc los ~nclores.Nurstru imh;lja collsistirii cn ohteller cl olro inelor: el c ( r i c ~ ~ ~ e .
ElawlQl
4x~ i ~ i d ~ ~ ~ ~ ~-;;-. Parat~nceresto, prii~~erocoloca~~~osel tlivisor ( en eslc c:lxo 2) en cl
L
lado horizontal corrlosc tnuestra ell la Figur;) 10. Ahorn lc~lc~llosque ohtcncr 4 x r l c ~ ~ t ~ oclc 1;)
intersecciGn de Ins ligllillns. Para lOgrdrl0 estirilrnlllo~In ligllilli~hilsla ohtcllcr 4 fccl:i~lpi~lo~:
cada ullo con ull lado 'lr Ji~ncnsicin1 unidird y cl otro I;lrlo x ullid;dcs. La corl~c~;rcitintlc la
divisi611se obliene olrscrv;lntlo la pilrll. c l ~ill.rih:l. !ill CclC C;lSO Cl filctol-clllc 1~114~.;11llo';
Figure 10
2 "lil divisic',ndc x +2x cmllllYx. ~ccllcld:~clue 1Jri11lcl.orcyrcsc~rr:~~llorel tlivisor c11la p;lrlc
horizo~lt~ly de11tro dc I* illlerscci.ifin ':I~ilos;I oh~cncrx +2u.

18. I . .
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x+Q ,. . . .-
Co~*&?z'.' v A+... j
r- *, ' 3 "
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... . ...> < ,..
I -
. . +. .
3x + 3
Divide . Para haccr csto tcncmos quc cmpcznr rcprcscntandocl divisor (cl
x + l
tlcnominador)colno uno dc. los Iilctorcs, i'rinrcro utilizamos una iiguilla paril cl divisor colno
niucstra I ~ Isiguicrlrc prifica.
3rd 12
. .. .
f
El siguiente paso es obtener 3x +3 dentrode la Politabla. Comenzamosobteniendo 3%.
Esto es.

19. Figura 13
Divide (x2+2x) por (x +2). Aqu1 v:llllos n sclr~~irt-I ~iiislno111Ccttklo~ I I Ct~tili~:~li~o<
anlerionne~~le.I'rilnero represellr;lllIosx +2,esto cs:
Figura 14
Segundo,ter~enlosque obterler xz. Al ob~enerx2consepuinlostanlbifII Ins 2x quc
l~ecesitdba~noscomo se represenla en la figura 15.

20. Dtvtdando
Vcmos que la contestacitin clc la divisicin dc x? +2x p r x +2 es x.
Divide (x' -t3x +2 ) por (x +2). Dc igual forma que en el ejen~ploanterior. prirncro
rcprcscntamos x +2 . Esto es.
Ahota tenemos que obtcner x2,La figura 17muestra lo que tenemos a1obtener 2.

21. Figura 18
' -.
' .- . -. ..
.., . . > .
X .. . -. . . : .
7 .
, .
rn . * ' ' .
. -A L . . I . . .
. . -. '
'c :.
, .... , . . .
. , .
.-... -". . '
t?, - . . --., . I
K x + 2 DIVISC?','
,. s . ., -
,, 9.,.t
Ahora dtbcmos prestar atenci6n a la foma en que lo hicimos. Rimero representarnos x +2,
entonces queriamos obtcncr 9 y utilizamos una liguilla para obteneria. Una vez
rtpresentamos la x corno paste de un cociente. entonces vimos que teniamos x++2x y
d d b a m o s 2 +3x +2, por lo cual s6lo nccesitAbamosaiiadir x +2. Finalmtntc aiiadimos 1
unidad mis a1 cociente y el resultado fue x +1.Vearnos el algoritrno que podemos desarrollar
paniendo de estos pasos.
Figura 17
*u . I
El dividendo que queremos obtener es x2 +3x +1 y hastn el mornenlo hernos logrido x2 +
2x. Fijate que para completar el dividendo necesitamos x +2 !una x mi3 2 unidades). Vemos
que si aiiadimos 1 unidad al cociente obtenemos lo siguiente:
. .x + l . -.,
I ~.4..
D
b
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22. Factorizaci611de polino~i~ius
()~)JCI~VO: Fictori~iupolino~~lios.
1.a iac'tori~3c'iti11cs bic111)1reciOi(, ill ~ ~ O C C S Odc (livisihn. Lib tlifcrrncia cstriba ~ I Iclue en la
~ l i isi~ir~y3 sc tic11eLIIIO d(: Ios I'ilct~rcs.1l1ic111r5s(111~:en IU t'ilc10ri~aci6n110 se ticne ninguno.
I:ac[oricc: j x + 6 . 1.0 C I L I ~11~cct,iti(r1~osI I ~ c ~ I -cs tzllc'r 3x t 6 611lu IILLII~interior dt:la
Iai,lr~abla.1:bltr cs. I ~ I I ~ I I ~ O S~ U CI L ' I ~ C ~3 I . L ' C [ ~ ~ I ~ ~ L I I ~ ) S~ 0 1 1;~CC;Lx Y 6 urlidailes ~uadriida~.
I'r.i~~lcrob i ~ ~ t l i ~ c r ~ ~ o s10s 3 rci'tii11gl1lt)bC O I ~ X. L~t'gl)~ C ~ . C I ~ I O SO ~ I C I I ~ L .ILLS6 ~ ~ l i d i i d ~ ~ ,pero
IL'IIL'II~O:, L ~ I Cii)r111;1rU I ~rcctii~~gul~.Si 11 exl)resi611qutf 110s d;ln ILO furn~aUIL rectiingulu,
c~btoacesIro fictorina. A cil~rticlu;rci&lLCIIL'IIIOS,~'11la rcgihn ~ ~ t l t b ~ . ~ a d i t ,3x*+6 y 10s L'~~CIOI.CS
~ O I IIat, Iongitir~lcsdc catla lado ~lclrccli~~gi~lt).Esto sc ilustra CII la Cigurir yur: aparzcc a
~.t~ri~i~lt~ac'ihr~.

23. x
Vcrnos quc en In I'ncrc~riznciBndc x' + 2k. utlo dc los fnclorcs cs x y el otro cs x +2.
lados
trnrcs
dc los
Fipura 21
Factorice r :+ 3r + 4. Nucvamentc. recuerda que para obtencr r2nccesiws x en nrnbos
Adernis. para ohrener 2 necesitnrnos rcncr dos unidadcs cuadndas. Es lrnportante quc
por tu cuenta de factorizarlo. Fijate que la un~caforma es ~cniendouna unidad en uno
, facrorcs y dos unidades en cl otro factor.
x + 2
J
x + l