Problemas de análisis vectorial y cálculo de componentes

PROBLEMAS PROPUESTOS
DE TEORÍA DE CAMPOS
ELECTROMAGNÉTICOS
Vol.1
RÉGULO A. SABRERA ALVARADO

UNIVERSIDAD NACIONAL
MAYOR DE SAN MARCOS
FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRÓNICA Y
ELÉCTRICA
PROBLEMAS PROPUESTOS CORRESPONDIENTES A
LA PRIMERA PARTE DEL CURSO DE TEORÍA DE
CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS
Colección Tesla
Régulo A. Sabrera Alvarado
Catedrático de Física, Matemática
Computación y SocioFísica
Solís Pando Jean Pierre
Alumno
Semestre académico
2023-1
Lima-Peru
2023

DEDICATORIA
Con gran emoción y dedicación, dedico este trabajo a todos aquellos
apasionados por la Teoría de Campos Electromagnéticos.
A mi profesor Régulo A. Sabrera Alvarado, quien con paciencia y sabiduría han
compartido su conocimiento y despertado en mí un profundo interés por esta
fascinante área de la física.
A mis compañeros de clase, con quienes he compartido momentos de estudio,
discusiones y descubrimientos, y que han enriquecido mi comprensión del tema
con sus diferentes perspectivas.
A mis padres, quienes me apoyaron a seguir mis sueños de convertirme en
ingeniero eléctrico.
Agradezco especialmente a todas las mentes brillantes cuyas investigaciones y
contribuciones han sentado las bases para el desarrollo de la teoría de campos
electromagnéticos.

Página
Cap.01 problemas de Análisis Vectorial
Cap.02 problemas de Fuerza Eléctrica
Cap.03 problemas de Campo Eléctrico
Cap.04 problemas de Potencial Eléctrico
Apéndice
699
436
412
625
CONTENIDO
040
193
349
533
701

ANALISISVECTORIAL
CAP-1
• Producto escalar, producto vectorial.
• Productos triples de vectores
• Proyección y componentes de un vector.
• Operaciones del algebra vectorial.
• Aplicaciones a la Física e Ingeniería
1

Robótica y Cibernética
22
PROBLEMAS PROPUESTOS
01. Las coordenadas polares de un punto P son: r=5,50 m y =240o
. Hallar las coordena
das cartesianas de este punto P.
a) (2,75; 4,76) b) (2,75; -4,76) c) (-2,75; 4,76) d) (-2,75; -4,76) e) (2,75; 4,76)
02. Dos puntos en un plano tienen coordenadas polares P(2,50 m, 30,0o
) y Q(3,80 m,
120,0o
).
I) Hallar las coordenadas cartesianas de estos puntos.
II) Hallar la distancia entre estos puntos.
03. Una mosca se para en la pared de un cuarto. La esquina inferior izquierda de la pared
se selecciona como el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en dos dimen
siones. Si la mosca está parada en el punto que tiene coordenadas (2,00, 1,00) m.
I) ¿Qué tan lejos está la mosca de la esquina del cuarto?
a) 2,04 m b) 2,24 m c) 2,44 m d) 2,64 m e) 2,84 m
II) ¿Cuál es su posición en coordenadas polares?
a) (2,04 m; 20,6o
) b) (2,64 m; 24,6o
) c) (2,44 m; 22,6o
)
d) (2,84 m; 28,6o
) e) (2,24 m; 26,6o
)
04. Dos puntos en el plano xy tienen coordenadas cartesianas P(2,00, -4,00) m y Q(3,00,
3,00) m.
I) Hallar la distancia entre estos puntos P y Q.
a) 8,4 m b) 8,5 m c) 8,6 m d) 8,7 m e) 8,8 m
II) Hallar las coordenadas polares de estos puntos P y Q.
05. Si las coordenadas rectangulares de un punto P están dadas por (2, y) y sus coordena
das polares son (r, 30o
). Hallar y y r.
a)1,45 m; 2,41 m b) 1,35 m; 2,21 m c) 1,05 m; 2,11 m
d) 1,25 m; 2,31 m e) 1,15 m; 2,31 m
06. Si las coordenadas polares del punto (x, y) son (r, ), hallar las coordenadas polares
para los puntos (-x, y), (-2x, -2y), y (3x, -3y).
07. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto
son: x=1 u, y=2 u, z=3 u. Hallar las coordenadas cilíndricas de este punto.
08. En el espacio tridimensional, las coordenadas cartesianas rectangulares de un punto
son: x=2 u, y=2 u, z=2 u. Hallar las coordenadas esféricas de este punto.
34
2

Robótica y Cibernética 35
09. Las coordenadas cilíndricas de un punto P son: =2 u, =30o
, z=3 u. Hallar los vecto
res unitarios ̂ , y ̂ .
10. Hallar la expresión de los vectores unitarios î , ˆ
j, k̂ que definen las coordenadas carte
sianas, en función de los vectores unitarios ̂ , ̂ y k̂ que definen las coordenadas cilín
dricas.
11. Las coordenadas esféricas de un punto P son: r=4 u, =37o
, y =53o
. Hallar los vecto
res unitarios r̂ , ̂ y ̂ .
12. Hallar la expresión de los vectores unitarios î , ˆ
j, k̂ que definen las coordenadas carte
sianas, en función de los vectores unitarios r̂ , ̂ y ̂ que definen las coordenadas esfé
ricas.
13. Las coordenadas parabólicas planas (f; h) en función de las rectangulares (x; y) vienen
dadas por: x = f – h, y = 2(f.h)1/2
donde f>0, h>0.
I) Expresar f y h en función de x e y.
II) Si f y ĥ son vectores unitarios, que definen el sistema de coordenadas parabólico,
demostrar que f y ĥ son perpendiculares entre si.
III) Demostrar que f y ĥ son funciones de f y h y hallar sus derivadas respecto de f y h.
IV) Probar que el vector de posición de una partícula en el sistema de coordenadas para
bólico, viene dado por : 1/2 1/2 1/2 1/2
ˆ ˆ
r f (f h) f h (f h) h
    .
14. En la Fig01, una topógrafa mide la distancia a través de un río recto con el siguiente
método. Partiendo directamente a través de un árbol en la orilla opuesta, camina d=100
m a lo largo del margen del río para establecer una línea base. Luego observa hacia el
árbol. El ángulo de su línea base al árbol es de =35,0o
. Hallar el ancho del río.
a) 65 m b) 70 m c) 75 m d) 80 m e) 85 m
15. En la Fig02, la fuerza 1
F de magnitud F1=6,0 N actúa sobre el cuerpo en el origen en
la dirección de =30,0o
sobre el eje-x positivo. La segunda fuerza 2
F de magnitud
F2=5,0 N actúa sobre el cuerpo en la dirección del eje-y positivo. Hallar gráficamente
la magnitud y dirección de la fuerza resultante 1 2
F F F
  .
a) 9,14 N, 59o
b) 9,34 N, 55o
c) 9,34 N, 51o
d) 9,74 N, 53o
e) 9,54 N, 57o
16. El vector A tiene una magnitud de A=29 u y puntos en la dirección del eje-y positivo.
Cuando el vector B se suma al vector A , el vector A B
 apunta en dirección del eje-
y negativo con una magnitud de 14 u. Hallar la magnitud y dirección de B.
a) -41ˆ
j b) -43ˆ
j c) -45ˆ
j d) -47ˆ
j e) -49ˆ
j
17. Un patinador se desliza a lo largo de una trayectoria circular de radio R=5,00 m. Si
3

Análisis Vectorial
36
avanza por inercia alrededor de la mitad del círculo.
I) Hallar la magnitud del vector de desplazamiento.
a) 8,0 b) 8,5 m c) 9,0 m d) 9,5 m e) 10,0 m
II) Hallar la distancia que patino.
a) 15,1 m b) 15,3 m c) 15,5 m d) 15,7 m e) 15,9 m
III) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento si el patina alrededor de todo el círculo?
Fig01 Fig02
18. Tres desplazamientos son: A =150 m a 30,0o
al Sur, B=250 m al Oeste y C =150 a
30,0o
al Noreste.
I) Construya un diagrama separado para cada una de las siguientes posibles formas de
sumar estos vectores 1
R A B C
   , 2
R B C A
   , 3
R C B A
   .
II) Explique que puede concluir al comparar los diagramas.
19. Un carro de montaña rusa se mueve 200 m horizontalmente y luego se eleva 135 m a
un ángulo de 30,0o
sobre la horizontal. A continuación viaja 135 m a un ángulo de
40,0o
hacia abajo.
I) Usando técnicas gráficas, hallar el desplazamiento desde su punto de partida.
a) 420,77 m b) 422,77 m c) 424,77 m d) 426,77 m e) 428,77 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento d .
a) 2,63o
b) -2,63o
c) 3,63o
d) -3,63o
e) 4,63o
20. Un avión vuela desde el campo base al lago A, a 280 km de distancia en la dirección
20,0o
al noreste. Después de soltar suministros vuela al lago B, que está a 190 km a
30,0o
al noreste del lago A.
I) Hallar gráficamente la distancia recorrida.
a) 305,9 km b) 306,9 km c) 307,9 km d) 308,9 km e) 309,9 km
II) Hallar la dirección desde el lago B al campo base.
a) 55,14o
b) 56,14o
c) 57,14o
d) 58,14o
e) 59,14o

d
v
F1
F2

4

21. Indicar cuáles de las magnitudes físicas son escalares o vectoriales: peso (W), calor
(Q), calor especifico (ce), ímpetu (I), densidad (), energía (E), volumen (V), potencia.
Serway
22. Las componentes de un vector A en las direcciones de los x e y son Ax=-25 u y
Ay=40,0 u. Hallar la magnitud y dirección de este vector.
a) 48,2 u; 122o
b) 46,2 u; 121o
c) 45,2 u; 123o
d) 49,2 u; 125o
e) 47,2 u; 122o
23. El vector A de magnitud A=35,0 u está en la dirección de 325o
en sentido antihorario
medido desde el eje-x positivo. Hallar las componentes x e y de este vector.
a) 25,67 u; -22,08 u b) 25,67 u; -24,08 u c) 25,67 u; -23,08 u
d) 25,67 u; -21,08 u e) 28,67 u; -20,08 u
24. Una persona camina 25,0o
al noreste recorriendo 3,10 km. ¿Qué distancia tendría que
caminar hacia el Norte y hacia el Este para llegar a la misma posición?
a) 1,11 km; 2,51 km b) 1,51 km; 2,71 km c) 1,41 km; 2,61 km
d) 1,21 km; 2,91 km e) 1,31 km; 2,81 km
25. Obtenga expresiones en forma de componentes para los vectores de posición de coor
denadas polares: (12,8 m, 150o
), (3,30 cm, 60,0o
).
26. Un canillita para entregar un periódico recorre 3,00 cuadras al Oeste, 4,00 cuadras al
Norte y luego 6,00 cuadras al Este.
I) Hallar su desplazamiento resultante.
a) 4 cuadras b) 5 cuadras c) 6 cuadras d) 7 cuadras e) 8 cuadras
II) Hallar la distancia total que recorre el canillita.
a) 10 cuadras b) 11 cuadras c) 12 cuadras d) 13 cuadras e) 14 cuadras
27. Un explorador se mueve 75,0 m al Norte, 250 m al Este, 125 m a un ángulo de 30,0o
al
noreste y 150 m al Sur. Hallar la magnitud de su desplazamiento resultante.
a) 312,55 m b) 314,55 m c) 316,55 m d) 318,55 m e) 320,55 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante.
a) 6,07o
b) 6,27o
c) 6,47o
d) 6,67o
e) 6,87o
28. Dados los vectores ˆ ˆ
A 3i 2 j
  y ˆ ˆ
B i 4 j
   . Hallar A B
 , A B
 , A B
 , A B
 , y
las direcciones de A B
 y A B
 .
29. Un perro que corre en el parque, experimenta desplazamientos sucesivos de 3,50 m al
Sur, 8,20 a 30o
al noreste, y 15,0 m al Oeste.
5

Análisis Vectorial
38
I) Hallar la magnitud del desplazamiento resultante.
a) 7,12 m b) 7,32 m c) 7,52 m d) 7,72 m e) 7,92 m
II) Hallar la dirección del vector desplazamiento resultante.
a) 171,7o
b) 173,7o
c) 175,7o
d) 177,7o
e) 179,7o
A 2,00i 6,00 j
  y ˆ ˆ
B 3,00i 2,00 j
  .
I) Dibuje la suma vectorial C A B
  y la diferencia vectorial D A B
  .
II) Calcule C y D en términos de vectores unitarios.
III) Calcule C y D en términos de coordenadas polares, con ángulos medidos respecto del
eje-x positivo.
31. En la Fig03, cuando el esquiador se desliza por la pista de ángulo de inclinación =
30o
, un trozo de hielo se proyecta a una posición máxima de 1,50 m a =16,0o
de la
vertical.
I) Hallar la componente de su posición máxima paralela a la pista.
a) 1,17 m b) 1,37 m c) 1,57 m d) 1,77 m e) 1,97 m
II) Hallar la componente de su posición máxima perpendicular a la pista.
a) 0,54 m b) 0,64 m c) 0,74 m d) 0,84 m e) 0,94 m
32. En la Fig04, sobre la caja que reposa en el piso se aplican fuerzas 1
F de magnitud F1=
120 N en la dirección 1= 60,0o
, y 2
F de magnitud F2=80,0 N en la dirección 2= 75,0o
.
I) Hallar la fuerza resultante de la suma de estas fuerzas.
a) 181,4 N b) 183,4 N c) 185,4 N d) 187,4 N e) 189,4 N
II) Hallar la dirección del vector resultante de la suma de las fuerzas.
a) 71,8o
b) 73,8o
c) 75,8o
d) 77,8o
e) 79,8o
III) Hallar la magnitud de la fuerza 2
F , para que, la fuerza resultante sea nula.
a) 110 N b) 115 N c) 120 N d) 125 N e) 130 N
Fig03 Fig04


g
F1
F2
x
y
1
2
6

33. Dados los tres vectores de desplazamiento ˆ ˆ
A (3i 3j)m
  , ˆ ˆ
B (i 4 j)m
  , y C 
ˆ ˆ
( 2i 5 j)m
 
I) Hallar la magnitud y dirección del vector D A B C
   .
a) 2,53 m; -41o
b) 2,63 m; -42o
c) 2,63 m; -43o
d) 2,73 m; -44o
e) 2,83 m; -45o
II) Hallar la magnitud y dirección del vector E A B C
    .
34. Dados los vectores A ( 8,70;15,0)cm
  y B (13,2; 6,60)cm
  . Si A B 3C 0
   .
Hallar el vector C .
a) (7,3î +7,2ˆ
j) cm b) (7,3î -7,2ˆ
j) cm c) (-7,3î +7,2ˆ
j) cm
d) (-7,3î -7,2ˆ
j) cm e) (7,5î +7,8ˆ
j) cm
35. Las componentes x, y, z del vector A son: 8,00 u, 12,0 u y -4,00 u, respectivamente.
I) Exprese el vector A en notaciones de vectores unitarios.
II) Exprese en vectores unitarios el vector B, cuya magnitud es un cuarto la de A , y que
está en la misma dirección.
III) Exprese en vectores unitarios el vector C , cuya magnitud es tres veces la de A , y que
esta en dirección opuesta.
36. Las componentes x, y, z del vector B son: 4,00 u, 6,00 u y 3,00 u, respectivamente.
I) Hallar la magnitud del vector B
a) 7,51 u b) 7,61 u c) 7,71 u d) 7,81 u e) 7,91 u
II) Hallar los ángulos que forma B con ejes x, y, z.
a) 55,19o
; 36,80o
, 65,41o
b) 58,19o
; 38,80o
, 69,41o
c) 56,19o
; 35,80o
, 66,41o
d) 57,19o
; 37,80o
, 68,41o
e) 59,19o
; 39,80o
, 67,41o
37. El vector A tiene una componente x negativa de 3,00 u de magnitud y un componente
y positiva de 2,00 u de magnitud.
I) Hallar una expresión para A en notación de vectores unitarios.
a) 3î +2ˆ
j b) -3î +2ˆ
j c) 3î -2ˆ
j d) -3î -2ˆ
j e) 2î +3ˆ
j
II) Hallar la magnitud y dirección de A .
a) 3,01 u; 140,31o
b) 3,21 u; 142,31o
c) 3,41 u; 144,31o
c) 3,61 u; 146,31o
e) 3,81 u; 148,31o
7

Análisis Vectorial
40
III) Hallar un vector B, tal que, al sumarse a A da como resultante un vector con compo
nente nula en x y componente y negativa de 4,00 u de magnitud.
a) 3î +6ˆ
j b) -3î +6ˆ
j c) 3î -6ˆ
j d) -3î -6ˆ
j e) 6î +3ˆ
j
38. Dados ˆ ˆ
A (6,00i 8,00 j)u
  , ˆ ˆ
B ( 8,00i 3,00 j)u
   , y ˆ ˆ
C (26,0i 19,0 j)u
  .
I) Hallar "a" y "b" tal que aA +bB+C =0.
a) 3; 4 b) 4; 3 c) 7; 5 d) 5; 7 e) 5; 8
II) Un estudiante aprendió que una sola ecuación no se puede resolver para determinar
valores para más de una incógnita en ella. ¿Como podría explicarle que tanto "a" como
"b" se pueden determinar a partir de la ecuación que se usó en el inciso I).
39. Un jardinero que empuja una podadora experimenta dos desplazamientos. El primero
de magnitud 150 cm formando un ángulo de 120o
con el eje-x positivo. Si el desplaza
miento resultante tiene magnitud de 140 cm y dirección de 35,0o
respecto del eje-x po
sitivo, hallar el segundo desplazamiento.
a) 190 cm b) 192 cm c) 194 cm d) 196 cm e) 198 cm
40. Exprese en notación de vectores unitarios los siguientes vectores.
I) El vector E de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o
contra las manecillas del reloj, desde
el eje x positivo.
a) 15,15î +7,72ˆ
j b) -15,15î +7,72ˆ
j c) 15,15î -7,72ˆ
j
d) -15,15î -7,72ˆ
j e) 13,15î +5,72ˆ
j
II) El vector Fde magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o
contra las manecillas del reloj, desde
el eje y positivo.
a) 7,72î +15,15ˆ
j b) -7,72î +15,15ˆ
j c) 7,72î -15,15ˆ
j
d) -7,72î -15,15ˆ
j e) 5,72î +13,15ˆ
j
III) El vector G de magnitud 17,0 cm se dirige 27,0o
en sentido de las manecillas del reloj,
desde el eje y negativo.
a) 7,72î +15,15ˆ
j b) -7,72î +15,15ˆ
j c) 7,72î -15,15ˆ
j
d) -7,72î -15,15ˆ
j e) 5,72î +13,15ˆ
j
41. Una estación de radar ubica un barco hundido en un intervalo de 17,3 km y orientación
de 136o
en sentido de las manecillas del reloj desde el Norte. Desde la misma estación,
un avión de rescate está en un intervalo horizontal de 19,6 km, 153o
en sentido de las
manecillas del reloj desde el Norte, con elevación de 2,20 km.
8

I) Escriba el vector de posición para el barco en relación con el avión con î que represen
ta el Este , ˆ
j el Norte, y k̂ hacia arriba .
a) 3,13î +5,02ˆ
j+2,20k̂ b) -3,13î +5,02ˆ
j+2,20k̂ c) 3,13î +5,02ˆ
j-2,20k̂
d) 3,13î -5,02ˆ
j-2,20k̂ e) -3,13î -5,02ˆ
j+2,20k̂
II) Hallar la distancia de separación entre el barco y el avión.
42. El ojo de un huracán se mueve en dirección 60,0o
al noreste con una rapidez de 41,0
km/h.
I) Hallar la expresión en vector unitario del vector velocidad (en km/h) del huracán.
a) 35,5î +20,50ˆ
j b) 35,5î -20,50ˆ
j c) -35,5î +20,50ˆ
j
d) -35,5î -20,50ˆ
j e) 31,5î +24,50ˆ
j
II) Se mantiene esta velocidad por 3,00 h, después el curso del huracán cambia súbitamen
te al Norte y su rapidez baja a 25,0 km/h. Esta nueva velocidad se mantiene durante
1,50 h. Hallar la expresión en vector unitario de la nueva velocidad (km/h)del huracán.
a) 21ˆ
j b) 22ˆ
j c) 23ˆ
j d) 24ˆ
j e) 25ˆ
j
III) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du
rante las primeras 3,00 h.
a) 106,5î +61,50ˆ
j b) -106,5î +61,50ˆ
j c) 106,5î -61,50ˆ
j
d) -106,5î -61,50ˆ
j e) 108,5î +63,50ˆ
j
IV) Hallar la expresión de vector unitario para el desplazamiento (en km) del huracán du
rante las últimas 1,50 h.
a) 35,5ˆ
j b) 36,5ˆ
j c) 37,5ˆ
j d) 38,5ˆ
j e) 39,5ˆ
j
V) ¿A qué distancia del punto de observación está el ojo del huracán, después que pasa so
bre este?
43. En la Fig05, Qoqi está sobre el suelo en el origen de un sistema de coordenadas. El
dron vuela con velocidad constante en la dirección del eje-x a una altura de h=7,60 km.
En el instante t=0 el dron esta sobre Qiqo el vector de posición es o
P =7,60 ˆ
j km. En
el instante t=30,0 s, el vector de posición es 30
P =(8,04 î +7,60 ˆ
j) km. Hallar la magni
tud y dirección del vector de posición del dron en el instante t=45,0 s.
9

Análisis Vectorial
42
a) 13,4 km; 30,2o
b) 13,8 km; 34,2o
c) 14,0 km; 31,2o
d) 12,4 km; 33,2o
e) 14,3 km; 32,2o
44. En la Fig06, se muestra la trayectoria de una persona que sale a caminar, la cual, cons
ta de cuatro trayectorias en línea recta. Hallar el desplazamiento resultante de la perso
na, medido desde el punto de partida 0.
a) 220 m b) 225 m c) 230 m d) 235 m e) 240 m
Fig05 Fig06
45. Un controlador de tráfico aéreo observa dos aeronaves en la pantalla de su radar. La
primera está a una altitud de 800 m, 19,2 km de distancia horizontal y 25,0o
al suroes
te. La segunda está a una altitud de 1100 m, 17,6 km de distancia horizontal y 20,0o
al
suroeste. Hallar la distancia entre estas aeronaves.
46. En la Fig07, la araña esta descansando después de haber construido su red. La fuerza
de gravedad sobre la araña es de 0,150 N en el punto de unión 0 de los tres hilos de se
da. La unión soporta diferentes fuerzas en los dos hilos por encima de ella de manera
que la fuerza resultante sobre la unión es cero. La tensión Tx es de 0,127 N.
I) Hallar el ángulo que forma el eje-x con la horizontal.
a) 55,9o
b) 56,9o
c) 57,9o
d) 58,9o
e) 59,9o
II) Hallar la tensión Ty.
a) 75,8 mN b) 76,8 mN c) 77,8 mN d) 78,8 mN e) 79,8 mN
III) Hallar el ángulo que forma el eje-y con la horizontal.
a) 30,1o
b) 31,1o
c) 32,1o
d) 33,1o
e) 34,1o
47. En la Fig08, el rectángulo mostrado tiene lados paralelos a los ejes x e y. Los vectores
de posición de las dos esquinas son: A =10,0 m a 50o
y B=12,0 m a 30,0o
.
I) Hallar el perímetro del rectángulo.

Po P30
x
y
0
y
x
300m
100m
150m
200m
60o
30o
10

a) 10,4 b) 10,6 m c) 10,8 m d) 11,0 m e) 11,2 m
II) Hallar la magnitud y dirección del vector desde el origen de la esquina superior dere
cha del rectángulo.
a) 12,1 m; 33,4o
b) 12,3 m; 35,4o
c) 12,5 m; 34,4o
d) 12,7 m; 37,4o
e) 12,9 m; 36,4o
Fig07 Fig08
48. Se tiene dos vectores A y B de iguales magnitudes. Para que la magnitud de A +B
sea cien veces mayor que la magnitud de A -B. ¿Cuál debe ser el ángulo entre ellos?
a) 1,15o
b) 1,35o
c) 1,55o
d) 1,75o
e) 1,95o
49. Los vectores A y B tienen iguales magnitudes de 5,00 u. La suma de A y B es el vec
tor 6,00 ˆ
j. Hallar el ángulo entre los vectores A y B.
a) 102,3o
b) 104,3o
c) 106,3o
d) 108,3o
e) 110,3o
50. Checho camina 2,5 km hacia el norte y luego 1,5 km en una dirección 30o
al este del
norte. Jacinta camina directamente entre los mismos puntos inicial y final. ¿Qué distan
cia camina Jacinta y en qué dirección?
a) 3,07 km; 76,73o
b) 3,47 km; 75,73o
c) 3,27 km; 79,73o
d) 3,67 km; 77,73o
e) 3,87 km; 78,73o
51. Una lancha viaja 14 km en dirección 60o
al sur del este. Una segunda lancha tiene el
mismo desplazamiento, pero viaja al este y luego al sur. ¿Qué distancia viajó la segun
da lancha al este? ¿Qué distancia lo hizo al sur?
d) 7,8 km; 12,7 km e) 7,0 km; 12,1 km
52. La resultante de dos vectores de desplazamiento tiene una magnitud de 5,0 m y una
dirección norte. Uno de los vectores de desplazamiento tiene magnitud de 2,2 m y una
dirección de 35o
al este del norte. ¿Cuál es el otro vector desplazamiento?
0
y
x
A
B
0
x
y
Tx
Ty
11

Análisis Vectorial
44
a) 1,26î +3,20ˆ
j b) -1,26î +3,20ˆ
j c) 1,26î -3,20ˆ
j
d) -1,26î -3,20ˆ
j e) 1,46î +3,60ˆ
j
53. Tanto Singapur como Quito están (aproximadamente) sobre el ecuador de la Tierra. La
longitud de Singapur es 104o
este y la de Quito es 78o
oeste.
I) ¿Cuál es la magnitud del vector de desplazamiento (en metros) entre estas ciudades?
a) 12 702 km b) 12 722 km c) 12 742 km d) 12 762 km e) 12 782 km
II) ¿Cuál es la distancia entre ellas medida a lo largo del ecuador?
a) 19 713 km b) 19 733 km c) 19 753 km d) 19 773 km e) 19 793 km
54. El operador de radar de un barco guardacostas estacionario observa que a las 10h
30m
hay un barco no identificado a una distancia de 9,5 km con un rumbo de 60o
al este de
norte, y a las 11h
10m
el barco no identificado está a una distancia de 4,2 km en un
rumbo de 33o
al este del norte. Medido desde su posición a las 10h
10m
.
I) ¿Cuál es el vector de desplazamiento del barco no identificado a las 11h
10m
?
a) 6,07 km; 78,3o
S-O b) 6,07 km; 78,3o
O-S c) 6,27 km; 76,3o
S-O
d) 6,27 km; 76,3o
O-S e) 6,47 km; 72,3o
S-O
II) Suponiendo que el barco no identificado continúan en el mismo curso a la misma velo
cidad ¿Cuál será su vector de desplazamiento a las 11h
30m
.
a) 9,10 km; 78,3o
S-O b) 9,10 km; 78,3o
O-S c) 9,30 km; 76,3o
S-O
d) 9,30 km; 76,3o
O-S e) 9,60 km; 72,3o
S-O
III) ¿Cuál será su distancia y su rumbo desde el barco?
a) 3,0 km; 12,3o
N-O b) 3,0 km; 12,3o
O-N c) 3,2 km; 14,3o
S-O
d) 3,2 km; 14,3o
O-S e) 3,4 km; 16,3o
S-O
55. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 12,0 km en la dirección de 40o
al
oeste del norte. Hallar las componentes norte y sur de este vector.
d) 9,99 km; 7,51 km e) 9,79 km; 7,31 km
56. Un vector desplazamiento tiene una magnitud de 4,0 m y una dirección vertical hacia a
bajo. ¿Cuál es la componente de este vector a lo largo de una línea con pendiente ascen
dente de 25o
?
a) -1,3î (m) b) 1,3î (m) c) -1,5î (m) d) 1,5î (m) e) -1,7î (m)
57. Considere dos desplazamientos, la primera de magnitud 3 m y la segunda de magnitud
4 m. Muestre como pueden combinarse estos vectores de desplazamiento para obtener
12

un desplazamiento resultante de magnitud I) 7 m, II) 1 m, III) 5 m.
58. ¿Cuáles son las propiedades de dos vectores a y b tales que: I) a b c
  y a+b=c; II)
a b a b
   ; III) a b c
  y a2
+b2
=c2
?
59. Sonia camina 250 m en dirección 35o
NE, y luego 170 m hacia el este.
I) Usando métodos gráficos, halle su desplazamiento final a partir del punto de partida.
II) Compare la magnitud de su desplazamiento con la distancia recorrida.
60. Una persona camina con el siguiente esquema: 3,1 km norte, luego 2,4 km oeste, y fi
nalmente 5,2 km sur.
I) Construya el diagrama vectorial que representa a este desplazamiento.
II) ¿Qué tan lejos y en qué dirección volaría un pájaro en línea recta para llegar al mismo
punto final?
a) 3,19 m; 41,19o
O-S b) 3,19 m; 41,19o
S-O c) 3,39 m; 43,19o
O-S
d) 3,39 m; 43,19o
S-O e) 3,59 m; 45,19o
O-S
61. Se suman dos vectores a y b . Muestre gráficamente con diagramas vectoriales que la
magnitud de la resultante no puede ser mayor que a+b ni menor que Ia-bI, donde las ba
rras verticales significan un valor absoluto.
62. Un automóvil recorre hacia el este una distancia de 54 km, luego al norte 32 km y lue
go en dirección 28o
NE durante 27 km. Dibuje el diagrama vectorial y determine el vec
tor desplazamiento total del automóvil desde el punto de partida.
a) 80,2 km; 13,94o
N-E b) 80,2 km; 13,94o
E-N c) 81,2 km; 11,94o
N-E
d) 81,2 km; 11,94o
E-N e) 83,2 km; 14,94o
N-E
63. El vector a tiene una magnitud de 5,2 u y está dirigido hacia el este. El vector b tiene
una magnitud de 4,3 u y está dirigido 35o
NO. Construyendo los diagramas vectoriales,
halle las magnitudes y direcciones de I) a b
 , y II) a b
 .
I) Hallar la magnitud y dirección del vector a b
 .
a) 4,25 u; 50,2o
E-N b) 4,25 u; 50,2o
N-E c) 4,45 u; 52,2o
E-N
d) 4,45 u; 52,2o
N-E e) 4,65 u; 54,2o
E-N
II) Hallar la magnitud y dirección del vector a b
 .
a) 8,24 u; 22,65o
S-E b) 8,24 u; 22,65o
E-S c) 8,44 u; 24,65o
S-E
d) 8,44 u; 24,65o
E-S e) 8,64 u; 64,65o
S-E
64. Un golfista ejecuta tres golpes para meter la bola en el hoyo cuando 3,6 m N, el segun
do 1,8 m SE, y el tercero 0,9 m SO. ¿Qué desplazamiento se necesitaría para meter la
bola en el hoyo al primer golpe? Trace el diagrama vectorial.
13

Análisis Vectorial
46
a) 2,15 m; 72,66o
E-N b) 2,15 m; 72,66o
N-E c) 2,35 m; 74,66o
E-N
d) 2,35 m; 74,66o
N-E e) 2,55 m; 76,66o
E-N
65. I) ¿Cuáles son las componentes de un vector A en el plano xy si su dirección es 252o
a antihorario del eje-x positivo y su magnitud es de 7,34 u?
a) 2,27 u; 6,98 u b) -2,27 u; 6,98 u c) 2,27 u; -6,98 u
d) -2,27 u; -6,98 u e) 2,47 u; 6,78 u
II) La componente x de cierto vector es de -25 u y la componente y es de +43 u. ¿Cuál es
la magnitud del vector y el ángulo entre su dirección y el eje x positivo?
a) 49,14 m; 120,77o
b) 49,74 m; 120,17o
c) 49,54 m; 120,37o
d) 49,34 m; 120,97o
e) 49,94 m; 120,57o
66. En la Fig09, la pieza pesada se arrastra hacia arriba d=13 m sobre el plano inclinado
=22o
, respecto de la horizontal.
I) ¿A qué altura de su posición inicial es levantada?
a) 4,07 m b) 4,27 m c) 4,47 m d) 4,67 m e) 4,87 m
II) ¿A qué distancia se movió horizontalmente?
a) 12,05 m b) 12,25 m c) 12,45 m d) 12,65 m e) 12,85 m
67. En la Fig10, la manecilla minutera de un reloj tiene una longitud de 11,3 cm del eje a
la punta.
I) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, desde un cuarto de hora hasta la media
hora?
a) 15,18 cm; 45o
O-S b) 15,18 cm; 45o
S-O c) 15,58 cm; 45o
O-S
d) 15,58 cm; 45o
S-O e) 15,98 cm; 45o
O-S
II) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente media hora?
a) 22,6 cm; 180o
x+
b) 22,6 cm; 180o
x-
c) 24,6 cm; 180o
x+
d) 24,6 cm; 180o
x-
e) 26,6 cm; 180o
x+
III) ¿Cuál es el vector desplazamiento de su punta, en la siguiente hora?
a) 0 cm; 0o
x+
b) 0 cm; 0o
x-
c) 2 cm; 0o
x+
d) 2 cm; 0o
x-
e) 4 cm; 0o
x+
68. Una persona desea llegar a un punto que está a 3,42 km de su ubicación actual y en u
na dirección de 35,0o
NE. Sin embargo, debe caminar a lo largo de calles que van ya
sea de norte a sur o de este a oeste. ¿Cuál es la distancia mínima que podría caminar pa
ra llegar a su destino?
14

Fig09 Fig10
69. Un barco se dispone a zarpar hacia un punto situado a 124 km al norte. Una tormenta i
nesperada empuja al barco hasta un punto a 72,6 km al norte y 31,4 km al este de su
punto de partida. ¿Qué distancia, y en qué dirección, debe ahora navegar para llegar a
su destino original?
a) 60,23 km; 31,42o
N-O b) 60,23 km; 31,42o
O-N c) 62,23 km; 33,42o
N-O
d) 62,23 km; 33,42o
O-N e) 64,23 km; 35,42o
N-O
70. En la Fig11, las fallas de las rocas son roturas a lo largo de las cuales se han movido
las caras opuestas de la masa rocosa, paralelas a la superficie de fractura. Este movimi
ento está a menudo acompañado de terremotos. En la Figura los puntos A y B coinci
dian antes de la falla. La componente del desplazamiento neto AB paralela a una línea
horizontal en la superficie de la falla se llama salto de la dislocación (AC). La compo
nente del desplazamiento neto a lo largo de la línea con mayor pendiente del plano de
la falla es la brecha de la dislocación (AD).
I) ¿Cuál es la desviación neta si el salto de la dislocación es de 22 m y la brecha de la dis
locación es de 17 m?
a) 25 m b) 26 m c) 27 m d) 28 m e) 29 m
II) Si el plano de la falla está inclinado a 52o
de la horizontal, ¿Cuál es el desplazamiento
vertical neto de B como resultado de la falla en I)?
a) 10 m b) 11 m c) 12 m d) 13 m e) 14 m
Fig11 Fig12
A
C
B
D
52o
R
R
P
P


En t1 En t2
g
13m
22o
v

15

Análisis Vectorial
48
71. En la Fig12, una rueda de radio R=45 cm gira sin arrastre a lo largo de un piso hori
zontal, P es un punto pintado sobre la llanta de la rueda. En el instante t1, P está en el
punto de contacto entre la rueda y el piso. En el instante t2 posterior, la rueda ha roda
do a la mitad de una vuelta. ¿Cuál es el desplazamiento de P durante el intervalo de
tiempo t2-t1.
a) 1,61 m; 31o
E-N b) 1,51 m; 37o
N-E c) 1,41 m; 32o
N-S
d) 1,87 m; 37o
N-S e) 1,67 m; 33o
E-N
72. Una habitación tienen las dimensiones de 3 m x 3,6 m x 4,2 m. Una mosca que sale de
una esquina termina su vuelo en la esquina diametralmente superior opuesta.
I) Hallar el vector de desplazamiento (en metros) en un marco con los ejes de coordena
das paralelos a las aristas de la habitación.
a) 3,0î +3,6ˆ
j+4,2k̂ b) 3,2î +3,8ˆ
j+4,0k̂ c) 3,8î +3,2ˆ
j+4,6k̂
d) 3,6î +3,0ˆ
j+4,4k̂ e) 3,0î +3,4ˆ
j+4,8k̂
II) ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento?
a) 6,09 m b) 6,29 m c) 6,49 m d) 6,69 m e) 6,89 m
III) ¿Podría la longitud de la trayectoria recorrida por la mosca ser menor que esta distan
cia?¿Mayor que esta distancia?¿Igual a esta distancia?
IV) Si la mosca caminara en lugar de volar, ¿Cuál sería la longitud de la trayectoria más
corta que puede recorrer?
a) 7,02 m b) 7,22 m c) 7,42 m d) 7,62 m e) 7,82 m
a 4i 3j
  y ˆ ˆ
b 6i 8 j
  .
I) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a .
a) 3,0; 353o
b) 3,5; 313o
c) 4,0; 343o
d) 4,5; 333o
e) 5,0; 323o
II) Hallar la magnitud y dirección con el eje +x del vector b .
a) 7,0; 35,9o
b) 6,0; 38,9o
c) 9,0; 37,9o
d) 8,0; 39,9o
e) 10,0; 36,9o
III) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a b
 .
a) 7,2; 25,6o
b) 10,2; 27,6o
c) 9,2; 28,6o
d) 8,2; 29,6o
e) 11,2; 26,6o
IV) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector b a
 .
a) 7,2; 75,7o
b) 10,2; 76,7o
c) 9,2; 78,7o
d) 8,2; 77,7o
e) 11,2; 79,7o
V) Hallar la magnitud y dirección con el eje+x del vector a b
 .
a) 7,2; 262o
b) 10,2; 266o
c) 9,2; 264o
d) 8,2; 268o
e) 11,2; 260o
16

74. Un hombre sale de la puerta frontal, camina 1 400 m E, 2 100 m N, y luego saca una
moneda de su bolsillo y lo suelta desde un acantilado de 48 m de altura. En un sistema
de coordenadas en el cual los ejes x, y y z positivos apunten al este, al norte, y hacia a
rriba, estando el origen en la ubicación de la moneda según el hombre sale de su puerta
frontal.
I) Escriba una expresión, usando vectores unitarios, para el desplazamiento (en metros)
de la moneda.
a) -44k̂ b) +44k̂ c) -42k̂ d) +42k̂ e) -48k̂
II) El hombre regresa a su puerta frontal, siguiendo una trayectoria diferente en el viaje de
regreso. ¿Cuál es su desplazamiento (en metros) resultante para el viaje completo?
a) 0k̂ b) 1k̂ c) 2k̂ d) 3k̂ e) 4k̂
75. Una partícula experimenta tres desplazamientos sucesivos en un plano, como sigue:
4,13 m SO, 5,26 m E, y 5,94 m en una dirección de 64,0o
NE. Elija el eje x apuntando
al este y el eje y apuntando hacia el norte.
I) Halle las componentes de cada desplazamiento.
II) Halle las componentes del desplazamiento resultante.
III) Halle la magnitud y la dirección del desplazamiento resultante.
IV) Halle el desplazamiento que se requeriría para traer de nuevo a la partícula hasta el pun
to de partida.
76. En la Fig13, dos vectores a y b tienen magnitudes iguales a 12,7 u. Están orientados
como se muestra en la Figura, y su vector suma es r .
I) Halle las componentes x e y del vector r .
a) 2,54î +15,29ˆ
j b) 2,14î +15,19ˆ
j c) 2,34î +15,39ˆ
j
d) 2,24î +15,39ˆ
j e) 2,44î +15,59ˆ
j
II) Halle la magnitud del vector r .
a) 15,1 b) 15,3 c) 15,5 d) 15,7 e) 15,9
III) Halle el ángulo que forma el vector r con ele eje +x.
a) 80,6o
b) 81,6o
c) 82,6o
d) 83,6o
e) 84,6o
77. En la Fig14, una estación de radar detecta a un cohete que se aproxima desde el este.
En el primer contacto, la distancia al cohete es de 3 600 m a 40,0o
sobre el horizonte.
El cohete es rastreado durante otros 123o
en el plano este-oeste, siendo la distancia del
contacto final de 7 740 m. Halle el desplazamiento (en metros) del cohete durante el pe
riodo de contacto del radar.
a) -10159,55î -51,08ˆ
j b) -10259,55î -52,08ˆ
j c) -10359,55î -53,08ˆ
j
d) -10459,55î -56,08ˆ
j e) -10559,55î -55,08ˆ
j
17

Análisis Vectorial
50
Fig13 Fig14
78. Dos vectores de magnitudes "a" y "b" forman un ángulo "" entre si cuando son situa
dos cola con cola. Pruebe, tomando componentes a lo largo de dos ejes perpendicula
res, que la magnitud de su suma es r=[a2
+b2
+2abcos]1/2
.
79. Pruebe que dos vectores deben tener magnitudes iguales si su suma es perpendicular a
su diferencia.
80. I) Usando vectores unitarios a lo largo de tres aristas de un cubo, expresé las diago
nales (las líneas de una esquina a otra a través del centro del cubo) de un cubo en tér
minos de sus aristas, las cuales tienen longitud "a".
II) Determine los ángulos formados por las diagonales con las aristas adyacentes.
III) Determine la longitud de las diagonales.
81. Un cohete enciende dos motores simultáneamente. Uno produce un empuje de 725 N
directamente hacia delante; en tanto el otro da un empuje de 513 N 32,4o
arriba de la
dirección hacia delante. Hallar la magnitud y la dirección (relativa a la dirección hacia
delante) de la fuerza resultante que estos motores ejercen sobre el cohete.
a) 1190 N; 13,4o
b) 1150 N; 11,4o
c) 1170 N; 15,4o
d) 1180 N; 12,4o
e) 1160 N; 14,4o
82. En la Fig15, para los vectores mostrados A y B de magnitudes A=8,0 m y B=15,0 m,
=30o
, use el método de componentes para obtener la magnitud y la dirección.
I) De la resultante de la suma vectorial A +B.
a) -0,5î +12,9ˆ
j b) 0,5î -12,9ˆ
j c) +0,5î +12,9ˆ
j
d) -0,5î -12,9ˆ
j e) -0,3î +10,9ˆ
j
II) De la resultante de la suma vectorial B+A .
a) -0,5î +12,9ˆ
j b) 0,5î -12,9ˆ
j c) +0,5î +12,9ˆ
j
d) -0,5î -12,9ˆ
j e) -0,3î +10,9ˆ
j
b
a
105o
28,2o
y
x
0
O E
40o
123o
3600m
7740m
18

III) De la resultante de la diferencia vectorial A -B.
a) -15,5î +12,9ˆ
j b) 15,5î -12,9ˆ
j c) +15,5î +12,9ˆ
j
d) -15,5î -12,9ˆ
j e) -13,3î +10,9ˆ
j
IV) De la resultante de la diferencia vectorial B-A .
a) -15,5î +12,9ˆ
j b) 15,5î -12,9ˆ
j c) +15,5î +12,9ˆ
j
d) -15,5î -12,9ˆ
j e) -13,3î +10,9ˆ
j
83. En la Fig16, escriba cada uno de los vectores mostrados, en términos de vectores
unitarios î y ˆ
j, si A=3,60 m, B=2,4 m, =20o
, y =30o
.
II) Utilice vectores unitarios para expresar el vector C 3,00A 4,00B
  .
III) Hallar la magnitud y dirección del vector C .
Fig15 Fig16
84. I) ¿El vector (ˆ ˆ ˆ
i j k
  ) es unitario? Justifique su respuesta.
II) Un vector unitario puede tener una componente con magnitud mayor a la unidad? ¿Pue
de tener alguna componente negativa? En cada caso, justifique su respuesta.
III) Si el vector ˆ ˆ
A a(3,0i 4,0 j)
  , donde "a" es una constante, hallar el valor de "a" que
convierte a A en un vector unitario.
Fig17 Fig18
a
a
a b
c
d
e
A
B
C
E
D
0
a
b
c
d
e
530
A
B

y
x
0
A
B



y
x
0
19

Análisis Vectorial
52
85. En la Fig17, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados, si c =3/5 u.
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u
86. En la Fig18, en la circunferencia de radio R=1 u, hallar el módulo de la resultante de
los vectores mostrados.
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u
87. En la Fig19, hallar el módulo de la resultante de los vectores mostrados. a 4u
 ,
c 8u
 , b 8u
 y b 4u
 .
a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u
88. En la Fig20, en el triángulo equilátero, expresar x en función de a y b .
a)
2b a
4

b)
2b a
4

c)
2b a
2

d)
2b a
4

e)
b 2a
4

Fig19 Fig20
89. En la Fig21, en la circunferencia de radio 7 u , hallar el módulo de la resultante de
a) 3 u b) 5 u c) 7 u d) 9 u e) 11 u
90. En la Fig22, en el triángulo equilátero de lado a=2 u, hallar el módulo de la resultante
de los vectores mostrados.
a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u
Fig21 Fig22
a
c b
600
A
B
C
a
b
x
d
M
N
a
b
c
d
0
600
e
A
B
C
0
20

91. En la Fig23, en el tetraedro de lado a= 6 u. Hallar el módulo de la resultante de los
vectores mostrados.
a) 2 u b) 4 u c) 6 u d) 8 u e) 10 u
92. En la Fig24, en el tetraedro de lado a= 10 /2u. Hallar el módulo de la resultante de
a) 1 u b) 3 u c) 5 u d) 7 u e) 9 u
93. En la Fig25, hallar el módulo de la resultante de los vectores contenidos en los cuadra
dos de lados 5 u, y que son perpendiculares entre sí.
a) 1 u b) 3 u c) 5 u d) 7 u e) 9 u
Fig23 Fig24
94. En la Fig26, en el rectángulo de lados 6 u y 8 u, M es punto medio de la diagonal,
hallar x en función de a y b .
a) 0,28 b 0,50 a
 b)1,3b 0,5a
 c) 0,5b 1,3a
 d) 10,5b 1,3a
 e) 1,2b 0,6a

Fig25 Fig26
95. En la Fig27, en la semicircunferencia de radio 4 u, los puntos ABCD dividen en par
tes iguales a la semicircunferencia. Hallar x en función de a y b .
a)
4a 3b
6

b)
4a 3b
6

c)
3a 4b
6

d)
3a 4b
6

e)
6a 3b
6

A
B
C
D
B
D
C
A
a
b
x
A
B C
D
M
21

Análisis Vectorial
54
Fig27 Fig28
96. En la Fig28, el tronco de cono regular de arista a= 3 /2 u tiene bases cuadradas cuya
diferencia de sus lados es 6 /4 u. Hallar el módulo de la resultante de los vectores
mostrados.
a) 1 u b) 2 u c) 3 u d) 4 u e) 5 u
97. En la Fig29, en el triángulo equilátero ABC de lado 4 u y baricentro O, hallar el módu
lo de la resultante de los vectores mostrados.
a) 0 u b) 1 u c) 2 u d) 3 u e) 4 u
98. En un triángulo ABC el vector AB m
 y el vector AC n
 . Construir los siguientes
vectores.
I)
m n
2

II)
m n
2

III)
n m
2

99. Tomando como base los vectores AB b
 y AC c
 que coinciden con los lados del
triángulo ABC, determinar la descomposición de los vectores que coinciden con sus
medianas si éstos están aplicados en los vértices del triángulo.
Fig29 Fig30
100.En la Fig30, en el paralelepípedo ABCDA'B'C'D' se dan los vectores que coinciden
con sus aristas: AB m , AD n y AA' p
   . Construir los vectores siguientes:
D' C'
A' B'
D
A B
C
m
n
p



A
B
C
D
x
a
b
0

A
B
C
D
F
G
H
E
0
A
B
C

22

I) m n p
  II)
1
m n p
2
  III)
1 1
m n p
2 2
  IV) m n p
  V)
1
m n p
2
 
101.En la Fig31, en el hexágono regular de lado 5 cm, hallar el módulo del vector resultan
te.
a) 30 u b) 35 u c) 40 u d) 45 u e) 50 u
102.En la Fig32, en el hexágono regular, expresar x en función de a y b .
a)
a b
2

b)
a b
2

c)
a b
4

d)
a b
4

e)
b a
4

103.En la Fig33, hallar el módulo de la resultante de los infinitos vectores. Si AB = 1 u y
BC= 3 u.
a) 6,0 u b) 6,2 u c) 6,4 u d) 6,6 u e) 6,8 u
Fig31 Fig32
104.En la Fig34, en el cuadrado M y N son puntos medios., hallar x en función de a y b .
a)
a b
2

b)
a b
2

c)
a b
4

d)
a b
4

e)
b a
2

Fig33 Fig34
b x
A D
F E
0
B C
a
b x
A D
F E
0
B C
A1
A2
A3
B1 B2 B3
B
A
C
600

N
M
a
A
C
D
B
x
b
23

Análisis Vectorial
56
105.Probar que la suma de vectores posee la propiedad conmutativa; esto es: a b b a
   .
106.Un avión se mueve con velocidad de 250 km/h en dirección 37o
de norte a oeste res
pecto de la Tierra, en presencia de un viento que se desplaza con velocidad de 50 km/h
en dirección este a oeste, respecto a Tierra. Hallar el ángulo de desviación que experi
menta la velocidad del avión.
a) 7,21 b) 7,51o
c) 7,81o
d) 8,11o
e) 8,41o
107.Probar que la suma de vectores posee la propiedad asociativa: a (b c)
   (a b)
 +c .
108.Hallar un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores 1
r =
ˆ ˆ ˆ
2i 4 j 5k
  y 2
ˆ ˆ ˆ
r i 2j 3k
   .
109.Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio.
110.Determinar los ángulos ,  y  que el vector de posición ˆ ˆ ˆ
r xi y j zk
   forma con
los ejes de coordenadas x, y z positivos, además probar que cos2
+cos2
+cos2
=1.
111.Dados los vectores 1
ˆ ˆ ˆ
r 2i j k
   , 2
ˆ ˆ ˆ
r i 3j 2k
   , 3
ˆ ˆ ˆ
r 2i j 3k
    y 4
ˆ ˆ
r 3i 2 j
  
ˆ
5k . Hallar S=(a2
+b2
+c2
)1/2
, donde a, b y c satisfacen la ecuación, 4 1 2 3
r a r br cr
   .
a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94
112.Sean a y b son dos vectores de distinta dirección con A (x 4y)a (2x y 1)b
     y
B  (y 2x 2)a (2x 3y 1)b
     . Si se cumple la relación, 3A 2B
 , hallar P=x.y.
a) 1,5 b) -1,5 c) 2 d) -2 e) 3
113.Sobre un punto P de un sólido actúan las fuerzas 1
ˆ ˆ ˆ
F 2i 3j 5k
   , 2
ˆ ˆ ˆ
F 5i j 3k
    ,
3
ˆ ˆ ˆ
F i 2 j 4k
   medidos en newtons.
I) Hallar la fuerza resultante sobre el sólido.
II) Hallar la magnitud de la fuerza resultante.
114.Hallar el ángulo agudo entre las diagonales de un cuadrilátero de vértices (0, 0), (3, 2),
(4, 6) y (1, 3).
a) 82o
41' 30" b) 82o
45' 30" c) 82o
49' 30" d) 82o
53' 30" e) 82o
57' 30"
115.Hallar un vector b de magnitud 2 u, y que tenga la misma dirección que el vector
ˆ ˆ ˆ
a (3i 6 j 2k)
   (u).
116.Hallar el producto escalar o punto de los vectores ˆ ˆ ˆ
a 5i 2 j k
   y ˆ ˆ
b 2i k
  .
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
24

117.Dados los vectores ˆ ˆ ˆ
a 2i j 2k
    , y ˆ ˆ ˆ
b 3i 6 j 2k
   .
I) Hallar la razón de las magnitudes de los vectores a y b .
a) 0,33 b) 0,43 c) 0,53 d) 0,63 e) 0,73
II) Hallar el ángulo entre los vectores a y b .
a) 110o
23' 34" b) 110o
23' 34" c) 110o
23' 34" d) 110o
23' 34" e) 110o
23' 34"
a 4i 3j 2k
   y ˆ ˆ ˆ
b i 2j k
    . Hallar la razón r= axb / a b .
a) 3,14 b) 3,34 c) 3,54 d) 3,74 e) 3,94
119.El producto punto de dos vectores a y b , y la magnitud de su producto vectorial son
iguales. Hallar el ángulo entre los vectores a y b .
a) 30o
b) 37o
c) 45o
d) 53o
e) 60o
120.El vector desplazamiento a tiene una longitud de 50 m y una dirección 30o
al este del
norte; el vector de desplazamiento b tiene una longitud de 35 m y una dirección 70o
al
oeste del norte.
I) Hallar la magnitud y dirección del producto vectorial a xb.
II) Hallar la magnitud y dirección del producto vectorial bxa .
121.Hallar el producto vectorial o cruz de los vectores ˆ ˆ ˆ
a 2i 5 j 3k
   y ˆ ˆ
b i 2k
  .
122.Suponga que, ˆ ˆ
a cos ti sen t j
 
  , donde "" es una constante. Hallar da /dt, y pro
bar que da /dt es perpendicular al vector a .
123.El vector de desplazamiento a tiene una magnitud de 30 m y una dirección de 20o
al
sur del este . El vector de desplazamiento b tiene una magnitud de 40 m y una direc
ción 20o
al oeste del norte. Hallar la componente de a a lo largo de b .
a) 19,08 b) -19,08 c) 19,28 d) -19,28 e) 19,48
124.El producto vectorial de ˆ ˆ ˆ
A 5,0i 2,0 j 3,0k
   y x z
ˆ ˆ ˆ
B B i 3,0 j B k
   es igual al vec
tor z
ˆ ˆ
C 2,0 j C k
  . Hallar la expresión, E=Bx.Cz/Bz.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
125.I) Los vectores a y b están sobre el plano-xy. Demostrar que la tangente del ángulo
"" entre estos vectores, está dada por: tg=(axby-aybx)/(axbx+ayby).
II) Evaluar la expresión para tg , cuando ˆ ˆ
a 4i 3j
  y ˆ ˆ
b 3i 4 j
  .
25

Análisis Vectorial
58
a) 16,06o
b) 16,26o
c) 16,46o
d) 16,66o
e) 16,86o
126.Hallar un vector unitario que bisecte el ángulo entre los vectores ˆ ˆ
a j 2k
  y b 
ˆ ˆ ˆ
3i j k
 
a) ˆ ˆ ˆ
0,97i 0,16 j 0,22k
  b) ˆ ˆ ˆ
0,91i 0,18 j 0,26k
  c) ˆ ˆ ˆ
0,99i 0,10 j 0,24k
 
d) ˆ ˆ ˆ
0,93i 0,12 j 0,28k
  e) ˆ ˆ ˆ
0,95i 0,14 j 0,20k
 
127.Hallar el ángulo entre la diagonal principal de un cubo de lados "a", y la diagonal de
una cara adyacente.
a) 35o
15' 12" b) 35o
15' 32" c) 35o
15' 52" d) 35o
15' 72" e) 35o
15' 92"
128.El producto escalar de dos vectores a y b de magnitudes a=4 u y b=6 u es cero. Hallar
la magnitud del producto vectorial de a y b .
a) 20 u2
b) 22 u2
c) 24 u2
d) 26 u2
e) 28 u2
a 2i 3j 2k
   y ˆ ˆ
b 3i 4k
   . Hallar la expresión E=(cx.cz)/cy,
donde cx, cy, cz son las magnitudes de las componentes de c a xb
 .
a) 7,1 b) 7,3 c) 7,5 d) 7,7 e) 7,9
a (3i 2 j 2k)u
   , ˆ
b 4k u
 , y ˆ ˆ
c (2i 3j) u
  . Hallar las expre
siónes siguientes: I) a (b c)
 , II) a x(b c)
 , III) a (bxc), IV) a (bxc).
131.Hallar un vector perpendicular tanto a ˆ ˆ
a 4i 3j
  como a ˆ ˆ ˆ
b i 3j 2k
    .
132.Demuestre la relación vectorial: a x(bxc) b(a c) c(a b)
  .
133.Las expresiones de cuatro vectores que van del origen de coordenadas a los puntos A,
B, C y D, son: ˆ ˆ ˆ
a i j k
   , ˆ ˆ
b 2i 3j
  , ˆ ˆ ˆ
c 3i 5 j 2k
   y ˆ ˆ
d k j
  . Probar que el
vector AB es paralelo al vector CD.
134.Demostrar vectorialmente que la suma de los cuadrados de las diagonales de un parale
logramo es igual a la suma de los cuadrados de sus cuatro lados.
135.Hallar el área del triángulo de vértices A=(1, 1, 3), B=(2,-1, 5) y C=(-3, 3, 1).
a) 4,04 u2
b) 4,24 u2
c) 4,44 u2
d) 4,64 u2
e) 4,84 u2
136.Dados los vectores a y b , probar que, se cumple: a b a b
 y a b a b
   .
137.Exprese el vector ˆ ˆ ˆ
a i 2 j 3k
   como una combinación lineal de ˆ ˆ
b i k
  , ˆ ˆ
c i j
  ,
26

y ˆ ˆ ˆ
d j k
  .
a) b 2d
 b) 2b d
 c) b 2c
 d) c d
 e) 2c d

a i 2 j 3k
   , ˆ ˆ ˆ
b 2i 2 j k
   y ˆ ˆ
c 2i j 4k
   , hallar la expre
sión: E=(dx.dy.dz)/(ex.ey.ez) donde dx, dy, dz, ex, ey, ez son las magnitudes de las compo
nentes de los productos d a xb
 y e bxc
 , respectivamente.
a) 4,40 b) 4,44 c) 4,48 d) 4,52 e) 4,56
a i 2 j 3k
   , ˆ ˆ ˆ
b 2i 2 j k
   y ˆ ˆ
c 2i j 4k
   , hallar el ángulo
entre los vectores d a xb
 y e bxc
 .
a) o
140 34'14" b) o
142 34'14" c) o
144 34'14"
d) o
146 34'14" e) o
148 34'14"
140.Hallar el volumen del paralelepípedo conformado por los vectores ˆ ˆ ˆ
a (i 2 j 3k)m
   ,
ˆ ˆ ˆ
b ( 3i j 4k)m
    , y ˆ ˆ ˆ
c (i 2j k) m
   .
a) 12 m3
b) 14 m3
c) 16 m3
d) 18 m3
e) 20 m3
141.Dados los vectores ˆ ˆ
a 2i k j
  y ˆ ˆ
b 3i 2 j
  , hallar la expresión E=kIIk, donde kII y
k, son el k para el cual a b, y a b
 , respectivamente.
a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 6
142.En la Fig35, demuestre que a (bxc) es igual en magnitud al volumen del paralelepí
pedo formado sobre los tres vectores a , b y c .
143.En la Fig36, los tres vectores mostrados tienen magnitudes a=3, b=4 y c=10.
I) Calcule las componentes x e y de estos vectores.
II) Hallar los números "p" y "q" tal que c pa qb
  .
Fig35 Fig36
a
c
b
30o
x
y
0
i
j
a
b
c
27

Análisis Vectorial
60
144.En la Fig37, un vector a de magnitud 17 m está dirigido 56o
en sentido antihorario
del eje +x.
I) ¿Cuáles son las componentes ax y ay de este vector?
II) Un segundo sistema de coordenadas está inclinada 18o
con respecto al primero. ¿Cuá
les son las componentes x
a' y y
a' en este sistema primado de coordenadas?
III) Hallar el valor de la expresión, E= x y x y
(a' a' ) / (a a )
145.En la Fig38, se muestra dos vectores a y b y dos sistemas de coordenadas que difie
ren en que los ejes x y x' y los ejes y y y' forman cada uno un ángulo "" con el otro.
Pruebe analíticamente que a b
 tiene la misma magnitud y dirección sin importar que
sistema se haya usado para llevar a cabo el análisis.
Fig37 Fig38
146.Dado un vector ˆ ˆ ˆ
a i 2 j 2k
    en coordenadas cartesianas.
I) Hallar la magnitud del vector a .
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,0
II) Hallar el vector unitario a
û en la dirección del vector a .
a) -(1/3)î +(2/3)ˆ
j-(2/3)k̂ b) -(1/3)î +(2/3)ˆ
j+(2/3)k̂ c) -(1/3)î -(2/3)ˆ
j-(2/3)k̂
d) +(1/3)î +(2/3)ˆ
j-(2/3)k̂ e) +(1/3)î +(2/3)ˆ
j-(2/3)k̂
III) Hallar el ángulo que forma el vector a con el eje z positivo.
a) 131,8o
b) 133,8o
c) 135,8o
d) 137,8o
e) 139,8o
a 5i 2 j k
   y ˆ ˆ
b 3i 4k
   en coordenadas cartesianas.
I) Hallar el producto escalar de a por b .
a) +11 b) -11 c) +13 d) -13 e) +15
II) Hallar el producto vectorial de a por b .
0 ax
ay
a'y
a'x
x
x'
y'
y
a=17m
56o
18o
18o
0 x
x'
y'
y
a

b
v

28

a) ˆ ˆ ˆ
8i 23j 6k
   b) ˆ ˆ ˆ
8i 23j 6k
   c) ˆ ˆ ˆ
8i 23j 6k
  
d) ˆ ˆ ˆ
8i 23j 6k
   e) ˆ ˆ ˆ
8i 23j 6k
  
III) Hallar el ángulo entre los vectores a y b .
a) 111,7o
b) 113,7o
c) 115,7o
d) 117,7o
e) 119,7o
148.I) Escriba la expresión del vector que va desde el punto P1(1, 3, 2) hasta el punto
P2(3,-2, 4) en coordenadas cartesianas.
a) ˆ ˆ ˆ
2i 5j 2k
  b) ˆ ˆ ˆ
2i 5j 2k
  c) ˆ ˆ ˆ
2i 5j 2k
   d) ˆ ˆ ˆ
2i 5j 2k
  e) ˆ ˆ ˆ
2i 5j 2k
 
II) Hallar la longitud del segmento de línea 1 2
P P .
a) 5,14 b) 5,34 c) 5,54 d) 5,74 e) 5,94
III) Hallar la distancia perpendicular desde el origen hasta esta línea.
a) 3,00 b) 3,20 c) 3,40 d) 3,60 e) 3,80
149.Dado el vector ˆ ˆ ˆ
b 2i 6 j 3k
   en coordenadas cartesianas.
I) Hallar la magnitud del vector b .
a) 5,0 b) 5,5 c) 6,0 d) 6,5 e) 7,0
II) Hallar la expresión del vector unitario b
û .
III) Hallar los ángulos que forma el vector b con los ejes x, y, z, respectivamente, y cal
cular la suma de los cuadrados de las tangentes de estos ángulos.
a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16
150.Asumiendo que existe un campo vectorial en el espacio 3
, dado por: ˆ
A (3cos )r

 -
ˆ
ˆ
2r zk

  .
I) ¿Cuál es el campo vectorial en el punto P(4, 60o
, 5)?
II) Exprese el campo A en coordenadas cartesianas.
III) Determine la ubicación del punto P en coordenadas cartesianas.
151.Exprese el vector 0Q desde el origen 0 hasta el punto Q(3, 4, 5) en coordenadas cilín
dricas.
a) ˆ ˆ
3i 4j
 b) ˆ ˆ
4i 3j
 c) ˆ ˆ
4i 4k
 d) ˆ ˆ
5i 5k
 e) ˆ ˆ
5i 5k

152.Hallar la relación de transformación en forma matricial para las componentes de un
vector A , expresadas en los sistemas de coordenadas cartesianas y cilíndricas.
29

Análisis Vectorial
62
153.Las coordenadas cilíndricas de dos puntos P1 y P2 son: P1(4, 60o
, 1) y P2(3, 180o
,-1).
Hallar la distancia entre estos dos puntos.
a) 6,0 b) 6,2 c) 6,4 d) 6,6 e) 6,8
154.Exprese el vector unitario k̂ en términos de los vectores r̂ y ̂ del sistema de coorde
nadas esférico.
a) ˆ
ˆ
cos r sen
 
 b) ˆ
ˆ
cos r sen
 
 c) ˆ
ˆ
sen r cos
 

d) ˆ
ˆ
sen r cos
 
 e) ˆ
ˆ
cos r sen
 
 
155.Una nube de electrones que está confinada en una región en forma de cascarón esféri
co de radios interno r1=2 cm y externo r2=5 cm, tiene una densidad de carga volumé
trica homogénea de =(-310-8
)cos2
/r4
C/m3
. Hallar la carga contenida en esta región.
a) -1,0 C b) -1,2 C c) -1,4 C d) -1,6 C e) -1,8 C
156.Hallar la fórmula para el área de la superficie de una esfera de radio "R", integrando el
área superficial diferencial en coordenadas esféricas.
157.Hallar la relación de transformación en forma matricial para las componentes de un
vector A , expresadas en los sistemas de coordenadas cartesianas y esféricas.
158.Las coordenadas cartesianas de un punto son: P(4,-6, 12). Hallar las coordenadas esfé
ricas de este punto.
a) (12, 33o
, 301,7o
) b) (11, 32o
, 302,7o
) c) (14, 31o
, 303,7o
)
d) (15, 30o
, 304,7o
) e) (13, 34o
, 305,7o
)
159.En cierta región del espacio 3
el potencial eléctrico está dada por: V=Voe-x
sen(y/4)
donde Vo=2 voltios, y x e y están en metros. Hallar la magnitud del campo eléctrico en
el punto P(1, 1, 0) m.
a) 0,50 V/m b) 0,54 V/m c) 0,58 V/m d) 0,62 V/m e) 0,66 V/m
160.Dado un campo vectorial ˆ
ˆ
E rr zk
  (V/m) en coordenadas cilíndricas. Hallar el flujo
de salida total a través de un cilindro circular de radio R=2 m y h=4 m centrado en el
origen. El eje del cilindro es el eje z.
a) 45 b) 46 c) 47 d) 48 e) 49
161.En cierta región del espacio 3
existe un campo, dado por: 2 ˆ
ˆ ˆ
E rr rcos zk

   . Ha
llar el valor de la expresión P=Ey.Ez/Ex, donde Ex, Ey, Ez son las componentes del cam
po en el punto P(4, 60o
, 1).
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
30

162.Hallar la circulación del campo ˆ ˆ
F xyi 2x j
  en sentido antihorario, a lo largo de un
cuarto de circunferencia de radio R=3, inscrita en el primer cuadrante, y centro en 0.
a) -21,1 b) +21,1 c) -23,1 d) +23,1 e) -25,1
F xyi 2x j
  en sentido horario, a lo largo un cuadra
do de lados 4 u, con centro en el origen 0, y lados paralelos a los ejes x e y.
a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 e) 38
164.I) Dado el campo ˆ
A (k / r)
 en coordenadas cilíndricas con "k" constante. Demos
trar que xA
 .
II) Dado el campo ˆ
A f(r)r
 en coordenadas esféricas, donde f es función de la distancia
radial "r". Demostrar que xA
 .
165.Dado un campo ˆ ˆ
F xyi 2x j
  en una región 3
, verifique el teorema de Stokes sobre
un cuadrante de círculo de radio R=3, situado en el primer cuadrante, con centro en 0.
F sen r 3cos
 
  en sentido antihorario, a lo largo
del cuadrante de circunferencia de radio R=3, inscrita en el primer cuadrante, y centro
en el origen 0.
a) 4,0 b) 4,5 c) 5,0 d) 5,5 e) 6,0
167.Dado el campo ˆ ˆ
F sen r 3cos
 
  en la región 3
, hallar la magnitud del rotacional
de F en r=0,3, =53o
, y verificar el teorema de Stokes, sobre el cuadrante de circunfe
rencia de radio R=3, en el primer cuadrante, con centro en el origen 0.
a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0
168.Dado el campo radial A =kr r̂ en coordenadas esféricas, determine si el teorema de la
divergencia es válido para la capa encerrada por las superficies esféricas r=R1, y r=R2
(R2>R1) con centro común en el origen.
169.Demostrar la identidad vectorial, xA
  , donde A es un campo vectorial en 3
.
170.Demostrar la identidad vectorial, xA 0
  , donde A r
 es el vector de posición.
171.Demostrar la identidad vectorial r r
  /r, donde r es el vector de posición.
172.La ecuación A (BxC) B (CxA) C (AxB)
  describe los productos escalares triples
de tres vectores A , B y C . Hay otro tipo importante de producto de tres vectores: el
producto vectorial triple, Ax(BxC) . Demuestre la siguiente relación desarrollando en
31

Análisis Vectorial
64
coordenadas cartesianas: Ax(BxC) B(A C) C(A B)
  .
173.Hallar la componente del vector ˆ ˆ
A zi x j
  en el punto P1(-1, 0,-2) que esté dirigida
hacia el punto P2( 3 , 150o
, 1).
a) 1,205 b) 1,225 c) 1,245 d) 1,265 e) 1,285
174.Calcule los resultados de los siguientes productos de vectores unitarios. I) ˆ
ˆ i
 , II) ˆ
r̂ j,
III) ˆ ˆ
k r , IV) ˆ
ˆ xi
 , V) ˆ ˆ
xr
 , VI) ˆ
ˆ xk
 .
175.Exprese la componente , A de un vector A en (1, 1, z1).
I) En función de Ax y Ay en coordenadas cartesianas.
II) En función de Ar y A en coordenadas esféricas.
176.Exprese la componente , E de un vector E en (r1, 1, 1).
I) En función de Ex, Ey y Ez en coordenadas cartesianas.
II) En función de Er y Ez en coordenadas esféricas.
177.Dado un campo vectorial ˆ ˆ
E yi x j
  , calcule la integral E d
 desde P1(2, 1,-1)
hasta P2(8, 2,-1). A lo largo de una línea recta que une los dos puntos.
178.Denote con r el vector de posición de un punto P(x, y, z). Hallar (1/r).
I) En coordenadas cartesianas.
II) En coordenadas esféricas.
179.Dado el campo escalar V=2xy-yz+xz.
I) Hallar el vector que representa la dirección y la magnitud de la razón de incremento
máxima de V en el punto P(2,-1, 0).
II) Hallar la razón de incremento de V en el punto P en la dirección hacia el punto Q(0, 2,
6).
180.En un sistema de coordenadas curvilínea, la diferenciación de un vector base puede
producir un nuevo vector en otra dirección.
I) Hallar r̂ / y ̂ / en coordenadas cilíndricas.
II) Use los resultados obtenidos en I) para encontrar la fórmula de A
 en coordenadas ci
líndricas, usando las ecuaciones =( 1 2 3
u 1 1 u 2 2 u 3 3
ˆ ˆ ˆ
u / h u u / h u u / h u )
        y A =
r z
ˆ
ˆ
ˆ
A r A A k

  .
181.Calcule la divergencia de los siguientes campos radiales: I) f1(r)=rn
r̂ , I) f2(r)=(k(r2
)
r̂ , donde k es una constante.
182.Dado un campo vectorial ˆ ˆ ˆ
F xyi yz j zxk
   .
I) Hallar el flujo de salida total a través de la superficie de un cubo unidad en el primer
32

octante con un vértice en el origen.
II) Hallar F
 y verifique el teorema de la divergencia.
183.Para una función vectorial 2 ˆ
ˆ
A r r 2zk
  , verifique el teorema de la divergencia para
la región cilíndrica circular encerrada por r=5, z=0 y z=4.
184.Para una función vectorial dada por: ˆ
A zk
 .
I) Hallar A dS
 sobre la superficie de una región semiesférica que es la mitad superior
de una esfera de radio R=3 centrada en el origen, con la base plana coincidente con el
plano xy.
II) Hallar la divergencia de A , A
 .
III) Verifique el teorema de la divergencia.
185.Un campo vectorial A =(cos2
)/r3
r̂ existe en la región comprendida entre dos capas es
féricas definidas por R1=2 y R2=3.
I) Calcule el flujo de A a través de la superficie S,
S
A dS
 .
II) Calcule la integral de la divergencia de A en el volumen V,
V
( A)dV

 .
186.Para una función escalar f y una función vectorial A , demuestre que la identidad
A (fA) f A A f
    , en coordenadas cartesianas.
Fig39 Fig40
187.En la Fig39, suponga un campo vectorial 2 2 2
ˆ ˆ
A (2x y )i (xy y ) j
    .
I) Hallar A d
 a lo largo del contorno triangular mostrado en la Figura.
II) Hallar (Axd ) dS
 sobre el área triangular.
III) ¿Puede expresarse A como el gradiente de un escalar? Explique.
188.En la Fig40, suponga una unción vectorial 2 ˆ
ˆ
F 5rsen r r cos
 
  .
x
y
0 2
2
y
x
0 D
A
B
C
R2
R1
33

Análisis Vectorial
66
I) Hallar F d
 a lo largo del contorno ABCDA en la dirección indicada en la Figura.
II) Hallar el rotacional de F, esto es xF
 .
III) Hallar ( xF) dS

 sobre el área sombreada y compare el resultado con el que obtuvo
en el inciso I).
189.Dada una función vectorial ˆ
A 3sen( / 2)
 
 , verifique el teorema de Stokes sobre la
superficie de una semiesfera de radio R=4 y su borde circular.
190.Para una función escalar f y una función vectorial A , demuestre que se cumple la
identidad: x(f A) f ( xA) ( f)xA
     , en coordenadas cartesianas.
191.Dada la función vectorial 1 2 3 4
ˆ ˆ ˆ
F (x 3y c z)i (c x 5z) j (2x c y c z)k
        .
I) Hallar c1, c2 y c3, si F es irrotacional.
II) Hallar c4 si F también es solenoidal.
192. Un campo eléctrico está dado por: E =25(x i +y j )/(x2
+y2
) (N/C). (k=9109
Nm2
/C2
)
I) Hallar en el punto P(3; 4;-2) m, un vector unitario en la dirección del campo E .
a) 0,2 i +0,4 j b) 0,6 i +0,8 j c) 0,4 i +0,6 j d) 0,8 i +0,2 j e) 0,3 i +0,4 j
II) Hallar el ángulo entre el campo eléctricoE y el eje-x en el punto P(3; 4;-2).
a) 30º b) 37º c) 45º d) 53º e) 60º
III) Hallar en el plano y=7, el valor de la siguiente integral doble:
4 2
0 0
E jdzdx
  .
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
193. Dado el vector campo E =4zy2
cos(2x) i +2zysen(2x) j +y2
sen(2x)k para la región IxI,
IyI y IzI es menor que 2, hallar: I) Las superficies en las que Ey=0, II) La región R en
las que Ey=Ez, III) La región R en las que E =0.
194. Expresar el vector campo eléctrico uniforme E =5 i (N/C) en, I) Coordenadas cilíndri
cas. II) Coordenadas esféricas.
195.Expresar el vector campo eléctrico E =8sen ̂ (N/C) en, I) Coordenadas rectangula
res, II) Coordenadas cilíndricas.
196.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión vectorial,
viene dado por: E =2xz2
i +2z(x2
+1)k (N/C)
I) Determinar la ecuación de la línea que pasa por el punto P(1; 3;-1) m.
a) x2
=z2
+2ln(z) b) x2
=z2
-2ln(z) c) z2
=x2
+2ln(x) d) z2
=x2
-2ln(x) e) z2
=x2
-4ln(x)
34

II) El punto Q(2; z) m pertenece a una línea de campo, hallar el valor de "z".
a) 2,12 m b) 2,32 m c) 2,52 m d) 2,72 m e) 2,92 m
197.En cierta región R del espacio existe un campo eléctrico, dado por la expresión: E =
20e-5y
(cos(5x) i -sen(5x) j ). En el punto P(/6; 0,1; 2):
I) Hallar el módulo de E .
II) Hallar un vector unitario en la dirección de E .
III) Hallar la ecuación de la línea de campo que pasa por el punto P.
198.En una región R dada del espacio existe un campo eléctrico, dado por: E =(4x-2y) i -
(2x+4y) j (N/C). Hallar la ecuación de las línea de campo que pasa a través del punto
P(2; 3;-4) m.
a) y2
=x2
-4xy+19 b) y2
=x2
+4xy+19 c) y2
=x2
+4xy-19 d) y2
=x2
-4xy-19 e) y2
=x2
-xy+19
199.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x2
i +y2
j
(V/m). Hallar la circulación del campo E , a lo largo de la curva C: y=x2
de (0; 0) a (1;
1) m. (k=9109
Nm2
/C2
)
a) 0,47 V b) 0,57 V c) 0,67 V d) 0,77 V e) 0,87 V
200.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =2xy i +(x2
-
z2
) j -3xz2
k (N/C). Hallar el trabajo que hace el campo al trasladarse una carga unitaria
q=1 C de A(0; 0; 0) a B(2; 1; 3) m a lo largo de:
I) El segmento (0; 0; 0)(0; 1; 0) (2; 1; 0) (2; 1; 3).
a) +50 J b) -50 J c) +70 J d) -70 J e) +90 J
II) La línea recta (0; 0; 0) a (2; 1; 3).
a) -36,5 J b) +36,5 J c) -39,5 J d) +39,5 J e) -42,5
201.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = (x-
y) i +(x2
+ zy) j +5yzk (N/C). Hallar el trabajo realizado por el campo, al trasladarse u
na carga unitaria q=1 C a lo largo de la trayectorias rectas (1;0;0)  (0;0;0)  (0;0;1)
 (0;2;0).
a) 1,0 J b) 1,5 J c) 2,0 J d) 2,5 J e) 3,0 J
202.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E =x2
y i -y j
(N/C). (k=9109
Nm2
/C2
)
I) Hallar la circulación CE a lo largo de los segmentos rectos (0;0)  (0;1)  (2;0)
(0;0)
a) 5/6 b) 7/6 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5
35

Análisis Vectorial
68
II) Hallar:
S
( xE) dS

 , siendo "S" el área encerrada por la curva C, del inciso I)
a) 2/5 b) 4/5 c) 7/6 d) 5/6 e) 3/4
III) ¿Se cumple el teorema de Stokes?
203.En una región R del espacio libre, existe una densidad de flujo, dado por: D =
2z2
̂ +cos2
k . En la región definida por: 05 m, -1 m<z<1 m, 0<<2. Calcular
el flujo =
S
D dS
 de la densidad D .
a) 170 C b) 172 C c) 174 C d) 176 C e) 178 C
204.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en
coorde nadas cilíndricas es: E =cos /r2
r̂ +z cos ̂ +zk̂ (N/C). Hallar el flujo del
rotacional del campo a través del hemisferio, definido por: r=4 m, z0.
coorde nadas rectangulares es: E = (x2
+y2
+z2
)1/2
[(x-y) i +(x+y) j ]/(x2
+y2
)1/2
. Calcular
las sigui entes integrales:
I) CE=
L
E d
 , donde L es el borde circular del volumen en forma de cono para helados
de arista a=2 m, y ángulo de vértice =60º.
a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
II) =
1
S
( xE) dS

 , donde S1 es la superficie superior del cono compacto.
a)  b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
III) =
2
S
( xE) dS

 , donde S2 es la superficie lateral del cono compacto.
a) 2 b) -2 c) 4 d) -4 e) 
206.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por la expresión:
E = sen̂ +2
̂
I) Hallar la circulación del campo CE a lo largo del contorno de la Fig41.
a) 10,17 V b) 10,37 V c) 10,57 V d) 10,77 V e) 10,97 V
II) Hallar la circulación del campo CE a lo largo del contorno de la Fig42.
a) 4 V b) 5 V c) 6 V d) 7 V e) 8 V
207.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coor
denadas cilíndricas es: E =2
sen̂ +zcos̂ +zk̂ . Hallar el flujo de campo total (en
36

Nm2
/C) hacia fuera a través del cilindro hueco definido por: 2 m  3 m, 0 z  5 m.
a) 191 b) 193 c) 195 d) 197 e) 199
Fig41 Fig42
208.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, cuya expresión en coor
denadas rectangulares es: E =(16xy-z)î +8x2 ˆ
j-xk̂ (N/C)
I) Indicar si el campo E es irrotacional (o conservativo).
II) Hallar el flujo neto del campo E sobre el cubo definido por: 0 < x, y, z < 1 m.
a) 5 Nm2
/C b) 6 Nm2
/C c) 7 Nm2
/C d) 8 Nm2
/C e) 9 Nm2
/C
III) Hallar la circulación de E alrededor del borde del cuadrado: z=0, 0<x, y<1 m, (Tómese
el sentido de circulación en el sentido de la manecillas del reloj)
a) 0 J/C b) 1 J/C c) 2 J/C d) 3 J/C e) 4 J/C
coorde nadas rectangulares es: E  (xy-z3
) i +(3x2
-z) j +(3xz2
-y)k (N/C).
I) Determinar la expresión K=  +  + , sabiendo que el campo E es irrotacional.
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
II) Hallar la divergencia de E , y evaluar en el punto de coordenadas (2;-1; 0) m.
a) -1 N/mC b) +1 N/mC c) -2 N/mC d) +2 N/mC e) -3 N/mC
210.En una región R del espacio libre, existe un campo eléctrico, dado por: E = i +z2
j +
2yzk (V/m). Hallar el trabajo realizado al desplazar una carga de q=5 C desde el punto
P(1; 2;-4) m hasta el punto R(3;-5; 6) m.
a) 1010 J b) 1020 J c) 1030 J d) 1040 J e) 1050 J
211.En coordenadas cilíndricas, la densidad de carga, viene dado por: v=12 nC/m3
, para
1m<<2 m, y =0 para 0<<1 m, >2 m. Hallar la densidad de flujoD en cualquier
0
y
x
2
1
1
2
2
1
y
x
0 2
2
37

Análisis Vectorial
70
punto del espacio, y evaluar en =1,4 m. (n=10-9
)
a) 4,18n ̂ b) 4,38n ̂ c) 4,58n ̂ d) 4,78n ̂ e) 4,98n ̂
212.Dados el punto P(-2; 6; 3), y el vector ˆ ˆ
A yi (x z) j
   en coordenadas cartesianas.
I) Hallar el punto P en coordenadas cilíndricas.
a) (6,32; 108,43o
; 3) b) (6,12; 102,43o
; 3) c) (6,52; 104,43o
; 3)
d) (6,92, 100,43o
; 3) e) (6,72; 106,43o
; 3)
II) Hallar el punto P en coordenadas esféricas.
a) (7; 64,62o
; 108,43o
) b) (5; 60,62o
; 100,43o
) c) (8; 68,62o
; 104,43o
)
d) (4; 62,62o
; 102,43o
) e) (6; 66,62o
; 106,43o
)
III) Hallar el vector A en el punto P en coordenadas cilíndricas.
a) -0,95̂ -6,00̂ b) -0,95̂ +6,00̂ c) +0,95̂ -6,00̂
d) +0,95̂ +6,00̂ e) -0,91̂ -6,40̂
IV) Hallar el vector A en el punto P en coordenadas esféricas.
a) -0,86r̂ -0,41̂ -6,01̂ b) -0,76r̂ -0,31̂ -5,01̂ c) -0,56r̂ -0,51̂ -8,01̂
d) -0,66r̂ -0,61̂ -4,01̂ e) -0,46r̂ -0,71̂ -5,01̂
213.Dado el vector ˆ ˆ
ˆ
B (10 / r)r rcos 
   en coordenadas esféricas.
I) Expresar el vector B en coordenadas cartesianas en el punto P(-3; 4; 0).
a) 2î -ˆ
j b) -2î -ˆ
j c) -2î +ˆ
j d) 2î +ˆ
j e) î -2ˆ
j
II) Expresar el vector B en coordenadas cilíndricas en el punto P(5; /2; -2).
a) 2,47̂ +̂ +1,17k̂ b) 2,37̂ +̂ +1,27k̂ c) 2,57̂ +̂ +1,37k̂
d) 2,67̂ +̂ +1,47k̂ e) 2,77̂ +̂ +1,57k̂
214.Dados los campos vectoriales en el espacio R3
: ˆ
ˆ
ˆ
E 5 10 3k
 
    , y ˆ
F 
  ˆ
2-6k̂
I) Hallar la magnitud del producto vectorial ExF.
a) 70,06 b) 71,06 c) 72,06 d) 73,06 e) 74,06
II) Hallar la componente vectorial de E en el punto P(5; /2; 3) paralela a la línea x=2,
z=3.
a) -3̂ b) -4̂ c) -5̂ d) 3̂ e) 4̂
III) Hallar el ángulo que forma E con la superficie z=3 en el punto P.
38

a) 15,02o
b) 15,22o
c) 15,42o
d) 15,62o
e) 15,82o
215.Hallar la circulación del campo 2 2 2
ˆ ˆ ˆ
A x i y j z k
   a lo largo de la parábola y2
=x
definida en el plano xy, desde el origen O(0; 0; 0) hasta el punto P(2; 2 ; 0).
a) 3,01 b) 3,21 c) 3,41 d) 3,61 e) 3,81
216.I) Dado el campo ˆ
ˆ
ˆ
A zsen 3 cos cos sen k
      
   en coordenadas cilíndricas,
exprese este campo en coordenadas cartesianas.
II) Dado el campo 2 ˆ
ˆ
B r r sen
  en coordenadas esféricas, exprese este campo en coor
denadas cartesianas.
217.Dado el campo vectorial 2 ˆ
ˆ
ˆ
H zcos sen k
2

   
   en coordenadas cilíndricas.
I) Hallar ˆ
H i en el punto P(1; /3, 0).
a) -0,413 b) -0,433 c) -0,453 d) -0,473 e) -0,493
II) Hallar ˆ
Hxi en el punto P(1; /3, 0).
a) -0,3̂ b) -0,5̂ c) -0,3̂ d) -0,5̂ e) ˆ
0,4k
III) Hallar la componente vectorial de H normal a la superficie =1.
a) 0 ̂ b) 0 ̂ c) ˆ
2 d) ˆ
2 e) ˆ
5k
IV) Hallar la componente escalar de H tangencial al plano z=0.
a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5
218.Dado un campo vectorial, 2ˆ
ˆ
D rsen r (1/ r)sen cos r
   
   en el espacio R3
.
I) Evaluar el campo vectorial D en el punto P(10; 150o
, 330o
).
a) -5r̂ +0,043̂ +100̂ b) -5r̂ +0,033̂ +100̂ c) -5r̂ +0,053̂ +100̂
d) -5r̂ +0,023̂ +100̂ e) -5r̂ +0,063̂ +100̂
II) Hallar la componente de D tangencial a la superficie esférica r=10 en el punto P.
a) 0,043̂ +100̂ b) 0,013̂ +100̂ c) 0,053̂ +100̂
d) 0,033̂ +100̂ e) 0,023̂ +100̂
III) Hallar un vector unitario en P perpendicular a D y tangencial al cono =150o
.
39

Análisis Vectorial
72
a) -1,00r̂ -0,05̂ b) -1,00r̂ +0,05̂ c) +1,00r̂ -0,05̂
d) +1,00r̂ +0,05̂ e) -2,00r̂ -0,08̂
219.Dado los campos vectoriales, ˆ ˆ
ˆ
A 3r 2 6
 
   y ˆ
ˆ
B 4r 3
  en el espacio R3
.
I) Hallar el producto escalar A B.
a) -4,0 b) -4,5 c) -5,0 d) -5,5 e) -6,0
II) Hallar la magnitud del producto vectorial AxB.
a) 30,48 b) 32,48 c) 34,48 d) 36,48 e) 38,48
III) Hallar la componente vectorial de A a lo largo de k̂ en el punto P(1; /3; 5/4).
a) -0,116r̂ +0,201̂ b) 0,116r̂ -0,201̂ c) -0,136r̂ +0,241̂
d) 0,136r̂ -0,241̂ e) 0,176r̂ -0,281̂
220.Demostrar la identidad vectorial,
C S
ˆ
dr xB (nx )xBdS
 
  , donde C es el contorno
que limita a la superficie S.
221.En la Fig43, calcular
C
(y senx)dx cosxdy
 
 , siendo C el triángulo mostrado.
a) -1,12 b) -1,22 c) 1,32 d) -1,42 e) -1,52
222.En la Fig44, calcular 2 2
C
(xy y )dx x dy
 
 , siendo C la curva cerrada que limita la
región definida por y=x e y=x2
.
a) -1/10 b) +1/10 c) -1/20 d) +1/20 e) -1/30
223.Dada la función derivable f(r) en su dominio, hallar x( r f(r)).
Fig43 Fig44
224.Dados, 1 2 3
ˆ ˆ ˆ
A A i A j A k
   , y ˆ ˆ ˆ
r xi y j zk
   , hallar (Ax r)
 , si xA =0.
y
B
0
A x
(/2;1)
(/2;0)
y
x
0
y=x2
y=x
(1;1)
40

225.Sabiendo que, v x r

 , demostrar que (1/ 2) xv
  , siendo =cte.
226.Dado el campo 2 ˆ ˆ ˆ
A x yi 2xz j 2yzk
   , hallar x xA
  en el punto P(1; 1; 1).
a) 3î b) 3ˆ
j c) 4î d) 4ˆ
j e) 3k̂
227.Dado el campo 3 2 4
ˆ ˆ ˆ
A xz i 2x yz j 2yz k
   , hallar xA
 en el punto P(1;-1; 1).
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
228.Dado el campo escalar 3 2 4
2x y z
  , hallar 
  en el punto P(1; 1; 1).
a) 40 b) 42 c) 44 d) 46 e) 48
229.Hallar la derivada direccional del campo escalar =x2
yz+4xz2
en el punto P(1;-2;-1), y
en la dirección y sentido del vector ˆ ˆ ˆ
a 2i j 2k
   .
a) 10,33 b) 11,33 c) 12,33 d) 13,33 e) 14,33
230.Dados los campos vectoriales ˆ ˆ ˆ
A senui cosu j uk
   , ˆ ˆ ˆ
B cosui senu j 3k
   , y
ˆ ˆ ˆ
C 2i 3j k
   , hallar
u 0
dAx(BxC) / du

evaluando en u=0.
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14
231.Dados los campos vectoriales 2 2
ˆ ˆ ˆ
A(t) 3t i (t 4) j (t 2t)k
     y ˆ
B(t) senti
 +3e-t ˆ
j-
3 cos t k̂ , hallar 2 2
t 0
d (AxB) / dt

evaluado en t=0.
a) 35,7 b) 36,7 c) 37,7 d) 38,7 e) 39,7
232.Sabiendo que, d2
A /dt2
=6tî -24t2 ˆ
j+4sentk̂ , además ˆ ˆ
A 2i j
  , y dA /dt=-î -3k̂ en t=0.
Hallar A en t=/3.
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
233.Dados los campos vectoriales A =x2
yzî -2xz3 ˆ
j+xz2
k̂ y B=2zî +y j-x2
k̂ , hallar la mag
nitud de 2
(A xB)/xy, evaluado en el punto P(1; 0; -2).
a) 8,1 b) 8,3 c) 8,5 d) 8,7 e) 8,9
234.Dada la curva C de ecuación paramétrica x=t-t3
/3, y=t2
, z=t+t3
/3.
I) Hallar el vector unitario tangente T̂ a la curva C en el punto P(2/3; 1; 4/3).
a) 0,71(i+ˆ
j) b) 0,71(î +k̂ ) c) 0,71(ˆ
j+k̂ ) d) 0,71(î -k̂ ) e) 0,71k̂
41

Análisis Vectorial
74
II) Hallar la curvatura "" de la curva C en el punto P(2/3; 1; 4/3).
a) 1/2 b) 2/3 c) 3/2 d) 1/4 e) 3/4
III) Hallar el vector unitario normal N̂ a la curva C para el punto P en el que t=1/2.
a) -0,8î +0,6ˆ
j b) 0,8î -0,6ˆ
j c) 0,8î +0,6ˆ
j d) -0,8î -0,6ˆ
j e) 0,2î
IV) Hallar el radio de curvatura "" de la curva C en un punto en el que t=1/2.
a) 1,16 b) 1,36 c) 1,56 d) 1,76 e) 1,96
V) Hallar el vector binormal "B̂" a la curva C en un punto en el que t=2.
a) 0,42î -0,57ˆ
j+0,71k̂ b) 0,42î +0,57ˆ
j+0,71k̂ c) -0,42î +0,57ˆ
j+0,71k̂
d) 0,42î +0,57ˆ
j-0,71k̂ e) 0,42î -0,57ˆ
j-0,71k̂
VI) Hallar la torsión "" de la curva C en un punto en el que t=1/2.
a) 1,13 b) 1,23 c) 1,33 d) 1,43 e) 1,53
235.Una curva C del espacio R3
, viene dada en función de la longitud de arco "s" , por
las ecuaciones paramétricas: x=tg-1
(s), y=(1/2) 2 ln(s2
+1), z=s-tg-1
(s).
I) Hallar el vector unitario tangente T̂ a la curva C para s= 2 .
a) ˆ ˆ ˆ
(1/ 3)i j (2 / 3)k
  b) ˆ ˆ ˆ
i (1/ 3) j (2 / 3)k
  c) ˆ ˆ ˆ
(2 / 3)i j (1/ 3)k
 
d) ˆ ˆ ˆ
i (2 / 3) j (1/ 3)k
  e) ˆ ˆ ˆ
(2 / 3)i (1/ 3) j (2 / 3)k
 
II) Hallar la curvatura "" en la curva C para s= 2 .
a) 0,27 b) 0,37 c) 0,47 d) 0,57 e) 0,67
III) Hallar el vector unitario normal N̂ a la curva C para s= 2 .
a) ˆ ˆ ˆ
2 / 3i 1/ 3j 2 / 3k
  b) ˆ ˆ ˆ
2 / 3i 1/ 3j 2 / 3k
  c) ˆ ˆ ˆ
2 / 3i 1/ 3j 2 / 3k
 
d) ˆ ˆ ˆ
1/ 3i 2 / 3j 1/ 3k
  e) ˆ ˆ ˆ
2 / 3i 1/ 3j 2 / 3k
  
IV) Hallar el radio de curvatura en un punto de la curva C para s= 2 .
a) 1,32 b) 1,72 c) 2,12 d) 2,52 e) 2,92
V) Hallar la binormal B̂ a la curva C para s= 2 .
a) 2/3î -2/3ˆ
j+1/3k̂ b) 2/3î -2/3ˆ
j-1/3k̂ c) -2/3î -2/3ˆ
j+1/3k̂
d) -2/3î +2/3ˆ
j+1/3k̂ e) -2/3î +2/3ˆ
j-1/3k̂
42

VI) Hallar la torsión "" en un punto de la curva C para s= 2 .
a) 0,27 b) 0,37 c) 0,47 d) 0,57 e) 0,67
236.La ecuación paramétrica de una curva C en el espacio R3
, está dada por: x=t, y=t2
,
z=t3
I) Hallar la curvatura "" de esta curva C en un punto en el que t=1.
a) 0,13 b) 0,17 c) 0,21 d) 0,25 e) 0,29
II) Hallar el vector unitario normal N̂ a la curva C en un punto en el que t=1.
a) -0,67î +0,49ˆ
j+0,55k̂ b) -0,67î +0,49ˆ
j-0,55k̂ c) -0,67î -0,49ˆ
j+0,55k̂
d) 0,67î +0,49ˆ
j+0,55k̂ e) 0,67î +0,49ˆ
j-0,55k̂
237.I) Demostrar que el radio de curvatura "" de una curva plana de ecuaciones y=f(x),
z=0, es decir, una curva C situada en el plano xy, viene dada por: =[1+(y')2
]3/2
/ y" .
II) Hallar el radio de curvatura "" en un punto de la curva C, si y=f(x)=3x3
, y x=0,5.
a) 1,06 b) 1,26 c) 1,46 d) 1,66 e) 186
238.Demostrar que la curvatura "" de la curva C del espacio R3
, definida por r = r(t) ,
viene dada por: = r x r /
3
r , en la que los puntos indican derivadas con respecto al
tiempo t.
239.Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie del paraboloide z=x2
+y2
en el pun
to P(1;-1; 2).
a) 2x+y-2z=2 b) 2x-2y+z=2 c) 2x-y-2z=2 d) 2x-2y-z=2 e) x-2y+z=2
240.Dado un campo vectorial A en el espacio R3
, demuestre explícitamente que
xA = 0; es decir, la divergencia del rotacional de cualquier campo vectorial es
cero.
241.Con relación a un campo escalar , demuestre que x=0; esto es, el rotacional del
gradiente de todo campo escalar es cero.
242.Calcular el laplaciano de los siguientes campos escalares: I) V=e-z
sen 2x cosh y, I) U=
2
z cos 2, III) W=10r sen2 cos .
243.Calcular el laplaciano de los siguientes campos escalares: I) U=x2
y+xyz, II) V=z
sen  + z2
cos2
+2
, III) f=cos  sen  ln(r) +r2
.
244.Demuestre que el campo vectorial E =(y+z cos xz) î +xˆ
j+x cos xz k̂ es conservativo.
245.Indicar cuáles de los siguientes enunciado son correctos (C) e incorrectos (I).
43

Análisis Vectorial
76
I) A B+2A , II) A B+5=2A , III) A(A B)
 +2=0, IV) A A+B B=0.
a) CICI b) CCII c) IICI d) ICIC e) IIIC
246.Dados los campos vectoriales, ˆ ˆ ˆ
F 2i 6j 10k
   , y y
ˆ ˆ ˆ
G i G j 5k
   . Si F y G tienen
el mismo vector unitario. Hallar la componente "Gy" del campo G .
a) 6 b) -3 c) 0 d) 6 e) 4
247.Dados los campos vectoriales, ˆ ˆ ˆ
A i j k

   y ˆ ˆ ˆ
B i j k

   . Si A y B son normales
entre si. Hallar el coeficiente "".
a) -2 b) -1/2 c) 0 d) 1 e) 2
248.Hallar la componente del vector ˆ ˆ ˆ
a 6i 2j 3k
   a lo largo del vector ˆ ˆ
b 3i 4j
  .
a) -12î -9ˆ
j-3k̂ b) 30î -40ˆ
j c) 10/7 d) 2 e) 10
249.Hallar la proyección del vector ˆ ˆ ˆ
A 6i 3j 2k
    a lo largo del vector unitario ˆ
j.
a) -12ˆ
j b) -4î c) 3ˆ
j d) 7î e) 12k̂
250.Hallar la componente del vector ˆ ˆ ˆ
A 10i 4 j 6k
   a lo largo del vector unitario ˆ
j.
a) 2 b) -3 c) -4 d) 5 e) 3
251.Un río corre al sureste a 10 km/h y una lancha flota en él con la proa hacia la dirección
del desplazamiento. Un hombre camina en la cubierta a 2 km/h en una dirección a la
derecha y perpendicular a la del movimiento de la lancha. hallar la velocidad del hom
bre respecto a la tierra.
a) 10,2 km/h; 52,3 SE b) 10,2 km/h; 50,3 NS c) 10,2 km/h; 58,3 SO
d) 10,2 km/h; 56,3 SE e) 10,2 km/h; 54,3 NS
252.Dados los vectores: ˆ ˆ ˆ
A 5i 3j 2k
   , ˆ ˆ ˆ
B i 4j 6k
    , y ˆ ˆ
C 8i 2j
  , hallar los valores
de  y  tales que A +B+C sea paralela al eje y.
a) 13/7; 5/7 b) -13/7; -5/7 c) -12/7; -4/7 d) 12/7; 4/7 e) 3/5; 2/5
A i j 4k

   , ˆ ˆ ˆ
B 3i j 6k

   , y ˆ ˆ ˆ
C 5i 2j k

   , mutuamente
ortogonales, hallar la expresión: E=(-)/.
a) 4 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
254.I) Demuestre la relación vectorial, 2 2 2
(A B) (AxB (AB)
  .
44

II) Probar las relaciones entre los vectores unitarios de base î , ˆ
j, k̂ : ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
i (jxk) / i jxk
 ,
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
j (kxi) / i jxk
 , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
k i x j/ i jxk
 .
255.Dados los vectores: A =5t2
î +tˆ
j+t3
k̂ y B=sen t î -cos tˆ
j. I)Hallar d(A B)/dt, II) Ha
llar d(AxB)/dt, III) Hallar d(A A)/dt.
256.Demostrar que A y dA /dt son perpendiculares entre si, sabiendo que A =cte., y ade
más dA / dt 0.
257.Demostrar que d(A BxC)/du=A Bx (dC /du)+A (dB/du)xC +(dA /du) BxC .
258.Calcular la expresión 2 2
E d[v (dv / dt)x(d v / dt )]/ dt
 .
259.Una partícula se desplaza de modo que su vector de posición en cualquier instante "t",
está dada por: ˆ ˆ
r cos ti sen t j
 
  , siendo "" una constante.
I) Demostrar que la velocidad " v " es perpendicular al vector de posición " r ".
II) Demostrar que la aceleración "a " está dirigida hacia el origen, y su módulo es 2
r.
III) Demostrar que el producto vectorial, r xv es un vector constante.
260.Dados los campos escalares F=x3
z+ey/x
, y G=2z2
y-xy2
, en el espacio R3
.
I) Hallar (F+G) y evaluar en el punto (1; 0; -2).
II) Hallar (FG) y evaluar en el punto (1; 0; -2).
261.Calcular  r 3
, y evaluar para r=4/3.
a) 3 r b) 4 r c) 5 r d) 2 r e) 6 r
262.Demostrar que f(r)=f'(r) r /r, donde f es una función continua y derivable en r.
263.Calcular la expresión siguiente F=(3r2
-4 r +6/ 3
r ) y evaluar para r=1,5.
a) 3,17 r b) 3,27 r c) 3,37 r d) 3,47 r e) 3,57 r
264.Sabiendo que, U=2r4
r , hallar la función escalar U en r=3, si U=20 en r=2.
a) 251,67 b) 253,67 c) 255,67 d) 257,67 e) 259,67
265.Hallar (r) en r=1,2, sabiendo que = r /r5
y (1)=0.
a) 0,10 b) 0,14 c) 0,18 d) 0,22 e) 0,26
266.Calcular , sabiendo que =(x2
+y2
+z2
)
2 2 2
x y z
e  
, y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 0,037 r b) 0,047 r c) 0,057 r d) 0,067 r e) 0,077 r
45

Análisis Vectorial
78
267.Dado que, =2xyz3
î +x2
z3 ˆ
j+3x2
yz2
k̂ , hallar (1; 2; 3) sabiendo que (1;-2; 2)=4.
a) 70 b) 72 c) 74 d) 76 e) 78
268.Dado =(y2
-2xyz3
)î +(3+2xy-x2
y3
)ˆ
j+(6z3
-3x2
yz2
)k̂ , hallar (2; 2; 2) sabiendo que la
constante de integración es C=10.
a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20
269.Siendo U una función derivable de x, y, y z, demostrar que Ud r =dU.
270.Siendo F una función derivable de x, y, y z, funciones derivables de t, demostrar que
dF/dt=F/t+Ud r /dt.
271.Demostrar que (F/G)=(GF-FG)/G2
, siendo G0.
272.Hallar el vector unitario perpendicular externo a la superficie del paraboloide de
revolu ción z=x2
+y2
en el punto P(1; 2; 5).
a) 0,44i+0,87ˆ
j-0,22k̂ b) 0,44i-0,87ˆ
j-0,22k̂ c) -0,44i+0,87ˆ
j-0,22k̂
d) 0,44i-0,87ˆ
j+0,22k̂ e) -0,44i-0,87ˆ
j+0,22k̂
273.Hallar el vector unitario normal a la superficie (x-1)2
+y2
+(z+2)2
=9 en el punto (3; 1;-4)
a) -0,67î +0,33ˆ
j-0,67k̂ b) 0,67î -0,33ˆ
j+0,67k̂ c) 0,67î -0,33ˆ
j-0,67k̂
d) -0,67î -0,33ˆ
j+0,67k̂ e) 0,67î +0,33ˆ
j-0,67k̂
274.Hallar el ángulo que forman las superficies S1: x2
+y2
+z2
=9 y S2: z=x2
+y2
-3 en el punto
(2;-1; 2).
a) 50,35o
b) 52,35o
c) 54,35o
d) 56,35o
e) 58,35o
275.Hallar la derivada de =4xz3
-3x2
y2
z en el punto (2;-1; 2) en la dirección 2î -3ˆ
j+6k̂ .
a) 51,7 b) 53,7 c) 55,7 d) 57,7 e) 59,7
276.Hallar la derivada de la función P=4e-2x-y+z
en el punto (1; 1;-1) en dirección hacia el
punto (-3; 5; 6).
a) -2,02 b) 2,02 c) -2,22 d) 2,22 e) -2,42
277.Hallar la dirección según la cual la derrivada de la función =2xz-y2
en el punto (1; 3;
2) es máxima. ¿Cuál es el módulo de este valor máximo?
a) 7,08 b) 7,28 c) 7,48 d) 7,68 e) 7,88
278.Hallar los valores de las constantes "a", "b", "c" de forma que la derivada de la función
46

=axy2
+byz+cz2
x3
en el punto (1; 2;-1) tenga un máximo de módulo 64 en la dirección
del eje z.
a) 6, 20, -8 b) 6, 28, -8 c) 6, 22, -8 d) 6, 26, -8 e) 6, 24, -8
279.Hallar el ángulo agudo formado por las superficies S1: xy2
z=3x+z2
, y S2: 3x2
-y2
+2z=1
en el punto (1;-2; 1).
a) 71,92o
b) 73,92o
c) 75,92o
d) 77,92o
e) 79,92o
280.Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie xz2
+x2
y=z-1 en el punto (1;-3; 2).
a) 4x-2y-z=5 b) 4x+2y-z=5 c) -4x+2y-z=5 d) 4x-2y+z=5 e) -4x+2y+z=5
281.Hallar las constantes "a" y "b" de forma que la superficie S1: ax2
-byz=(a+2)x sea orto
gonal a la superficie S2: 4x2
y+z3
=4, en el punto (1;-1; 2).
a) 3/2, 1/2 b) 2/3, 2 c) 3/4, 1 d) 4/3, 3 e) 5/2, 1
282.Dados el campo vectorial A =3xyz2
î +2xy3 ˆ
j-x2
yzk̂ y el campo escalar  =3x2
-yz.
I) Calcular  A en el punto (1;-1; 1).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
II) Calcular A 
 en el punto (1;-1; 1).
a) -12 b) -13 c) -14 d) -15 e) -16
III) Calcular ( A)

 en el punto (1;-1; 1).
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
IV) Calcular ( )

  en el punto (1;-1; 1).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
283.Dado el campo vectorial A =2x2
zî -xy2
zˆ
j+3yz2
k̂ , hallar A
 en el punto (1;1;1).
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
284.Dado el campo escalar =3x2
z-y2
z3
+4x3
y+2x-3y-5 en el espacio R3
, hallar 2
 en el
punto P(1;-1; 1).
a) -20 b) 20 c) -22 d) 22 e) -24
285.La ecuación paramétrica de una curva C en R3
, viene dada por: x=(2t+1)/(t-1),
y=t2
/(t-1), z=t+2.
I) Hallar la curvatura "" de la curva C, para t=2,1.
47

Análisis Vectorial
80
a) 0,015 b) 0,025 c) 0,035 d) 0,045 e) 0,055
II) Hallar la torsión "" de la curva , para t=2,1.
a) 0,000 b) 0,023 c) 0,043 d) 0,063 e) 0,083
286.Siendo, r =a cos uî +b sen uˆ
j el vector de posición de los puntos de la curva C, y "a"
y "b" constantes positivas.
I) Hallar la curvatura "" de la curva, y evaluar para a=8, b=6 y u=/3.
a) 0,111 b) 0,131 c) 0,151 d) 0,171 e) 0,191
II) Interpretar el caso en el que a=b.
287.La ecuación paramétrica de una curva C en R3
, viene dada por: x=-sen , y=1-cos ,
z=4sen(/2).
I) Hallar la curvatura "" de la curva C, para =53o
.
a) 0,17 b) 0,27 c) 0,37 d) 0,47 e) 0,57
II) Hallar la torsión "" de la curva C, para =53o
.
a) 0,019 b) 0,039 c) 0,059 d) 0,079 e) 0,099
288.Calcular 2
(ln r) en el punto r=0,5.
a) 2,0 b) 2,5 c) 3,0 d) 3,5 e) 4,0
289.Dado el campo vectorial F=(3x2
y-z) î +(xz3
+y4
)ˆ
j-2x3
z2
k̂ en el espacio R3
, hallar
( F) en el punto P(2;-1; 0).
a) -6î +24ˆ
j-32k̂ b) 6î -24ˆ
j-32k̂ c) -6î -24ˆ
j+32k̂
d) -6î +24ˆ
j+32k̂ e) 6î +24ˆ
j+32k̂
290.Suponga que la velocidad angular  es un vector constante y que la velocidad lineal
es v x r

 . Demuestre que  v =0.
291.Demuestre la siguiente identidad vectorial 2
()=2
+2+2
.
292.Dadas las funciones escalares U=3x2
y y V=xz2
-2y, en el espacio R3
. Hallar la expre
sión [UV] en el punto P(1;-1; 1).
a) -18î +6ˆ
j-12k̂ b) 18î -6ˆ
j-12k̂ c) 18î +6ˆ
j+12k̂
d) -18î -6ˆ
j-12k̂ e) -18î -6ˆ
j+12k̂
292.Calcular (r3
r ) y evaluar para r=1,5.
a) 20,00 b) 20,25 c) 20,50 d) 20,75 e) 21,00
48

293.Calcular [r(1/r3
)], y evaluar para r=1,25.
a) 1,02 b) 1,22 c) 1,42 d) 1,62 e) 1,82
294.Calcular 2
[( r /r2
)], y evaluar para r=1,25.
a) 0,22 b) 0,42 c) 0,62 d) 0,82 e) 1,02
295.Dado el campo vectorial A = r /r, en el espacio R3
, calcular ( A ) en r=0,25.
a) -120 r b) -122 r c) -124 r d) -126 r e) -128 r
296.Sea f(r) una función derivable y continua, demostrar que 2
f(r)=d2
f/dr2
+(2/r)df/dr.
297.Demostrar que el campo vectorial 4 2 3 2 2 2
ˆ ˆ ˆ
A 3y z i 4x z j 3x y k
   es solenoidal.
298.Demostrar que el campo vectorial 2 2 3 2 2 2
ˆ ˆ ˆ
A (2x 8xy z)i 4x z j 3x y k)
    no es sole
noidal, y el campo vectorial 2
B xyz A
 si es solenoidal.
299.Asumiendo que U y V son campos escalares diferenciables . Demostrar que UxV
es solenoidal.
300.Dado el campo vectorial V =(-xî -yˆ
j)/(x2
+y2
)1/2
en el espacio R3
. Demostrar que el
campoV es un "campo sumidero".
301.Dado el campo vectorial 2 3
ˆ ˆ ˆ
A 2xz i yz j 3xz k
   y el campo escalar 2
x yz
  .
I) Hallar xA en el punto (1; 1; 1).
a) ˆ
j+k̂ b) î +k̂ c) î +ˆ
j+k̂ d) î -k̂ e) î +ˆ
j
II) Hallar rot( A)
 en el punto (1; 1; 1).
a) 5î -3ˆ
j-4k̂ b) 5î +3ˆ
j-4k̂ c) 5î -3ˆ
j+4k̂ d) 5î +3ˆ
j+4k̂ e) 5î -3ˆ
j
III) Hallar x( xA)
  en el punto (1; 1; 1).
a) 5î +3k̂ b) 3î +5k̂ c) 5î -3k̂ d) 3î -5k̂ e) -5î -3k̂
IV) Hallar [A xA]
  en el punto (1; 1; 1).
a) -2î +ˆ
j+8k̂ b) 2î -ˆ
j+8k̂ c) 2î +ˆ
j-8k̂ d) 2î +ˆ
j+8k̂ e) 2î +ˆ
j
V) Hallar x ( A)

  en el punto (1; 1; 1).
a) 0 b) 2î +5k̂ c) 3î -2ˆ
j-4k̂ d) 3ˆ
j-4k̂ e) 3î -2ˆ
j
49

Análisis Vectorial
82
302.Dados los campos escalares F=x2
yz, y G=xy-3z2
en el espacio R3
.
I) Hallar [( F) ( G)]
   en el punto (1; 1; 1).
a) -7î +2ˆ
j-3k̂ b) -7î -2ˆ
j+3k̂ c) +7î -2ˆ
j-3k̂ d) -7î -2ˆ
j-3k̂ e) -7î +3k̂
II) Hallar [( F)x( G)]
   en el punto (1; 1; 1).
a) 0 b) -7î -3ˆ
j c) -8î +2ˆ
j d) 4î -2ˆ
j+2k̂ e) -3ˆ
j+6k̂
III) Hallar x[( F)x( G)]
   en el punto (1; 1; 1).
a) -23î +14ˆ
j+15k̂ b) 23î -14ˆ
j+15k̂ c) -23î -14ˆ
j-15k̂
d) +23î +14ˆ
j+15k̂ e) -23î -14ˆ
j+15k̂
303.Calcular x(r
 /r), y evaluar para r=0,5.
a) 0 b) 0,5 c) 1,0 d) 1,5 e) 2,0
304.¿Para qué valor de la constante "a" el vector 3 2 2
ˆ ˆ ˆ
A (axy z )i (a 2)x j (1 a)xz k
     
tendrá su rotacional igual a cero?
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
305.Dado una función escalar "" continua y derivable en R3
. Probar que rot(grad)=0 .
306.La ecuación paramétrica de una curva C en el espacio R3
es, x=t, y=t2
, z=(2/3)t3
.
I) Hallar la curvatura "" de la curva C en el punto P para el cual t=0,5.
a) 0,59 b) 0,69 c) 0,79 d) 0,89 e) 0,99
II) Hallar la torsión "" de la curva C en el punto P para el cual t=0,5.
a) 0,59 b) 0,69 c) 0,79 d) 0,89 e) 0,99
ˆ ˆ ˆ
A x zi yz j 3xyk
   , 2ˆ ˆ ˆ
B y i yz j 2xk
   , y el cam
po escalar =2x2
+yz.
I) Calcular A ( )

 y evaluar en el punto (1; 1; 1).
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
II) Calcular (A )
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
III) Calcular (A )B
a) 2î -2ˆ
j -2k̂ b) 2î +2ˆ
j -2k̂ c) 2î -2ˆ
j +2k̂ d) 2î +2ˆ
j +2k̂ e) 2î +2ˆ
j
50

IV) Calcular B(A )
V) Calcular ( A)B
a) 2î -3ˆ
j +2k̂ b) 2î +3ˆ
j +2k̂ c) 2î -3ˆ
j -2k̂ d) 2î +3ˆ
j +2k̂ e) 2î +2k̂
ˆ ˆ ˆ
A yz i 3xz j 2xyzk
   , ˆ ˆ ˆ
B 3xi 4z j xyk
   , y el
campo escalar =xyz.
I) Calcular Ax( )

a) 5î -ˆ
j+4k̂ b) -5î +ˆ
j-4k̂ c) -5î -ˆ
j+4k̂ d) -5î +ˆ
j+4k̂ e) 3î -4k̂
II) Calcular (Ax )
a) 5î -ˆ
j+4k̂ b) -5î +ˆ
j-4k̂ c) -5î -ˆ
j+4k̂ d) -5î +ˆ
j+4k̂ e) 3î -4k̂
III) Calcular ( xA)xB
a) 16î +4ˆ
j+32k̂ b) 16î -4ˆ
j-32k̂ c) 16î +4ˆ
j-32k̂ d) 16î -4ˆ
j+32k̂ e)12ˆ
j+8k̂
IV) Calcular B xA
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 28
309.Dados los campos vectoriales 2ˆ ˆ ˆ
A xz i 2y j 3xzk
   y 2
ˆ ˆ ˆ
B 3xzi 2yz j z k
   en el es
pacio R3
.
I) Hallar Ax( xB)
a) 16î +12ˆ
j+16k̂ b) -16î -12ˆ
j+16k̂ c) 16î -12ˆ
j-16k̂
d) 16î +12ˆ
j-16k̂ e) 16î -12ˆ
j+16k̂
II) Hallar (Ax )xB
a) 4ˆ
j+76k̂ b) 4ˆ
j-76k̂ c) -4ˆ
j+76k̂ d) -4ˆ
j-76k̂ e) 4î -76k̂
310.Demostrar que: 2
1
(v )v v vx( xv)
2
     , donde v es la velocidad en R3
.
311.Demostrar que: (AxB) B ( xA) A ( xB)
     .
312.Demuestre que el campo A conservativo si A posee una de estas dos propiedades:
I) La integral de línea del componente tangencial de A a lo largo de una trayectoria que
se extiende de un punto P a un punto Q es independiente de la trayectoria.
51

Análisis Vectorial
84
II) La integral de línea de la componente tangencial de A alrededor de cualquier trayecto
ria cerrada es igual a cero.
313.En base a la definición del diferencial de longitud dl, hallar la longitud de cada una de
las siguientes curvas:
I) =3, 0<z<5, /4<</2, z=constante.
a) 2,156 b) 2,356 c) 2,556 d) 2,756 e) 2,956
II) r=1, =30o
, 0<<60o
.
a) 0,504 b) 0,524 c) 0,544 d) 0,564 e) 0,584
III) r=4, 30o
<<90o
, =constante.
a) 4,189 b) 4,389 c) 4,589 d) 4,789 e) 4,989
314.Calcule las áreas de las superficies siguientes con base en el diferencial de área dS.
I) =2, 0<z<5, /3<</2.
a) 5,036 b) 5,236 c) 5,436 d) 5,636 e) 5,836
II) z=1, 1,<<3, 0<</4.
a) 3,142 b) 3,342 c) 3,542 d) 3,742 e) 3,942
III) r=10, /4<<2/3, 0<<2.
a) 7,184 b) 7,384 c) 7,584 d) 7,784 e) 7,984
IV) 0<r<4, 60o
<<90o
, =constante.
a) 4,189 b) 4,389 c) 4,589 d) 4,789 e) 4,989
315.Usando la definición del diferencial de volumen dV determine el volumen de las regio
nes siguientes.
I) 0<x<1, 1<y<2, -3<z<3.
a) 4,0 b) 5,0 c) 6,0 d) 7,0 e) 8,0
II) 2<<5, /3<<, -1<z<4.
a) 100 b) 105 c) 110 d) 115 e) 120
III) 1<r<3, /2<<2/3, /6<</2.
a) 4,138 b) 4,338 c) 4,538 d) 4,738 e) 4,938
316.Dado que, s=x2
+xy calcule s
S
dS

 sobre la región S dada por: yx2
, 0<x<1.
52

a) 0,203 b) 0,223 c) 0,243 d) 0,263 e) 0,283
317.Dado que, H =x2
î +y2 ˆ
j calcule
L
H d
 , donde L es a lo largo de la curva y=x2
desde
A(0; 0) hasta B(1; 1).
a) 0,61 b) 0,63 c) 0,65 d) 0,67 e) 0,69
318.Hallar el volumen cortado a partir del radio de curvatura de la esfera r=a por el cono
=. Evaluar para =/3, y =/2.
I) El volumen para =/3.
a) 1,05a3
b) 1,25 a3
c) 1,45 a3
d) 1,65 a3
e) 1,85 a3
II) El volumen para =2/3.
a) 2,09 a3
b) 2,29 a3
c) 2,29 a3
d) 2,29 a3
e) 2,29 a3
319.Si la integral
B
A
F d
 se considera como el trabajo realizado para mover una partícula
de A a B, hallar el trabajo realizado por el campo de fuerza F=2xyî +(x2
-z2
)ˆ
j-3xz2
k̂
sobre una partícula que se traslada desde A(0; 0; 0) hasta B(2; 1; 3).
I) A lo largo de los segmentos de recta (0; 0; 0)(0; 1; 0) (2; 1; 0) (2; 1; 3).
a) -46 b) -48 c) -50 d) -52 e) -54
II) A lo largo de la línea recta (0; 0; 0) a (2; 1; 3)
a) -37,5 b) +37,5 c) -38,5 d) +38,5 e) -39,5
320.En la Fig45, dado el campo vectorial H =(x-y)î +(x2
+zy)ˆ
j+5yzk̂ calcular la integral
H d
 a lo largo del contorno mostrado.
a) 1,0 b) 1,5 c) 2,0 d) 2,5 e) 3,5
321.En la Fig46, dado el campo vectorial E =x2
yî -yˆ
j.
I) Calcular
L
E d
 a lo largo de la trayectoria L mostrada en la Figura.
a) 5/6 b) 7/6 c) 3/4 d) 4/5 e) 2/5
II) Calcular
S
( xE) dS

 , donde S es el área encerrada por L.
a) 2/5 b) 4/5 c) 7/6 d) 5/6 e) 3/4
III) ¿Se cumple el teorema de Stokes?
53

Análisis Vectorial
86
Fig45 Fig46
322.Dado el campo escalar V=(x+y)z, calcular
S
VdS
 , donde S es la superficie de la cuña
cilíndrica definida por 0<</2, 0<z<2 y dS es normal a su superficie.
a) 4̂ +1,33k̂ b) 4̂ +1,33̂ c) 1,33̂ +4k̂ d) 4̂ +1,33k̂ e) 2,45̂ 
323.Dado el campo vectorial, A =2xyî +xzˆ
j-yk̂ . Calcular la integral AdV
 , donde V:
I) Es una región rectangular, definida por: 0x2, 0y2, 0z2.
a) 16î +8ˆ
j+8k̂ b) -6î +8ˆ
j-8k̂ c) 16î -8ˆ
j-8k̂ d) 16î +8ˆ
j-8k̂ e) 16î -8k̂
II) Es una región cilíndrica, definida por: 3, 0z5.
a) 50,25̂ b) 52,25̂ c) 54,25̂ d) 56,25̂ e) 58,25̂
III) Es una región esférica, definida por: r4.
a) 21,62
r̂ b) 23,62
r̂ c) 25,62
r̂ d) 27,62
r̂ e) 29,62
r̂
324.Dado el campo vectorial A  3x2
yzî +x3
zˆ
j +(x3
y-2z)k̂ , puede decirse que A es:
a) Armónico b) Sin divergencia c) Solenoidal d) Rotacional e) Conservativo
325.Si un campo vectorial Q es solenoidal, ¿Cuál de las expresiones siguientes es cierta?
a)
L
Q d 0

 b)
S
Q dS 0

 c) xQ 0
  d) xQ 0
  e) 2
Q 0
 
326.Indique cuál de las siguientes operaciones no está definida.
a) grad div b) div rot c) rot grad d) rot div e) div rot
327.Si, r =xî +yˆ
j+zk̂ , es el vector de posición del punto (x; y; z) en el espacio R3
y r= r
¿Cuál de las siguientes expresiones es incorrecta?
x
y
z
0
2
1
1
i
k
j



y
x
1
1
0 2
j
i


L
S
54

a) r r / r
  b) r 1
  c) 2
(r r) 4
  d) xr 0
 
328.La aceleración de una partícula está dada por 2
ˆ
a 2,4k (m s )

 . En el instante t=0 s la
posición de la partícula es r (0;0;0)
 , en tanto, su velocidad es ˆ ˆ
v 2i 5k
   (ms-1
)
I) Hallar el modulo de la posición de la partícula en el instante t=1 s.
a) 5,0 m b) 5,5 m c) 6,0 m d) 6,5 m e) 7,0 m
II) Hallar el modulo de la velocidad de la partícula en el instante t=2 s.
a) 8,0 m/s b) 8,5 m/s c) 9,0 m/s d) 9,5 m/s e) 10,0m/s
329.Dados los campos escalares U=4xz2
+3yz, T=2(z2
+1)cos , H=r2
cos  cos , hallar la
expresión E=
1
U T H

   evaluando U en el punto (1; 1; 1), T en el punto (1; /3;
1), y H en el punto (1; /3; /6).
a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 58
330.I) Dado el campo escalar (2x 3y)
V e cos5z

 , hallar V
 en el punto P(0,1;-0,2; 0,4).
a) -0,558î +0,837ˆ
j-3,047k̂ b) -0,558î -0,837ˆ
j+3,047k̂ c) 0,558î -0,837ˆ
j-3,047k̂
d) 0,558î +0,837ˆ
j-3,047k̂ e) -0,558î -0,837ˆ
j-3,047k̂
II) Dado el campo escalar 2z
T 5 sen
 

 , hallar T
 en el punto Q(2; /3, 0).
a) 2,5̂ -2,5̂ -17,32k̂ b) -2,5̂ +2,5̂ -17,32k̂ c) -2,5̂ -2,5̂ -17,32k̂
d) 2,5̂ -2,5̂ +17,32k̂ e) 2,5̂ +2,5̂ -17,32k̂
III) Dado el campo escalar 2
Q sen sen / r
 
 , hallar Q
 en el punto S(1; /6; /2).
a) -r̂ +0,867̂ b) r̂ +0,867̂ c) -r̂ -0,867̂ d) -r̂ +0,867̂ e) 0,12̂
331.Hallar el vector unitario normal a S(x; y; z)=x2
+y2
-z en el punto P(1; 3; 0).
a) 0,31î -0,94ˆ
j -0,16k̂ b) 0,31î +0,94ˆ
j +0,16k̂ c) 0,31î -0,94ˆ
j +0,16k̂
d) -0,31î +0,94ˆ
j -0,16k̂ e) 0,31î +0,94ˆ
j -0,16k̂
332.La temperatura en un auditorio está dada por T=x2
+y2
-z. Un mosquito ubicado en el
punto (1; 1; 2) en el auditorio desea volar en la dirección que le permita calentarse lo
más pronto posible. ¿En qué dirección debe volar el mosquito?
a) -2î +2ˆ
j+k̂ b) 2î -2ˆ
j+k̂ c) 2î -2ˆ
j-k̂ d) 2î +2ˆ
j-k̂ e) 2î +2ˆ
j
333.I) Dado el campo xy 2
ˆ ˆ ˆ
A e i senxy j cos xzk
   ,hallar  A / xA
 , en el punto (1;1;1)
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