.

1. DIVISIBILIDAD
Fundamentos de la Matemática
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 1
1 Divisibilidad en ( , , , )+ ⋅ <ℕ
Si utilizamos la definición ya vista de división en ℝ para ℕ , ¿es ésta una operación
binaria?
Definición
Dados a y b naturales, 0b ≠ , realizar la división entera de a entre b significa
determinar dos naturales ( , )q r que cumplan:
a bq r
r b
 = + ∧
 <
Simbólicamente:
a b a bq r
r q r b
  = +  ⇔ 
  < 
Teorema
*
, , , , , , , / , y únicosa a b b q q r r a b q r r b q r∀ ∈ ∀ ∈ ∃ ∈ ∃ ∈ = ⋅ + ∧ <ℕ ℕ ℕ ℕ
Demostración:
Consideramos { }/H x bx a= ∈ ≤ℕ . Demostraremos que H tiene máximo y que
éste es el cociente de la división entera.

2. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 2
i) H ⊂ ℕ , por cómo está definido.
ii) H ≠ ∅, pues H0 0 0b a H⋅ = ≤ ⇒ ∈
iii) H está acotado superiormente, ya que cualquier natural mayor o igual que
a
b
es cota superior de H .
Entonces (por consecuencia del Teorema de Buena Ordenación) existe el máximo de
H , al que llamaremos q .
Entonces:
como ,
q H bq a
a bq
a bq
∈ ⇒ ≤  ⇒ − ∈
∈ 
ℕ
ℕ
. Sea r a bq= − , entonces a bq r= + .
Probaremos ahora que r b< :
máx 1
( 1)
como 1
q H q H
b q a bq b a bq r b r
q
= ⇒ + ∉  ⇒ + > ⇒ + > = + ⇒ >
+ ∈ 
ℕ
Probemos ahora que q es único:
Suponemos que existen , / yq r a bq r r b′ ′ ′ ′ ′∈ = + <ℕ
Si q q′≠ , por tricotomía: 'q q> o 'q q< .
Si 0 1q q q q q q′ ′ ′> ⇒ − > ⇒ − ≥ . Como b >0: ( )b q q b′− ≥
Si 'r y r , 'q y q , son restos y cocientes de la división entera de a entre b
cumplen: ( ) 0 ( ) ( )
a bq r
b q q r r r b q q r b q q b r b
a bq r
= +  ′ ′ ′ ′ ′ ′⇒ − + − = ⇒ = − + ≥ − ≥ ⇒ ≥
′ ′= + 
.
Esto es absurdo (contradice la definición de división entera). Si 'q q< se llega a una
contradicción análogamente.
Por lo tanto q q′= .

3. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 3
Probemos ahora que r es único:
Si
a bq r
q q bq r bq r r r
a bq r
 = +   ′ ′ ′= ⇒ ⇒ + = + ⇒ = 
′ = +   
Por lo tanto: q y r son únicos.
Definiciones
A la división entera de a entre b , cuando 0r = , la llamaremos división exacta.
En el caso anterior decimos que b divide a a o que a es múltiplo de b .
Notación /b a o a b= ɺ.
Observemos que lo anterior puede escribirse: / tal queb a q a bq⇔ ∃ ∈ =ℕ
Ejercicios
(1) Consideramos * *
: | /R xRy x y→ ⇔ℕ ℕ . Probar que R es una relación de orden
amplio.
(2) En cada uno de los siguientes casos: investigue, exprese simbólicamente su
conclusión y justifique sus respuestas:
i) Si un natural a divide a otros dos, ¿dividirá a su suma, a su diferencia, su
producto, a cualquier combinación lineal entre ellos?
ii) Si un natural divide a otro, ¿dividirá a la suma de éste con otro cualquiera, y al
producto de éste por otro cualquiera?
iii) Si un natural divide a otros dos, ¿dividirá al resto de su división entera?
iv) El divisor de un natural, ¿es siempre menor o igual que ese natural?

4. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 4
Definición
Sea a un número natural llamaremos conjunto de divisores de a , notaremos ( )d a ,
al conjunto de todos sus divisores
{ }( ) ; /d a x x a= ∈ ℕ
Ejercicios
(3) Completa:
{ }
{ }
( ) { }
( )
.......................................................
.......................................................
.......................................................
..................
(5)
(15)
1
0
d
d
d
d
=
=
=
= { }.....................................
(4) Completar de todas las formas posibles:
a)
9
13
b) 35 4
a
, 200a <
c)
60
12
d)
17a
q q , 200a >
(5) Hallar a natural sabiendo que: 2
37a
q q
(6) Hallar todas las posibles ternas de naturales ( , , )a b c tales que:
7 17
12
aa b
c b c
+
Actividad
Dados dos naturales a y b , ¿existirá el máximo del conjunto de los divisores
comunes de a y b ?

5. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 5
Definición
Dados a ∈ ℕ , b ∈ ℕ , 2 2
0a b+ ≠ , llamaremos máximo común divisor de a y b
(notaremos ( , )D a b ) al ( ) ( )( )max d a d b∩ .
Halla:
( ) ( )( )max 4 6d d∩
( ) ( )( )max 0 7d d∩
( ) ( )( )max 6 1d d∩
( ) ( )( )max 20 1000d d∩
( ) ( )( )max 9 10d d∩
( ) ( )( )max 12 13d d∩
( ) ( )( )max 20 21d d∩
Generaliza una propiedad en función de las últimas tres igualdades y demuéstrala.
Sugerencia: puedes trabajar con una demostración por reducción al absurdo.
Ejercicio
(7)
a) Determina ( ) ( )( )132 30d d∩
b) Realiza la división entera de 132 entre 30
c) Siendo r el resto de la división anterior, determina ( ) ( )( )30d r d∩
d) Generaliza la situación anterior.

6. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 6
Teorema
( ) ( ) ( ) ( )
a b
d a d b d b d rr q
 ⇒ ∩ = ∩

Demostración:
Demostraremos la igualdad entre los dos conjuntos por doble inclusión.
Primero probaremos que ( ), ( ( ) ( )) ( ) ( )x x d a d b x d b d r∀ ∈ ∩ ⇒ ∈ ∩
Por especificación universal:
( ) /
( ( ) ( )) /
( ) / /
x d a x a
x d a d b x a bq r
x d b x b x bq
  ∈ ⇒    ∈ ∩ ⇒ ∧ ⇒ − = ⇒ 
   ∈ ⇒ ⇒   
( )x d r∈ como
( )x d b∈ ⇒ ( ( ) ( ))x d b d r∈ ∩
Generalizando universalmente:
( ), ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))x x d a d b x d b d r∀ ∈ ∩ ⇒ ∈ ∩
Segundo probaremos que: ,( ( ( ) ( )) ( ( ) ( )))x x d b d r x d a d b∀ ∈ ∩ ⇒ ∈ ∩
Por especificación universal:
( ) / /
( ( ) ( )) /( )
( ) /
x d b x b x bq
x d b d r x bq r a
x d r x r
 ∈ ⇒ ⇒   ∈ ∩ ⇒ ⇒ + = ⇒ 
 ∈ ⇒   
( )x d a∈ ⇒
( ( ) ( ))x d a d b∈ ∩
Generalizando universalmente:
,( ( ( ) ( )) ( ( ) ( )))x x d b d r x d a d b∀ ∈ ∩ ⇒ ∈ ∩
Corolario
( , ) ( , )
a b
D a b D b rr q
 ⇒ =

La demostración es una consecuencia inmediata del teorema anterior.

7. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 7
Ejercicio
(8) Utilizando el corolario anterior halla el ( ) ( )( )max 1300 625d d∩
Algoritmo de Euclides
Consideramos , , 0a b a b∈ > >ℕ . Para hallar ( , )D a b realizamos la división
1
1 1
( , ) ( , )
a b
D a b D b rr q
 ⇒ =

Si 1 0 ( , ) ( ,0)r D a b D b b= ⇒ = =
Si 1 0r ≠ realizamos la división
1
1 1 2
2 2
( , ) ( , )
b r
D b r D r rr q ⇒ =
Si 2 1 1 10 ( , ) ( , ) ( ,0)r D a b D b r D r r= ⇒ = = =
Si 2 0r ≠ realizamos la división
1 2
1 2 2 3
3 3
( , ) ( , )
r r
D r r D r rr q ⇒ =
Si 3 1 1 2 2 20 ( , ) ( , ) ( , ) ( ,0)r D a b D b r D r r D r r= ⇒ = = = =
Si 3 0r ≠ …………………………….
El proceso continua hasta encontrar un resto nulo. ¿No existirá algún caso en donde
esto no ocurra? (o sea, que el proceso sea infinito).
Aparentemente no, pues: 1 2 3 ...b r r r> > > > Probémoslo mas rigurosamente.
Consideramos el conjunto H de los restos obtenidos mediante este proceso de
divisiones sucesivas; demostremos que H tiene mínimo y que éste es 0.
1
mín
( ) n
H
r H
H r H
⊂  ⇒ ∃ =
≠ ∅ ∈ 
ℕ
Si 0nr ≠ realizamos la división
1
1
1
n n
n
n n q
r r
r Hr q
−
+
+ +
⇒ ∈ y 1 minn nr r H+ < = : absurdo.

8. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 8
Por lo tanto 0nr = , y en consecuencia, este mecanismo de divisiones sucesivas nos
conduce en todos los casos a un resto nulo, siendo el último resto no nulo ( 1)nr − el máximo
común divisor buscado.
Suele utilizarse el siguiente esquema:
1 2 3
1 2 2 1
1 2 3 0
n
n n
q q q q
a b r r r r
r r r
− −
⋯ ⋯ ⋯
⋯ ⋯
⋯ ⋯ ⋯
1( , ) nD a b r −=
Ejercicio
Completa el siguiente algoritmo de Euclides
24 6
924
12
Nota
Si en el algoritmo anterior utilizamos sucesivamente el teorema, en lugar del
corolario, tenemos:
1 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ......................... ( ) (0) ( )n nd a d b d b d r d r d r d r d d r− −∩ = ∩ = ∩ = = ∩ =
Y como 1 ( , ) ( ) ( ) ( ( , ))nr D a b d a d b d D a b− = ⇒ ∩ = , el conjunto de los divisores comunes
a a y a b es el conjunto de los divisores de su máximo común divisor.
En otras palabras:
/
/ ( , )
/
x a
x D a b
x b
 ⇔


9. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 9
Teorema
) / /
( , )
) Si / / /
i D a D b
D a b D
ii x a x b x D
 ∧= ⇔ 
 ∧ ⇒
Demostración
( )⇒ Partimos de la hipótesis que ( , ) max( ( ) ( ))D D a b d a d b= = ∩ ⇒ ( ) ( )D d a d b∈ ∩ ⇒
( ) /
( ) /
D d a D a
D d b D b
 ∈ ⇒⇒ 
 ∈ ⇒
Quedaría por demostrar la condición ii), pero ello ya fue probado.
( )⇐ Ahora debemos demostrar que max ( ) ( )D d a d b= ∩
) ( ) ( )
) ( ) ( )
i D d a d b
ii D x x d a d b
 ∈ ∩⇔ 
 ≥ ∀ ∈ ∩
i) Por hipótesis
/ ( )
( ) ( )
/ ( )
D a D d a
D d a d b
D b D d b
⇒ ∈  ⇒ ∈ ∩
⇒ ∈ 
ii)
como 0
( ) ( ) / / entonces por hipótesis /
D
x d a d b x a x b x D x D
≠
∀ ∈ ∩ ⇒ ∧ ⇒ ≤
De i) y ii) deducimos que max ( ) ( ) ( , )D d a d b D a b= ∩ =
Nota:
El teorema recién demostrado nos brinda una condición necesaria y suficiente para
que D sea máximo común divisor de a y b . Y como tal, podría sustituir a la definición
dada de máximo común divisor.
Propiedades
Veamos ahora algunas otras propiedades del máximo común divisor.
1.
a b
ax bx
r q
rx q
x ∗
    ⇒ 
  ∈ 
ℕ

10. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 10
2.
( , )
( , )
*
D a b D
D ax bx Dx
x
=  ⇒ =
∈ 
ℕ
3.
/ /
,
( , )
x a x b a b D
D
D a b D x x x
∧    ⇒ =   = 
Definición
Consideramos a y b dos números naturales.
Decimos que a y b son primos entre sí ( , ) 1D a b⇔ =
Observación: a y b son primos entre sí si, y sólo si, el 1 es su único divisor común
Teorema
( , )
( , ) 1
a Da
D a b D b Db
D a b
 ′= ′= ⇔ =
 ′ ′ =
Demostración a cargo del lector
Teorema de Euclides
/
/
( , ) 1
c ab
c b
D a c
 ⇒
= 
Demostración
( , ) 1 ( , )D a c D ab cb b= ⇒ =
/ por hipótesis
/ ( , ) /
/ por definición
c ab
c D ab cb c b
c cb
 ⇒ ⇒


11. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 11
Mínimo común múltiplo
Siendo a ∗
∈ ℕ , anotamos ( )m a al conjunto de sus múltiplos no nulos; más
precisamente: { }( ) ; *m a na n= ∈ ℕ
Definición
,a b ∗
∈ ℕ . Llamamos mínimo común múltiplo de a y b (anotamos ( , )m a b ) al
número natural ( , ) min ( ) ( )m a b m a m b= ∩
Teorema
, min ( ) ( )a b m a m b∗
∈ ⇒ ∃ ∩ℕ
Demostración
) ( ) ( ) por definición
) ( ) ( ) pues ( ( ) ( ))
i m a m b
ii m a m b ab m a m b
∩ ⊂
∩ ≠ ∅ ∈ ∩
ℕ
Entonces por P.B.O. min ( ) ( )m a m b∃ ∩
Teorema
( , ) ( , )m a b D a b ab⋅ = con ,a b ∗
∈ ℕ
Demostración
Intentaremos escribir ( ) ( )m a m b∩ de tal forma que pueda hallarse su mínimo; para
ello buscamos una condición necesaria y suficiente para que ( ) ( )x m a m b∈ ∩ .
Si
( ) *;
( ) ( )
( ) *;
x m a k x ka
x m a m b ka hb
x m b h x hb
 ∈ ⇒ ∃ ∈ =   ∈ ∩ ⇒ ⇒ = 
 ∈ ⇒ ∃ ∈ =   
ℕ
ℕ

12. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 12
Por otra parte si ( , )D a b D=
con ( , ) 1
a Da
b Db
D a b
 ′= ′⇒ =
 ′ ′ =
Sustituyendo, tenemos
kDa hDb ka hb′ ′ ′ ′= ⇒ = .
Entonces /a hb′ ′ , y como ( , ) 1D a b′ ′ = por Euclides: / *,a h t h ta′ ′⇒ ∃ ∈ =ℕ
Además x hb= x ta b′⇒ = ; como b Db x ta b D′ ′ ′= ⇒ =
Probamos entonces que: ( ) ( )x m a m b x ta b D′ ′∀ ∈ ∩ ⇒ = . Demostremos ahora que
también es cierto el recíproco.
( )
, ( ) ( )
( )
x ta b x m b
x x ta b D x m a m b
x tab x m a
 ′= ⇒ ∈   ′ ′∀ ∈ = ⇒ ⇒ ∈ ∩ 
 ′= ⇒ ∈   
ℕ
Por lo tanto: , ( ) ( )x x ta b D x m a m b∗
′ ′∀ ∈ = ⇒ ∈ ∩ℕ
Podemos afirmar que: { }( ) ( ) , , *m a m b x N x ta b D t′ ′∩ = ∈ = ∈ ℕ
El mínimo del conjunto se da para 1t = . Entonces: ( , )m a b a b D′ ′= con ( , )D D a b=
multiplicando ambos miembros por D tenemos ( , ) ( , )m a b D a b ab=
Números primos y compuestos
Definición
a ∈ ℕ , 0a ≠ , 1a ≠ . Decimos que a es primo { }( ) 1,d a a⇔ = . Si a no es primo lo
demominamos compuesto
Observación
Como todos los naturales no nulos aceptan a 1 y a sí mismos como divisores,
podemos decir que un número es primo si y sólo si acepta dos divisores.

13. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 13
Mediante esta definición los números naturales quedan clasificados en: primos,
compuestos, 0 y 1.
¿Por qué 0 y 1 no son ni primos ni compuestos? ¿Por qué los naturales distintos de
0 y de 1 que no son primos se llaman compuestos y no simplemente no primos?
Teorema
El menor de los divisores distintos de 1 de un número compuesto es primo.
Demostración
Consideramos a ∗
∈ ℕ , 1a ≠ , { }( )min ( ) 1d d a= − . Debemos probar que d es primo.
Obsérvese que d existe pues { }( ) 1d a − es un conjunto de naturales no vacío.
Intentaremos una demostración por absurdo; suponemos que d no es primo, como
no es ni 0 ni 1, entonces es compuesto, aceptando entonces un divisor distinto de 1 y de d .
'd ∗
∃ ∈ ℕ , ' 1d ≠ , 'd d≠ tal que '/d d ; como { }/ / ( ) 1d a d a d d a′ ′⇒ ⇒ ∈ − . Pero
'/d d y d d d d′ ′≠ ⇒ < .
Encontramos pues un elemento del conjunto menor que el mínimo, lo que genera el
absurdo.
Teorema
El conjunto de los números primos no tiene máximo
Demostración
Sea H el conjunto de todos los números primos; queremos probar que H no tiene
máximo, lo cual haremos por absurdo.
Suponemos que existe maxM H= . Consideramos ahora 2 3 5 1P M= ⋅ ⋅ ⋅ +⋯ (el
producto de todos los números primos más 1). maxP M H> = P H⇒ ∉ , como además
0P ≠ y 1P ≠ P⇒ es compuesto. Aplicando ahora el teorema inmediato anterior:
{ }[ ]min ( ) 1d d P= − es primo; pero por la definición dada de P , éste dividido cualquier
número primo da resto 1, generándose así la contradicción buscada.

14. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 14
Teorema de Euclides para primos
/
/
primo
/
p a
p ab
p
p b
  ⇒ ∨ 
   
.
Demostración
Si /p a , el teorema está demostrado.
Si /p a ( , ) 1D a p⇒ = pues p es primo; como por hipótesis /p ab , aplicando
Euclides tenemos que /p b .
Definición
Consideramos a un número compuesto. Si 1 2........... na p p p= con ip primo.
decimos que a admite una descomposición en producto de factores primos (D.P.F.P.)
Teorema
a ∈ ℕ , a compuesto
1) admite una D.P.F.P
2) Dicha D.P.F.P. es única
a⇒ 

Demostración
(1) Existencia
a es compuesto { }( )1 min ( ) 1p d a⇒ ∃ = − siendo 1p primo 1 1a p d⇒ =
Si 1d es primo entonces 1 1p d es D.P.F.P. de a .
Si 1d es compuesto { }( )2 1min ( ) 1p d d⇒ ∃ = − siendo 2p primo 1 2 2 1 2 2d p d a p p d⇒ = ⇒ =
Si 2d es primo entonces 1 2 2p p d es la D.P.F.P. de a .
Si 2d es compuesto ⇒ .........................................................................................................
………………………..............................................................................................................

15. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 15
El proceso continúa hasta que llegamos a un cociente nd primo; si este mecanismo de
divisiones sucesivas fuera siempre finito nos aseguraríamos de la existencia de la D.F.
Probemos entonces que siempre llegamos a un nd primo.
Sea H el conjunto de los id , H ⊂ ℕ , H ≠ ∅ 1( )d H∈ minnd H⇒ ∃ = . Además nd
primo pues si nd fuese compuesto existiría { }( )1 min ( ) 1n np d d+ = − con 1np + primo
1 1n n nd p d+ +⇒ = ⇒ 1nd H+ ∈ y además 1 minn nd d H+ < = , lo cual es contradictorio; en
consecuencia el proceso descrito es finito y nos conduce en todos los casos a la D.F. de a .
(2) Unicidad:
1 2... na p p p= con ip primo 1 21,..., , ........ ni n p p p∀ = ≤ ≤ ≤
1 2... na q q q= con iq primo 1 21,..., , ........ mi m q q q∀ = ≤ ≤ ≤
Queremos demostrar que n m= y , 1,...,i ip q i n= ∀ = . Igualando nos queda:
1
1
1 1 2 1 1 1
primo primo
1 2 1 2
1 1 2 1 1 1
primo primo
/ .... / para algún de 1 a
... ...
/ .... / para algún de 1 a
j
k
m j j
p q
n m
n k k
q p
p q q q p q j m p q q
p p p q q q
q p p p q p k n q p p
 ⇒ ⇒ = ≥= ⇒ 
 ⇒ ⇒ = ≥
Entonces 1 1p q= . Simplificando tenemos: 2 2... ...n mp p q q= . Reiterando el razonamiento
2 2p q= , 3 3p q= , …, n np q= (si n m≥ ).
Si n m> , después de simplificar nos queda 1 2... 1n n mq q q+ + = 1 2 ... 1n n mq q q+ +⇒ = = = = ,
lo que contradiría que iq fuera primo; por lo tanto n m= .
Ejercicios:
(9) Si 1 2
1 2 ... n
na p p pα α α
= con ip primo, probar que 1 2
1 2/ ... n
nx a x p p pβ β β
⇔ = con
0 , 1,...,i i i nβ α≤ ≤ ∀ =
(10) Si 1 2
1 2 ... n
na p p pα α α
= y 1 2
1 2 ... n
nb p p pβ β β
= con ip primo, probar que:
i) 1 2
1 2( , ) ... n
nD a b p p pγ γ γ
= siendo { }min ,i i iγ α β= .
ii) 1 2
1 2( , ) ... n
nm a b p p pδ δ δ
= siendo { }max ,i i iδ α β= .
(11) Utilizando la D.P.F.P de un número escribir todos sus divisores, y describir un
método práctico para obtenerlos.

16. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 16
(12) Deducir una fórmula que permita calcular la cantidad de divisores de un número
dado.
(13) Probar que si 1 2
1 2 ... n
na p p pα α α
= con ip primo los divisores de a son los sumandos
que se obtienen al desarrollar el producto
0 1 0 1 0 1
1 1 1 2 2 2( .... )( .... ) ( .... )n n nP p p p p p p p p pα α α
= + + + + + + + + +⋯
(14) Utilizando la conclusión anterior, probar que el número de divisores de a ( ( )v a )
es: 1 2( ) ( 1)( 1)...( 1)nv a α α α= + + + y que la suma de todos ellos ( aS ) es
1 2 21 1 1
1 2
1 2
1 1 1
1 1 1
n
a
n
p p p
S
p p p
α α α+ + +
− − −
= ⋅
− − −
⋯
Ejercicios
(15) Completar los siguientes esquemas de algoritmo de Euclides
3
3 1
0
1 2 3
75
0
(16) Hallar dos naturales a y b sabiendo que 360a b+ = y ( , ) 30D a b =
(17) Hallar dos naturales a y b sabiendo que 9900ab = y ( , ) 30D a b =
(18) Hallar a y b naturales sabiendo que: 48a b− = , 88
( , )
a b
D a b
+
=
(19) Hallar los naturales a y b sabiendo que: ( , ) ( , ) 9000m a b D a b = ,
( , )
90
( , )
m a b
D a b
= y
además 200a b+ < .
(20) Hallar los naturales a y b sabiendo que 192ab = ,
2
( ) 169
4 48
m D
mD
+
= siendo
( , )m m a b= y ( , ).D D a b=

17. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 17
(21) Hallar los naturales a y b sabiendo que: 2 2 2
( , ) 36D a ab b a+ + = ,
2 2
2
29
a b
D
−
=
siendo ( , )D D a b= .
(22) Hallar los naturales a y b sabiendo que: 2 2
6399a b− = y ( , ) 4620m a b = .
(23) Hallar los naturales a y b sabiendo que: ( , ) 504m a b = , a b> y
20
a b
.
(24) Se sabe que: 11 8 9a b
•
+ = , 3 4 9a b
•
+ =
i) Probar que: 9a
•
= y 9b
•
= .
ii) Si además ( , ) 9,D a b =
27
a b
q
, 2 135a b= + . Calcular a y b .
(25) Sabiendo que: ( , ) 3 ( , )D b c D a c= y ( , ) 2 ( , )m a c m b c=
i) Probar que: 2a
•
= y 3b
•
=
ii) Demostrar que: 3 3
( )( 9 ) 162a a b b− − =
i
iii) Si ( , ) 1D a b = calcular: ( , )D b c y ( , ).D a c
(26) Determinar un número natural n compuesto de los factores primos 2, 5 y 7
sabiendo que 5n tiene 8 divisores mas que n , 7n tiene 12 divisores más que n y
8n tiene 18 divisores más que n .
(27) Hallar 2 3 5a b c
x = sabiendo que
2
x
tiene 30 divisores menos que x,
3
x
tiene 35
divisores menos que x y
5
x
tiene 42 divisores menos que x .
(28) Determinar el número más pequeño que admite 15 divisores.
(29)
i) Probar que si m tiene un número impar de divisores entonces n∃ ∈ ℕ , 2
n m=
ii) Hallar m ∈ ℕ sabiendo que tiene 9 divisores y que 1 39m p− = , p primo.
(30) Determinar todas las ternas de números naturales ( , , )a b c que verifican:
3
( , ) 3 5D a b = ⋅ , 4
( , ) 2 3 5 7m b c = ⋅ ⋅ ⋅ y 5
2 3 5 7 13a c⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .
(31) Hallar n ∈ ℕ q p
n p q= ⋅ con p y q primos, p q≠ , sabiendo que el número de
divisores de n es 2pq .

18. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 18
(32)
i) Hallar a y b naturales sabiendo que: 1n ≠ , ( , ) 21D an bn = ,
3
2 2
2
21
a b
n
− = y
21a b− =
ii) Sea 2N aα β
= y 1
' 5N bα β+
= . Hallar N y 'N sabiendo que 5N tiene 20
divisores más que
'
2
N
y que
´N
N
tiene dos divisores.
iii) Hallar todos los naturales h sabiendo que: 2
4 7h h
•
+ = , ( 4,7) 1D h + = y
4
( ,70) 'm h N=
(33)
i) ¿Qué condición deben cumplir los números naturales a para que tengan 12
divisores y ( ,225) 15D a = ?
ii) Hallar a para que cumpla además que la suma de sus divisores sea 168.
iii) Para el valor de a hallado en la parte anterior probar que: 5 2
5 6n n n a
•
+ − =
(34) Probar: ( , ( 2) ) 1 2D a nb a n b n b
•
+ + + = ∀ ∈ ⇔ =ℕ y ( , ) 1D a b = .
(35)
i) Hallar a sabiendo que: ( ,75) 5D a = y ( ,75) 150m a =
ii) Para a hallado probar que: 1
1 99n n
a a a+
+ − − =
i
(36) Se realizan las divisiones enteras de un natural n entre dos naturales
consecutivos p y 1p + Demostrar que la condición necesaria y suficiente para
que los cocientes sean iguales es que el cociente de la primera división sea menor
o igual que el resto de la primera división.
(37) Sean a , b y c números naturales tales que: 3 2
( , ) 2 3D a b = , 5 3 2
( , ) 2 3 7m b c = y
5 2
( , ) 2 .3 .5.7m a c =
i) Probar: 5 2 2
2 .7/ , 7 / , 7 / , 5/c b c a/// y 2
3 / .b
ii) Si además se sabe que: ( ) 30v a = , ( ) 48v b = y ( ) 36cν = , hallar a , b y c .
(38) a , b y c son tres números naturales que cumplen: 2 3
( , ) 2 3D a b = , 2
( , , ) 3D a b c = ,
3 4
( , , ) 2 3 5 7m a b c = ⋅ ⋅ ⋅ , 5/b , ( ) 32v b = y ( ) 9.v c = Determinar a , b y c
justificando el procedimiento.

19. DIVISIBILIDAD
Instituto de Profesores “Artigas” 2008 19
(39)
i) Probar: ( , ( , )) ( , )D a b m a b D a b+ =
ii) Hallar dos naturales a y b para que: ( , ) 630m a b = y 231a b+ = .
(40)
i) Se sabe que ( , ) ( , )D a b D c d= , ( , ) ( , )m a b m c d= , 7 4 2
2 3 5c d⋅ = ⋅ ⋅ y ( ) 7v a = .
Hallar a y b .
ii) Hallar todas las parejas ( , )c d sabiendo además que 25c =
i
(41) Hallar N sabiendo que N abcd= , 2( )cd ab a c d= + + + y 3( )d c b− = .
(42) Hallar N sabiendo que 9N abc= = ɺ , 56ab bc+ = y 99cba abc− = .
(43)
i) Hallar m abcd= , sabiendo que 4m = ɺ , 4ab = ɺ y ( , ) 1D a b = y 63ad bc+ =
ii) Hallar n tal que ( , ) 126D n m = (con el m de la parte anterior), ( ) 16v n = y n
tiene 3 divisores.
(44) Hallar N abcd= sabiendo que a b c dc+ + = y 3cd bc= .
(45) Dado N abcabc=
i) Demostrar que 7N = ɺ , 11N =
i
, 13N =
i
ii) Hallar todos los N tales que 2bc a= y 5N = ɺ
(46) Demostrar los criterios de divisibilidad entre 2, 3, 4, 5, 6, 10 y 11 para un número
de cuatro cifras.