1. Inducci´n M atem´tica
o a
Helmuth villavicencio fern´ndez
a
1. Sean A y B conjuntos finitos de modo que |A| = n y |B| = m
donde |A| y |B| denotan los respectivos cardinales.
Demostrar por inducci´n en n que |A × B| = n × m, donde A × B denota
o
el producto cartesiano de A y B
Soluci´n
o
1. Para n = 1 entonces podemos identificar A = {a} y definir f : A×B −→ B
como f (a, b) = b, ∀b ∈ B, de modo que es una aplicaci´n biyectiva.
o
En efecto; si u, v ∈ A × B son tales que u = v.
Luego u = (a, b1 ), v = (a, b2 ) donde b1 = b2 entonces f (a, b1 ) = f (a, b2 )
∴ f es inyectiva.
Sea b ∈ B considerando (a, b) ∈ A × B as´ f (a, b) = b
ı
∴ f es suryectiva.
Luego |A × B| = |B| = m = 1 × m y se cumple la base de inducci´n. o
Supongamos que se verifica para n = k veamos para n = k + 1.
Si |A| = k + 1 podemos identificar A = Nk+1 = Nk ∪ {k + 1} donde
Nk = {1, 2, 3, . . . , k} que es equipotente a A (Por hip´tesis inductiva)
o
De este modo
A × B = (Nk ∪ {k + 1}) × B = (Nk × B) ∪ ({k + 1} × B)
Como la uni´n es disjunta (k + 1 ∈ Nk ) tenemos:
o /
A × B = (Nk × B) ({k + 1} × B)
|A × B| = |(Nk × B)| + |({k + 1} × B)| = km + 1m
∴ |A × B| = (k + 1)m
1