Grandes Matemáticos Sistemas de Numeración

1. Liceo 40 Montevideo, Año 2009.

2. Curso de Matemática Primer año de Ciclo Básico

3. Grandes Matemáticos Sistemas de Numeración 3 2 1 Y Ejes Temáticos del trabajo

6. Introducción Esta presentación surgió a partir de un trabajo sugerido a los profesores de Matemática del Uruguay por la CAPAM en el proyecto “Incentivando Capacidades Matemáticas”. La tarea propuesta a los alumnos de Primer Año del Liceo Nº 40 “Carlos Emilio Tacconi” fue la que se detalla a continuación. 1º) Entrega de fichas de Numeración Sumeria y Egipcia completando lo preguntado en ellas. Junto a esta entrega deberán presentar biografías de: Eratóstenes y Pitágoras, incluirá fecha de nacimiento y muerte, lugar donde nació o vivió, y sus aportes mas conocidos a la Matemática. 2 º) Entrega de las fichas de Numeración China Clásica, Romana e India, completando lo preguntado en ellas. Junto a esta entrega deberán presentar biografías de: Gauss y Thales, incluirá lo mismo solicitado para el apartado 1. Continúa Introducción >> << Índice

7. Introducción << Índice 3º) Entrega de fichas de Numeración Árabe, Maya y Sistema Binario, completando lo preguntado en ellas. 4º) Entrega del Informe Final. El trabajo fue propuesto a 1º 3, 1º 7 y 1º 9, siendo varios los equipos que participaron. Continúa Introducción >> Luego de corregido todo el material, los alumnos que dieron forma final a la tarea fueron: Karina Barrera, Erika Garandan, Trinidad Colman Valeria López y Agustina Villalba guiadas por el Profesor de Informática Javier Acuña, y el Profesor de Geografía Milton Neves.

8. Introducción << Índice La coordinación del proyecto estuvo a cargo de los Profesores de Matemática Gualberto Pombo y Claudio Laguarda. Contamos para esta tarea con el apoyo del Equipo de Dirección del Liceo. El material usado para la elaboración del trabajo fue obtenido en distintas fuentes en Internet.

9. Grandes Matemáticos << Índice Gauss >>

10. GAUSS Más Información >> << Índice Biografía Carl Friedrich Gauss (1777-1855), matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones a la astronomía, las matemáticas y la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo. Nació en Brunswick el 30 de abril de 1777, en el seno de una familia humilde. Estudió lenguas antiguas, aunque ya desde muy pequeño mostró unas excepcionales aptitudes para las matemáticas, especialmente en los procesos en los que había que efectuar cálculos numéricos.

11. GAUSS Más Información >> << Índice Biografía Según él mismo decía, siendo ya adulto, aprendió a contar antes que a leer. A los diez años, delante de su maestro de escuela, calculó casi de inmediato el resultado que se obtiene al sumar los cien primeros números naturales. Consciente de su talento, el duque de Brunswick le concedió una beca que le permitió seguir estudiando e ingresar en el Colegio Carolino de Brunswick. Durante los tres años que permaneció en dicho centro, redescubrió la ley de Bode, el teorema del binomio y la media aritmética-geométrica, así como la ley de reciprocidad cuadrática y el teorema de los números primos.

12. GAUSS << Índice Biografía A los 18 años intentó dar una solución al problema clásico de la construcción de un heptágono (figura de siete lados) regular, con una regla y un compás. No solamente consiguió probar que esto era imposible, sino que siguió aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados. Durante estos estudios, probó que la construcción, con regla y compás, de un polígono regular con un número de lados impar sólo era posible cuando el número de lados era un número primo de la serie 3, 5, 17, 257 y 65.537 o un producto de dos o más de estos números. Más Información >>

13. GAUSS Aportes Matemáticos >> << Índice Biografía A raíz de este descubrimiento abandonó sus estudios de lenguas y se dedicó a las matemáticas. Estudió en la Universidad de Gotinga desde 1795 hasta 1798, doctorándose por la Universidad de Helmstedt en 1799; para su tesis doctoral presentó una prueba de que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. Este teorema, que ha sido un desafío para los matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental del álgebra.

14. GAUSS << Índice Aportes Matemáticos Aunque Gauss hizo valiosas contribuciones tanto a la astronomía teórica como práctica, trabajó sobre todo en matemáticas y en física matemática, abarcando prácticamente todas sus ramas. Su tratado sobre la teoría de números, Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obra clásica en el campo de las matemáticas. Gauss fue el primero en desarrollar una geometría no euclídea; en 1828 publicó un artículo titulado Disquisitiones generales circa superficies curva, dedicado a la geometría diferencial, en el que aparece el concepto de curvatura “gaussiana” y en el que expone su teorema más conocido, el Theorema egregium. Siguiente >>

15. GAUSS << Índice Aportes Matemáticos En la teoría de la probabilidad, desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la distribución de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando “curva de Gauss”. Realizó estudios geodésicos y aplicó las matemáticas a la geodesia. Thales >>

16. THALES Doctrinas Básicas >> << Índice Biografía Nació en Mileto, actual Turquía, 624 a.C. - 546 a.C. Filósofo y matemático griego. En su juventud viajó a Egipto, donde aprendió geometría de los sacerdotes de Menfis, y astronomía, que posteriormente enseñaría con el nombre de Astrosofía. Dirigió en Mileto una escuela de náutica, construyó un canal para desviar las aguas del Halis y dio acertados consejos políticos. Fue maestro de Pitágoras y Anaxímedes, y contemporáneo de Anaximandro.

17. THALES Más Información >> << Índice Doctrinas Básicas Fue el primer filósofo griego que intentó dar una explicación física del Universo, que para él era un espacio racional pese a su aparente desorden. Sin embargo, no buscó un Creador en dicha racionalidad, pues para él todo nacía del agua, la cual era el elemento básico del que estaban hechas todas las cosas, pues se constituye en vapor, que es aire, nubes y éter; del agua se forman los cuerpos sólidos al condensarse, y la Tierra flota en ella.

18. THALES Más Información >> << Índice Doctrinas Básicas Se planteó la siguiente cuestión: si una sustancia puede transformarse en otra, como un trozo de mineral azulado lo hace en cobre rojo, ¿cuál es la naturaleza de la sustancia, piedra, cobre, ambas? ¿Cualquier sustancia puede transformarse en otra de forma que finalmente todas las sustancias sean aspectos diversos de una misma materia? Tales consideraba que esta última cuestión sería afirmativa, puesto que de ser así podría introducirse en el Universo un orden básico; quedaba determinar cuál era entonces esa materia o elemento básico.

19. THALES Más Información >> << Índice Doctrinas Básicas Finalmente pensó que era el agua, pues es la que se encuentra en mayor cantidad, rodea la Tierra, impregna la atmósfera en forma de vapor, corre a través de los continentes y la vida no es posible sin ella. La Tierra, para él, era un disco plano cubierto por la semiesfera celeste flotando en un océano infinito.

20. THALES Aportes Matemáticos >> << Índice Doctrinas Básicas Esta tesis sobre la existencia de un elemento del cual estaban formadas todas las sustancias cobró gran aceptación entre filósofos posteriores, a pesar de que no todos ellos aceptaron que el agua fuera tal elemento. Lo importante de su tesis es la consideración de que todo ser proviene de un principio originario, sea el agua, sea cualquier otro. El hecho de buscarlo de una forma científica es lo que le hace ser considerado como el &quot;padre de la filosofía&quot;.

21. THALES << Índice Aportes Matemáticos En geometría, y en base a los conocimientos adquiridos en Egipto, elaboró un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de estos. Todo ello fue recopilado posteriormente por Euclides en su obra Elementos , pero se debe a Tales el mérito de haber introducido en Grecia el interés por los estudios geométricos. Ninguno de sus escritos ha llegado hasta nuestros días; a pesar de ello, son muy numerosas las aportaciones que a lo largo de la historia, desde Herodoto, Jenófanes o Aristóteles, se le han atribuido. Más Información >>

22. THALES Más Información >> << Índice Aportes Matemáticos Aristóteles consideró a Tales como el primero en sugerir un único sustrato formativo de la materia; además, en su intención de explicar la naturaleza por medio de la simplificación de los fenómenos observables y la búsqueda de causas en el mismo entorno natural, Tales fue uno de los primeros en trascender el tradicional enfoque mitológico que había caracterizado la filosofía griega de siglos anteriores.

23. THALES << Índice Aportes Matemáticos El interés de Thales por la ciencia posiblemente se originara en sus contactos comerciales con Egipto y Mesopotamia, fruto de los cuales llegó a conocer en buena medida la matemática y la astronomía babilónicas; además, resulta probado que viajó a Egipto y permaneció allí algún tiempo, en el que se inició en los misterios de su religión y aprendió lo que pudo de su geometría, cuyos contenidos trasladaría luego a Grecia. Se le atribuyen cinco teoremas geométricos y la resolución de dos problemas prácticos; unos y otros se enuncian y comentan a continuación. Más Información >>

24. THALES << Índice Aportes Matemáticos Este teorema, junto a los tres siguientes, aparece en el Comentario de Proclo. Si bien parece ser que Thales fue el primero en demostrarlo, la palabra “demostrar” no debe ser entendida como lo es actualmente. Según Cantor, lo que posiblemente haría para llegar a esta conclusión fuera dibujar círculos y observar que quedan divididos en sectores circulares iguales por 2, 4, 6, ... diámetros convenientemente trazados (perpendiculares, formando 45º, etc.). Con todo, hay que hacer constar que ni siquiera Euclides probaría este teorema, sino que lo enunciaría como una definición, concretamente la XVII, en el Libro I de los Elementos . 1) Todo círculo queda dividido en dos partes iguales por su diámetro. Más Información >>

25. THALES << Índice Aportes Matemáticos Conviene precisar que Thales, en realidad, usó el término “semejantes” en vez de “iguales”; lo que parece indicar que no concebía la amplitud del ángulo como una magnitud, sino como una figura que tiene una determinada forma. El teorema aparecería después como la Proposición V del Libro I de los Elementos de Euclides . 2) Los ángulos de la base de todo triángulo isósceles son iguales. Eratóstenes >>

26. ERATÓSTENES Más Información >> << Índice Biografía Eratóstenes (276 a.C. 194 a.C.), matemático, astrónomo, geógrafo, filósofo y poeta griego. Midió la circunferencia de la Tierra con una precisión extraordinaria al determinar, a través de la astronomía, la diferencia de latitud entre las ciudades de Siena (actual Asuán) y Alejandría, en Egipto. Nació en Cirene (en la actualidad Shaḩḩāt, Libia). Entre sus maestros se encontraba el poeta griego Calímaco de Cirene.

27. ERATÓSTENES Más Información >> << Índice Biografía Hacia el 240 a.C., Eratóstenes llegó a ser el director de la Biblioteca de Alejandría. Sus cálculos sobre la circunferencia terrestre se basaron en la observación que hizo en Siena, su ciudad natal; a mediodía, en el solsticio de verano, los rayos del sol incidían perpendicularmente sobre la tierra y, por tanto, no proyectaban ninguna sombra (Siena estaba situada muy cerca del trópico de Cáncer).

28. ERATÓSTENES << Índice Biografía En Alejandría se percató de que en la misma fecha y hora las sombras tenían un ángulo de aproximadamente 7° con respecto a la vertical. Al conocer la distancia entre Siena y Alejandría, pudo hallar a través de cálculos trigonométricos la distancia al Sol y la circunferencia de la Tierra. Más Información >>

29. ERATÓSTENES Aportes matemáticos >> << Índice Biografía También midió la oblicuidad de la eclíptica (la inclinación del eje terrestre) con un error de sólo 7' de arco, y creó un catálogo (actualmente perdido) de 675 estrellas fijas. Su obra más importante fue un tratado de geografía general. Tras quedarse ciego, murió en Alejandría por inanición voluntaria.

30. ERATÓSTENES << Índice Aportes Matemáticos Eratóstenes ideó una forma de determinar los primeros números primos al construir la denominada Criba de Eratóstenes. Dispuso los números en una tabla y agujereó los sitios correspondientes al 1, a los múltiplos de 2 mayores que 2, de 3 mayores de 3, etc. De este modo, quedaron sin agujerear los sitios correspondientes a los números primos. De ahí el nombre de criba . Número primo: es el número natural que solamente tiene de divisores a él mismo y a la unidad. Lo contrario de número primo se denomina número compuesto. Más Información >>

32. ERATÓSTENES << Índice Aportes Matemáticos 4. El siguiente número de los que quedan es el 5, lo dejamos y desde el número 5 eliminamos los números que sean múltiplos de 5. 5. Así vamos avanzando, cuando llegamos a un número que no ha sido eliminado lo dejamos, pero a partir de él eliminamos los números que sean múltiplos de él. Así hasta el final. 6. Finalmente habrán quedado solamente números primos. Pitágoras >>

33. PITÁGORAS Doctrinas Básicas >> << Índice Biografía Pitágoras (582 a.C. 500 a.C.), filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Nacido en la isla de Samos, fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

34. PITÁGORAS << Índice Doctrinas Básicas Creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas. Más Información >>

35. PITÁGORAS Aportes Matemáticos >> << Índice Doctrinas Básicas Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis.

36. PITÁGORAS << Índice Aportes Matemáticos C onsiderado el primer matemático, Pitágoras fundó un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C., que enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural. Sus seguidores, llamados pitagóricos, fueron los primeros en formular la teoría que decía que la Tierra es una esfera que gira en torno al Sol. Teoría de los números >>

37. PITÁGORAS << Índice Teoría de los Números Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. Más Información >>

38. PITÁGORAS << Índice Teoría de los Números A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados. Más Información >>

39. PITÁGORAS << Índice Astronomía La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Más Información >>

40. PITÁGORAS << Índice Astronomía Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas.

41. Sistemas de Numeración Contexto Histórico y Geográfico << Índice Línea de Tiempo >>

42. Línea de Tiempo << Índice Origen geográfico >> China Clásica 2000 4000 0 3000 3500 500 1350 450 600 775 Romana India Maya Árabe Sumeria Egipcia Binario 1900

43. China Clásica Romano Indio Árabe Maya << Índice Origen de los sistemas de numeración Territorios Antiguos Territorios Actuales >>

44. China Italia India Arabia México << Índice Equivalencia con Territorios Actuales

45. Sistema CHINO << Índice Ejercicios >> Ubicación geográfica: Asia. Superficie: 9.461.300 km. Población: 1.187.997.000 hab.. Densidad: 1 25,6 hab. / km. Límites: al Norte, la Federación Rusa, Kazajistán y Mongolia; al Este, la Federación Rusa, Corea del Norte y el Mar de la China; al Sur, Vietnam, Laos, Myanmar, India, Bután Y Nepal; al Oeste, India, Pakistán, Afganistán, Tadjikistán, Kirguizistán y Kazajistán. China en la actualidad:

46. Ejercicio para resolver << Índice Numeración China Sistema Árabe >>

47. Sistema ÁRABE << Índice Caligrafía Árabe >> Países árabes: Norte de África, Arabia, Oriente Medio. Ubicación geográfica: Península Arábiga. Comprende: Arabia Saudita, Bahréin, Emiratos Árabes Unidos, Kuwait, Omán, Qatar y Yemen. La península está delimitada por: el Mar Rojo y el Golfo Pérsico. Superficie: 3.000.000 km. Población: 30.000.000 hab.. Densidad: 10 hab.. / km.

48. Ensayo de numeración árabe Ejercicios >> << Índice

49. Numeración Árabe Ejercicio para resolver << Índice Sistema Romano >>

50. Sistema ROMANO << Índice Ejercicios >> Ubicación geográfica: Europa. Estado Actual: ITALIA: Superficie: 301.227 km. Población: 57.782.000 hab.. Densidad: 192 hab. / km. Límites: al Norte, Suiza y Austria; al Este, Eslovenia y los mares Adriático y Jónico; al Sur, el Mar Mediterráneo y al Oeste, el Mar Tirreno, el Mar de Liguria y Francia. Integran su territorio las islas de Sicilia y Cerdeña.

51. << Índice Numeración Romana Ejercicio para resolver Sistema Maya >>

52. Sistema MAYA << Índice Se utilizaba en: Península de Yucatán en algunos territorios de América Central, México y el Caribe. Ubicación geográfica: América. MÉXICO en la Actualidad: Superficie: 1.958.201 km. Población: 89.538.000 hab.. Densidad: 45,7 hab.. / km. Límites: al Norte, E.E.U.U, al Este el Golfo de México y el Mar Caribe, al Sur Guatemala y Belice y al Oeste el Océano Pacífico. Ejercicios >>

53. << Índice Numeración Maya Ejercicio para resolver Sistema Indio >>

54. Sistema INDIO << Índice Ubicación geográfica: Asia. Superficie: 3.287.782 km. Población: 879.548.000 hab.. Densidad: 267,5 hab. / km. Límites: al Norte, con China, Nepal y Bután; al Este, con Myanmar y Bangladesh; al Sureste con el Golfo de Bengala; al Sur, con el Océano Índico; al Suroeste, con el Mar Arábigo y al Oeste, con Pakistán. India en la actualidad: Ejercicios >>

55. << Índice Numeración India Ejercicio para resolver Ejercicios Extras >>

56. << Índice Ejercicios Extras 1) Ubica en una línea del tiempo las distintas numeraciones trabajadas. 0 Siguiente Ejercicio >>

57. Ejercicio 2 Completar la siguiente tabla. << Índice 681 126 110 VI 6 1032 Sistema Binario Numer. Árabe Numer. Maya Numer. Romana Numer. China Clásica Numer. India Numer. Sumeria Numer. Egipcia Sistema Decimal

58. << Índice Documental Historia del número 1 Ver Video