1. UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE
FACULTAD DE INGENIERIA
ANTEPROYECTO
MATEMATICA III
PROF.: ERNALDO CARUAJULCA MUÑOZ
INTEGRANTES:
26/10/2011

2. 1. Selección del problema:
1.1. Problemática
TIPO DE
RELACIÓN
REALIDAD 1 SITUACIÓN REALIDAD 2 ESPACIO TIEMPO
Existe
relación
entre
la aplicación de
los valores
extremos de
funciones de
varias variables
para
diseñar
un estante a
su medida
debajo de
una
escalera
en la
actualidad.
Problematización: Existe relación entre la aplicación de los valores extremos de funciones
de varias variables para diseñar un estante a su medida debajo de una escalera en la
actualidad.
Problemática: ¿Cuál es la relación que existe entre la aplicación de los valores extremos
de funciones de varias variables para diseñar un estante a su medida debajo de una
escalera en la actualidad?
1.2. Objetivos
 Objetivo general:
Determinar el volumen máximo en un área, aplicando valores extremos
de funciones de varias variables, para diseñar un estante a su medida.
 Objetivos específicos:
 Aprender a aplicar el método de valores extremos en problemas de la
realidad.
 Determinar el uso importante de las derivadas parciales.

3. 2. Fundamento Teórico
2.1. Conceptos y definiciones básicas
 Función de varias variables
Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un
nuevo número, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de
una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos
variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay
tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se
pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores),
en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por
medio de una gráfica).
 Derivada parciales
La derivada parcial de f respecto a x es su derivada respecto a x, cuando
los demás variables se consideran constantes.
En forma parecida, la derivada parcial de f respecto a y es su derivada
respecto a y, cuando los demás variables se consideran constantes, y así
sucesivamente para otras variables que pueda haber. Las derivadas
parciales se escriben como ∂f/∂x, ∂f/∂y, y así sucesivamente. Se usa el
símbolo "∂" (en lugar de "d") para recordarnos que hay más que una
variable, y que estamos considerando fijadas las demás variables.
2.2. Marco Teórico
 Espacio tridimensional y la grafica d una función de dos variables

4. Puntos en espacio tridimensional tienen coordenadas como muestra en la
siguiente figura.
 La coordenada x de un punto es su distancia por delante del plano yz.
(Si está negativa la coordenada x, el punto se está detrás del plano yz.)
 La coordenada y de un punto es su distancia a la derecha del plano xz.
(Si está negativa la coordenada y, el punto se está a la izquierda del plano
xz.)
 La coordenada z de un punto es su altura sobre el plano xy.
(Si está negativa la coordenada z, el punto se está debajo del plano xy.)

5. Gráfica de una función de dos variables
La gráfica de la función f de dos variables es el conjunto de todos puntos (x, y,
f(x, y)) en espacio tridimensional, donde restringimos los valores de (x, y) a
estar en el dominio de f. En otras palabras, la gráfica es el conjunto de todos
puntos (x, y, z) tal que z = f(x, y).
 Máximos y mínimos
Si f está una función de x y y, entonces f tiene un máximo relativo a (a, b) si f(a, b)
f(x, y) para toda (x, y) en una pequeña cercanía de (a, b). Un mínimo relativo se
define en manera parecida. f tiene un punto de silla en (a, b) si f tiene allí un
mínimo relativo a lo largo de un corte y un máximo relativo a lo largo de un otro
corte.
La función que se ilustra más abajo tiene un mínimo relativo a (0, 0), un máximo
relativo a (1, 1), y puntos de silla a (1, 0) y (0, 1).

6. En los casos que estudiamos, todos extremos relativos y puntos de silla que no
sean en la frontera del dominio de f se ocurren a puntos críticos, que son las
soluciones de las ecuaciones
fx(x,y) = 0
y
fy(x,y) = 0.
Prueba de segunda derivada para funciones de dos variables
Si f(x, y) está una función de dos variables, y (a, b) es un punto crítico de f. (Esto
es, fx(a, b) = 0 y fy(a, b) = 0.) Suponga también que existen y son iguales las
derivadas del segundo orden, de modo que, por teoremas de cálculo, fxy es igual a
fyx. Sea
H = fxx(a, b)fyy(a, b) -[fxy(a, b)]2
.
Entonces:
f tiene un mínimo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) > 0,
f tiene un máximo relativo a (a, b) si H > 0 y fxx(a,b) < 0, y

7. f tiene un punto de silla a (a, b) si H < 0.
Si H = 0 la prueba no dice nada, entonces necesitamos analizar la gráfica para
buscar más información.