limites y continuidades

1. Contenido
1. Límites 1
2. Continuidad 5

2. Práctica 1
Límites
1. Calcular (en el caso que existan) los siguientes límites.
a) l´ım
x→3/2
x
x −1
b) l´ım
x→2
x 2
−4
x2 −4
c) l´ım
x→3/2
|x|
x
+2 x
x3
d) Si f(x) = x− x , calcular l´ım
x→1
f(x), l´ım
x→3/2
f(x)
2. Una empresa modela su utilidad mensual en miles de dólares en el tiempo t en meses y está dado
por la fórmula U(t) =
5t −3
2t +1
. Pronostique la utilidad a largo plazo y trace la gráfica.
3. Un grupo de ecologistas está tratando de controlar la erosión de un campo maderero explotado y
abandonado. Suponga que la erosión del suelo está dado por la función
E(x) =
(5x+3)M
√
x3 +3x+1
donde x es el número de árboles nuevos plantados y M es la magnitud actual de erosión. Encontrar
l´ım
x→+∞
E(x) e interprete su resultado.
4. Después de una reunión de trabajo comunitario, la contaminación de un río esta dada por la función
L(t) =
√
2t +20
2t2 +20
C

3. Análisis Matemático III
donde t es el tiempo después de que se inicie la campaña y C es el nivel inicial de contaminación.
Encontrar l´ım
t→+∞
L(t) e interprete su resultado.
5. Un termómetro se coloca cerca de una llama. La altura de la columna de mercurio en el termómetro
se da por la función H(x) =
5
2x
, donde x > 0 es la distancia del termómetro a la llama.
a) Hallar l´ım
x→0+
H(x) e interprete su resultado.
b) Hallar l´ım
x→+∞
H(x) e interprete su resultado.
Sugerencia: Graficar H(x) para interpretar sus resultados.
6. La población de cierta especie de pez en un lago está dada por la función
P(t) =
7t +3
2t +1
donde t ≥ 0 es el tiempo.
a) Hallar l´ım
x→0+
H(x) e interprete su resultado.
b) Hallar l´ım
x→+∞
H(x) e interprete su resultado.
7. Debe cercarse un lote rectangular de modo que el área encerrada sea de 1500 metros cuadrados.
Tres lados pueden cercarse con material que cuesta $ 18 el metro, pero el cuarto lado, de longitud
x, debe asegurarse con un alambre de púas adicional que cuesta $ 7 el metro:
a) Hallar un modelo para el costo C(x).
b) Trazar la gráfica de la función costo para x > 0, considerando x →)+ y x → +∞ y algunod
valores intermedios para x.
c) Calcular el valor de x que minimice C(x).
8. Un nuevo alimento para niños se vende en latas cilíndricas con un volumen de 20 pulgadas cúbicas.
El material para las tapas y fondos de las latas cuesta $ 4 por pulgada cuadrada y el del lado cuesta
$ 15 por pulgada cuadrada:
a) Determine una fórmula para el costo C(r), donde r es la radio de la lata.
b) Hallar l´ım
r→0+
C(r), l´ım
r→+∞
C(r) e interprete.
UNSCH 2 Lic. Vladimir Acori Flores

4. Análisis Matemático III
c) Calcular el valor de r que minimice C(r).
9. Supóngase que el costo diario C(x) de producir x artículos esta dado por
C(x) = 0.03x2
+7x+35
a) Obtener el costo unitario Cu(x).
b) Hallar l´ım
x→0+
Cu(x) e interprete el resultado.
c) Hallar l´ım
x→+∞
Cu(x) e interprete el resultado.
d) Calcular el valor de x que minimice Cu(x).
10. Hallar las asíntotas del gráfico de la función.
a) f(x) = x−2+
1
x
A-O: y = x−2, A-V: x = 0
b) g(x) =
x3
(x−1)2
A-O: y = x+2, A-V: x = 1
c) h(x) =
|x+1|
√
x2 +1
A-H: y=1
11. Calcular (si existen) los siguientes límites.
a) l´ım
x→0
sen(2x)
sen(5x)−sen(6x)
b) l´ım
x→π/2
4
√
senx− 3
√
senx
cos2 x
c) l´ım
x→0
tan(1+x)tan(1−x)−tan2 1
tan2 x
d) l´ım
x→0
esen5x −esenx
ln(1+2x)
e) l´ım
x→0
ln(cosh5x)
x2
f) l´ım
x→π/2
π
cosx
−2xtanx , hacer y = cosx Rta.2
g) l´ım
x→+∞
x2
(cos(1/x)−cos(3/x))
12. Evaluar los siguientes límites.
a) l´ım
x→+∞
ln 4+5e6x
ln(1+2e3x)
UNSCH 3 Lic. Vladimir Acori Flores

5. Análisis Matemático III
b) l´ım
x→+∞
ln(1+4x)
x
c) l´ım
x→0
ln 1+3x+x2 +ln 1−3x+x2
x2
d) l´ım
x→+∞
1+2x
2x
2x
e) l´ım
x→+∞
2x +3
2x +1
x
13. Si existen l´ım
x→a
f(x) y l´ım
x→a
[f(x)+g(x)] debe existir l´ım
x→a
g(x). sí
14. si existe l´ım
x→a
f(x) y no existe l´ım
x→a
g(x), ¿puede existir l´ım
x→a
[f(x)+g(x)]? no
15. Indicar si los siguientes proposiciones son verdadero o falsos, justificar en cada caso, si es falso
justificar con un contraejemplo.
a) Si l´ım
x→a
f(x) = L, entonces l´ım
h→0
f(a+h) = L. veradadero
b) Si l´ım
x→a
f(x) = L, entonces l´ım
x→0
f(x−a) = L. falso
c) Si l´ım
x→0
f(x) = L, entonces l´ım
x→0
f x3
= L. verdadero
d) Si l´ım
x→0+
f(x) = L, entonces l´ım
x→0+
f(|x|) = L. verdadero
e) Si l´ım
x→a
f(x) = L, entonces l´ım
x→a
|f(x)| = |L|. verdadero
f) Si l´ım
x→+∞
f(x) = L, entonces l´ım
x→0+
f(1/x) = L verdadero
g) l´ım
x→a
f(x) = L si y sólo sí l´ım
x→a
[f(x)−L] = 0 verdadero
h) Si l´ım
x→0
f(x) = 0, entonces l´ım
x→a
f(x)sen(1/x) = 0. verdadero
UNSCH 4 Lic. Vladimir Acori Flores

6. Práctica 2
Continuidad
1. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones clasificando los puntos de discontinuidad.
a) f(x) =
x+|2x|
x
b) g(x) = x
c) h(x) = x − −x
d) r(x) = e x + −x
e) s(x) = ln x2 +5x+6
f) f1(x) = ln(cosx)
g) ln(tanx)
2. Clasificar la discontinuidad en x = 0 de las siguientes funciones.
a) f(x) = cotx
b) g(x) =
1
2x
c) h(x) = sen(1/x2)
3. Para la función f(x) =
x4 +x3 −x2 +x−2
x2 +x−2
, clasificar la discontinuidad para los puntos x = −2 y
x = 1.
4. Estudiar la continuidad de la función en los puntos que se indican.
a) f(x) =
sen(1/x)
1+e1/x
, en x = 0.

7. Análisis Matemático III
b) g(x) =
etanx +4
etanx −4
, en x = π/2.
c) h(x) =
sen(lnx)
lnx
, en x = 1.
d) r(x) =



xsen ln x2 ,si x = 0
1 ,si x = 0
5. Demostrar que existe un número real x tal que x3 +x−1.
6. Dada la función f(x) = x5 +5x4 +2x+1, encontrar un entero n tal que f(x) = 0 para algún valor
de x en el intervalo n,n+1 .
7. Demostrar que existe algún x tal que cosx = x−1.
8. Indicar si es verdadero o falso los siguientes proposiciones, en caso de que sea falso mostrar con
un contraejemplo:
a) Si f es continua en x = a y g es discontinua en x = a, entonces f +g es discontinua en x = a.
verdadero
b) Si f y g son discontinuas en x = a, entonces f ·g es discontinua en x = a. falso
c) Si una función f está definida en el intervalo cerrado [a,b] y toma todos los valores comprendi-
dos entre f(a) y f(b), entonces es continua en [a,b]. falso
d) Si f es una función continua que verifica [f(x)]2 = x2, entonces f(x) = x falso
e) Si |f| es continua en x = a, entonces f es continua en x = a. falso
UNSCH 6 Lic. Vladimir Acori Flores