1. VECTORES en el plano pares ordenados de números reales 1ª coordenada 2ª coordenada Igualdad de pares: Operaciones:

3. La dirección del vector es la de la recta que pasa por ambos puntos.

4. El sentido del vector es el recorrido que realizamos para llegar desde A hasta B.Los vectores tienen igual módulo y dirección, pero sentido contrario. Dos vectores equipolentes son aquellos que tienen el mismo módulo, dirección y sentido. La relación de equipolencia es una relación de equivalencia entre vectores, puesto que cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.

5. VECTORES en el plano Un vector libre es la clase de equivalencia que está formada por un vector fijo y todos los que son equivalentes a él. Se llama V2 al conjunto de los vectores libres del plano. -El módulo, la dirección y el sentido de un vector libre serán el de uno cualquiera de sus representantes. -El vector libre nulo, , es aquel en el que el origen y el extremo coinciden, tiene módulo cero y carece de dirección y sentido. Propiedad fundamental: Si es un vector libre del plano y P un punto cualquiera del plano, existe un único representante de dicho vector que tiene su origen en el punto P. ·P

6. VECTORES en el plano Operaciones con vectores libres SUMA: Dados dos vectores libres, siempre podemos colocar el origen de uno de ellos en el extremo del otro. El vector que resulta de unir el origen del primero con el extremo del segundo recibe el nombre de vector suma de los anteriores. PRODUCTO POR ESCALARES (no nulos): Dado un vector libre, el vector producto por el número real no nulo k, es otro vector libre que tiene como módulo el del vector original multiplicado por el valor absoluto del nº, dirección la misma que el vector original y sentido el mismo que el vector original si el nº es positivo, y contrario si el nº es negativo.

7. VECTORES en el plano Se puede comprobar que (V2,+,·) es un espacio vectorial. Un vector libre depende linealmente de otro si tienen la misma dirección (son proporcionales, es decir, el primero es igual al producto de un nº por el segundo). En caso contrario se dice que son linealmente independientes: Un vector libre del plano depende linealmente o es combinación lineal de otros dos si puede expresarse como suma de dos que sean linealmente dependientes con los dados: Cualquier vector libre del plano es combinación lineal de otros dos que sean no nulos y no proporcionales. Así, diremos que dos vectores libres del plano que sean linealmente independientes forman una base de V2. -Si los vectores de la base tienen módulo 1, tendremos una base unitaria. -Si los vectores de la base son perpendiculares, tendremos una base ortogonal. -Si la base es unitaria y ortogonal, tendremos una base ortonormal o canónica. La base canónica de V2 está formada por

8. VECTORES en el plano Ya que todos los vectores libres del plano se pueden expresar en función de la base canónica de V2 , llamaremos coordenadas cartesianas de un vector a los dos números reales que permiten expresar ese vector como combinación lineal de los básicos: Esto nos permite establecer una correspondencia perfecta entre V2 y (a cada punto le corresponde su vector de posición –uniéndolo con el origen- y a cada vector le corresponde un punto –el extremo del representante con origen de coordenadas-). Esto se traduce en que podemos definir las operaciones y otras cuestiones con coordenadas: Para obtener un vector unitario basta dividir uno cualquiera entre su módulo.

9. VECTORES en el plano El producto escalar de dos vectores es el número real obtenido al multiplicar sus módulos por el coseno del ángulo que forman: Teniendo en cuenta la interpretación geométrica que se deduce de la definición anterior, también podemos definir el producto escalarde dos vectores como el número real obtenido al multiplicar el módulo de uno de ellos por el de la proyección del otro sobre él:

10. VECTORES en el plano 1) Vector determinado por dos puntos del plano: 2) Punto medio de un segmento: 3) Baricentro de un triángulo: