1. Teoría de la Renovación Ámbar Oliveras Jonathan Soto Manlyn Rivera

2. La teoría de la renovación es la rama de la teoría de la probabilidad que generaliza los procesos de Poisson para tiempos de retención arbitrarios. Un proceso de renovación es un proceso de conteo para el cual el tiempo entre los eventos sucesivos es independiente y está idénticamente distribuido. La variable aleatoria Xn representa el tiempo que ocurre el evento (n – 1) y el enésimo evento. Este es el tiempo entre llegadas. Definición

3. Cada vez que ocurre el evento decimos que ha ocurrido “renovación”. Si tenemos el tiempo entre cada renovación, podemos calcular el tiempo total Sn. Donde S1=X1 (el tiempo antes de que ocurra el primer evento o renovación), S2= X1 + X2 (el tiempo antes de que ocurra la primera renovación más el tiempo desde la primera y la segunda renovación). Definición (Continuación)

4. Si n ≥ 1, Sn está dado por: Sn cumple con la condición: 0 < E[Sn] < ∞. Tiempos de llegada

5. El tiempo promedio (µ) entre eventos sucesivos es igual al valor esperado de los tiempos entre llegadas totales. Si n ≥ 1: Tanto el promedio como el tiempo entre llegadas son valores positivos. Tiempopromedio

6. Cuando la probabilidad es 1, N(t) tiende a infinito cuando t tiende a infinito. Por lo tanto, si la probabilidad es 1: , a medida que t -> ∞. , es la tasa de renovación Teoremas de límite

7. m(t)= E [Xt] Esta función satisface: Función de la renovación

8. Si µ tiende a infinito, La tasa de renovación promedio esperada , también converge hacia , t -> ∞. Teorema Elemental de Renovación

9. Al utilizar los procesos de recompensa, usaremos Wi, de modo que W1, W2, W3, …, son variables independientes e idénticamente distribuidas satisfaciendo lo siguiente: E|Wi|< ∞. Entonces la variable aleatoria Yt está dada por: Renovación de los procesos de recompensa

10. A diferencia de Sn, Wn puede tomar valores negativos. Teorema de procesos de recompensa: La función de recompensa está dada por: g(t)= E[Yt]. Esta función satisface: Renovación de los procesos de recompensa (Continuación)

11. La función de la renovación de la recompensa satisface: Donde FS es la función de la distribución acumulada de S1 y FS representa la función de densidad. Renovación de los procesos de recompensa (Continuación)

12. Antes de obtener la distribución de un proceso de renovación N(t) debemos recordar que el número de renovaciones en un tiempo t es mayor o igual a n si y sólo si la enésima renovación ocurre en o antes del tiempo t. N(t) ≥ n ↔ Sn ≤ t. Ya que cada tiempo de llegada tiene la misma distribución, podemos decir: P { N(t) = n} = Fn(t) Fn+1(t). Si sustituimos: P {N(t) = n} = P{N(t) ≥ n} – P{N(t) ≥ (n + 1)} = P{Sn ≤ t} – P{Sn+1 ≤ t}. Distribución

13. Para cualquier t > 0, el intervalo de renovación que contiene t es mayor que el intervalo de la primera renovación. Es decir, para todo x > 0 , y para todo t > 0, se cumple que: Donde FS es la función de distribución acumulada de los tiempos de retención independientes e idénticamente distribuidos Si. La paradoja de la inspección

14. La teoría de la renovación puede aplicarse a varias áreas de la vida cotidiana. Un ejemplo clásico es el de la gallina y los huevos mágicos. A veces la gallina pone huevos de oro y otras veces pone huevos tóxicos. La recompensa Wi son las pérdidas financieras al recibir huevos tóxicos, los cuales hay que pagar para su eliminación y limpieza, además de las ganancias que representan los huevos de oro. Aplicaciones

15. Otro ejemplo clásico lo es una empresa donde cada cierto tiempo se descompone cierto número de máquinas. La teoría de la renovación nos ayuda a determinar la política óptima para el reemplazo de las mismas. Aplicaciones (Continuación)

16. Ejemplo: Jonathan tiene n máquinas, cada una con una vida útil distribuida uniformemente entre 0 y 2 años. Jonathan puede permitir que cada máquina funcione hasta que se produce un error, con el costo de reposición de $2,600; alternativamente, podrá sustituir una máquina en cualquier momento mientras todavía es funcional a un costo de $200. ¿Cuál es su política óptima de reemplazo? Aplicaciones (Continuación)

17. Solución: En primer lugar debemos encontrar el valor esperado de S: E[S]= E[S|falle antes de t]∙P[falle antes de t] + E[S|no falle antes de t]∙P[no falle antes de t] Y el costo esperado de cada máquina es: EW= E[W|falle antes de t]∙P[falle antes de t] + E[W|no falle antes de t]∙P[no falle antes de t] Aplicaciones (Continuación)

18. Usando la Ley Fuerte de Números Grandes, el costo promedio a largo plazo es: Si diferenciamos con respecto a t: Aplicaciones (Continuación)

19. Lo cualimplicaque los puntos de inflexión satisfacen: 0 = (4t − t2)(1200) − (4 − 2t)(1200t + 200) = 4800t − 1200t2 − 4800t − 800 + 2400t2 + 400t = − 800 + 400t + 1200t2 Por lo tanto: 0 = 3t2 + t − 2 = (3t − 2)(t + 1). Tomamos la solución t en [0,2] : t= 2/3. Este es definitivamente un mínimo, dado que el costo por unidad de tiempo tiende a infinito mientras t tiende a cero. De modo que el costo desciende a medida que t aumenta, hasta el punto 2/3 donde la función comienza a aumentar. Aplicaciones (Continuación)

20. Black, Ken.(1997) Business Statistics. Second Edition. West Publishing Company Sheldon M. Ross (2000) Introduction To Probability Models. Seventh Edition. Academic Press Teoría de la Renovación. www.answers.com/topic/renewal-theory Teoría de la Renovación. http://wwwhome.math.utwente.nl/~litvakn/ISP/class7.pdf Referencias