1. EJERCICIOS
1. Calcule el dominio de las siguientes funciones
a. 𝑓(𝑡) = �ln(𝑡), √1 + 𝑡2 ,
2𝑡
4−𝑡2
�
b. 𝑓(𝑡) = �𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡),
1
𝑡−1
, 1�
c. 𝑓(𝑡) = �𝑡,
1
𝑡
, √1 − 𝑡�
d. 𝑓(𝑡) = �√1 + 𝑡, √1 − 𝑡�
e. 𝑓(𝑡) = �
𝑡−1
𝑡+1
,
𝑡2
𝑡2−1
�
f. 𝑓(𝑡) = (ln(𝑡2
+ 𝑡 + 1), ln(𝑡2
+ 1))
g. 𝑓(𝑡) = (𝑡, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑡), ln(𝑡))
2. Dadas las siguientes funciones vectoriales describa su rango
a. 𝑓(𝑡) = (2 + 𝑡2
, 1 − 2𝑡2)
b. 𝑓(𝑡) = (2 cos 𝑡 , 3 sen 𝑡 , 2)
c. 𝑓(𝑡) = (3𝑡, 1 − 2𝑡2)
d. 𝑓(𝑡) = (1 + 2 cos 3𝑡 , −2 + sen 3𝑡)
3. Calcule los siguientes limites
a. lim 𝑡→0 �𝑡 ,
1
𝑡+1
�
b. lim 𝑡→0 �
𝑠𝑒𝑛𝑡
𝑡
, 1�
c. lim 𝑡→0 �(1 + 𝑡)
1
𝑡�
,
1
𝑡2+1
�
d. lim 𝑡→0 �
𝑠𝑒𝑛3𝑡
2𝑡
,
𝑡
cos 𝑡
�
4. Calcular la velocidad y la aceleración para las partículas cuya posición esta dada por:
a. 𝑓(𝑡) = (𝑒−𝑡
sen 𝑡 , 𝑡𝑒−𝑡
, 𝑒−𝑡
cos 𝑡)
b. 𝑓(𝑡) = �3 sen 𝑡 , 4 cos 𝑡 , 𝑡
2� � 𝑡 = 𝜋
2�
c. 𝑓(𝑡) = (𝑡4
− 2𝑡2
, 𝑡3)
d. 𝑓(𝑡) = ((sen 𝑡)2
, sen(𝑡2))
5. Pruebe que 𝑓(𝑡) = (𝑒 𝑘𝑡
, 𝑒−𝑘𝑡) y 𝑓′′
(𝑡) son paralelos

2. 6. Halle os valores de t para los cuales el vector tangente a la curva descrita por:
𝑓(𝑡) = (2𝑡2
+ 1,3𝑡 − 2) es paralelo al vector 𝑣 = (2, −1)
7. Sean las funciones vectoriales 𝑓(𝑡) = (1, 𝑡 + 1, sen 𝑡) y 𝑔(𝑡) = (1 − 𝑡, 1 + 𝑡, 1 + 𝑠𝑒𝑛 𝑡)
a. Calcular la derivada de 𝑓(𝑡). 𝑔(𝑡)
b. Calcular la derivada de 𝑓(𝑡) × 𝑔(𝑡)
8. Hallar la recta tangente a la curva descrita por la función 𝑓(𝑡) = (ln 𝑡 , 𝑠𝑒𝑛 𝑡) en el punto
𝑓( 𝜋
2� )
9. Evalúe las siguientes integrales:
𝑎. � �
𝑡
1 + 𝑡2
, �1 + 𝑡2, 4𝑡3
� 𝑑𝑡
4
2
𝑏. � (𝑡 cos 𝑡 , 𝑡 sen 𝑡 , 𝑡)𝑑𝑡
𝜋
0
𝑐. � (𝑡𝑖 + 3𝑡2
𝑗 + 4𝑡3
𝑘)𝑑𝑡
2
−1
10. Determine la longitud de arco de la curva descrita por : 𝑓(𝑡) = (𝑡, 𝑡, 𝑡2) con 𝑡 𝜖 [−3,3]
11. Halle los puntos de la curva 𝑓(𝑡) = (𝑡, 𝑡2
, 𝑡3) donde el plano osculador pasa por el punto
(2,-1/3,-6)
12. Pruebe que la longitud de arco de la función 𝑓(𝑡) = (cosh 𝑡 , senh 𝑡, 𝑡) es 𝑠(𝑡) = √2 senh 𝑡
13. Determine los vectores T(t) y N(t) en el punto indicado en cada una de las siguientes curvas:
a. 𝑓(𝑡) = (𝑡3
− 3𝑡, 3𝑡2) ; 𝑡 = 2
b. 𝑓(𝑡) = (𝑒 𝑡
, 𝑒−𝑡) ; 𝑡 = 0
c. 𝑓(𝑡) = (𝑡 − sen 𝑡 , 1 − cos 𝑡) ; 𝑡 = 𝜋
14. Determine los vectores T(t) ; N(t) y B(t) en el punto indicado en cada una de las siguientes
curvas
a. 𝑓(𝑡) = (𝑡 + 1, −𝑡2
, 1 − 2𝑡) ; 𝑡 = −1
b. 𝑓(𝑡) = (𝑒 𝑡
cos 𝑡 , 𝑒 𝑡
sen 𝑡 . 𝑒 𝑡) ; 𝑡 = 0
15. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangente y normal y de los planos osculador, normal y
rectificante en el punto indicado en cada una de las siguientes curvas:
a. 𝑓(𝑡) = (𝑡, 𝑡2
, 𝑡2
+ 3) ; 𝑓(0)
b. 𝑓(𝑡) = (cos 𝑡 , sen 𝑡 , 𝑡) ; 𝑝 = (1,0,0)
c. 𝑓(𝑡) = (𝑡, ln 𝑡 , 𝑡2) ; 𝑓(1)
16. Determine la curvatura de la curva y radio de curvatura de ecuación vectorial:
a. 𝑓(𝑡) = (𝑡2
+ 1, 𝑡2
− 1, 𝑡) 𝑒𝑛 (2,0,1)
b. 𝑓(𝑡) = (ln 𝑡 , 𝑡, 𝑡2) 𝑒𝑛 𝑓(1)
c. 𝑓(𝑡) = (𝑡2
− 2𝑡, 𝑡3
− 𝑡) 𝑒𝑛 𝑡 = 1