Este documento presenta un resumen sobre ecuaciones cuadráticas. Define una ecuación cuadrática como una ecuación que puede escribirse en la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes reales y a ≠ 0. Explica que las soluciones de una ecuación cuadrática son los valores de x que satisfacen la igualdad y que una ecuación cuadrática puede tener hasta dos soluciones reales. También presenta dos métodos para resolver ecuaciones cuadradas: factorización y la fórmula cuadrática.

1. Ecuaciones Ecuaci´n cuadr´tica
o a Contenidos
En esta secci´n se presenta un resumen del tema de ecuaciones cuadr´ticas,
o a
o ecuaciones de segundo grado, en una variable.
x2 + px = S
1 1
x2 + px + p2 = S + p2
4 4
x =??
Definici´n. Una ecuaci´n cuadr´tica en la variable x es una ecuaci´n
o o a o
que puede ser escrita en la forma:
ax2 + bx + c = 0 , donde a, b, c son constantes, a = 0.
Ejemplos de ec. cuadr´ticas en una variable, x:
a
x − 4x + 3 = 0, 3x2 = 5x, 7x2 − 2x = 5.
2
Observaciones. Dada una ecuaci´n cuadr´tica ax2 + bx + c = 0, (a = 0).
o a
• Las constantes a, b y c se denominan coeficientes de la ecuaci´n.
o
• Se considerar´n s´lo ecuaciones cuadr´ticas con coeficientes reales.
a o a
• Una soluci´n o ra´ de la ecuaci´n es un n´mero tal que al sustituir
o ız o u
la x por dicho n´mero, se satisface la igualdad.
u
• Resolver una ecuaci´n cuadr´tica en R, significa hallar todas las
o a
soluciones o ra´ reales de la ecuaci´n.
ıces o
• El conjunto de todas las soluciones reales de la ecuaci´n, denotado
o
por S, ser´ llamado conjunto soluci´n de la ecuaci´n.
a o o
S = {x ∈ R/ax2 + bx + c = 0}
• Una ecuaci´n cuadr´tica con coeficientes reales puede tener a lo
o a
m´s dos soluciones reales.
a
1

2. Ecuaciones - Ecuaci´n cuadr´tica
o a Contenidos 2
Resoluci´n de una ecuaci´n cuadr´tica
o o a
Dada la ecuaci´n cuadr´tica ax2 + bx + c = 0, con a, b y c constantes
o a
reales, a = 0.
M´todo 1. Por Factorizaci´n.
e o
Si ax2 + bx + c = a(x − r)(x − s), donde r y s son constantes, entonces:
la ecuaci´n cuadr´tica ax2 + bx + c = 0 es equivalente a:
o a
a(x − r)(x − s) = 0
y las soluciones de la ecuaci´n son: x = r,
o x = s.
M´todo 2. F´rmula cuadr´tica.
e o a
Las ra´ de la ecuaci´n cuadr´tica ax2 + bx + c = 0 est´n dadas por la
ıces o a a
f´rmula:
o
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
Observaciones.
1. Resolver una ecuaci´n cuadr´tica por Factorizaci´n en muchos casos
o a o
es muy efectivo, por ejemplo:
Ecuaci´n
o Ecuaci´n equivalente
o Soluciones
x2 − 4x + 3 = 0 (x − 3)(x − 1) = 0 x = 3, x = 1
3x2 − 5x = 0 x(3x − 5) = 0 x = 0, x = 5/3
2. Un m´todo para resolver cualquier ecuaci´n cuadr´tica es la F´rmula
e o a o
Cuadr´tica.
a
3. El n´mero D = b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuaci´n cuadr´tica
u o a
2
ax + bx + c = 0.
Valor de la discriminante Naturaleza de las ra´
ıces
b2 − 4ac > 0 las dos ra´ son reales y distintas
ıces
2
b − 4ac = 0 las dos ra´ son reales e iguales
ıces
b2 − 4ac < 0 no tiene ra´ reales
ıces
Inst. de Matem´tica y F´
a ısica Universidad de Talca

3. Ecuaciones - Ecuaci´n cuadr´tica
o a Contenidos 3
4. La f´rmula cuadr´tica para resolver la ecuaci´n ax2 + bx + c = 0 se
o a o
deriva de la completaci´n de cuadrado, (ver ejercicio 7, de la secci´n
o o
Ejercicio resueltos).
5. Sean r y s las ra´ de la ecuaci´n ax2 + bx + c = 0. Se tiene que:
ıces o
b
suma de la ra´
ıces r+s= −
a
c
producto de la ra´
ıces r·s=
a
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