3. Prefacio
Este libro con problemas resueltos pretende sirvir para los estudiantes del
plan com´ n de Ingeneria Civil de la Pontificia Universidad Cat´lica de Chile.
u o
As´ espero facilitar el estudio y la comprensi´n de los estudiantes. Grupos
ı o
especiales, estudiantes avanzados, lectores que deseen una presentaci´n m´s
o a
completa y los alumnos, por as´ decirlo, normales que busquen lecturas com-
ı
plementarias pueden consultar el libro “Linear Algebra” de Hoffman y Kunze
que trata los mismos t´picos con un enfoque m´s amplio.
o a
La parte mas importante de este libro son sus problemas resueltos, que
sirven para fijar ideas, desarrollar algunos temas esbozados en muchos textos
de algebra lineal y como oportunidad para que el lector compruebe lo sencillo
de algunas soluciones. Naturalmente, me gustar´ que el lector s´lo consultase
ıa o
las soluciones despu´s de haber hecho un serio esfuerzo para resolver cada
e
problema. Precisamente es este esfuerzo, con o sin ´xito, el que nos conduce
e
a buenos resultados en el proceso de aprendizaje.
Los problemas que el lector encontrar´ se basan en las ayudantias del
a
curso de algebra lineal impartido en la Pontificia Universidad Cat´lica de
o
Chile, el cual est´ dirigido a estudiantes de Ingeneria Civil.
a
iii
5. ´
Indice general
1. Algebra Lineal Elemental 1
2. Factorizaciones de Matrices 21
3. Determinantes 43
4. Espacios Vectoriales 49
5. Transformaciones Lineales, Teorema de la Dimensi´n y Cam-
o
bio de Base 61
6. Bases Ortonormales y Proyecciones 79
7. Vectores y Valores Propios, Diagonalizaci´n
o 85
v
7. Cap´
ıtulo 1
Algebra Lineal Elemental
1.1. Se dice que v es combinaci´n lineal convexa de u1 , u2 , ..., uk si v =
o
α1 v1 + α2 v2 + ... + αk vk donde αi ≥ 0, i = 1, ..., k y α1 + α2 + ... + αk = 1.
Demuestre que si u4 es combinaci´n convexa de u1 , u2 , u3 y v es combi-
o
naci´n convexa de u1 , u2 , u3, u4 entonces v es combinaci´n convexa de
o o
u1 , u2 , u3 .
Soluci´n: Si u4 es combinaci´n convexa de u1 , u2, u3 , entonces
o o
u4 = α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 ,
donde αi = 1 y αi ≥ 0 para i = 1, . . . , 3. Si v es combinaci´n convexa
o
de u1 , u2 , u3, u4 , entonces
v = β1 u1 + β2 u2 + β3 u3 + β4 u4 ,
donde βi = 1 y βi ≥ 0 para i = 1, . . . , 4. Luego,
v = β1 u1 + β2 u2 + β3 u3 + β4 u4
= β1 u1 + β2 u2 + β3 u3 + β4 (α1 u1 + α2 u2 + α3 u3 )
= (β1 + β4 α1 )u1 + (β2 + β4 α2 )u2 + (β3 + β4 α3 )u3
= γ1 u 1 + γ2 u 2 + γ3 u 3
donde γ1 = β1 + β4 α1 ≥ 0, γ2 = β2 + β4 α2 ≥ 0 y γ3 = β3 + β4 α3 ≥ 0.
Adem´s,
a
γi = γ1 + γ2 + γ3 + γ4
= β1 + β4 α1 + β2 + β4 α2 + β3 + β4 α3
= β1 + β2 + β3 + β4 (α1 + α2 + α3 )
= β1 + β2 + β3 + β4 = 1 .
Por lo tanto, v es combinaci´n convexa de u1 , u2 , u3.
o
1
8. 2 Cap´
ıtulo 1. Algebra Lineal Elemental
1.2. Demuestre que si u1 = 2v1 + 3v2 , u2 = −v1 + 3v2 entonces se cumple
que: < u1 , u2 >=< v1 , v2 >.
Soluci´n: Primero probaremos que < u1 , u2 > ⊂ < v1 , v2 >. Para
o
esto, sea x ∈< u1 , u2 > entonces
x = α1 u1 + α2 u2
= α1 (2v1 + 3v2 ) + α2 (−v1 + 3v2 )
= (2α1 − α2 )v1 + 3(α1 + α2 )v2 .
Como x es combinaci´n lineal de los vi ’, es claro que x ∈< v1 , v2 > y,
o
por lo tanto, hemos probado que
< u1 , u2 > ⊂ < v1 , v2 > .
Ahora se probar´ que < v1 , v2 > ⊂ < u1 , u2 >. Notemos que:
a
u1 = 2v1 + 3v2 ⇒ 3v2 = u1 − 2v1
y
u2 = −v1 + 3v2 ⇒ 3v2 = u2 + v1 .
Igualando obtenemos que
u1 − 2v1 = u2 + v1
3v1 = u1 − u2
1
v1 = (u1 − u2 ) .
3
Despejando obtenemos
1
v2 = (u1 + 2u2) .
9
Sea x ∈< v1 , v2 >, este vector se puede escribir de la forma
x = β1 u1 + β2 u2
1 1
= β1 (u1 + u2 ) + β2 u1
3 3
1 1
= (β1 + β2 )u1 + β1 u2 .
3 3
Como x es combinaci´n lineal de los ui ’, es claro que x ∈< u1 , u2 > y,
o
por lo tanto, hemos probado que
< v1 , v2 > ⊂ < u1 , u2 >
y por lo tanto, < u1 , u2 >=< v1 , v2 >.
9. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 3
1.3. Sean
−0.6 3 4
u= ,v = ,w = .
0.8 4 3
(a) Calcule los productos puntos u · v, u · w, w · v.
(b) Determine la longitud de cada uno de los vectores.
(c) Verifique las desigualdades (Schwarz):
| u · v| ≤ u v y | v · w| ≤ v w .
Soluci´n:
o
a)
u · v = (−0.6, 0.8) · (3, 4) = (−0.6)(3) + (0.8)(4) = 1.4 ,
u · w = (−0.6, 0.8) · (4, 3) = (−0.6)(4) + (0.8)(3) = 0 ,
w · v = (4, 3) · (3, 4) = (4)(3) + (3)(4) = 24 .
b)
√
u = u·u= (−0.6)2 + (0.8)2 = 1 ,
√
v = v·v = (3)2 + (4)2 = 5 ,
√
w = w·w = (4)2 + (3)2 = 5 .
c)
| u · v| = |1.4| = 1.4 ≤ 5 = (1)(5) = u v ,
| v · w| = |24| = 24 ≤ 25 = (5)(5) = v w .
1.4. Para u = (1, 2), v = (−1, 3) determine un escalar α tal que u − αv sea
perpendicular a u.
Soluci´n: Notemos que
o
u − αv = (1, 2) − α(−1, 3)
= (1 + α, 2 − 3α) .
Para que los vectores sean perpendiculares basta que el producto interno
entre los vectores sea cero
0 = u · (u − αv)
= (1, 2) · (1 + α, 2 − 3α)
= 1(1 + α) + 2(2 − 3α)
= 5 − 5α .
Entonces, α = 1 y tenemos que u − αv = (2, −1).
10. 4 Cap´
ıtulo 1. Algebra Lineal Elemental
1.5. Exprese el plano x + y + 2z = 1 como combinaci´n lineal de vectores.
o
Indique el vector normal unitario al plano.
Soluci´n: Podemos despejar cualquiera de las variables de la ecuaci´n
o o
del plano en funci´n de las otras dos. Por ejemplo, podemos despejar x
o
y obtenemos x = 1 − y − 2z en forma vectorial
x 1 − y − 2z 1 −1 −2
y = y = 0 + 1 y + 0 z .
z z 0 0 1
Se puede observar que el plano se puede expresar como combinaci´n o
lineal de los vectores (−1, 1, 0), (−2, 0, 1), donde el primer vector siempre
esta ponderado por 1, esto es
1 −1 −2
P = 0 + < 1 , 0 > .
0 0 1
En general, el vector normal de un plano ax + by + cz = d es (a, b, c),
en nuestro caso el vector normal es n = (1, 1, 2) con modulo
√ √
n = 1 2 + 12 + 22 = 6 .
Luego, el vector normal unitario es:
1
n = √ (1, 1, 2) .
ˆ
6
1.6. Si un hiperplano pasa por los puntos (1, −1, 1, 1), (2, −1, 2, 1), (0, 1, 1, 1),
(1, 0, 0, 1). Determine los valores α, β tal que el punto (α, β, α−β, α+β)
pertenezca al hiperplano.
Soluci´n: La ecuaci´n de un plano en R4 es:
o o
ax + by + cz + dw = e .
Como el hiperplano pasa por los puntos (1, −1, 1, 1), (2, −1, 2, 1), (0, 1, 1, 1),
(1, 0, 0, 1) las constantes a, b, c, d, e deben cumplir
a−b+c+d = e,
2a − b + 2c + d = e,
b+c+d = e,
a+d = e.
11. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 5
Entonces tenemos 4 ecuaciones y 5 incognitas. Hay una variable libre
que es e y a, b, c, d son variables b´sicas. Resolviendo el sistema obten-
a
emos
a = b = c = 0, d = e .
La ecuaci´n del hiperplano es entonces:
o
dw = d ⇒ w = 1 .
Luego, para que (α, β, α − β, α + β) pertenezca al hiperplano se debe
cumplir que:
α+β =1.
1.7. ¿Para qu´ valor(es) de λ ser´n linealmente dependientes los vectores
e a
1 2 3
2 −1 λ ?
3 4 4
Soluci´n: Suponga que
o
1 2 3 0
c1 2 + c2 −1 + c3 λ = 0 = 0 .
3 4 4 0
Entonces mulptiplicando y sumando se obtiene
c1 + 2c2 + 3c3 0
2c1 − c2 + λc3 = 0 .
3c1 + 4c2 + 4c3 0
Esto nos lleva al sistema de tres ecuaciones y tres incognitas
c1 + 2c2 + 3c3 = 0 , (1.1)
2c1 − c2 + λc3 = 0 , (1.2)
3c1 + 4c2 + 4c3 = 0 . (1.3)
As´ los vectores ser´n linealmente dependientes si y s´lo si el sistema
ı, a o
tiene soluciones no triviales. Despejando en (1.1)
c1 = −2c2 − 2c3 . (1.4)
Si (1.4) en (1.3) y despejando
5c3
c2 = − . (1.5)
2
12. 6 Cap´
ıtulo 1. Algebra Lineal Elemental
Si (1.5) en (1.4) obtenemos
c1 = 2c3 . (1.6)
Finalmente (1.5) y (1.6) en (1.2) obtenemos
2c1 − c2 + λc3 = 0
5
2(2c3 ) + c3 + λc3 = 0
2
13
(λ + )c3 = 0 .
2
Para obtener infinitas soluciones necesitamos que una de las ecuaciones
se anule esto se consigue con λ = − 13 , con este valor los vectores son
2
linealmente dependientes.
1.8. Considere el sistema de ecuaciones
x1 + x2 + x3 = 1 ,
x1 − 2x2 + ax3 = b ,
2x1 + x2 + 3x3 = c ,
donde a, b, c son constantes. Determine los valores de a, b, c tales que el
sistema: no tenga soluci´n, tenga soluci´n unica, tenga infinitas solu-
o o ´
ciones.
Soluci´n: Primeros hacemos eliminaci´n de Gauss
o o
1 1 1 1 1 1 1 1
1 −2 a b ∼ 0 −3 a − 1 b − 1
2 1 3 c 0 −1 1 c−2
1 1 1 1
1 1
∼ 0 1 3 (1 − a) 3
(1 − b)
0 −1 1 c−2
1 0 1 + 1 (a − 1)
3
1
3
(b − 1) + 1
1 1
∼ 0 1 3
(1 − a) 3
(1 − b) .
1 1
0 0 3
(4 − a) 3
(3c − b − 5)
La ultima fila de la matriz ampliada equivale a
´
1 1
(4 − a)x3 = (3c − b − 5) ⇒ (4 − a)x3 = 3c − b − 5 .
3 3
13. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 7
Para que no haya soluciones es necesario que el sistema sea inconsis-
tente, es decir, que algunas de sus ecuaciones contenga alguna contradic-
ci´n. La unica posible es 0 · x3 = 0. Es decir, con a = 4 y 3c − b − 5 = 0.
o ´
Para que existan infinitas soluciones se necesita una identidad que se
cumpla siempre. La unica que se cumple siempre independiente del va-
´
lor de x3 es 0 · x3 = 0. Es decir, con a = 4 y 3c − b − 5 = 0.
Si se quiere una sola soluci´n, se debe tener tantas ecuaciones lineal-
o
mente independientes como incognitas y adem´s el sistema debe ser
a
consistente. Esto se cumple para cualquier valor de a, b, c excepto para
el valor a = 4.
1.9. Encuentre eficientemente la soluci´n general de los sistemas
o
1 1 1 x1 2 1 1 1 x1 2
2 1 1 x2 = 3 y 2 1 1 x2 = 3 .
3 1 1 x3 4 3 1 1 x3 5
Soluci´n: Con el m´todo de eliminaci´n de Gauss es posible resolver
o e o
m´ ltiples sistemas con la misma matriz de coeficientes y distintos vec-
u
tores a la vez. Para esto se construye una matriz ampliada de la forma
[ A | b1 ... bn ].
1 1 1 2 2 1 1 1 2 2
2 1 1 3 3 ∼ 0 −1 −1 −1 −1
3 1 1 4 5 0 −2 −2 −2 −1
1 1 1 2 2
∼ 0 1 1 1 1
0 −2 −2 −2 −1
1 1 1 2 2
∼ 0 1 1 1 1 .
0 0 0 0 1
Una vez obtenida la matriz escalonada reducida, se debe despejar las
inc´gnitas del primer y segundo sistema a partir de las columnas corres-
o
pondientes a los vectores (2, 3, 4) y (2, 3, 5), respectivamente. En este
caso el segundo sistema es inconsistente, es decir no tienen soluciones,
ya que tenemos 0 · x3 = 1. Para el segundo sistema tenemos infinitas
soluciones dadas por
x1 = 1, x2 = 1 − x3 , x3 ∈ R .
14. 8 Cap´
ıtulo 1. Algebra Lineal Elemental
1.10. Determine un sistema de ecuaciones Ax = b tal que su conjunto soluci´n
o
sea:
1 −1 1
2 0 1
S = +
0 0 , −1 .
2 1 0
Soluci´n: El conjunto soluci´n de Ax = b es x0 + kerA, donde x0 es
o o
una soluci´n particular de Ax = b. Adem´s KerA = filas de A ⊥ .
o a
Entonces
KerA = (−1, 0, 0, 1), (1, 1, −1, 0) .
Sea (a, b, c, d) una fila de A, entonces:
a −1 a 1
b 0 b 1
·
c 0 =0 y
· =0
c −1
d 1 d 0
−a + d = 0 d=a
⇔ .
a+b−c=0 c=a+b
0 1 1 0 (a = 0, b = 1)
Tomando A = . Ahora sea
1 0 1 1 (a = 1, b = 0)
1 1
2 0 1 1 0 2
b = A = = 2 .
0 1 0 1 1 0 3
2 2
0 1 1 0
Eligiendo A = y b = (2, 3) el conjunto de Ax = b
1 0 1 1
coincide con
1 −1 1
2 0 1
S = +
0 0 , −1
.
2 1 0
1.11. Considere el plano P de R3 dado por P = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x−3y + z =
0} y la matriz
1 −1 2
A= 2 0 1 .
1 1 1
15. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 9
Demuestre que la imagen de P a trav´s de A es un plano y encuentre
e
la ecuaci´n cartesiana ax + by + cz = d de tal plano.
o
Soluci´n: Notemos que
o
P = {(x, y, z) ∈ R3 : 2x − 3y + z = 0}
= {(x, y, x) ∈ R3 : z = 3y − 2x}
= {(x, y, 3y − 2x) : x, y ∈ R}
= {(x, 0, −2x) + (0, y, 3y) : x, y ∈ R}
= {(1, 0, −2)x + (0, 1, 3)y : x, y ∈ R} .
Los vectores (1, 0, −2) y (0, 1, 3) son linealmente independientes, ya que
α(1, 0, −2)+β(0, 1, 3) = (0, 0, 0) ⇒ (α, β, −2α+3β) = (0, 0, 0) ⇒ α = β = 0.
Luego, P = {(1, 0, −2), (0, 1, 3)} = {v, w}
1 −1 2 1 −3
Av = 2 0 1 0 = 0 ,
1 1 1 −2 −1
1 −1 2 0 5
Aw = 2 0 1 1 = 3 .
1 1 1 3 4
Por lo tanto, la imagen de P a trav´s de A es generado por vectores
e
(−3, 0, −1) y (5, 3, 4), esto es
A(P) = {(−3, 0, −1), (5, 3, 4)}
= {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = α(−3, 0, −1) + β(5, 3, 4) α, β ∈ R}
= {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y, z) = (−3α + 5β, 3β, −α + 4β) α, β ∈ R}
= {(x, y, z) ∈ R3 : x = −3α + 5β, y = 3β, z = −α + 4β α, β ∈ R}
= {(x, y, z) ∈ R3 : 3x + 7y − 9z = 0} .
1.12. Considere la siguiente matriz triangular superior
p 1 0
A= 0 p 1 .
0 0 p
Encuentre An , n ∈ N.
16. 10 Cap´
ıtulo 1. Algebra Lineal Elemental
Soluci´n: Notemos que
o
2
p 1 0 p 1 0 p 2p 1
A2 = 0 p 1 0 p 1 = 0 p2 2p ,
0 0 p 0 0 p 0 0 p2
2 3
p 2p 1 p 1 0 p 3p2 3p
A3 = 0 p2 2p 0 p 1 = 0 p3 3p2 ,
0 0 p2 0 0 p 0 0 p3
3 4
p 3p 3p p 1 0 p 4p3 6p2
A4 = 0 p3 3p2 0 p 1 = 0 p4 4p3 ,
0 0 p3 0 0 p 0 0 p4
4 5
p 4p3 6p2 p 1 0 p 5p4 10p3
A5 = 0 p4 4p3 0 p 1 = 0 p5 5p4 .
0 0 p4 0 0 p 0 0 p5
n
p npn−1 an pn−2
Luego, An = 0 pn npn−1 donde an+1 = an +(n−1), ∀n > 1
0 0 pn
y a1 = 0.
1.13. Demuestre que cualquier matriz cuadrada se puede escribir de manera
unica como la suma de una matriz sim´trica y una matriz antisim´trica.
´ e e
Soluci´n: Se dice que una matriz es sim´trica si At = A y se dice
o e
que una matriz es antisim´trica si At = −A. Consideremos las matrices
e
1
2
(A + At ) y 1 (A − At ) entonces
2
1 1 1 1
[ (A + At )]t = (At + (At )t ) = (At + A) = (A + At ) .
2 2 2 2
1
Luego, 2 (A + At ) es una matriz sim´trica.
e
1 1 1 1
[ (A − At )]t = (At − (At )t ) = (At − A) = − (A − At ) .
2 2 2 2
Luego, 1 (A − At ) es un matriz antisim´trica. Por lo tanto, podemos
2
e
escribir A como
1 1
A = (A + At ) + (A − At ) .
2 2
1.14. Resuelva la siguiente ecuaci´n matricial
o
1 1 4 −2 6 4
X = .
3 4 −3 2 22 14
17. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 11
1 1 4 −2 6 4
Soluci´n: Sean A =
o ,B= yC=
3 4 −3 2 22 14
y notemos que si existen las matrices inversas de A y B, entonces
AXB = C ⇒ AXBB −1 = CB −1
⇒ AX = CB −1
⇒ A−1 AX = A−1 CB −1
⇒ X = A−1 CB −1 .
Usando eliminaci´n de Gauss, podemos encontrar A−1 y B −1 .
o
1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 4 −1
∼ ∼
3 4 0 1 0 1 −3 1 0 1 −3 1
y
1 1 1 1
4 −2 1 0 1 −2 4
0 1 −2 4
0
∼ ∼ 1 3
−3 2 0 1 −3 2 0 1 0 2 4
1
1 0 1 1 1 0 1 1
∼ ∼ .
0 1
2
3
4
1 0 1 3
2
2
Entonces
4 −1 1 1
A−1 = , B −1 = 3 .
−3 1 2
2
Luego, tenemos que
4 −1 6 4 1 1
X = A−1 CB −1 = 3
−3 1 22 14 2
2
2 2 1 1 5 6
= 3 = .
4 2 2
2 7 8
1.15. Sea A de 2 × 2 tal que A(1, 0)⊤ = (3, 6)⊤ y A(0, 1)⊤ = (1, 2)⊤
(a) Mostrar que la imagen bajo A de la recta 3x + 2y = 0 es la recta
2x − y = 0.
(b) Hay una recta L que pasa por el origen y que queda fija bajo A, ( es
decir, A(L) = L, aunque no necesariamente A(l) = l, para l ∈ L).
¿Cu´l es la recta?
a
18. 12 Cap´
ıtulo 1. Algebra Lineal Elemental
Soluci´n:
o
(a) Si A = (aij ) entonces
a11 a12 1 a11 3
A(1, 0)⊤ = = = ,
a21 a22 0 a21 6
a11 a12 0 a12 1
A(0, 1)⊤ = = = .
a21 a22 1 a22 2
3 1
Por lo que A = . Buscamos el vector generador de la recta
6 2
3x + 2y = 0
L = {(x, y) ∈ R2 : 3x + 2y = 0}
3
= {(x, y) ∈ R2 : y = − x}
2
3
= x, − x : x ∈ R
2
3
= x 1, − :x∈R
2
3
= 1, −
2
y obtenemos
3
3 1 1
A(1, −3/2)⊤ = = 2 .
6 2 −3
2
3
Entonces la imagen de bajo A de la recta es:
3
A(L) = ,3
2
3
= α ,3 :α∈R
2
y
= (x, y) ∈ R2 : x =
2
= {(x, y) ∈ R2 : 2x − y = 0} .
(b) Si L es la recta que pasa por el origen entonces consideremos
L = {(x, y) ∈ R2 : y = mx}
= {(x, mx) : x ∈ R}
= {(1, m)} .
19. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 13
3 1 1 3+m
Entonces, = y
6 2 m 6 + 2m
A(L) = {(3 + m, 6 + 2m)}
= {((3 + m, 6 + 2m) : x ∈ R}
= {(x, y) ∈ R2 : 2x − y = 0} .
Si consideremos la recta
L = {(x, y) ∈ R2 : 2x − y = 0}
entonces A(L) = L .
1.16. Sea A = (aij ) ∈ Mn (R). Se define la traza de A, denotada por tr(A),
como n
tr(A) = aii = a11 + a22 + · · · + ann .
i=1
Si A, B ∈ Mn (R), demuestre
(a) tr(AB) = tr(BA).
(b) tr(AAt ) > 0, si A = 0.
Soluci´n:
o
(a) Sean A = (aij ), B = (bij ), AB = (cij ) y BA = (dij ) entonces un
elemento de la diagonal de la matriz AB es
n
cii = aik bki ,
k=1
luego,
n n n n n n n
tr(AB) = cii = aik bki = bki aik = bki aik
i=1 i=1 k=1 i=1 k=1 k=1 i=1
n
= dkk = tr(BA) .
k=1
(b) Si A = (aij ) entonces At = (bij ) = (aji ) si denotamos AAt = (rij )
entonces:
n n n n n n n
t
tr(AA ) = rii = aik bki = aik aik = (aki )2 > 0.
i=1 i=1 k=1 i=1 k=1 k=1 i=1
20. 14 Cap´
ıtulo 1. Algebra Lineal Elemental
1.17. Si tan α = (a/b), demuestre que
n n/2
1 (a/b) a2 cos nα sin nα
= 1+ .
−(a/b) 1 b2 − sin nα cos nα
Soluci´n: Demostramos la igualdad haciendo inducci´n sobre n
o o
Para n = 1, tenemos que:
1/2
a2 cos α sin α 1/2 cos α sin α
1+ 2 = 1 + tan2 α
b − sin α cos α − sin α cos α
cos α sin α
= sec α
− sin α cos α
1 (a/b)
= .
−(a/b) 1
Ahora suponiendo que se cumple para n, probamos que es v´lido para
a
n + 1.
a n+1 a n a
1 b
1 b
1 b
=
−a
b
1 −a
b
1 −a
b
1
n/2
a2 cos nα sin nα 1 a
b
= 1+ 2
b − sin nα cos nα −a
b
1
sin α
cos nα sin nα 1
= (1 + tan2 α)n/2 cos α
− sin nα cos nα − cos α
sin
α
1
cos nα sin nα cos α sin α
= (sec2 α)n/2 sec α
− sin nα cos nα − sin α cos α
cos nα cos α − sin nα sin α cos nα sin α + sin nα cos α
= secn+1 α
− sin nα cos α − cos nα sin α − sin nα sin α + cos nα cos α
cos(n + 1)α sin(n + 1)α
= (1 + tan2 α)(n+1)/2
− sin(n + 1)α cos(n + 1)α
(n+1)/2
a2 cos(n + 1)α sin(n + 1)α
= 1+ 2 .
b − sin(n + 1)α cos(n + 1)α
1.18. Demuestre que si A es una matriz cuadrada tal que An = 0, entonces
I − A es invertible.
Soluci´n: Basta observar que
o
(I − A)(I + A + A2 + ... + An−1 ) = (I − An ) .
22. 16 Cap´
ıtulo 1. Algebra Lineal Elemental
1.20. Calcule una inversa por la derecha de:
1 2 −6
A= .
−3 −8 5
Soluci´n: Calcular una inversa por la derecha es equivalente a resolver
o
AX = I donde X corresponde a la inversa por la derecha de A, como
A2×3 y I2×2 , la unica opci´n es que X3×2 , luego,
´ o
x11 x12
X = x21 x22
x31 x32
esto es equivalente a resolver simultaneamente los sistemas
A(x11 , x21 , x31 )⊤ = (1, 0)⊤ y A(x12 , x22 , x32 )⊤ = (0, 1)⊤ .
Usamos eliminaci´n de Gauss, para resolver el sistema
o
1 2 −6 1 0 1 2 −6 1 0
∼
−3 −8 5 0 1 0 −2 −13 3 1
1 2 −6 1 0
∼
0 1 2 −2 −1
13 3
2
1 0 −19 4 1
∼ 13 .
0 1 2
−3 −1
2 2
Entonces,
x11 = 4 + 19x31 ,
x12 = 1 + 19x32 ,
3 13
x21 = − − x31 ,
2 2
1 13
x22 = − − x32 .
2 2
As´ obtenemos una familia de matrices inversas por la derecha, para
ı,
valores x31 , x32 en R, tomando x31 = x32 = 0 se obtiene
4 1
X = −3 −1 .
2 2
0 0
1.21. Sea A de 3 × 4 tal que existen v1 , v2 , v3 ∈ R tales que
1 0 1
Av1 = 1 , Av2 = 1 , Av3 = 1 .
0 2 −1
23. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 17
(a) Demuestre que el sistema Ax = b es consistente para todo b ∈ R3 .
1
4 2 .
(b) Determine un vector x ∈ R tal que Ax =
3
Soluci´n:
o
(a) Ax = b es consistente para todo b si s´lo si A es sobre si s´lo si A
o o
tiene inversa por la derecha. Sea B = [v1 v2 v3 ], entonces AB = C
con
1 0 1
C= 1 1 1
0 2 −1
dado que C es invertible, entonces ABC −1 = I y la inversa por la
derecha de A es BC −1 , donde
3 −2 1
C −1 = −1 1 0 .
−2 2 −1
1
(b) De lo anterior se tiene que ABC −1 = I, entonces ABC −1 2 =
3
1 1 2
2 . Entonces x = BC −1 2 = 1 = 2v1 + v2 − v3 .
3 3 −1
1.22. Determine los valores de α, β para los cuales S = {v1 , v2 , v3 } es lineal-
mente dependiente y b pertenece a S (ambas situaciones a la vez),
donde
1 2 1 α
v1 = 1 , v2 = 1 , v3 = 2 , b = β .
β 1 α 1
Soluci´n: Construyo la matriz A cuyas columnas son los vectores v1 , v2 , v3
o
24. 18 Cap´
ıtulo 1. Algebra Lineal Elemental
y b, esto es
A = [ v1 v2 v3 b ]
1 2 1 α
= 1 1 2 β
β 1 α 1
1 2 1 α
∼ 0 −1 1 β−α
0 1 − 2β α − β 1 − αβ
1 2 1 α
∼ 0 1 −1 α−β .
0 0 α − β + (1 − 2β) 1 + β − α + αβ − 2β 2
Los vectores v1 , v2 , v3 son linealmente dependientes si s´lo si
o
α − 3β + 1 = 0 .
El vector b pertenece a v1 , v2 , v3 si s´lo si
o
1 + β − α + αβ − 2β 2 = 0 .
Resuelvo
α − 3β + 1 = 0 α = −1 + 3β
⇒ .
1 + β − α + αβ − 2β 2 = 0 2
β − 3β + 2 = 0
Encontramos dos soluciones α = 2, β = 1 o α = 5, β = 2.
2 4 3
1.23. Sea A = 0 1 −1 . Calcule adj A.
3 5 7
1 −1 0 −1
Soluci´n: Se tiene A11 =
o = 12, A12 = − = −3,
5 7 3 7
A13 = −3, A21 = −13, A22 = 5, A23 = 2, A31 = −7, A32 = 2 y
A33 = 2.
12 −3 −3 12 −13 −7
As´ B =
ı, −13 5 2 y adj A = B t = −3 5 2 .
−7 2 2 −3 2 2
25. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 19
1.24. Resuelva el sistema usando la regla de Cramer
2x1 + 4x2 + 6x3 = 18 ,
4x1 + 5x2 + 6x3 = 24 ,
3x1 + x2 − 2x3 = 4 .
Soluci´n: Primero se tiene
o
2 4 6
D= 4 5 6 =6
3 1 −2
de manera que el sistema tiene soluci´n unica.
o ´
18 24 4 2 4 6
Despu´s D1 = 4 5
e 6 = 24, D2 = 18 24 4 = −12 y
3 1 −2 3 1 −2
2 4 6
D3 = 4 5 6 = 18.
18 24 4
Por lo tanto, x1 = D1 = 24 = 4, x2 = D2 = −12 = −2 y x3 = D3 = 18 =
D 6 D 6 D 6
3.
4 3 2 1
1.25. Sea A = 3 2 1 4 , con coeficientes en Z5 . Hallar el Ker(A).
2 1 4 3
Soluci´n: Reducimos
o la matriz por eliminaci´n
o de Gauss y obtenemos
4 3 2 1 1 0 0 4
3 2 1 4 −− −→ 0 1 0 4
2 1 4 3 0 0 1 4
tenemos que x1 = −4x4 , x2 = −4x4 y x3 = −4x4 , entonces:
−4 1
−4 (mod 5) 1
KerA = −4
= .
1
1 1
31. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 25
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
×
0 5 1 0 0 0 1 0
0
U .
8
0 1 0
0 0 0 1 0 7 0 1
4
0 0 20
3
1
Se ha escrito A como un producto de seis matrices elementales y
una matriz triangular superior. Sea L el producto de las matrices
1 0 0 0
2 1 0 0
elementales. Debe usted verificar que L = 3 5
−
, que
2 8
1 0
−1 7 20 1
4 3
es un matriz triangular inferior con unos en la diagonal. Despu´s e
se puede escribir A = LU, donde L es triangular inferior y U es
triangular superior. Esta factorizaci´n se llama factorizaci´n LU de
o o
A.
(b) De lo anterior se puede escribir A = LU, donde
1 0 0 0 2 3 2 4
2 1 0 0 0 4 −8 −8
L= 3 5
−
, U = .
2 8
1 0 0 0 3 9
−1 74
20
3
1 0 0 0 −49
El sistema Ly = b conduce a las ecuaciones
y1 = 4,
2y1 + y2 = −8 ,
3 5
− y1 + y2 + y3 = −4 ,
2 8
7 20
−y1 + y2 + y3 + y4 = −1 ,
4 3
o bien
y1 = 4 ,
y2 = −8 − 2y2 = −16 ,
3 5
y3 = −4 + y1 − y2 = 12 ,
2 8
7 20
y4 = −1 + y1 − y2 − y3 = −49 .
4 3
Se acaba de realizar la sustituci´n hacia adelante. Ahora, de Ux = y
o
32. 26 Cap´
ıtulo 2. Factorizaciones de Matrices
se obtiene
2x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = 4,
4x2 − 8x3 − 8x4 = −16 ,
3x3 + 9x4 = 12 ,
−49x4 = −49 ,
o bien
x4 = 1,
3x3 = 12 − 9x4 = 3 ⇒ x3 = 1 ,
4x2 = −16 + 8x3 + 8x4 = −16, ⇒ x2 = 0 ,
2x1 = 4 − 3x2 − 2x3 − 4x4 = −2, ⇒ x1 = −1 .
−1
0
1 .
La soluci´n es x =
o
1
2.4. (Un camino m´s sencillo para
a obtener la factorizaci´n LU) Encuentre
o
la factorizaci´n LU de
o
2 3 2 4
4 10 −4 0
.
−3 −2 −5 −2
−2 4 4 −7
Soluci´n: Este problema ya lo resolvimos en
o el ejercicio 2.3. Ahora se
usar´ un m´todo m´s sencillo. Si A = LU,
a e a se sabe que A se puede
factorizar como
2 3 2 4 1 0 0 0 2 3 2 4
4 10 −4 0 a 1 0 0 0 u v w
A= −3 −2 −5 −2 = b c 1 0
0
= LU.
0 x y
−2 4 4 −7 d e f 1 0 0 0 z
Observese que la primera fila de U es la misma primera fila de A porque
al reducir A a la forma triangular, no se efectua ninguna operaci´n o
elemental a la primera fila.
Se pueden obtener todos los coeficientes que faltan con s´lo multiplicar
o
las matrices. La componente 2, 1 de A es 4. As´ el producto escalar de
ı,
la segunda fila de L y la primera columna de U es igual a 4
4 = 2a ⇒ a = 2 .
33. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 27
As´ tenemos que
ı,
componente 2,3: −4 = 4 + v ⇒ v = −8 ,
componente 2,4: 0 = 8 + w ⇒ w = −8 ,
3
componente 3,1: −3 = 2b ⇒ b = − ,
2
9 5
componente 3,2: −2 = − + 4c ⇒ c = ,
2 8
componente 3,3: −5 = −3 − 5 + x ⇒ x = 3 ,
componente 3,4: −2 = −6 − 5 + y ⇒ y = 9 ,
componente 4,1: −2 = 2d ⇒ d = −1 ,
7
componente 4,2: 4 = −3 + 4e ⇒ e = ,
4
20
componente 4,3: 4 = −2 − 14 + 3f ⇒ f = ,
3
componente 4,4: −7 = −4 − 14 + 60 + z ⇒ z = −49 .
El resultado es la factorizaci´n que se obtuvo en el ejercicio 2.3. con un
o
esfuerzo considerablemente menor.
1 2 3
2.5. Demuestre que −1 −2 −3 tiene m´s de una factorizaci´n LU.
a o
2 4 6
Soluci´n: Usando la t´cnica del problema 2.4, se obtiene la factori-
o e
zaci´n
o
1 2 3 1 0 0 1 2 3
A = −1 −2 −3 = −1 1 0 0 0 0 = LU .
2 4 6 2 0 1 0 0 0
1 0 0
Sin embargo, si se hace L1 = −1 1 0 , entonces A = L1 U para
2 x 1
cualquier n´ mero real x. As´ en este caso, A tiene una factorizaci´n LU
u ı, o
pero no es unica. Debe verificarse que A no es invertible.
´
Por otro lado,
1 2 3 1 0 0 1 2 3
B = 2 −1 4 = 2 1 0 0 −5 −2 = L′ U ′
3 1 7 3 1 1 0 0 0
y esta factorizaci´n es unica, aunque B no sea invertible. El lector debe
o ´
verificar estos hechos. Este ejemplo muestra que si una matriz cuadrada
34. 28 Cap´
ıtulo 2. Factorizaciones de Matrices
con una factorizaci´n LU no es invertible, entonces su factorizaci´n LU
o o
puede ser o no unica.
´
2.6. Encuentre una matriz de permutaci´n P y matrices triangulares inferior
o
y superior L y U tales que P A = LU para la matriz
0 2 3
A = 2 −4 7
1 −2 5
7
y resuelva el sistema Ax = b donde b = 9 .
−6
Soluci´n: Para reducir A por filas a la forma triangular superior,
o
primero se intercambian las filas 1 y 3 y despu´s se continua como
e
sigue
0 2 3 1 −2 5
2 −4 7 − P1,3→ 2 −4 7
−−−
1 −2 5 0 2 3
1 −2 5
E2,1 (−2)
− − − 0 0 −3
− −→
0 2 3
1 −2 5
P2,3
−−→ 0 2
−− 3 .
0 0 −3
Al realizar esta reducci´n por reglones se hicieron dos permutaciones.
o
0 0 1 1 0 0
P1,3 = 0 1 0 , P2,3 = 0 0 1 .
1 0 0 0 1 0
Entonces
1 0 0 0 0 1 0 0 1
P = P2,3 P1,3 = 0 0 1 0 1 0 = 1 0 0
0 1 0 1 0 0 0 1 0
y
0 0 1 0 2 3 1 −2 5
P A = 1 0 0 2 −4 7 = 0 2 3 .
0 1 0 1 −2 5 2 −4 7
35. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 29
Esta matriz se puede reducir a una forma triangular superior sin per-
mutaciones. Se tiene
1 −2 5 1 −2 5
0 2 3 −3,1 (−2) 0 2
E
−−
−→ 3 =U.
2 −4 7 0 0 −3
As´
ı,
1 0 0
0 1 0 PA = U ,
−2 0 1
o bien
1 0 0 1 −2 5
PA = 0 1 0 0 2 3 = LU .
2 0 1 0 0 −3
Por otro lado, tenemos que
0 0 1 7 −6
LUx = P Ax = P b = 1 0 0 9 = 7 .
0 1 0 −6 9
−6
Se busca un y tal que Ly = 7 . Esto es,
9
1 0 0 y1 −6
0 1 0 y2 = 7 .
2 0 1 y3 9
Entonces, y1 = −6, y2 = 7 y 2y1 + y3 = 9, por lo que y3 = 21 y
−6
y= 7 .
21
−6
Continuando, se busca un x tal que Ux = 7 ; es decir,
21
1 −2 5 x1 −6
0 2 3 x2 = 7 .
0 0 −3 x3 21
36. 30 Cap´
ıtulo 2. Factorizaciones de Matrices
Por lo que
x1 − 2x2 + 5x3 = −6 ,
2x2 + 3x3 = 7 ,
−3x3 = 21 .
57
Por ultimo, se obtiene despejando que x = 14 .
´
−7
2.7. Calcule la factorizaci´n de Choleski (con y sin ra´ de la matriz
o ız)
4 −1 1
A = −1 17
4
11
4
.
1 11
4
7
2
Soluci´n: La factorizaci´n de Choleski sin ra´ corresponde a LDLT ,
o o ız
para esto primero debemos determinar la factorizaci´n LU.
o
4 −1 1 1 0 0 4 −1 1
A= −1 17 11 = −1 1 0 0 4 3 = LU
4 4 4
1 11
4
7
2
1
4
3
4
1 0 0 1
Se deduce entonces que la factorizaci´n
o de Choleski sin ra´ LDLT de
ız,
A es:
1 0 0 4 0 0 1 −4 1
1
4
A= −1 1 0 0 4 0 0 1 3
4 4
1 3
4 4
1 0 0 1 0 0 1
Por otro lado, tenemos que
A = LDLT
√ √
= L D DLT
√ √ T
= (L D)(L D )T
√ √
= (L D)(L D)T
= KK T
√
donde K = L D. Luego, tenemos la siguiente factorizaci´n de Choleski
o
37. Algebra Lineal - Rodrigo Vargas 31
con ra´ de A es la que sigue:
ız
√ √
1 0 0 4 √0 0 4 √0 0 1 −1 1
4 4
A = −1 1 0 0
4 4 0 0 4 0 0 1 3
4
1 3
4 4
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 2 0 0 2 0 0 1 −1 1
4 4
= −1 1 0 0 2 0 0 2 0 0
4
1 3
4
1 3
4 4
1 0 0 1 0 0 1 0 0 1
2 0 0 2 −2 1
1
2
1
= −2 2 0 0 2 3
2
1 3
2 2
1 0 0 1
2.8. Demuestre que si A es invertible B = AT A y B = RT R es la factori-
zaci´n de Choleski (con ra´ cuadrada) de B, X es la soluci´n RT = AT ,
o ız o
Y es la soluci´n de RY = X, entonces Y = A−1 .
o
Soluci´n: Si RT X = AT y RY = X, entonces
o
RT RY = AT
BY = AT
T
A AY = AT /(AT )−1
AY = I /A−1
Y = A−1 .
2.9. Sea A una matriz cuadrada de orden k y considera la matriz cuadrada
B de orden k + 1 definida por
1 0 ... 0
1
B= . .
.. A
1
Supongamos que A admite la descomposici´n A = LU. Determine una
o
ˆ U para la matriz B.
descomposici´n B = L
o ˆ
Soluci´n: Notemos que:
o
1 0 ... 0 1 0 ... 0 1 0 ... 0
1 Ei,1 (−1) 0 0
i=2,..., k+1
.. −− −
− −→ .
. = .
. .
. A . A . LU
1 0 0
38. 32 Cap´
ıtulo 2. Factorizaciones de Matrices
Sea E = Ek+1,1 (−1)Ek,1 (−1) · · · E3,1 (−1)E2,1 (−1), entonces
1 0 ... 0 1 0 ... 0 1 0 ... 0
0 0
0
EB = .
. = .
. .
. .
. LU . L . U
0 0 0
Entonces
1 0 ... 0 1 0 ... 0
0 0
−1
B = E . . .
.
. L . U
0 0
1 0 ... 0 1 0 ... 0
1 0
ˆˆ
= .
. .. = LU .
. L . U
1 0
2.10. Sea
0 0 −1 1 1
1 2 −2 3 3
A=
1
.
2 1 2 1
−1 −2 −2 5 3
(a) Determine la factorizaci´n P A = LU
o
(b) Determine el valor de α tal que el sistema Ax = (1, 3, α, 3 + 3α)T
tenga soluci´n.
o
(c) Resuelva el sistema anterior, con el valor α adecuado.
(d) Usando (a), encuentre bases del espacio fila y del espacio columna
de A.
Soluci´n:
o
(a) Hacemos eliminaci´n de Gauss, primero intercambiando las filas 1
o