preparaciòn para las pruebas icfes y preicfes

1. Matemáticas
Revolución educativa en marcha
¡La educación ya! Asunto de todos

3. Matemáticas

4. GERMAN BULA ESCOBAR
Ministro de Educación Nacional
PATRICIA MARTÍNEZ BARRIOS
Directora General Icfes
TANIA MARGARITA LÓPEZ LLAMAS
Secretaria General
PATRICIA ASMAR AMADOR
Subdirectora General Técnica y de Fomento
ANTONIO FRANCISCO MERLANO VELILLA
Subdirector General de Planeación
CARLINA MALDONADO DE LOZANO
Subdirectora General Jurídica
MARIO AGUIRRE BERMÚDEZ
Subdirector General de Informática
FRANCISCO ERNESTO REYES JIMÉNEZ
Subdirector General de Informática
MAGDALENA MANTILLA CORTÉS
Sudirectora General del Servicio Nacional de Pruebas
JAIRO FERNÁNDO PÁEZ MENDIETA
Jefe de División de Administración de Exámenes
CLAUDIA LUCIA SÁENZ BLANCO
Jefe de División de Desarrollo de Pruebas
Autores
FLOR PATRICIA PEDRAZA DAZA
LUZ CONSTANZA GARZON
Profesionales de Apoyo
YULY MARSELA VANEGAS
CLAUDIA SALAZAR
Corrección de Estilo
ROBERTO PINZON

5. Contenido
Pág
Evaluación de la competencia matemática 9
1. El contexto de evaluación:
La matemática escolar 10
2. El objeto de evaluación:
La competencia matemática 14
3. El instrumento de evaluación:
La prueba de matemáticas 21
3.1 ¿Cómo se construyen los
problemas de la prueba ? 22
3.2 Núcleo común:
Prueba de matemáticas 23
3.3 Componente flexible-Profundización:
Prueba de matemáticas 25
4. Ejemplos de preguntas 26
4.1 Ejemplo de núcleo común 27
4.2 Ejemplo de profundización 29
5. Referencias bibliográficas 32

7. Matemáticas

9. Matemáticas
EVALUACIÓN DE LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
sta propuesta de evaluación se fundamenta en las nuevas
visiones sobre el hombre, el conocimiento, la sociedad y la
cultura, planteadas en los documentos normativos de la
educación para el país1, en donde el respeto por la diferencia y el
reconocimiento del país como multiétnico y pluricultural se
constituyen en pilares de otros sentidos para la educación. Uno de
los elementos fundamentales en esta visión de educación es la evaluación,
dada su posibilidad de retroalimentar y hacer meta-observación de
distintos momentos, estados, y desde diferentes perspectivas. Su
significado ha ido cambiando, generando transformaciones que
atienden a los giros teóricos y epistemológicos consistentes con la
idea de evaluación que se pretende desarrollar y con todo lo que
de ella se deriva para el sistema educativo en la última década. Es
así como se plantea que la evaluación, además de emitir juicios
sobre los estudiantes a partir de medidas de logros, debe interesarse
por proporcionar información para apoyar políticas y programas de
toma de decisiones (Romberg, 1989, citado por Giménez, 1997).
Esto implica que la evaluación no solamente asume funciones de
verificación de objetivos educativos y conocimientos alcanzados,
sino que cumple fundamentalmente, una función en el campo social,
pedagógico y ético y político (Giménez, 1997). En ella se rescata
una misión orientadora y de ayuda para satisfacer ciertas demandas
en el proceso educativo, no solamente dirigida a reconocer
problemas de los estudiantes, sino a brindar información a todos
sus actores e instancias. Sin desconocer la importancia de la
regulación y el control necesarios en la valoración del trabajo escolar.
Esta idea de educación que subyace a una postura evaluativa,
también se ve reflejada en el campo de la educación matemática
en planteamientos que muestran distintas concepciones sobre las
maneras de abordar la matemática escolar. Estas concepciones se
ven reflejadas en diferentes posturas que tienen que ver con la
naturaleza de las matemáticas; preguntas como qué es la
matemática y qué es el conocimiento matemático están en la base
de estas concepciones e inciden en todos los aspectos que tocan la
enseñanza y el aprendizaje de la matemática y, por ende, su evaluación.
1 Estos documentos son: Ley General de Educación, Indicadores de Logros Curriculares, Lineamientos
Curriculares, Documento de la Misión de Ciencia, Educación y Desarrollo.
9

10. Matemáticas
Luis Moreno (1992), al plantear estos interrogantes, muestra la
interrelación entre concepciones de las matemáticas y del conocimiento
matemático con ciertas prácticas educativas, concepciones que
pueden encontrarse en el formalismo, el intuicionismo,el empiricismo,
el constructivismo, como posturas epistemológicas que han dado
fundamentos y matices distintos al trabajo de matemáticas en la
escuela, proporcionando los referentes desde los cuales se
privilegian ciertos aspectos sobre otros2.
Atendiendo a lo anterior, las pruebas de matemáticas en el examen
de estado han reconocido a través del tiempo estas
transformaciones, asumiendo distintas concepciones y maneras de
abordar el conocimiento matemático escolar en esta evaluación3.
Todos los elementos mencionados responden y dan sentido, en el
contexto de la matemática escolar, a los fundamentos y propósitos
señalados en el marco general de la propuesta de examen de estado
para ingreso a la educación superior, atendiendo a su visión de
evaluación y a su énfasis en competencias comunicativas.
A continuación se desarrollan los elementos fundamentales para
esta evaluación de competencias matemáticas de los estudiantes
que culminan la educación básica y media: el contex to de
evaluación, el objeto de evaluación y el instrumento de evaluación.
1. EL CONTEXTO DE EVALUACIÓN:
LA MATEMÁTICA ESCOLAR
La matemática escolar es aquella que debe incluir como
elementos propios, dentro de las estructuras conceptuales, datos
culturales que están en el origen o son aplicaciones de los conceptos
matemáticos, consiguiendo presentar las matemáticas, no como un
fenómeno intelectual aislado, sino como una forma específica de
trabajo desde un medio cultural más amplio (Rico, L., 1994) .
2 Por ejemplo, en una concepción de la matemática como acabada, formal y abstracta se privilegian
aspectos de la sintaxis, se hace referencia a conceptos estáticos, que el estudiante debe aprender como
verdades absolutas y sin conexión con el mundo, o bien unas matemáticas centradas ya no en la enseñanza
sino en el aprendizaje significativo, donde se privilegian procesos subjetivos.
3 En la Serie de Investigación y Evaluación Educativa, Exámenes de Estado para Ingreso a la Educación
Superior. Pruebas de Matemáticas, se hace un recorrido histórico de lo que han sido las pruebas de
matemáticas en el examen de estado, vinculadas con las distintas concepciones de la educación y de las
matemáticas, con ejemplos de preguntas para cada uno de los momentos identificados.
10

11. Matemáticas
últiples reflexiones e investigaciones en torno a la enseñanza
de la matemática, apoyadas en disciplinas como la filosofía,
la lógica, la informática, la lingüística, la psicología, la antropología,
la historia, entre otras, se han desarrollado con el fin de intentar
acercamientos a diferentes problemáticas que han surgido en la
matemática escolar. Estos acercamientos han estado vinculados a
diferentes concepciones sobre la matemática escolar que se han
reconocido a través de la historia y que tienen sus raíces en distintas
posturas frente al sujeto y al conocimiento matemático.
Tomando en consideración estos aspectos, resulta indispensable
caracterizar cómo se asume el conocimiento matemático en esta
visión de matemática escolar, sin desconocer que para llegar a esta
postura se han requerido consensos y disensos entre los diferentes
actores involucrados en la educación matemática. Lo que se plantea
a continuación son algunos acuerdos o conclusiones que se han
generado de estas reflexiones:
En la matemática escolar, se asume que el conocimiento matemático
se construye en un contexto sociocultural; por ende los objetos de
la matemática pueden tener múltiples sentidos, lo que hace posible
un reconocimiento de objetos propios de la matemática escolar
distintos a los objetos de la matemática. Ellos se refieren a aquellos
conceptos, proposiciones, teorías que se han validado por la
comunidad académica en el ámbito escolar. Todos estos elementos
permiten ver el conocimiento matemático como un constructo
abier to, ligado de alguna manera a las demás áreas del
conocimiento, a las actividades humanas, a los valores y a la cultura.
De esta postura se infiere una concepción sobre el sujeto que
conoce, como aquel que pone en juego sus saberes validados en
el campo del conocimiento mismo como parte de los saberes
socialmente construidos en el ámbito escolar.
Otra reflexión que aporta a la caracterización de la matemática
escolar se refiere a la manera de abordar la resolución de problemas,
que se concibe, no como un tema más en el currículo de
matemáticas, sino más bien como un contexto donde pueden ser
enseñados, aprendidos y evaluados conceptos, procedimientos,
destrezas, estrategias, y, más aún, donde puede manifestarse un
"hacer matemáticas" con sentido. De esta manera, la resolución de
problemas hace posible dar cuenta de procesos significativos en la
construcción de pensamiento matemático, en tanto permite al estudiante
11

12. Matemáticas
contex tualizar, modelar, representar y enfrentarse a diversas
situaciones4 que le amplían y le posibilitan la construcción de
distintos sentidos de un concepto, y en donde se reconoce lo intuitivo
como potenciador del pensamiento matemático en la escuela, pues
es en el proceso de construcción donde se validan y justifican
determinadas nociones y conceptos que, como se ha mencionado,
no son vistos como tales desde las matemáticas formales.
Son diversas las posibilidades de organización del conocimiento
matemático, bien sea por sus objetos, el tipo de relaciones que se
establecen entre ellos, las formas de proceder, entre otros. En algunos
momentos se hace énfasis en sistemas conceptuales, es decir, en
estructuras que poseen características propias, que las distinguen
de otras, pero en las que pueden encontrarse pautas, líneas comunes
que les subyacen y que las configuran como tales.
Asumiendo lo anterior, y de acuerdo con lo que se propone en los
lineamientos curriculares para matemáticas, en donde se enfatiza
el reconocimiento de "un núcleo de conocimientos matemáticos
básicos que debe dominar todo ciudadano, así como privilegiar,
como contexto del hacer matemático escolar, las situaciones
problemáticas para potenciar el pensamiento matemático" (Lineamientos
curicualres matematicas, 1998), como una manera de determinar ese
núcleo común de conocimientos matemáticos, se han configurado
los ejes conceptuales a partir del saber disciplinar, entendido este
como un constructo móvil de teorías, conceptos, procedimientos,
reglas de acción, establecidos y validados por una comunidad
académica a través de la historia. Estos ejes responden a lo que se ha
conceptualizado como matemática escolar, ilustrando así la
complejidad de las estructuras matemáticas propuestas.
La intención de definir ejes conceptuales es poder abordar ciertos
conceptos matemáticos desde distintas perspectivas y tener
presentes para cada uno de ellos algunas características y relaciones
intrínsecas que permitan construirlos significativamente en el
contexto de la matemática escolar.
4 Vergnaud (1990): " Son las situaciones las que dan sentido a los conceptos matemáticos, pero el sentido
no está en las situaciones ni en las representaciones simbólicas. Es una relación del sujeto con las situaciones
y los significados" (p. 158).
12

13. Matemáticas
/Conteo: En este eje se tiene en cuenta el concepto de número,
que, asociado inicialmente a la noción de cantidad, surge después
como objeto matemático independiente y se complejiza en las
construcciones de los diferentes sistemas numéricos, sus operaciones,
relaciones y propiedades, que han permitido su caracterización
a través de la historia y, de hecho, observar su evolución desde
los naturales hasta los reales a partir de su manejo, identificación y uso.
/Medición: Los conceptos que configuran este eje son: medida,
métrica, espacio y todas las relaciones que entre éstos se puedan
generar a partir de las experiencias con cantidades y formas geométricas y
las diferentes aplicaciones que de la métrica se hagan;además
considera las formas y sus movimientos y las condiciones invariantes
en ellas.
/Variación: En este eje se tiene en cuenta el concepto de variable
y las diferentes relaciones,elementos y significaciones que lo configuran.
Desde la identificación de la variable en el seguimiento de patrones,
pasando por el uso de las funciones, hasta el análisis matemático,
donde la variable adquiere cierto significado como introducción
a la naturaleza variacional del cálculo. Al caracterizar este eje es
importante tener en cuenta el manejo de diferentes formas de
representación asociados a la variación y sus aplicaciones.
/Aleatoriedad: Este eje está configurado por la interpretación
y el uso de datos, sus descripciones y representaciones gráficas,
el establecimiento de arreglos y combinaciones, teniendo en cuenta
los diferentes rasgos que caracterizan las distintas muestras; el
establecimiento de posibilidades para un evento y la probabilidad
de que un evento ocurra bajo determinadas circunstancias.
Esta caracterización de la matemática escolar, en la que nos
situamos para hacer la evaluación, pone de relieve el uso de la
matemática en situaciones significativas, uso que necesariamente
lleva a las actuaciones, prácticas o formas de proceder propias de
la disciplina. Así, se pretende evaluar el acercamiento al hacer
matemático, a los procesos de pensamiento propios de una
matemática en continua construcción.
13

14. Matemáticas
2. EL OBJETO DE EVALUACIÓN:
LA COMPETENCIA MATEMÁTICA
e acuerdo con la propuesta general del examen de estado para
ingreso a la educación superior, se toma la competencia como
objeto de evaluación. Esta aproximación a la noción de
competencia parte de discusiones que se han promovido desde la
psicología cognitiva y cultural, con puntos de encuentro en cuanto
a la naturaleza del conocimiento, el papel del lenguaje en su
construcción y la íntima relación de los significados con el contexto
del cual emergen determinados conceptos. En estas discusiones
aparece como punto central la actividad cognitiva y las diversas
maneras de reconocerla a través de distintos instrumentos mediadores;
en este sentido se propone que esa actividad cognitiva sea vista
a partir de las competencias que demuestren los estudiantes al ser
enfrentados a situaciones problema que deban resolver.
Entre las teorías cognitivas se retoman aquellas que ven en el sujeto
diferentes posibilidades de actuación, de acuerdo con el contexto
en el cual se movilizan determinados conocimientos; esto ha sido
descrito por Torrado diciendo que “las diferencias entre individuos
o entre grupos no se explican por la ausencia o presencia de tal o
cual habilidad o competencia, sino por la puesta en escena de
procedimientos y estrategias en un contexto particular”. Esto nos
remite al uso, con sentido, que cada sujeto haga, ante una situación
particular, de diferentes estrategias o procedimientos relacionados
con determinados referentes conceptuales.
Así, la competencia es entendida como un saber-hacer en contexto,
“un conocimiento implícito en un campo del actuar humano, una
acción situada que se define en relación con determinados
instrumentos mediadores (Torrado, 1996)”. Este conocimiento “no
sólo es concebido como la suma de principios y métodos que deben
ser aprehendidos para su transmisión, sino como aquellas reglas
de acción que nos garantizan su manejo”5.
5 Hernández, Carlos A. y otros, Exámenes de estado: Una propuesta de evaluación por competencias, 1998
14

15. Matemáticas
Para precisar cómo se articulan estos elementos, definidos desde
la propuesta general, en la evaluación de competencias matemáticas
podríamos afirmar que ésta está referida al saber-hacer en el
contexto matemático escolar, es decir, a las formas de proceder
que se corresponden con estructuras matemáticas, las cuales se
validan y adquieren sentido en el contexto matemático escolar.
Una de las expresiones más utilizadas para referirse a esas formas
de proceder en matemáticas se refiere al hacer matemáticas. En esta
expresión están condensadas las actuaciones que permiten hacer
inferencias sobre el desarrollo de pensamiento matemático que un
estudiante es capaz de movilizar cuando se enfrenta a situaciones que le
exigen el uso con sentido de conceptos y relaciones matemáticas en
determinados contextos.
Retomando lo que se considera fundamental para la matemática escolar
en el país, que es el énfasis en la generación o formación de pensamiento
matemático en los estudiantes, siendo éste fundamentalmente
considerado en su manifestación como posibilidades de significación,
como acciones cognitivas en las que el estudiante usa el conocimiento
matemático, se asume en la prueba una evaluación por competencias,
que precisamente, desde los referentes generales para esta evaluación,
se refieren a las posibilidades de actuación de los estudiantes situados en
la matemática escolar.
La aproximación a la competencia matemática - considerada desde esta
evaluación en su carácter comunicativo, en el que se movilizan distintos
discursos y se atiende a las posibilidades de significación desde los saberes
del estudiante - tiene en cuenta, entonces, las significaciones que el
estudiante ha logrado construir y que pone en evidencia cuando se enfrenta
a diferentes situaciones-problema.
Esto implica preocuparse fundamentalmente tanto por los conceptos,
como por las formas de proceder asociadas a ellos. Uno de los aspectos
es precisamente tener en cuenta el significado de los conceptos
matemáticos, en los que se reconocen no sólo las propiedades invariables
que les dan sentido, sino también las situaciones y los significantes
asociados al mismo, (Vergnaud, citado por Chamorro). Otro de
los aspectos fundamentales podría condensarse en lo que Godino
y Batanero (1996-1998) denominan práctica significativa; la cual, como
lo plantean, es significativa para una persona si desempeña una función
para la consecución de objetivos en los procesos de resolución de un
problema, para comunicar a otros la solución, validar la misma o
generalizarla a otros contextos y problemas.
15

16. Matemáticas
Desde las anteriores perspectivas, en la competencia matemática
el dotar de significado o dar sentido se hace explícito cuando el
estudiante practica (usa) significativamente la matemática; esto
implica maneras de proceder y conocimientos propios de la
disciplina que se ar ticulan tanto en situaciones-problema
significativas para el estudiante, como en el conocimiento
matemático involucrado.
En cuanto a la práctica significativa, desde lo que orienta la matemática
escolar podríamos decir que se refiere a la matematización, la cual
se caracteriza por la realización de actividades como simbolizar,
formular, cuantificar, validar, esquematizar, representar, generalizar,
todas ellas encaminadas a buscar, entre las diferentes situaciones-problema
lo esencial desde el punto de vista de la matemática, con el
fin de desarrollar descripciones matemáticas, explicaciones o
construcciones que permitan plantear predicciones útiles acerca de
las situaciones.
Es usual en la matemática escolar mencionar los diferentes sentidos
que pueden atribuirse a las nociones y conceptos que circulan en el
proceso de desarrollo de pensamiento matemático y que son
necesarios en la concepción de enseñanza y aprendizaje de la
matemática en la que nos ubicamos, por locual se requiere de ciertos
elementos que muestren la articulación y más aún, la imbricación entre
el lenguaje matemático y su significado; para ello acudimos a algunas
conceptualizaciones que se han trabajado fundamentalmente desde
teorías del lenguaje, y que también han servido de base para la
propuesta general, pero que en matemáticas toman visos particulares:
ellas son semántica y sintaxis.
Desde lo que se ha abordado en esta propuesta evaluativa, se
considera lo sintáctico como un sistema de signos, reglas de formación
y reglas de notación que configuran las formas de "representación"
acordadas por la comunidad académica en la matemática escolar. De
la misma manera, lo semántico hace referencia a la interpretación de
lo sintáctico, que adquiere significado en la red de relaciones que se
establecen entre determinados conceptos matemáticos y que
configuran una estructura matemática. Esta distinción entre lo
sintáctico y lo semántico, referida a un contexto particular, pone de
manifiesto una concepción sobre el hacer matemático escolar que
se refiere no solamente a las maneras de representar los conceptos
matemáticos sino fundamentalmente a cómo esas distintas
representaciones implican el uso con sentido de los objetos
matemáticos.
16

17. Matemáticas
Como se ha mencionado, en el trabajo matemático generalmente
estamos enfrentados a utilizar diferentes lenguajes o formas de
expresar y en su manejo es posible visualizar la conceptualización
de estructuras que subyacen a esas diversas expresiones. Estas
expresiones, vistas desde lo comunicativo, configuran lenguajes
pertinentes a la construcción de pensamiento matemático escolar,
en donde se hace posible la aproximación tanto a lenguajes naturales
como a lenguajes formales, permitiendo vincular las matemáticas a
contextos particulares en donde adquieren significación para el estudiante6.
Son variadas las investigaciones y los estudios en educación
matemática que han abordado el problema del lenguaje en términos
de su vínculo con el aprendizaje significativo, y necesariamente
surgen también elementos de reflexión sobre algunas nociones
relacionadas, como representaciones significantes, sistemas
matemáticos de signos, sistemas de notación o sistemas semióticos,
asociadas todas ellas a posibles maneras de significar el
conocimiento matemático.
Godino y Batanero (1996-1998) afirman, por ejemplo, que la
matemática es un lenguaje simbólico en el que se expresan las
situaciones-problema y las soluciones encontradas, enfatizando que
los sistemas simbólicos matemáticos tienen una función comunicativa
e instrumental dentro de la matemática, la cual se expresa en un
sistema conceptual lógicamente organizado. En el sistema simbólico
matemático, cuando un objeto matemático ha sido aceptado como
parte del sistema, puede considerarse como una realidad textual y
un componente de la estructura global. Así puede ser manipulado
como un todo para crear nuevos objetos matemáticos, ampliando el rango
de herramientas matemáticas y, al mismo tiempo, introduciendo
nuevas restricciones al lenguaje y al trabajo matemáticos.
En esta misma línea, Castro, Rico y Romero (1997) afirman que los conceptos
matemáticos están conectados con la actividad mental de las personas.
6 Estos lenguajes usados en el ámbito escolar, adquieren cierta particularidad cuando se habla de
comprender en matemáticas. Así lo plantea el Grupo Pretexto (1997): [...] "el significado matemático
de una palabra, en los procesos de formación, no puede ni debe desconocer el que ya tenga para
el estudiante en el lenguaje ordinario. Un ejemplo aclarará este pronunciamiento. Cuando se quiere
llegar a una definición como: dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son
proporcionales, no debe perderse de vista, por ejemplo, que muy seguramente la palabra semejanza,
es significada por el estudiante como parecido, concepto ligado fundamentalmente a lo perceptual,
por tanto inconveniente para llegar a una correcta significación matemática de la palabra semejanza,
en tanto dos triángulos pueden ser parecidos sin que sean semejantes."
17

18. Matemáticas
Así, “cada concepto matemático viene establecido por sus diferentes
significados y usos y, por tanto, por sus representaciones. Son los
usos de cada concepto los que establecen por extensión su campo
semántico, y cada modo significativamente distinto de entender un
concepto necesita de un sistema de simbolización propio, de algún
modo de representación para ser distinguible”.
De esta manera, la competencia significa el dominio de los objetos
en la matemática escolar, el cual se evidencia a través de la
resolución de problemas, ya que abordar un problema requiere
ubicar el contexto y establecer de qué se dispone7 para encontrar
una solución plausible. En este proceso de significación no se
desconoce el hecho de que generalmente las situaciones-problema
y sus posibles soluciones son socialmente compartidas, es decir,
están validadas en el contexto de la matemática escolar.
Como lo expresa Guzmán (1993), uno de los investigadores en educación
matemática que resalta la importancia de hacer matemáticas en
situaciones problema significativas, "se trata, en primer lugar, de ponernos
en contacto con la realidad matematizable que ha dado lugar a los
conceptos matemáticos que queremos explorar con nuestros alumnos.
Para ello deberíamos conocer a fondo el contexto histórico que enmarca
estos conceptos adecuadamente. ¿Por qué razones la comunidad
matemática se ocupó con ahínco en un cierto momento de ese tema y lo
hizo el verdadero centro de su exploración tal vez por un período de siglos?”.
“Normalmente, la historia nos proporciona una magnífica guía para
enmarcar los diferentes temas, los problemas de los que han surgido los
conceptos importantes de la materia, y nos da luces para entender la
razón que ha conducido al hombre para ocuparse de ellos con interés. Si
conocemos la evolución de las ideas de las que pretendemos ocuparnos,
sabremos perfectamente el lugar que ocupan en las distintas
consecuencias, las aplicaciones interesantes que de ellas han podido
surgir, la situación reciente de las teorías que de ellas han derivado [...]. En
otras ocasiones el acercamiento inicial se puede hacer a través del intento
directo de una modelización de la realidad en la que el profesor sabe que
han de aparecer las estructuras matemáticas en cuestión”. Se puede acudir
para ello a las otras ciencias que hacen uso de las matemáticas, a
7 Esto implica que el estudiante pone en juego su conceptualización en matemáticas, busca darle sentido al
enunciado dentro de sus referentes matemáticos (teorías, conceptos, pautas de acción, formas de proceder
que se han construido en las matemáticas escolares y que corresponden al saber disciplinar) y al darle
sentido, lo valida dentro de una estructura conceptual.
18

19. Matemáticas
circunstancias de la realidad cotidiana, o bien a la presentación de juegos
tratables matemáticamente, de los que en más de una ocasión a lo largo
de la historia han surgido ideas matemáticas de gran profundidad [...] "La
teoría, así concebida resulta llena de sentido, plenamente motivada y mucho
más fácilmente asimilable" [...].
Con esta conceptualización de competencia, y considerando el enfoque
comunicativo que subyace a la propuesta general del examen de estado,
en la evaluación de matemáticas se ve como fundamental indagar por la
competencia matemática del estudiante en relación con las acciones
interpretativas, argumentativas y propositivas que él demuestre manejar
al enfrentarse a situaciones-problema referidas a diferentes significados y
conceptualizaciones del conocimiento matemático, acordes con la
matemática escolar que se desea desarrollar en el país.
Siendo la competencia matemática el objeto de evaluación, es pertinente
abordar la pregunta: ¿Cuándo un estudiante es competente en
matemáticas? Podríamos afirmar que quien sea competente en
matemáticas podrá significar desde las matemáticas que ha logrado
construir. Y en este proceso de significación matemática, se hacen explícitas
ciertas acciones, encaminadas a dar cuenta de ese proceso de
significación. Dichas acciones, como ya se ha mencionado, de interpretar,
argumentar y proponer, permiten dar cuenta de la competencia, en el
uso que el estudiante hace de las matemáticas.
Estas competencias, entendidas desde el ámbito comunicativo, se pondrán
en evidencia a partir de situaciones problema donde se indaga por "los
usos e interpretaciones que de los objetos matemáticos el estudiante haga
en un momento dado. Usos que tienen sentido en tanto se correspondan
con una estructura, que también es la que el sujeto ha construido en ese
momento, a partir de situaciones ejemplarizantes con las que se ha
encontrado"8
Las acciones de interpretar, argumentar y proponer desde la matemática
se ponen en juego cuando los estudiantes se enfrentan a situaciones
problema, en las que deben "usar" su conceptualización en matemáticas,
buscando darle sentido al enunciado dentro de sus referentes
matemáticos9, y, al darle sentido, lo validan dentro de una estructura
8 Rodríguez, Jorge. La gramática básica de la matemática y competencias matemáticas.1997
9 Estos referentes se encuentran en las teorías, conceptos, métodos, estrategias, pautas de acción, formas
de proceder, que se han construido en las matemáticas escolares y que corresponden al saber disciplinar.
19

20. Matemáticas
conceptual preestablecida; es decir, el estudiante logra identificar
elementos del problema como parte de una estructura matemática.
Es necesario aclarar que la posibilidad de significar no es algo único o
universal, pues está influenciada por factores como: el contexto, la intención
por la cual se significa, los significados institucionales, las prácticas
significativas, etc. Así, la significación que el estudiante construya de un
problema es el producto de todo un continuo de consensos y acciones
de interpretar, argumentar y proponer.
Cabe anotar que las acciones de interpretar, argumentar o proponer
no necesariamente expresan jerarquías, prerrequisitos o niveles;
solamente se constituyen en momentos distintos y fundamentales
dentro de la significación que el estudiante genera al enfrentarse a
actividades que forman parte de su hacer matemático. Sin embargo,
pueden considerarse también como interdependientes; por ejemplo,
no es posible pensar que se pueda generar una interpretación sin
argumentar y proponer, o una argumentación sin previa
interpretación.
Así, reconociendo que “las competencias, al ser acciones
contextualizadas en las gramáticas de las disciplinas o en contextos
socioculturales específicos., no pueden ser organizadas
jerárquicamente. Por ser la competencia una acción que se define
en el juego de relaciones específicas de significación y no un proceso
abstracto del pensamiento, es posible que una acción de
interpretación en un contexto determinado, por ejemplo, sea mucho
más compleja y exigente que la producción de una argumentación
o proposición en otro contex to [...] Por el contrario, al ser las
competencias expresiones del mismo acto comunicativo, se
presentan de manera simultánea en la dinámica de la configuración
textual y la interacción social, a modo de círculo hermenéutico, en
que una acción no simplemente supone o subyace a la otra sino
que aparece cada vez de manera efectiva y directa” (Hernandez y
otros, 1996).
Estas acciones, enmarcadas en una competencia comunicativa, se
asumen como parte del proceso de significación en el que intervienen
tanto el conocimiento matemático como las situaciones-problemas,
las prácticas significativas, y en su interacción se intenta mirar lo
que se ha denominado comprensión. En matemáticas,
comprensión es entendida, por algunos autores, como la
experiencia mental de un sujeto por medio de la cual relaciona un
objeto (signo) con otro objeto (significación) (Sierpinska, 1996).
20

21. Matemáticas
A continuación se caracteriza cada una de estas acciones, según las
pretensiones de la prueba y el marco de referencia propuesto:
tInterpretar: Se refiere a las posibilidades del estudiante para
dar sentido, a partir de la matemática, a los diferentes problemas
que surgen de una situación. Interpretar consiste en identificar
lo matematizable que se infiere de la situación-problema, a partir
de lo que ha construido como conocimiento matemático, y poderlo
expresar como un modelo matemático.
tArgumentar: Se refiere a las razones o los porqués que el estudiante
pone de manifiesto ante un problema; la expresión de dichos porqués
busca poner en juego las razones o justificaciones expresadas
como parte de un razonamiento lógico, esto es, las relaciones de
necesidad y suficiencia, las conexiones o encadenamientos que
desde su discurso matemático son válidas. Estas razones, justificaciones
o porqués no deben corresponder a una argumentación desde
lo puramente cotidiano, sino que deben ser razones que permitan
justificar el planteamiento de una solución o una estrategia particular
desde las relaciones o conexiones validadas dentro de la matemática.
tProponer: Se refiere a la manifestación del estudiante en cuanto
a los hechos que le permiten generar hipótesis, establecer conjeturas,
encontrar deducciones posibles ante las situaciones propuestas.
La proposición no se infiere directamente de la situación-problema
dada, sino que es un consenso que el estudiante hace frente a la
puesta en escena de distintas estrategias, en esta acción se pretende
tener en cuenta las diferentes decisiones que el estudiante aborde
como pertinentes frente a la resolución de un problema en y desde lo
matemático, permitiendo así llegar a una solución.
3. EL INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN:
LA PRUEBA DE MATEMÁTICAS
omando en consideración los aspectos desarrollados
anteriormente, el contexto para la evaluación y el objeto de
evaluación, se plantea una propuesta para la construcción de la
prueba de matemáticas, en la que se proponen problemas a partir de
situaciones que permitan evidenciar el saber-hacer en matemáticas,
es decir, situaciones que permitan evidenciar la comprensión, práctica y
uso de conceptos, terminología, notación, destrezas, razonamientos y
estrategias, de aquello que desde la situación misma sea matematizable.
21

22. Matemáticas
Esto se hará evidente en las interpretaciones, argumentaciones o
proposiciones que se logren analizar en cada una de las preguntas
propuestas. De esta manera, se seleccionan situaciones que sean
significativas desde las estructuras que les subyacen de la matemática
escolar y desde los usos que de ésta se hagan.
Para lograr los propósitos de esta evaluación, consignados en los
propósitos generales del examen de estado, se reconocen dos
dimensiones evaluativas que constituyen un entramado a través del
cual se evidencian las prácticas significativas que darán cuenta de
la competencia matemática del estudiante. Estas dimensiones son
los ejes conceptuales conteo, medición, variación y aleatoriedad, y
las acciones de interpretar, argumentar y proponer.
3.1 ¿Cómo se construyen
los problemas de la prueba?
a inclusión de situaciones-problema en la prueba de matemáticas
permite vincular tanto el eje conceptual como la acción que
se quiere privilegiar en cada una de las preguntas. Así,
puede decirse que la prueba está configurada de la siguiente
manera: se proponen situaciones significativas en el contex to
matemático escolar, es decir, situaciones de las que puedan surgir
"naturalmente" diferentes sentidos o significados, sobre conceptos
matemáticos, teniendo como referentes los ejes conceptuales
propuestos. Cabe anotar que a partir de una situación-problema
se pueden sugerir diferentes problemas que indaguen por
conceptos enmarcados en los diferentes ejes conceptuales, a la
vez que enfatizan una de las acciones.
De acuerdo con la estructura general del examen de estado, se
construyen dos pruebas de matemáticas, una para núcleo común y
otra para el componente flexible en la línea de profundización. Estas
dos pruebas, aunque responden a diferentes propósitos del examen
de estado, son sustentadas, en el área de matemáticas, desde este
marco de referencia, es decir, tendrán en cuenta el contexto de la
matemática escolar y la competencia matemática desde las acciones
interpretativas, argumentativas y propositivas.
22

23. Matemáticas
3.2 Núcleo común: Prueba de matemáticas
n el núcleo común del examen de estado se pretenden evaluar
las acciones interpretativas, argumentativas y propositivas que
todo estudiante debe estar en capacidad de abordar, teniendo
como referente aquello que desde la matemática escolar se puede
definir para todos los estudiantes de la educación básica y media del
país. Es importante mencionar que en la prueba de núcleo común se
consideran elementos del hacer matemático escolar que requiere cualquier
estudiante para su vida, pensando así no solamente en los estudiantes
que consideran como posibilidad ingresar a la educación superior, y esto
último en concordancia con lo planteado en los lineamientos curriculares
para matemáticas como lo fundamental para desarrollar pensamiento
matemático. Así, “mediante el aprendizaje de las matemáticas los
alumnos no sólo desarrollan su capacidad de pensamiento y de
reflexión lógica sino que, al mismo tiempo, adquieren un conjunto de
elementos poderosísimos para explotar la realidad, representarla,
explicarla y predecirla; en suma para actuar en y para ella”.
(Lineamientos Curriculares Matemáticas, 1998).
Atendiendo a lo que se considera como lo básico en matemáticas,
desde la propuesta curricular y disciplinar, restringimos el campo
de cada uno de los ejes conceptuales en los que debe moverse un
estudiante que termina la educación básica y media. Estas
restricciones se refieren no solamente a lo que se incluye en los
ejes conceptuales, al tipo de acciones que se privilegian, a las
posibilidades de comprensión que el estudiante pueda establecer
con las situaciones que se le proponen, reflejadas en lo interpretativo,
argumentativo o propositivo; sino también a las posibilidades de
ser evaluados en una prueba de aplicación masiva.
Para esta prueba de núcleo común, se considera que una manera
de evaluar lo anteriormente expuesto es a través de preguntas de
selección múltiple con múltiple respuesta; estas preguntas están
estructuradas por un enunciado, que puede ser un gráfico, una tabla o un
texto; un problema expresado por medio de una interrogación o afirmación
y cuatro opciones de respuesta. Cada una de las opciones expone
maneras distintas de actuar en alguna de las acciones propuestas;
sin embargo, se consideran sólo dos opciones válidas, es decir,
dos opciones que, además de ser correctas desde lo matemático,
responden o dan solución al problema planteado. En esta propuesta
de opciones válidas múltiples, se rescata lo que de alguna manera
se ha denominado lo intuitivo como potenciador de pensamiento
matemático, así como la aceptación de diversos sentidos para algunos
23

24. Matemáticas
conceptos matemáticos, en camino a la construcción y consolidación
de estructuras matemáticas. Las otras dos opciones que aparecen
en cada pregunta se consideran opciones no válidas para el problema
planteado, aunque pueden ser correctas desde el conocimiento
matemático.
De acuerdo con lo anterior, la prueba de matemáticas para el núcleo común
estará conformada por un conjunto de preguntas (entre 35 y 45) que
pueden ser clasificadas en uno de los ejes y a la vez en una de las acciones
propuestas; con esto se pretende hacer una descripción lo más
aproximada sobre el saber-hacer matemático del estudiante.
De esta manera, se establece, para cada conjunto de preguntas exclusivas
de cada competencia, un ordenamiento o clasificación que se refiere a los
elementos fundamentales de la competencia en mención; es decir, se
precisan acciones que constituyen en esencia la competencia. Por ejemplo,
para interpretación, podrían sugerirse conjuntos de preguntas que aborden
la interpretación desde el establecimiento de regularidades, la interpretación
de gráficas, tablas o diferentes formas de representación. Este
ordenamiento o clasificación en cada conjunto de preguntas no se refiere
a un orden jerárquico ni a tipos de interpretación, sino a diferentes
manifestaciones de la competencia en situaciones que exigen ciertas
acciones particulares de la misma.
Lo anterior es fundamental al momento de analizar y describir los resultados
de la prueba para cada estudiante, con un interés por comunicar cómo
está en cada categoría, con la explicitación de lo que significa cada una de
ellas.
De acuerdo con la manera de abordar las situaciones-problema, explicitado
en cada opción de respuesta válida, se espera aportar al análisis,
determinando distintas aproximaciones en cuanto a interpretación,
argumentación o proposición. Es decir, estas opciones pueden referir
desde acercamientos nocionales hasta conceptuales del conocimiento
matemático involucrado; formas de proceder directas o indirectas;
relaciones o conexiones más o menos complejas; los cuales debe
establecer el estudiante en y para la comprensión del problema planteado.
En cuanto a los grupos de preguntas clasificados desde los ejes
conceptuales propuestos, los resultados darán cuenta de los desempeños
relativos de los estudiantes frente a cada uno de ellos. Para cada grupo
existirá una descripción, de acuerdo con la dificultad asociada a las
preguntas que lo conforman.
24

25. Matemáticas
3.3 Componente Flexible - Profundización:
Prueba de matemáticas
a profundización en la prueba de matemáticas se determina por
una mayor complejidad de las preguntas propuestas,
manteniendo continuidad con el núcleo común en cuanto a las
competencias evaluadas, mas no en el tipo de situaciones-problema
a las que se enfrenta el estudiante, las cuales se enmarcan en un
eje conceptual determinado previamente. Esto quiere decir que la
profundización involucrará problemas que le exijan al estudiante
mayores niveles en cuanto a la coherencia,la pertinencia y el manejo
de prácticas significativas de las matemáticas en las que se entrecruzan
aspectos fundamentales del conocimiento matemático.
Para dar cuenta de una mayor complejidad frente al conocimiento
matemático en las preguntas, se establecen dos aspectos:
tLa semántica, es decir, el acercamiento del estudiante a la significación
de conceptos y estructuras matemáticas cada vez más complejas
en donde se involucran los diferentes elementos asociados a ellas.
tLa sintaxis, es decir, el conocimiento y uso de reglas de formación y manejo
de diferentes lenguajes asociados a esas estructuras matemáticas propuestas,
de manera más rigurosa y precisa.
De esta manera, la profundización no se considera solamente como
el conjunto de preguntas que da cuenta de un mayor nivel de
competencia en relación con el núcleo común, sino que por medio
de las situaciones problema se puede "afinar" esa mirada a las
prácticas significativas que manifiesta el estudiante frente al
conocimiento matemático. Específicamente en la prueba de
profundización en matemáticas, aparecerán situaciones más
complejas en el sentido de las relaciones que impliquen y exijan al
estudiante, y del lenguaje, tanto común como matemático10, utilizado.
10 " [...] en la clase de matemáticas, ineludiblemente debe, utilizarse tanto el lenguaje común como el matemático.
El primero intentando decodificar al segundo, y éste, a su vez, por una de las funciones atribuidas a los
lenguajes ideales, intentando puntualizar significaciones matemáticas para algunas palabras presentes en el
lenguaje ordinario [...]"
25

26. Matemáticas
Para determinar el eje conceptual en el que se enmarca la prueba
de profundización en matemáticas se tiene en cuenta la importancia
de los conceptos involucrados para los primeros semestres de
universidad, dado que este componente sirve de apoyo a los
procesos de admisión para algunas carreras a la certificación para
validación de asignaturas de primeros semestres.
En este sentido, inicialmente se considera el eje de variación como un
campo en el que convergen distintos conceptos y formas de proceder
matemáticos. La variación “presupone superar la enseñanza de
contenidos matemáticos fragmentados y compartimentalizados, lo que
involucra conceptos y procedimientos interestructurados y vinculados
que permiten analizar, organizar y modelar matemáticamente
situaciones y problemas, tanto de la actividad práctica del hombre
como de las ciencias, y las propiamente matemáticas donde la
variación se encuentre como sustrato de ellas”11.
Esto no significa que la evaluación se centre exclusivamente en el
conocimiento matemático, como componente de la competencia
matemática, sino que además en la profundización se espera que el
estudiante pueda dar cuenta de su competencia interpretativa,
argumentativa y propositiva, demostrada en la manera de enfrentarse
a las situaciones que refieren estructuras matemáticas más complejas.
Frente a las especificidades de las preguntas en el componente flexible,
se construyen situaciones de las cuales surjan de diferentes
problemas, cada uno de los cuales tendrá cuatro opciones de
respuesta. Todas las opciones presentadas pueden ser correctas
desde la matemática y sólo una de ellas será válida para la situación.
4. EJEMPLOS DE PREGUNTAS
continuación aparecen algunos ejemplos de preguntas
construidas a par tir de los referentes presentados
anteriormente. Para cada prueba, tanto de núcleo común
como de profundización, se presenta una situación de la cual se
formulan tres preguntas. Luego se hace un análisis de lo que exige el
problema en términos de las competencias que se pretende evaluar,
además de mencionar la validez de las opciones en cada una de ellas.
11 Matemáticas. Lineamientos Curriculares, MEN. p 72, 1998
26

27. Matemáticas
4.1 Ejemplo de núcleo común
Conteste las preguntas 1, 2 y 3 teniendo en cuenta la siguiente
situación:
Juan le corresponde en una cooperativa vender
electrodomésticos y cobrar la cuota fija de afiliación mensual
que todo socio debe cancelar por el hecho de estar afiliado
a la cooperativa. Juan debe tener en cuenta que a cada socio,
cuando compra un electrodoméstico en la cooperativa, se le debe
dar un descuento del 20 % sobre el valor del electrodoméstico y se
le adiciona un 16% por concepto del impuesto al valor agregado
(IVA); además debe tener en cuenta que cada socio sólo puede
comprar un electrodoméstico mensualmente. Con el fin de volver
más funcional su labor de vender y cobrar, Juan decide relacionar
los datos anteriores en la siguiente función
1234567890123456789012
1234567890123456789012
1234567890123456789012
F ( X ) = C + X - 1 X + 4 X
1234567890123456789012
5 25
1234567890123456789012
1234567890123456789012
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
1. Interpretación - Variación
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
En la función de Juan, la "X" y la "C" representan, respectivamente:
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
A. número de artículos que vende Juan y costo de un artículo.
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
B. cualquier cantidad de dinero y costo de un artículo.
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
C. cualquier cantidad de dinero y cuota de afiliación.
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
D. costo de un artículo que vende Juan y cuota de afiliación.
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
123456789012345678901234567890121234
La anterior pregunta busca indagar por la interpretación que hace el
estudiante de la relación planteada, y específicamente de los elementos
que la configuran; esto implica el reconocimiento de la "X" como variable
y de la "C" como constante, relacionándolas con el valor de cualquier
electrodoméstico y la cuota fija de afiliación respectivamente. La opción D
supone mayor complejidad, pues en ella se tienen en cuenta los valores
que puede tomar "X" para que la expresión se pueda caracterizar como
una función que atiende a las condiciones particulares de la situación. La
opción C corresponde a la caracterización de la variable sin tener en cuenta
las condiciones que debe cumplir la expresión para ser función ni el sentido
que adquiere en la situación.
27
Claves: - C, + D

28. Matemáticas
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
Argumentación - Variación
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
2. De la función se puede deducir que un socio de la cooperativa que no
12345678901234567890123456789012123456
compra electrodomésticos no paga nada. Esta afirmación es:
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
A. verdadera, porque al asignar a la variable el valor de cero, el resultado
12345678901234567890123456789012123456
obtenido es cero.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
B. verdadera, porque en la fórmula hay un valor definido para el precio de
12345678901234567890123456789012123456
cada electrodoméstico, y en este caso el valor del electrodoméstico es cero.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
C. falsa, porque la cuota de afiliación en la función es independiente del
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
valor del electrodoméstico y, por lo tanto, del impuesto y del descuento.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
D. falsa, porque al asignar a la variable el valor cero, debido a que este socio
12345678901234567890123456789012123456
no compra ningún electrodoméstico, se tiene que se debe pagar como
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
mínimo la cuota de afiliación.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
Esta argumentación, específicamente, hace referencia a la manera
como la expresión se puede utilizar o no, y así dar cuenta del
significado que se le atribuye en la situación como función,
asumiendo que si no se paga por un electrodoméstico a la variable
se le asigna el valor cero, quedando la cuota de afiliación por pagar.
La opción C supone mayor complejidad al generalizar que, sea cual
sea el valor del electrodoméstico, la cuota de afiliación es
independiente de éste, por ser término independiente en la función.
La opción D responde a una argumentación donde se tiene en
cuenta la asignación de un valor específico.
28
Clave: D -, C +
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
Proposición - Variación
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
3. Suponiendo que llega un nuevo electrodoméstico a la cooperativa, la
12345678901234567890123456789012123456
expresión de la función de Juan debería:
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
A. modificarse, porque fue elaborada para algunos electrodomésticos.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
B. modificarse, porque el precio del nuevo electrodoméstico modificaría el
12345678901234567890123456789012123456
valor del descuento.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
C. permanecer igual, porque a la variable de la función se le puede asignar
12345678901234567890123456789012123456
cualquier valor real positivo.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
D. permanecer igual, porque lo que realmente modificaría la expresión es
12345678901234567890123456789012123456
algún cambio en el descuento, la cuota fija o el impuesto.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
Clave: - C, + D
12345678901234567890123456789012123456

29. Matemáticas
En la pregunta se propone la llegada de un nuevo producto y la incidencia
que este hecho pueda tener en la expresión de la función de Juan, a la vez
que se justifica por qué es viable cada una de las modificaciones. En esta
pregunta hay dos opciones válidas, D y C; la opción C se considera de
menor complejidad, ya que el estudiante puede contrastar si la función no
se altera con un valor real positivo distinto, lo que llevará a concluir que el
valor del nuevo electrodoméstico no incide en la estructura de la expresión.
La opción D se considera de mayor complejidad, pues, además de tener
en cuenta lo anterior, plantea cuándo la expresión podría modificarse.
4.2 Ejemplo de profundización
Conteste las preguntas 1, 2 y 3, teniendo en cuenta la siguiente situación:
Una persona anota, en la siguiente tabla, el tiempo empleado por un
automóvil para recorrer cierta distancia.
123456789012345678901234567890121
123456789012345678901234567890121
Tiempo
(segundos) 1 3 5 7 9
123456789012345678901234567890121
123456789012345678901234567890121
123456789012345678901234567890121
Distancia 2,2 10,2 26,2 50,2 82,2
123456789012345678901234567890121
(metros)
123456789012345678901234567890121
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
1. Interpretativa - Variación
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
Si esta regularidad se mantiene, de la tabla es correcto concluir
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
que
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
A. cada dos segundos la distancia es directamente proporcional al
12345678901234567890123456789012123456
tiempo.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
B. hay una relación directamente proporcional entre el tiempo y el
12345678901234567890123456789012123456
espacio recorrido.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
C. sólo cada dos segundos la distancia recorrida cambia.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
D. hay una relación creciente entre el tiempo y la distancia recorrida.
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
12345678901234567890123456789012123456
29
Clave D
En la anterior pregunta se pretende indagar por la interpretación que hace
el estudiante del patrón de cambio que se infiere de la tabla, reconociendo
que le permitirá generalizar e inferir las relaciones entre las cantidades de
tiempo y distancia. Así, la opción D es la conclusión generalizada que
involucra la relación entre las cantidades de todos los pares de datos
que aparecen en la tabla para el tiempo y la distancia.

30. Matemáticas
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
2. Argumentativa - Variación
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
Manteniendo la regularidad, se deduce que el automóvil ha recorrido,
12345678901234567890123456789012123
entre los 9 y los 11 segundos, 40 metros, porque:
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
A. la distancia por cada segundo aumenta aproximadamente 8
12345678901234567890123456789012123
metros.
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
B. la distancia recorrida depende del tiempo empleado, más 1,2
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
metros.
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
C. la distancia recorrida entre los 3 y 7 segundos es de 40 metros.
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
D. la distancia recorrida a los 11 segundos es de 122,2 metros.
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
La anterior pregunta muestra posibles justificaciones que se pueden
dar para afirmar que la distancia recorrida es de 40 metros entre los
9 y 11 segundos; así la pregunta indaga por la justificación que
valida este hecho, justificación que puede reconocer el estudiante,
sólo si deduce el cálculo de la distancia a los 11 segundos, habiendo
por supuesto encontrado la regularidad entre los datos.
En la anterior pregunta se indaga por una interpretación de la
situación donde se debe tener en cuenta la regla de comportamiento
de los datos dados; esta interpretación no se infiere directamente de los
datos sino de la proyección que se haga de los mismos. Al tener en
cuenta 200 metros (y no 50,2 ó 82,2 metros), se obliga al estudiante
a proyectar la situación y de esta manera a realizar una
generalización.
30
Clave: D
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
3. Propositiva - Variación
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
Teniendo en cuenta que se mantiene la regularidad, para recorrer
12345678901234567890123456789012123
una distancia de 200 metros el tiempo empleado sería:
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
A. más de 18 segundos.
12345678901234567890123456789012123
B. menos de 15 segundos.
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C. aproximadamente 16 segundos.
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
D. aproximadamente 17 segundos.
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123
Clave: B
12345678901234567890123456789012123
12345678901234567890123456789012123

31. Matemáticas
A partir del análisis de los ejemplos presentados, se evidencia una
diferencia fundamental entre las preguntas de núcleo común y de
profundización, en cuanto al nivel de complejidad que exige su
resolución. Las preguntas de la primera situación, como parte de la
prueba de núcleo común, pretenden indagar específicamente por
las interpretaciones de la función y los elementos que la configuran
(constante, variable) y las posibilidades de uso de la expresión que
define la función para la situación planteada. Cabe mencionar que
el concepto de función, en la matemática escolar, es uno de los
más representativos al indagar por el desarrollo del pensamiento
variacional. Las preguntas de la segunda situación, como parte de
la prueba de profundización, exigen el reconocimiento y manejo
de más relaciones en contextos poco comunes; en este caso se
requiere reconocer una regla de generalización poco acostumbrada,
no rutinaria, donde el calculo de los términos no es inmediato pues
es necesario identificar la sucesión de series definida por:
1 2
{ 2.2 , 2.2 + 8S2n - 1, 2.2 + 8S 2n - 1,.
n=1 n=1
Los problemas que se derivan de esta situación corresponden al
eje de variación y permiten evaluar en el estudiante una
manifestación más estructurada del pensamiento variacional dentro
del contexto de la matemática escolar.
31

32. Matemáticas
5. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
En el desarrollo y conceptualización de esta propuesta, se tomaron
en consideración algunas ideas de diferentes autores que han
trabajado en educación matemática, cuyos aportes hemos encontrado
en los siguientes documentos:
Alarcón Castro, B., Montañez Puentes, J. y Pedraza Daza, P., Las pruebas
de matemáticas en el examen de estado. Quince años de historia.
Documento de trabajo, SNP-ICFES, 1995.
Castro Martínez, E., Rico Romero, L.; y Romero Albaladejo, I. “Sistemas
de Representación y aprendizaje de estructuras numéricas”, en Enseñanza
de las Ciencias, 15(3), 361-371, 1997.
Chamorro, Carmen, El aprendizaje significativo en el área de las
matemáticas, Editorial Alhambra Longman.
De Guzmán, Miguel. Tendencias Innovadoras en educación matemática.
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Giménez Rodríguez, Joaquín, Evaluación en matemáticas, una integración
de perspectivas, Editorial Síntesis S.A, España, 1997.
Godino Juan, y Batanero Carmen, Significado y comprensión de los
conceptos matemáticos, Edición HTML,
http: // goteron.urg.es/~ jgodino/semioesp/pme20es.htm, 1996.
Grupo Pretexto: Rojas Garzón, P. ; Rodríguez Bejarano, J.; Romero
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Francisco José de Caldas, 1997.
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____. Indicadores de logros curriculares, Resolución No 2343, Santafé de
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Moreno Armella, Luis, y Waldegg, Guillermina, “Constructivismo y
educación matemática”, en Educación matemática, vol 4, No. 2, 1992.
32

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matemática”, en revista EMA, Investigación e innovación en educación
matemática, vol. 4, No. 2, marzo de 1999.
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Rocha Gaona, Martha C., Exámenes de Estado para ingreso a la Educación
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Educativa, SNP-ICFES, 1998.
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Verano, Leonardo; Rocha de la Torre, Alfredo, y Hernández Carlos Augusto,
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33