Demostración-aspecto lógico

1. TALLER DE SOCIALIZACIÓN
Línea de razonamiento
y justificación
Sesión 15. Demostración (1)
Aspecto lógico
Luis Miguel MARAVÍ ZAVALETA
I. E. Nº 80915 “Miguel Grau Seminario”

2. Conceptos lógicos previos – 1
PROPOSICIONES
• Toda oración a la cual solo es posible
asignarle uno y solo uno de los
siguientes valores: verdadero o falso
(Carranza & Molina, 2006).
• Dicha oración se diferencia claramente de
órdenes, preguntas y exclamaciones (Copi
& Cohen, 2007).

3. Conceptos lógicos previos – 2
DEFINICIONES DESCRIPTIVAS
• Las definiciones son proposiciones que “explican
el término a ser definido por medio de otros
términos ya definidos; estos últimos pueden ser
definidos por medio, todavía, de otros más
simples, y así sucesivamente” (Curtis, Daus &
Walker, 1961, pp. 45 – 46).
• Sin embargo, este proceso no es eterno. Hay
términos que no se definen (primitivos). Por
ejemplo:
EN GEOMETRÍA: Punto, recta, plano, espacio.
EN ARITMÉTICA: Cero, uno, sucesor (Carranza &
Molina, 2006)

4. Conceptos lógicos previos – 3
POSTULADOS o AXIOMAS
• Son proposiciones acerca de los términos
que no se encuentran definidos. “Aceptamos
que aquellos enunciados son verdaderos sin
demostración, (… de ellos provienen) todas
las otras conclusiones (que) son
lógicamente demostradas” (Curtis et al.,
1961, p. 47).

5. Conceptos lógicos previos – 4
DEFINICIONES EXPLÍCITAS
• La definición explícita “(…) es una
caracterización del término mediante sus
atributos, propiedades o relaciones que lo
distinguen de todas las otras palabras que tienen
diferentes significados” (Curtis et al., 1961, p.
50).
• “Para ser usada en un discurso lógico, deben
emplear solo aquellos términos que hayan sido
previa y explícitamente definidos o aceptados
como indefinibles pero limitados por postulados
afirmados explícitamente” (Ibíd., p. cit.)

6. Conceptos lógicos previos – 5
TEOREMAS
“Un teorema es un enunciado que puede ser
demostrado como verdadero de acuerdo con lo
estipulado por las leyes de la deducción lógica
(…Un teorema) puede ser escrito como una
proposición simple o como un condicional”
(Curtis et al., 1961, p. 53).

7. Conceptos lógicos previos – 6
Ejemplos (Curtis et al., 1961; Carranza & Molina, 2006)
PROPOSICIONES
Definiciones
descriptivas
Postulados o
axiomas
Definiciones
explícitas
Teoremas
G
E
O
M
E
T
RÍ
A
Una curva pasa
a través de dos
puntos
Dados dos
puntos distintos,
existe una y solo
una recta que los
contiene
Un segmento de recta
𝐴𝐵 es el conjunto de
todos los puntos
“entre” dos puntos
distintos A y B
Si 𝑚 y 𝑛 son dos
rectas diferentes,
entonces ellas
tienen a lo más un
punto en común
A
RI
T
M
É
TI
C
A
- Conmutatividad
de la adición de
números
naturales
Sean 𝑎 y 𝑏 dos
números naturales.
Se dice que
𝑎 𝑒𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑏, y
se denota 𝑎 < 𝑏 si, y
solo si, existe un
número natural 𝑐 > 0
tal que 𝑎 + 𝑐 = 𝑏
Dados los números
naturales 𝑎, 𝑏 y 𝑐,
se cumple la
siguiente
propiedad:
Si 𝑎 = 𝑏 ⇒ 𝑎 + 𝑐 =
𝑏 + 𝑐 ∧ 𝑐 + 𝑎 = 𝑐 +
𝑏

8. En síntesis:
Axiomas o
postulados
Términos
primitivos
Definiciones
Teoremas

9. LA DEMOSTRACIÓN
• La demostración es el método mediante el
cual se investiga la conexión fundamentada
de un enunciado perteneciente a una ciencia
con otros enunciados verdaderos
pertenecientes a ella.
Blas Pascal: “nunca se afirme principio alguno
que no haya sido demostrado por verdades ya
conocidas” (Gorski & Tavants, 1960, p. 261).

10. Estructura de la demostración (Gorski &
Tavants, 1960)
Tesis
• Es la proposición cuya veracidad o falsedad se
investiga.
Fundamentos
• “Principios en que se apoya la demostración y de los
que se sigue con carácter necesario la veracidad de
la tesis” (p. 264). Dichos principios son verdaderos.
Procedimiento
• “Vínculo de los fundamentos y de las consecuencias
que de ellos se siguen, que llevan al reconocimiento
necesario de la veracidad de la tesis” (p. 273).

11. Fundamentos de la demostración
(Gorski & Tavants, 1960)
Principios relativos a hechos ciertos
Definiciones
Postulados o
axiomas
Principios
anteriormente
demostrados
o teoremas

12. Clasificación de la demostración
(Gorski & Tavants, 1960)
Según sus
fines
• Demostración
propiamente dicha
• Refutación
Según sus
procedimientos
• Directa
• Indirecta
Según el papel
de los datos de
la experiencia
• Matemáticas
• Empíricas

13. Métodos de la demostración – 1
Para la refutación – Contraejemplo
“Una proposición general es verdadera, si se
mantiene como tal en todos los casos
específicos para los cuales puede ser aplicado.
Luego, una proposición general es falsa si
existe un caso específico en el cual el
enunciado es falso. Este caso específico es
denominado contraejemplo del enunciado”
(Curtis et al., 1961, p. 60).
Ejemplo:
Refutar: “Si 𝑛 es un número natural, entonces
𝑛2
+ 𝑛 + 11 es un número primo”.

14. Métodos de la demostración – 2
Demostración directa
“De los fundamentos dados (a, b, …) se sigue
necesariamente las proposiciones k, l; de estas
últimas se sigue necesariamente la tesis que se
demuestra, p” (Gorski & Tavants, 1960, p. 277).
Ejemplo (Chartrand, Polimeni, & Zhang, 2013, p.
81):
Sean las siguientes definiciones:
(a)Un entero 𝑛 es par si 𝑛 = 2𝑘 para cualquier
entero 𝑘.
(b)Un entero 𝑛 es impar si 𝑛 = 2𝑘 + 1 para
cualquier entero 𝑘.
Demostrar que si 𝑛 es un entero impar, entonces
3𝑛 + 7 es un entero par.

15. Métodos de la demostración – 3
Demostración indirecta – contrapositiva
FORMA LÓGICA EJEMPLO DE CONTRAPOSITIVA
Sean las
proposiciones 𝑝 y 𝑞 .
La contrapositiva del
enunciado 𝑝 ⇒ 𝑞 es el
enunciado ¬𝑞 ⇒ ¬𝑝
Sean
𝑝: 𝑥 = 2 , 𝑞: 𝑥2
= 4.
𝑝 ⇒ 𝑞: 𝑆𝑖 𝑥 = 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥2 = 4.
La contrapositiva del enunciado
anterior es
¬𝑞 ⇒ ¬𝑝: 𝑆𝑖 𝑥2
≠ 4, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 ≠ 2
Fuente: Chartrand, Polimeni, & Zhang (2013, pp. 84 – 85)
Sea 𝑥 un número entero. Probar mediante demostración
indirecta contrapositiva que
Si 5𝑥 − 7 es par, entonces 𝑥 es impar.
(Chartrand, Polimeni, & Zhang, 2013, p. 85)

16. Métodos de la demostración – 4
Demostración de una biimplicación
FORMA LÓGICA EJEMPLO APLICATIVO
En el caso de una
biimplicación, es decir,
un enunciado del tipo
𝑝 ⇔ 𝑞 , es necesario
considerar dos casos a
demostrar:
(1) 𝑝 ⇒ 𝑞
(2) 𝑞 ⇒ 𝑝
Sea el enunciado “Sea 𝑥 un número
entero. Luego, 11𝑥 − 7 es par si y
solo si 𝑥 es impar.”
1 𝑝 ⇒ 𝑞: Si 11𝑥 − 7 es par,
entonces 𝑥 es impar.
2 𝑞 ⇒ 𝑝: Si 𝑥 es impar, entonces
11𝑥 − 7 es par.
Probar el enunciado dado.
Para ello, se deben considerar los
dos casos anteriores.
(Chartrand, Polimeni, & Zhang, 2013,
p. 86)

17. Métodos de la demostración – 5
Demostración indirecta por reducción al absurdo
FORMA LÓGICA EJEMPLO APLICATIVO
Sean las proposiciones 𝑝 y
𝑞, así como el enunciado
𝑝 ⇒ 𝑞 . Se asume, por el
contrario, que dicho
enunciado es falso. A partir
de ello, se deduce un
enunciado ¬𝑟 que
contradice una definición,
un axioma o un teorema 𝑟.
Dado que 𝑟 ∧ ¬𝑟 es falso,
se concluye que 𝑝 ⇒ 𝑞 es
verdadero.
Sea el enunciado “Ningún número impar
puede ser expresado como la suma de
tres números pares”
𝑝 ⇒ 𝑞: Si 𝑛 es un número impar,
entonces no puede ser expresado
mediante la suma de tres números
pares.
Probar el enunciado dado.
Suponga que dicho enunciado es falso.
Luego, es verdad que
Existe un entero impar que se puede
expresar como la suma de tres números
pares. Después…
(Chartrand, Polimeni, & Zhang, 2013, p.
125)

18. Referencias
• Carranza, C. & Molina, A. (2006). Tópicos de aritmética
y álgebra. Lima: Autores.
• Chartrand, G., Polimeni, A., & Zhang, P. (2013).
Mathematical proofs: a transition to advanced
mathematics. New Jersey, NJ: Pearson Education.
• Copi, I. & Cohen, K. (2007). Introducción a la Lógica.
México D. F. LIMUSA.
• Curtis, C., Daus, P. & Walker, R. (1961). Studies in
Mathematics: Euclidean Geometry based on ruler and
protractor axioms. Yale, CT: Yale University.
• Gorski, D. & Tavants, P. (1960). Lógica. México D. F.:
Grijalbo.