Problemas resueltos para sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Ejercicios que implican la utilización de algunos procedimientos para la solución a sistemas de ecuaciones lineales.

1. Julio César Tovar Cardozo
Ingeniero en Electrónica y Telecomunicaciones
Especialista en Alta Gerencia
Especialista en Gestión de la Informática Educativa
Magister en Tecnología de la Informática Educativa
julio.tovar@hotmail.com
julio.tovarc@gmail.com
ECUACIONES LINEALES CON TRES
INCÓGNITAS
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

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Ejercicio 1
En un instituto preuniversitario fue seleccionado un grupo de 50 estudiantes para presentar trabajos en el evento
de Sociedades Científicas Estudiantiles a nivel municipal. Se verificó que las asignaturas escogidas por los
estudiantes para realizar sus trabajos fueron Matemática, Química y Biología. La razón entre las cantidades de
estudiantes que realizaron trabajos en las asignaturas de Química y Biología, es dos tercios. Se conoce además,
que el duplo de la cantidad de estudiantes que realizaron trabajos en Química disminuido en 5, representa el 60%
de la cantidad de estudiantes que realizaron trabajos en Matemática.
Determina cuántos estudiantes de los seleccionados realizaron trabajos en la asignatura Matemática.
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El problema trata sobre la cantidad de estudiantes que escogieron sus trabajos en las asignaturas Matemática,
Química y Biología .
La declaración de variables quedaría de esta manera:
Cantidad de estudiantes que realizaron sus trabajos en Matemática: M
Cantidad de estudiantes que realizaron sus trabajos en Química: Q
Cantidad de estudiantes que realizaron sus trabajos en Biología: B

3. La información que te permite escribir la ecuación 1 es: fue seleccionado un grupo de 50 estudiantes.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación:
𝑴 + 𝑸 + 𝑩 = 𝟓𝟎
La información que te permite escribir la ecuación 2 es: La razón entre las cantidades de estudiantes que realizaron
trabajos en las asignaturas de Química y Biología, es dos tercios.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación: .
𝑸
𝑩
=
𝟐
𝟑
La información que te permite escribir la ecuación 3 es: el duplo de la cantidad de estudiantes que realizaron trabajos
en Química disminuido en 5, representa el 60% de la cantidad de estudiantes que realizaron trabajos en Matemática.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación: .
𝟐𝑸 − 𝟓 = 𝟔𝟎% 𝑴
Al expresar como fracción el 60%, la ecuación quedaría .
𝟐𝑸 − 𝟓 =
𝟑
𝟓
𝑴
Planteas el sistema que da solución al problema:
𝑴 + 𝑩 + 𝑸 = 𝟓𝟎
𝑸
𝑩
=
𝟐
𝟑
𝟐𝑸 − 𝟓 =
𝟑
𝟓
𝑴

4. 𝑴 + 𝑩 + 𝑸 = 𝟓𝟎 (1)
𝑸
𝑩
=
𝟐
𝟑
(2)
𝟐𝑸 − 𝟓 =
𝟑
𝟓
𝑴 (3)
De la segunda ecuación se despeja la variable B:
𝑩 =
𝟑
𝟐
𝑸 (4)
De la tercera ecuación se despeja la variable M:
𝑴 =
𝟓
𝟑
(𝟐𝑸 − 𝟓) (5)
Reemplazamos las ecuaciones (4) y (5) en la ecuación (1)
𝑀 + 𝐵 + 𝑄 = 50
5
3
2𝑄 − 5 +
3
2
𝑄 + 𝑄 =
10
3
𝑄 −
25
3
+
3
2
𝑄 + 𝑄 =
20
6
𝑄 +
9
6
𝑄 +
6
6
𝑄 −
50
6
=
35
6
𝑄 −
50
6
=
1
6
35𝑄 − 50 = 50
35𝑄 − 50 = 50 ∗ 6 = 300
35𝑄 = 300 + 50 = 350
𝑄 =
350
35
= 10 ; 𝐵 =
3
2
𝑄 =
3
2
* 10 = 15 ; 𝑀 =
5
3
2𝑄 − 5 =
5
3
2 ∗ 10 − 5 =
5
3
20 − 5 =
5
3
∗ 15 = 25
Cantidad de estudiantes que realizaron sus trabajos en Matemática: 25
Cantidad de estudiantes que realizaron sus trabajos en Química: 10
Cantidad de estudiantes que realizaron sus trabajos en Biología: 15

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Ejercicio 2
Una Dirección Municipal de Educación quiso estimular a estudiantes destacados de tres institutos
preuniversitarios A, B y C, con la entrega de 340 ejemplares del libro “Poesía Colombiana”. Se conoce que el
doble de la cantidad de ejemplares entregados al preuniversitario C, excede en 50 al número de los que se
entregaron al B; mientras que el 45% de la cantidad de ejemplares correspondientes al preuniversitario C, es
igual a la mitad de la cantidad de ejemplares entregadas al A.
a) ¿Cuántos ejemplares del libro se entregaron a cada uno de los preuniversitarios?
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El problema trata sobre la cantidad de libros entregados a tres preuniversitarios A, B y C.
La declaración de variables quedaría de esta manera:
• Cantidad de ejemplares entregados al preuniversitario A: A
• Cantidad de ejemplares entregados al preuniversitario B: B
• Cantidad de ejemplares entregados al preuniversitario C: C

6. La información que te permite escribir la ecuación 1 es: La entrega de 340 ejemplares del libro Poesía colombiana.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación:
𝑨 + 𝑩 + 𝑪 = 𝟑𝟒𝟎
La información que te permite escribir la ecuación 2 es: El Doble de la cantidad de los ejemplares entregados al
Preuniversitario C, excede en 50 al número de los que se entregaron al B.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación: .
𝟐𝑪 − 𝟓𝟎 = 𝑩
La información que te permite escribir la ecuación 3 es: el 45% de la cantidad de ejemplares correspondientes al
Preuniversitario C, es igual a la mita de la cantidad de ejemplares entregados al A.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación:
𝟒𝟓% 𝑪 = 𝟎, 𝟒𝟓 𝑪 =
𝟗
𝟐𝟎
𝑪 =
𝑨
𝟐
Planteas el sistema que da solución al problema:
A + 𝑩 + 𝑪 = 𝟑𝟒𝟎
𝟐𝑪 − 𝟓𝟎 = 𝑩
𝟗
𝟐𝟎
𝑪 =
𝑨
𝟐

7. A + 𝑩 + 𝑪 = 𝟑𝟒𝟎 (1)
𝟐𝑪 − 𝟓𝟎 = 𝑩 (2)
𝟗
𝟐𝟎
𝑪 =
𝑨
𝟐
(3)
De la tercera ecuación se despeja la variable A:
A = 𝟐
𝟗
𝟐𝟎
𝑪 =
𝟏𝟖
𝟐𝟎
𝑪 (4)
Reemplazamos las ecuaciones (2) y (4) en la ecuación (1)
𝐴 + 𝐵 + 𝐶 = 340
18
20
𝐶 + 2𝐶 − 50 + 𝐶 =
18
20
𝐶 + 3𝐶 − 50 =
78
20
𝐶 − 50 = 340
78
20
𝐶 = 340 + 50 = 390
𝐶 = 390 ∗
20
78
= 100
C = 100 ; 𝐴 =
18
20
𝐶 =
18
20
∗ 100 = 90 ; 𝐵 = 2𝐶 − 50 = 2 ∗ 100 − 50 = 150
Cantidad de ejemplares entregados al preuniversitario A: 90
Cantidad de ejemplares entregados al preuniversitario B: 150
Cantidad de ejemplares entregados al preuniversitario C: 100

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Ejercicio 3
En una tienda se prepararon cestas de tres
tipos con diferentes productos para vender con
el motivo del Día de las Madres. El precio de las
cestas del tipo 1, 2 y 3 es de $102.50; $115.00 y
$147.50, respectivamente. La composición de
las cestas es la que se muestra en la tabla:
a) ¿Cuál es el precio de cada producto?
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El problema trata sobre los precios de los productos que tienen tres tipos de cestas que se
venderán para el Día de las Madres.
La declaración de variables quedaría de la forma siguiente:
• Precio de la tableta de chocolate: x
• Precio del paquete de galleta: y
• Precio de la botella de vino: z
En la tabla aparece la composición de cada cesta y en el texto el precio de cada una de ellas.
Luego, cada ecuación se establecerá a partir de la composición y el precio de las cestas.

9. La información que te permite escribir la ecuación 1 es: El precio de la cesta del tipo 1 es de $102.50 y está
formada según la tabla por 1 tableta de chocolate, 2 paquetes de galleta y 1 botella de vino.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación:
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎
La información que te permite escribir la ecuación 2 es: El precio de la cesta del tipo 2 es de $115.00 y está
formada por 2 tabletas de chocolate, 2 paquetes de galleta y 1 botella de vino.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación: .
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟏𝟓, 𝟎𝟎
La información que te permite escribir la ecuación 3 es: El precio de la cesta del tipo 3 es de $147.50 y está
formada por 1 tableta de chocolate, 1 paquete de galleta y 2 botellas de vino.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación:
𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟒𝟕, 𝟓𝟎
Planteas el sistema que da solución al problema:
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟏𝟓, 𝟎𝟎
𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟒𝟕, 𝟓𝟎
El problema puede ser solucionado por el método de eliminación.
Se reduce el sistema hasta llegar a un sistema escalonado.

10. 𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟏𝟓, 𝟎𝟎
𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟒𝟕, 𝟓𝟎
Partimos del sistema original.
A partir de la realización de operaciones elementales llegamos a un sistema
escalonado de la forma (Operación elemental Ex = nE1 + mE2 (n t m enteros) )
Este sistema escalonado tendrá la misma solución que la del sistema original.
Multiplicamos la primera ecuación por (-2) y la sumamos a la segunda ecuación.
Se realiza la operación elemental (-)2E1 + E2  E2
−𝟐𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟐 𝒛 = −𝟐𝟎𝟓, 𝟎𝟎
𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟏𝟓, 𝟎𝟎
− 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟗𝟎, 𝟎𝟎
Multiplicamos la primera ecuación por (-1) y la sumamos a la tercera ecuación.
Se realiza la operación elemental (-1)E1 + E3  E3
−𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎
𝒙 + 𝒚 + 𝟐𝒛 = 𝟏𝟒𝟕, 𝟓𝟎
− 𝒚 + 𝒛 = 𝟒𝟓, 𝟎𝟎
Nos queda el siguiente sistema equivalente, el cual tiene la misma solución que el
sistema original.
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎
− 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟗𝟎, 𝟎𝟎
− 𝒚 + 𝒛 = 𝟒𝟓, 𝟎𝟎
Tomamos las dos últimas ecuaciones del sistema anterior y las sumamos para
obtener una ecuación con una incógnita.
− 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟗𝟎, 𝟎𝟎
− 𝒚 + 𝒛 = 𝟒𝟓, 𝟎𝟎
− 𝟑𝒚 = −𝟒𝟓, 𝟎𝟎
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎
− 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟗𝟎, 𝟎𝟎
− 𝟑𝒚 = −𝟒𝟓, 𝟎𝟎
Se llega a un sistema escalonado

11. El sistema equivalente obtenido es:
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎
𝒙 + 𝟐 𝟏𝟓 + 𝟔𝟎 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎
𝒙 + 𝟑𝟎 + 𝟔𝟎 = 𝒙 + 𝟗𝟎 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎
𝒙 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎 − 𝟗𝟎 = 𝟏𝟐, 𝟓𝟎
Se reemplaza el valor de “y” y “z” en la primera ecuación y se obtiene el valor de
xTomamos las dos últimas ecuaciones del sistema anterior y las sumamos para
obtener una ecuación con una incógnita.
− 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟗𝟎, 𝟎𝟎
− 𝒚 + 𝒛 = 𝟒𝟓, 𝟎𝟎
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎𝟐, 𝟓𝟎
− 𝟐𝒚 − 𝒛 = −𝟗𝟎, 𝟎𝟎
− 𝟑𝒚 = −𝟒𝟓, 𝟎𝟎
La solución para “y” es: 𝒚 = 𝟏𝟓, 𝟎𝟎
Se reemplaza “y” en alguna de las dos ecuaciones y se obtiene el valor de “z”:
− 𝒚 + 𝒛 = 𝟒𝟓, 𝟎𝟎
−15 + 𝑧 = 45
𝑧 = 45 + 15 = 60
• Precio de la tableta de chocolate: 12,50
• Precio del paquete de galleta: 15,00
• Precio de la botella de vino: 60,00

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Ejercicio 4
Tres trabajadores sociales María, Luis y José visitaron cierto número de viviendas durante dos jornadas
de trabajo con la finalidad de actualizar el cobro de los efectos electrodomésticos entregados como parte
de los proyectos de la Alcaldía. Del trabajo realizado en la primera jornada se sabe que fueron visitadas
por los tres un total de 100 viviendas, y que María visitó 5 casas menos que las que visitó Luis, sin
embargo en la segunda jornada con respecto a la primera, la cantidad de viviendas visitadas por Luis
disminuyó en un 10%, mientras que José aumentó en 5 la cantidad de viviendas visitadas. Si en esta
última jornada se visitaron por ellos dos el 77% del total de viviendas visitadas durante la primera jornada.
¿Cuántas viviendas visitó Luis y cuántas José en esta última jornada?
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El problema trata sobre la cantidad de viviendas visitadas por tres trabajadores sociales durante
dos jornadas.
La declaración de variables quedaría de la forma siguiente:
• Cantidad de viviendas visitadas por María en la primera jornada: x
• Cantidad de viviendas visitadas por Luis en la primera jornada: y
• Cantidad de viviendas visitadas por José en la primera jornada: z

13. La información que te permite escribir la ecuación 1 es: Del trabajo realizado en la primera jornada se sabe que
fueron visitadas por los tres un total de 100 viviendas.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación:
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎𝟎
La información que te permite escribir la ecuación 2 es: María visitó 5 casas menos que las que visitó Luis.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación: .
𝒙 + 𝟓 = 𝒚
La información que te permite escribir la ecuación 3 es: La información que te permite escribir la ecuación 3 es: Sin
embargo en la segunda jornada con respecto a la primera, la cantidad de viviendas visitadas por Luis disminuyó en
un 10%, mientras que José aumentó en 5 la cantidad de viviendas visitadas. Si en esta última jornada se visitaron
por ellos dos el 77% del total de viviendas visitadas durante la primera jornada.
Si en la segunda jornada Luis visitó un 10% menos de viviendas respecto a la primera jornada, entonces en esa
jornada visitó y – 10%y o directamente un 90%y .
Si en la segunda jornada José aumentó en 5 las casas visitadas respecto a la primera jornada, entonces en esa
jornada visitó z+5 casas.
Para escribir la ecuación utilizas la relación entre estas dos informaciones, o sea, que se visitaron por ellos dos el
77% del total de viviendas visitadas durante la primera jornada.
Al traducir esta información al lenguaje algebraico se obtiene la ecuación: 90%y + z+5 = 77% * 100
Al expresar el 90% como fracción y calcular el 77% de 100 se obtiene
𝟗
𝟏𝟎
𝒚 + 𝒛 + 𝟓 = 𝟕𝟕

14. Planteas el sistema que da solución al problema:
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟎𝟎
𝒙 + 𝟓 = 𝒚
𝟗
𝟏𝟎
𝒚 + 𝒛 + 𝟓 = 𝟕𝟕
El problema se resuelve hallando un sistema equivalente utilizando las operaciones elementales.
La solución al sistema equivalente es la misma solución al sistema original de ecuaciones.