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1. Sistema de ecuaciones
Demetrio Ccesa Rayme

2. Sistema de Ecuaciones
Federico y Alicia están jugando con monedas.
En un determinado momento, Federico le dice a Alicia:
“Si me das una de tus monedas, entonces tendré el
doble de monedas que tú”. Alicia se queda muy
pensativa, y le contesta: “Si tú me das una moneda,
entonces tendremos el mismo número de monedas”.
¿Cuántas tiene cada uno?

3. Sistema de Ecuaciones con dos incógnitas
Álex y Javi quieren comprar un regalo a Lola y
tienen 15 pesos entre los dos
•Una ecuación de primer grado con dos incógnitas x e y se
puede escribir así:
ax + by = c
a, b y c son números
a y b se llaman coeficientes de las incógnitas
c se llama término independiente

4. Sistema de Ecuaciones
Además, Álex tiene un peso más que Javi.
•Un Sistema de dos Ecuaciones de primer grado con dos
incógnitas son dos Ecuaciones en las que las incógnitas
representan los mismos valores. Los Sistemas de
Ecuaciones se escriben así:
ax + by = c
dx + ey = f

5. Sistema de Ecuaciones
•Una Solución de un Sistema es un par de números que verifica las
dos soluciones simultáneamente.
•Resolver un sistema de ecuaciones es hallar las soluciones del
sistema.
•Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
•Si un Sistema tiene solución, se dice que es compatible.
•Si un Sistema no tiene solución, se dice que es incompatible.

6. Sistema de Ecuaciones
Solución de un sistema
Sistema
Posición de
las rectas Solución
Compatibles
Determinado Se cortan
Una
solución
Indeterminado Coincidentes Infinitas
Incompatible Paralelas No tiene

7. Sistema de Ecuaciones
Los principales métodos de solución para éste
sistema de ecuaciones lineales con dos
incógnitas son:
 Método de Adición o
Sustracción (Reducción)
 Método de Igualación
 Método de Sustitución
 Método Gráfico
Métodos de Solución de un Sistema

8. Sistema de Ecuaciones
Método de Reducción
PROCEDIMIENTO
a) Se multiplican los miembros de una o de las dos ecuaciones por
una cantidad constante apropiada para obtener ecuaciones
equivalentes que tengan igual coeficiente para una de las
incógnitas.
b) Por suma o resta se elimina una de las incógnitas.
c) Se resuelve la ecuación lineal resultante.
d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las
ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra
incógnita.

9. Sistema de Ecuaciones
Método de Reducción
2x + 3y = 8
4x + y = 6
( -1 )
( 3 )
2x + 3y = 8
4x + y = 6
-2x - 3y = -8
12x + 3y =18
10 x = 10
x =
10
10
x = 1
2 x + 3y = 8
2 .(1) + 3y = 8
Despejo y obtengo
y =2

10. Sistema de Ecuaciones
Método de Igualación
a) Se despeja la misma incógnita en cada una de las
ecuaciones del sistema dado.
b) Se igualan entre sí las expresiones obtenidas, consiguiendo
eliminar una de las incógnitas y dando lugar a una ecuación
con una incógnita.
c) Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las
ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra
incógnita.

11. Sistema de Ecuaciones
Método de Igualación
2x + 3y = 8
4x + y = 6
2x + 3y = 8 Restando
3y = 8 - 2x
Dividiendo
y = 8 – 2x
3
4x + y = 6 Restando
y = 6 - 4x
Igualo las ecuaciones
8 – 2x
3
= 6 - 4x
Despejo x obtengo
x= 1

12. Sistema de Ecuaciones
Siguiente
Método de Igualación
Continuación…
y = 6 - 4x x= 1
y = 6 – 4 . (1)
y = 6 - 4
y = 2
Solución:
x = 1
y = 2

13. Sistema de Ecuaciones
Método de Sustitución
a) Despejar en cualquiera de las ecuaciones del sistema una de
las incógnitas en términos de la otra.
b) Se sustituye la expresión para la incógnita despejada en la otra
ecuación que no se ha utilizado, se obtiene una ecuación con
una incógnita.
c) Se resuelve la ecuación de primer grado resultante.
d) Se sustituye el valor determinado en cualquiera de las
ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra
incógnita, también se sustituye en la expresión de la primera
incógnita despejada, obteniéndose el valor de la otra incógnita,
ambos procesos conducen al mismo resultado.

14. Sistema de Ecuaciones
Método de Sustitución
2x + 3y = 8
4x + y = 6
Restando
y = 6 - 4x
4x + y = 6
y = 6 - 4x
2x + 3. (6 - 4x) = 8
2x + 18 – 12 x= 8
x= 1
y = 6 – 4 .(1)
y = 6 - 4
y = 2

15. Sistema de Ecuaciones
Método Gráfico
2x + 3y = 8
4x + y = 6 y = 6 - 4x
y = 8 – 2x
3
y = 8/3 - 2/3x
Graficamos las ecuaciones lineales y el punto
donde se cortan es la solución del sistema

16. Método Gráfico
Sistema de Ecuaciones
Solución

17. Ejemplo de aplicación
Sistema de Ecuaciones
En una granja hay conejos y patos. Si entre todos
suman 18 cabezas y 52 patas, ¿cuántos conejos y
patos hay?
x: conejos
y: patos
x+ y = 18 (puesto que tienen 1 cabeza)
4x+ 2y = 52 (puesto que tiene 4 patas los conejos
y 2 patas los patos)
Resuelvo el sistema por alguno de los métodos

18. Ejemplo de aplicación
Sistema de Ecuaciones
Solución
8 conejos
10 patos

19. Actividades
Sistema de Ecuaciones
1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales
utilizando dos de los métodos presentados:
8x - 9y = 7
3x + 2y = 8
a.
b. 6a + 5b = - 8
-3a + 4b = 17
c. 3x + 2y = 13
5x + 4y = 23

20. Actividades
Sistema de Ecuaciones
2. Resuelve los siguientes problemas, planteando un
sistema de ecuaciones lineales y encuentra la solución
por alguno de los métodos presentados:
a. Adrián tiene 25 animales, entre ovejas y pavos. Un día se da
cuenta de que las patas de todos ellos suman 72. ¿cuántas ovejas
y cuántos pavos tiene?
b. La suma de 2 números es 150 y su diferencia es de 30, ¿cuáles
son los números?
c. La suma de 2 números es 15 y su diferencia es de 3, ¿cuáles
son esos números?