Tema i desigualdades e inecuaciones matematica i iutajs

PROFESOR: JULIO C BARRETO G ESC: 70, 78,79, 80 MATEMÁTICA I
TEMA I: INECUACIONES LINEALES, CUADRÁTICAS Y CON VALOR
ABSOLUTO
ANTECEDENTES HISTÓRICOS
La primera fase, que comprende el periodo de 1700 a. de C. a 1700 d. de C., se
caracterizó por la invención gradual de símbolos y la resolución de ecuaciones. Dentro de
esta fase encontramos un álgebra desarrollada por los griegos (300 a. de C.), llamada
álgebra geométrica, rica en métodos geométricos para resolver ecuaciones algebraicas.
La introducción de la notación simbólica asociada a Viète (1540-1603), marca el
inicio de una nueva etapa en la cual Descartes (1596-1650) contribuye de forma importante
al desarrollo de dicha notación. En este momento, el álgebra se convierte en la ciencia de
los cálculos simbólicos y de las ecuaciones.
Posteriormente, Euler (1707-1783) la define como la teoría de los "cálculos con
cantidades de distintas clases"(cálculos con números racionales enteros, fracciones
ordinarias, raíces cuadradas y cúbicas, progresiones y todo tipo de ecuaciones).Para llegar
al actual proceso de resolución de la ecuación cbax  han pasado más de 3.000 años.
Los egipcios nos dejaron en sus papiros (sobre todo en el de Rhid-1.650 a. de C- y el
de Moscú -1.850 a, de C.-) multitud de problemas matemáticos resueltos. La mayoría de
ellos son de tipo aritmético y respondían a situaciones concretas de la vida diaria; sin
embargo, encontramos algunos que podemos clasificar como algebraicos, pues no se refiere
a ningún objeto concreto. En éstos, de una forma retórica, obtenían una solución realizando
operaciones con los datos de forma análoga a como hoy resolvemos dichas ecuaciones.
Las ecuaciones más utilizadas por los egipcios eran de la forma:
0; x =x + ax + cx + ax = b
Donde a, b y c eran números conocidos y x la incógnita que ellos denominaban aha
o montón.
RECTA NUMÉRICA
Como ya sabemos, todos los números
reales pueden ser asignados en forma
única a puntos de una recta, para lo cual
se define en la recta un origen, un sentido
y una unidad, como se muestra en la
figura.
A esta recta la llamamos “recta real o eje real”.
O 1
La recta real R

TEMA I: INECUACIONES LINEALES, CUADRÁTICAS Y VALOR ABSOLUTO
PROFESOR: JULIO C BARRETO G 2 MATEMÁTICA I
OBSERVACIÓN: El conjunto de los números reales, es un conjunto ordenado, en
consecuencia con dos números diferentes entre sí se puede establecer una relación de orden,
es decir, dados dos números cualesquiera a y b solo se puede dar una de las siguientes
relaciones: bab;ab;a  , de ahí el nombre de tricotomía.
INTERVALOS
Un intervalo (del latín inter-vallum, espacio, pausa) es un espacio
métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es
un subconjunto conexo de la recta real ,R es decir, una parte de recta entre dos valores
dados. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinalidad de la recta real.
Intervalo: Sea RI  , si x e y pertenecen a I y x ≤ y, entonces para todo z tal que
ocurra que x ≤ z ≤ y, Iz .
Intervalos acotados de números reales
Sean a y b números reales, con a < b.
Notación de
Intervalo
Tipo de
Intervalo
Notación de
desigualdad
Gráfica Forma constructiva
bxa 
 ba, Abierto
 ba,  bxaRx  /
bxa 
Ejercicios:
1. Exprese el intervalo  2/  xRx , en sus diferentes notaciones.
2. Represente sobre la recta numérica los siguientes conjuntos:
a)  3;2/  xxRxA
b)     5;26;7 xB

c)    0/8/  xxxxC 
3. Complete la siguiente tabla:
Intervalos NO acotados de números reales
Sean a y b números reales.
Notación de
Intervalo
Tipo de
Intervalo
Notación de
desigualdad
Gráfica Forma
constructiva
 ,a Cerrado ax 
 ;a Abierto
bx   bxRx  /
  ,
Para los intervalos acotados cerrados ba, o abiertos  ba, , se utilizan los siguientes
términos:
Extremo izquierdo: ___
Extremo derecho: ____
Longitud del intervalo (amplitud):____________
Punto medio (centro):___________
Semi-amplitud del intervalo: _________________
VALOR ABSOLUTO
En matemática, el valor absoluto o módulo de un número real es su valor numérico sin
tener en cuenta su signo, sea este positivo (+) o negativo (-). Así, por ejemplo, 3 es el valor
absoluto de 3 y de -3.
El valor absoluto está relacionado con las nociones de magnitud, distancia y norma en
diferentes contextos matemáticos y físicos. El concepto de valor absoluto de un número real
puede generalizarse a muchos otros objetos matemáticos, como son
los cuaterniones, anillos ordenados, cuerpos o espacios vectoriales.
DEFINICIÓN: Formalmente, el valor absoluto o módulo de todo número real a está
definido por:








0si,
0si,
aa
aa
a

Por definición, el valor absoluto de siempre será mayor o igual que cero y
nunca negativo. Otra notación:
2
aa 
INTERPRETACIÓN EN TÉRMINOS DE DISTANCIA: Desde un punto de
vista geométrico, el valor absoluto de un número real a es siempre positivo o cero, pero
nunca negativo. En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la
distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o métrica en matemáticas
se puede ver como una generalización del valor absoluto de la diferencia, a la distancia a lo
largo de la recta numérica real.
Ejercicios:
1. Dado el intervalo 71  x , grafique y determine el centro, la amplitud y semi-
amplitud. Con los resultados obtenidos exprese el mismo en notación modular.
2. Complete la siguiente tabla, en casos se pueda
Notación
de
Intervalo
Tipo de
Intervalo
Notación
de
desigualdad
Gráfica Notación
Modular
Forma constructiva
85  x
Abierto 25 x
 7,1
 73/  xRx
DESIGUALDAD
Se llama desigualdad a toda relación entre expresiones numéricas o algebraicas
unidas por uno de los cuatro signos de desigualdad,  ,,,
Por ejemplo, sean las desigualdades     8410211064  ;xx; , etc.
Las desigualdades, al igual que las igualdades pueden ser ciertas o falsas, así, en los
ejemplos: La primera es falsa, la segunda depende del valor que le demos a x y la tercera
es verdadera.
Observación: Las desigualdades en las que interviene una variable se denominan
inecuaciones.

PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Se denominan también transformaciones de equivalencia y son:
1. SUMA: Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta una misma
expresión o cantidad, la desigualdad no varía:
cbcaba 
2. TRANSPOSICIÓN: Consiste en restar a ambos miembros de la desigualdad una
misma cantidad, pero de modo que uno de los términos de uno de los miembros
desaparezca del mismo y aparezca en el otro miembro:

iónTransposicOrigen
bcabcbbacba 
3. PRODUCTO: Si se multiplican los dos miembros de una desigualdad por una
cantidad positiva, la desigualdad no varía, pero si la cantidad es negativa, entonces cambia
el sentido de la desigualdad:
 baba  , al multiplicar por una cantidad negativa cambia el sentido de la
desigualdad.
 cbca0c,ba  , si la cantidad es positiva se conserva el sentido original
de la desigualdad.
4. SIMPLIFICACIÓN: Si se dividen los dos miembros de una desigualdad por una
cantidad no negativa y distinta de cero, la desigualdad no varía:
ba
c
cb
c
ca
0cy,cbca 






Además:















ba
ba
bababa
baba
7
7
7
7
77queya,
3232queya,
Recuérdese que si el divisor es negativo entonces cambia el sentido de la desigualdad.

INECUACIONES
Son desigualdades en las que se encuentra presente en uno cualquiera de los
miembros, o en ambos, una o más variables, o incógnitas.
Además, tenemos que:
 Una inecuación se verifica solo para algunos valores de las variables.
 Los valores numéricos para los cuales se verifica la desigualdad son las soluciones
de la misma.
 Resolver una inecuación consiste en hallar los valores numéricos para los cuales la
desigualdad es verdadera.
Inecuaciones equivalentes, son aquellas que tienen las mismas soluciones.
Para hallar inecuaciones equivalentes debemos aplicar los principios de equivalencia:
 Si sumamos o restamos a los miembros de una inecuación una misma cantidad o
expresión algebraica, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.
 Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma
cantidad positiva y no nula, la inecuación que resulta es equivalente a la dada.
 Si multiplicamos o dividimos los dos miembros de una inecuación por una misma
cantidad negativa, la inecuación que resulta es de sentido contrario a la dada.
Ejemplos:
 x235x5x35x2x5x32x  , es una inecuación
equivalente a la primera.














3
4
x261x
2
3
6
3
4
x21x
2
3
, operando nos queda,
8x126x9  , que es equivalente a la dada
 Y por último 68x9x128x126x9  , y de ahí pasaríamos a otras
inecuaciones equivalentes hasta llegar a la solución, en este caso 3
14
x14x3 
,
que es la solución, es decir, todos los valores de la variable menores que catorce
tercios.
INECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES
Son aquellas en las que las variables que intervienen están elevadas a un exponente
igual a la unidad. Inecuaciones de primer grado con una incógnita, tienen por expresión
general:
bax 0

Y todas sus equivalentes.
000  b; axb; axbax .
Ejemplos:
1. 





109
99
,
99
10
010999 xxx , es decir, se cumple para todo valor de
la variable x menor o igual que noventa y nueve ciento nueveavos.
2. 





 ,
17
15
17
15
01517 xxx , es decir, se cumple para todo valor de la
variable estrictamente mayor que quince diecisieteavos.
Luego para resolver una inecuación se sigue un proceso similar al de resolver
ecuaciones.
MÉTODO ANALÍTICO:
Para resolver una inecuación de primer grado, lo primero que hay que hacer es llegar
a obtener la expresión general de una inecuación de 1er grado del apartado anterior
aplicando los principios de equivalencia y los fundamentos del cálculo en general:
 Quitar paréntesis si los hubiera. Para ello aplicar la propiedad distributiva del
producto respecto a la suma.
 Quitar denominadores si los hubiera. Para ello reducir ambos miembros a común
denominador.
 Reducir términos semejantes en ambos miembros.
 Pasar a un miembro los términos que contengan la variable y al otro los que no la
contengan, y volver a reducir términos. (Aplicar los principios de equivalencia de
inecuaciones).
 Despejar la variable. (Volver a aplicar los principios de equivalencia de modo que la
variable quede aislada en el 1er miembro y con coeficiente la unidad, 1).
IMPORTANTE: Si al aplicar los principios de equivalencia debemos dividir o multiplicar
por una cantidad negativa tener presente que cambia el sentido de la desigualdad, así:
35142431536378463153784636  xxxxx ya que hemos
tenido que multiplicar por –1 ambos miembros por ser éstos negativos, luego
proseguiríamos de modo normal.

-∞ 3
-∞ 14/3
Ejemplos:
1.  3,393724274  xxxxxxx , la solución son
todos los valores de la variable menores estrictamente que 3.
2. 68129
6
812
6
69
3
4
21
2
3




 xx
xx
xx , como nos queda la
variable negativa debemos multiplicar ambos miembros por –1, así:







3
14
,
3
14
143143 xxxx ,
Y la solución son todos los valores de la variable estrictamente menores que catorce
tercios.
MODO DE DAR LAS SOLUCIONES:
Por intervalos, como en los ejemplos anteriores se pueden dar gráficamente por su
representación en la recta real.
En los casos anteriores sería:
1.
2.
INECUACIONES CUADRÁTICAS Y CON VALOR ABSOLUTO
INECUACIONES CUADRÁTICAS
Son inecuaciones en las que la variable está elevada a un exponente mayor que la
unidad. Comúnmente se denominan inecuaciones factorizadas o de grado mayor que 1 y
menor que 3, es decir el grado es exactamente 2.
Expresión general: Son todas del tipo ,02
 cbxax siendo 0a y a, b, cє R.
Es decir, cualquier otro polinomio de grado igual a 2 y con una desigualdad.
MÉTODO DE RESOLUCIÓN: Descomponer factorialmente el polinomio, aplican-
do Ruffini, completando los cuadrados, etc. El método que consideres más apropiado o que
mejor te resulte.

Ejemplos:
1. En la inecuación ,532 2
xx  pasamos todos los término a un único miembro, el
que más te interese, en este caso lo haremos al primero, así:
,0352 2
 xx ,
Ahora descomponemos el polinomio que nos resulte, en este caso usamos la
resolvente de la ecuación de segundo grado con: .3,5,2  cba Tenemos:
   
4
75
4
495
4
24255
22
32455
2








x
De donde tenemos que:















3
4
12
4
75
2
1
4
2
4
75
222
111
xxx
xxx
Y por tanto, la factorización es:
 3
2
1






 xx
Y pasamos a la inecuación:
  03
2
1
2 





 xx ,
Que podemos leer como, ¿Cuándo el producto de dos números es negativo?
Decimos dos ya que el signo del factor 2 es siempre el mismo y positivo, no va a
influir en el resultado final. La respuesta es cuando ambos tienen signos contrarios.
¿Cómo averiguar el signo de un binomio?
Una expresión de primer grado en x no es más que la ecuación de una recta, en este
caso se trata de dos rectas
2
1
1  xyr y .32  xyr

Sabemos, o deberíamos saber que si la pendiente de la recta es positiva ésta toma
valores positivos a la derecha del punto de corte con el eje de abscisas, y negativos a su
izquierda. En nuestro caso ambas tienen pendiente positiva, ¿Por qué?
Porque el coeficiente de la x es precisamente la pendiente de la recta y ambos son
positivos. Los puntos de corte con el eje de abscisas son los valores de x que hacen que
,0y en nuestro caso son
2
1
y 3 , luego 






2
1
x toma valores positivos a la derecha de
2
1
y  3x a la derecha de 3 , así tomando como puntos de prueba los puntos -4,0 y 1 en
la recta numérica:
De aquí obtenemos lo siguiente, usando el Método de las Tablas:
Intervalos
Factores
 3,







2
1
,3 




,
2
1
2
1
x — — +
3x — + +
Producto + — +
No es solución Solución No es solución
Luego la solución será el intervalo indicado, donde el signo del producto es
negativo.
Como la desigualdad es estricta, el intervalo será abierto .
2
1
,3 






2. Resolver la inecuación:
Solución:
Se pasan todos los términos de un solo lado:
Quedándonos:
2
8 1 2 4x x x   
2
8 2 1 4 0x x x    
2
6 5 0x x  
R
2
1
- 3 0-4 1

Se factoriza completamente, podemos tomar en cuenta la regla que dice que dos
números que sumados de 6  51 y que el producto de 5  ,51 y tenemos:
Se buscan los números críticos (donde los factores se hacen cero):
Se toman como puntos de prueba a -6, -2 y 0, de acuerdo con las regiones de la recta
numérica:
Se hace un cuadro de signos:
Intervalos
Factores
 5,  1,5    ,1
1x — — +
5x — + +
Producto + — +
Solución No es solución Solución
Como la inecuación es , se escoge los intervalos con signo +.
Así, la solución es:
   .,15, 
OTRA FORMA DE HALLAR LA SOLUCIÓN ES EL MÉTODO POR CASOS
(+)x(+)= +
(+)x(-)= -
(-)x(+)= -
(-)x(-)= +
( 1)( 5) 0x x  
1, 5x x   
( 1)( 5) 0x x  
R-1-5 -2-6 0

Usando la ley de los signos surgen varios casos de acuerdo con la cantidad de factores
involucrados. En este ejemplo se usan los casos cuando el producto sea positivo que son el
primero y el último.
  
-5151
05010501051
IICasoICaso


xxxx
xxxxxx
De aquí tenemos que la Solución 1 ( 1S ) es la intersección en el Caso 1:
  ,11S
De aquí tenemos que la Solución 1 ( 2S ) es la intersección en el Caso 2:
 5,1 S
Y la Solución Total ( TS ) es la unión de estas dos soluciones:
    ,15,TS
INECUACIONES EN VALOR ABSOLUTO
Son aquellas en las que parte de la inecuación, o toda ella, viene afectada por el
valor absoluto de la misma.
Expresión general: ,cbax  o todas sus equivalentes ,cbax  ,cbax 
,cbax  etc.
15 R
15 R

Dos útiles propiedades de las inecuaciones de valor absoluto son:
a)  ax-aaxaxax 
b) axaxax 
MÉTODO DE RESOLUCIÓN:
Aplicamos la definición de valor absoluto de una cantidad y pasamos a un sistema
de dos ecuaciones cuya solución es la solución de la inecuación.
Por ejemplo, si tenemos ,cbax  por definición:
 












cbax
cbax
cbax
cbax
cbax
,
Recuerda que al multiplicar los dos miembros de una desigualdad por una cantidad,
negativa, cambia el sentido de la desigualdad.
Ejemplos:
1. Resolver .212 x
Solución:
De acuerdo con la propiedad de valor absoluto a) tenemos:
212
212
212







x
x
x
,
Luego trasponiendo términos y realizando las operaciones correspondientes tenemos:




















2
1
2
3
12
32
122
122
x
x
x
x
x
x
Para la primera la solución es el intervalo 






2
3
, y para la segunda ,,
2
1






 la
solución de la inecuación inicial será la intersección de ambos, es decir, el intervalo







2
3
,
2
1
. Ya que al representarlo tenemos:
Y notamos que la intersección es ,
2
3
,
2
1






 que es en donde están tanto el amarillo
como el azul que es en donde son comunes las regiones.
2. Resolver .5
2
12



x
x
Solución:
De acuerdo con la propiedad de valor absoluto b) tenemos:














5
2
12
5
2
12
5
2
12
x
x
x
x
x
x
Y al linealizar ocurre que:
2
3
2
1
 R

   
   




2512
2512
xx
xx
Ahora, realizando las operaciones tenemos que:



































7
9
3
11
7
9
3
11
97
113
11052
11052
10512
10512
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
xx
La solución de la primera es ,
3
11
, 




 y la de la segunda ,
7
9
, 




 la
solución de la inecuación inicial es la intersección de ambas, teniendo en cuenta que
,
3
11
7
9
 luego representando:
Así, la solución es ,
7
9
, 




 que es a partir de donde se encuentran las dos regiones.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Purcell y Vargerg. 1992. Calculo Diferencial e Integral. Prentice Hall.
 James Steward. 1994. Cálculo. Grupo Editorial Americana.
 Zill, D. 1985. Calculo con geometría analítica. Grupo Editorial Iberoamérica.
 Leithold, L. 1992. El cálculo con geometría Analítica. Harla, México.
 Larson, Hostetler, Edwards. 1991. Calculus with Applications. Mc Graw Hill.
3
11
7
9 R

EJERCICIOS PROPUESTOS
1) INECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES
a) 572 x
b) 57
3
2
x
c)   5463 x -x -- 
d) 3x - 5 - x - 6 < 1
4 12
2) INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
a) x2
 16
b) 9x2
< 25
c) 36 > ( x - 1) 2
d) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6)
e) x2
- 3x > 3x - 9
f) 4 ( x - 1) > x2
+ 9
g) 2x2
+ 25  x ( x + 10 )
h) 3 > x ( 2x + 1)
i) x ( x + 1)  15(1 - x2
)
3) INECUACIONES FRACCIONARIAS
a) 0
1

x
x
b) 0
3
6



x
x
c) 2
5

x
x
d)
x
x
x



3
22
4) Determine en cada uno de los siguientes ejercicios el intervalo real para x, tal que cada
expresión represente un número real.
i) 5x
R. [ -5 , + [
ii)
6
2
x
R. ] - 6 , + [
iii)
1
12


x
x
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Tema i desigualdades e inecuaciones matematica i iutajs

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