matemática II

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA.
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN.
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO ´´ SANTIAGO MARIÑO ´´.
SEDE BARCELONA – EDO. ANZOATEGUI .
INECUACIONES
Bachiller :
Karianna Bravo
C.I: 29733730
Profesor:
Lcdo. Pedro Beltran

2. LA RECTA REAL O RECTA NUMERICA
una recta es una línea de una sola dimensión que está compuesta por una sucesión infinita
de puntos, prolongada en una misma dirección. Numérico, por su parte, es un adjetivo
que se refiere a lo que está vinculado a los números (los signos que expresan una
cantidad).
La recta numérica trata de la línea en la cual se suelen graficar los números enteros como
puntos que están separados por una distancia uniforme. De este modo, la recta
numérica facilita la suma y la resta, resultando muy útil cuando se desea enseñar estas
operaciones a alguien.
Los números reales se pueden representar en una recta numérica , de la siguiente
forma :
El origen se identifica con el punto cero, cada punto a la derecha de cero representa un
número positivo, (natural, entero, racional o irracional); cada punto a la izquierda de cero
sobre la horizontal representa un número negativo (entero, racional o irracional).
La recta real se recorre de izquierda a derecha. Sobre la recta real podemos identificar un
orden, ya que podemos establecer quién está a la izquierda o quién a la derecha de un
punto de referencia.

3. Todos los números reales se pueden representar sobre la recta, cumpliéndose las
siguientes propiedades:
a) A todo número real le corresponde un punto y sólo un punto sobre la recta.
b) A cada punto de la recta le corresponde un número real. No hay ningún punto de la recta
graduada que no le corresponda un número real.
c) Nunca podremos decir que dos números reales son consecutivos porque entre ellos hay
infinitos números reales.
INTERVALO DE LA RECTA REAL
Un intervalo es un segmento de la recta real. Incluye a todos los número reales que hay
entre dos límites establecidos denominados extremos del intervalo.
Por ejemplo, el segmento (-1, 3) incluye a los infinitos números reales que existen entre
estos dos extremos

4. Los intervalos pueden ser:
a) Cerrados: cuando los extremos están incluidos dentro del mismo; se conoce por tanto en
qué número real comienza el intervalo y en cuál termina. Se representan entre
corchetes.
Por ejemplo: [-1, 3]
b) Abiertos: cuando los extremos no están incluidos dentro del mismo; no se conoce con
exactitud en qué número real comienza y en cuál termina. Se representan entre
paréntesis.
Por ejemplo: (-1, 3)
El -1 y el 3 no forman parte del intervalo. ¿Cuál es el primer número por la izquierda? -0,99, -
0,999. -0,99999…. No se puede precisar.
c) Semiabierto o semicerrado: cuando está abierto por un extremo y cerrado por el otro.
Por ejemplo: (-1, 3]
Por ejemplo: [-1, 3)
d) También puede ocurrir que el intervalo tan sólo tenga límite fijado en uno de los extremos
y que el otro sea infinito.
Por ejemplo: (-1, ∞) Por ejemplo: (∞, 3)

5. En este caso definiría una semirrecta de la recta real.
La unión de 2 intervalos se representa con el símbolo "U" y el intervalo resultante estaría
formado por todos los números reales del primer intervalo y todos los números reales del
segundo intervalo:
(-1, 3) U (1, 7) = (-1, 7)

6. La intersección de 2 intervalos se representa con el símbolo “ ∩ “ y el
intervalo resultante estaría formado por aquellos números reales
comunes a ambos intervalos:
(-1, 3) ∩ (1, 7) = (1, 3)

7. DESIGUALDAD
es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que emplean:
• mayor que >
• Menor que <
• Menor o igual que ≤
• Mayor o igual que ≥
PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Si a los dos miembros de una desigualdad se les suma o resta un número, la desigualdad
conserva su sentido. Ejemplo: a los dos miembros de la desigualdad 8 > 3, primero les
vamos a sumar 1 y luego le vamos a restar 10.
8 > 3 → 8 + 1 > 3 + 1 → 9 > 4
8 > 3 → 8 – 10 > 3 – 10 → -2 > -7
Podemos observar que el sentido de la desigualdad después de la suma y de la resta no ha
variado.

8. • Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por el mismo
número positivo, la desigualdad conserva su sentido. Ejemplo: a los dos
miembros de la desigualdad 8 > 3, les vamos a multiplicar por +2.
8 > 3 → 8∙2 > 3∙2 → 16 > 6
Podemos observar que el sentido de la desigualdad no ha variado.
• Si a los dos miembros de una desigualdad se les multiplica por el mismo
número negativo, la desigualdad cambia su sentido. Ejemplo: a los dos
miembros de la desigualdad 8 > -3, les vamos a multiplicar por -2.
8 > -3 → 8∙(-2) > -3∙(-2) → -16 < 6
Podemos observar que el sentido de la desigualdad ha variado.
• Si a los dos miembros de una desigualdad se les divide por el mismo número
positivo, la desigualdad mantiene su sentido, pero si se les divide por un
número negativo, la desigualdad cambia su sentido. Ejemplo:

9. Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son
diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría
no tener solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría
no ser una inecuación.
Por ejemplo
3 < 5
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una
inecuación puesto que no tiene incógnitas.

10. MIEMBROS
Se denomina primer miembro de una desigualdad a la expresión que está a la izquierda
y segundo miembro a la que está a la derecha del signo de desigualdad. Así, en a + b >
x + y el primer miembro es a + b y x + y el segundo.
TÉRMINOS
Se denomina términos de una desigualdad a las cantidades que están separadas de otras
por el signo “+” , “-” o la cantidad que está sola en un miembro. En la desigualdad
anterior los términos son a, b, x e y.

11. INECUACIONES
Es la desigualdad existente entre dos expresiones algebraicas, conectadas a través de los
signos: mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥,
en la que figuran uno o varios valores desconocidos llamadas incógnitas, además de
ciertos datos conocidos.
Reglas para resolver una inecuación
La manera de resolver una inecuación es muy similar a la de resolver una ecuación
polinómica de primer grado. Sólo debemos recordar que si multiplicamos la inecuación
por un número negativo, obtenemos una equivalente si cambiamos el sentido. Es decir,
si queremos multiplicar por (-) para que nuestra incógnita sea positiva, cambiamos el
ángulo de la desigualdad (signo mayor o menor).
-3 x < 6
3 x < -6
X>-6/3
x>-2
Solución: (-2,+∞)

12. Debemos saber que dos inecuaciones son equivalentes si tienen el mismo conjunto
solución. De esta manera, obtenemos una inecuación equivalente si:
• En el caso de sumar o restar el mismo número en los dos miembros.
• Si se multiplica o se divide los dos miembros de una inecuación por un mismo número
positivo.
• Cuando se multiplica o se divide los de miembros de una inecuación por un mismo
número negativo se cambia el sentido de la desigualdad.
TIPOS DE INECUACIONES
• INECUACIONES POLINOMICAS : Las inecuaciones polinómicas, como su
nombre lo menciona esta conformada por un polinómio y también por un segundo valor
que es ´´0´´.
La Inecuaciones polinómicas poseen clasificaciones como las siguientes:
clasificacion Teoria Ejemplo
Inecuaciones polinómicas
de 1er grado
Se intenta despejar la
variable “x”
X + 6>0
Inecuaciones polinómicas
de 2do grado
Se da cuando el polinomio
es de base 2.
X²+2x+4>0
Inecuaciones polinómicas
de cualquier grado
Se da cuando el polinomio
es de base mayor a 2.
X³+X²+3x+6>0

13. EJEMPLOS :

14. • INECUACIÓN LINEAL: cuando las expresiones de ambos lados son
polinomios de primer grado.
EJEMPLOS:
1)
Solución
Agrupamos los monomios según su parte literal (los que tienen x y los que no) como
hacemos en las ecuaciones de primer grado, pero sin multiplicar ni dividir toda la
inecuación por un número negativo:
Por tanto, la solución es un intervalo:
X Є (-∞ , -8 )
donde los paréntesis indican que los extremos del intervalo no están incluidos
(desigualdad estricta).

15. 2)
Solución
Agrupamos los monomios según su parte literal como si se tratara de una
ecuación:
Ahora, para aislar la incógnita tenemos que dividir la inecuación por su coeficiente, que es -
24. Como este número es negativo, cambiamos el signo de desigualdad al dividir:

16. Por tanto, la solución es un intervalo:
donde el corchete de la derecha indica que se incluye el extremo del intervalo (es donde se
cumple la igualdad).
• INECUACIÓN CUADRÁTICAS : cuando las expresiones de ambos lados
son polinomios de grado menor o igual que 2.
Ejemplo:
x2<0x2<0
Esta inecuación no tiene soluciones (reales) puesto que ningún número al cuadrado es
negativo.

17. EJEMPLOS:

18. • INECUACIÓN RACIONAL: cuando las expresiones de uno o ambos lados
son un cociente de polinomios. Resolveremos la ecuación del numerador y
del denominador y luego con los valores obtenidos estudiaremos el signo de fracción en
la recta real, los resultados de la ecuación del denominador siempre tiene que estar
abierto ( Ya que no podemos dividir entre cero)
EJEMPLOS :
• 1)
Solución
Tenemos una fracción y queremos estudiar su signo. Como estamos dividiendo, el signo de
la fracción depende de los signos del numerador y del denominador.
Cuando el numerador y el denominador tienen el mismo signo, la fracción es positiva. Si lo
tienen distinto, es negativa. Tenemos que ver las distintas posibilidades. Primero
analizamos los signos del numerador y del denominador por separado.
Numerador:
Denominador:

19. La segunda desigualdad es estricta (sin el igual) ya que el denominador no puede ser 0.
Representamos los valores en dos rectas indicando el signo en cada intervalo:
Hemos representado una recta encima de otra porque ahora tenemos que trabajar con
ambas.
El único intervalo para el que el numerador y el denominador tienen el mismo signo (y por
tanto, la solución de la inecuación) es:
Siendo ambos positivos en el intervalo. El corchete indica que se incluye el extremo del
intervalo ya que en él es donde se cumple la igualdad de la inecuación.

20. 2)
Solución
Primero analizamos los signos del numerador y del denominador por separado. Como
queremos que la fracción sea negativa (o cero), el signo del numerador y del
denominador han de ser distintos (o el numerador 0).
Numerador: -2x – 5 ≥ 0 - 5 ≥ 2X - 5/2 ≥ X
Denominador: -X + 1> 0 1> X
Notemos que hemos escrito desigualdad estricta para el denominador porque éste no puede
ser 0.

21. Representamos los valores en dos rectas indicando el signo en cada intervalo:
Hemos representado una recta encima de otra porque ahora tenemos que trabajar con
ambas.
El único intervalo para el que el numerador y el denominador tienen signos distintos (y por
tanto, la solución de la inecuación) es:
[-5/2,1)
El corchete indica que se incluye el extremo del intervalo ya que en él es donde se cumple la
igualdad de la inecuación.

22. • INECUACIÓN CON VALOR ABSOLUTO: cuando en las expresiones
algebraicas hay valores absolutos.
Por ejemplo
Notemos que:
• si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número;
• si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es
decir, con signo positivo);
• si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.

23. EJEMPLOS:
1) │ X - 1│ ≤ 3
Podemos escribir la inecuación como
-3 ≤ X – 1 ≤ 3
Tenemos que resolver las dos inecuaciones.
Podemos hacerlo al mismo tiempo:
Sumamos 1:
O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:

24. De ambas formas obtenemos la misma solución:
2)
Escribimos la inecuación como
Por tanto,

25. Resolvemos cada inecuación:
Por un lado:
Por otro lado:
Luego la solución es

26. BIBLIOGRAFIA
• https://youtu.be/CkVXbU-PNRs
• https://youtu.be/Bfb0efPKb-0
• https://youtu.be/_uW4nVdCWzQ