Distribucion normal y binominal

1. Alumna:
González M Katherine P
C.I: 26.534.384
DISTRIBUCIÓN NORMAL Y
BINOMINAL
Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión San Cristóbal
San Cristóbal ,2017

2. Distribución normal o de Gauss
 La distribución normal fue reconocida por primera vez por el francés Abraham de Moivre (1667-1754).
Posteriormente, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) elaboró desarrollos más profundos y formuló la
ecuación de la curva; de ahí que también se le conozca, más comúnmente, como la "campana de Gauss“
Definición:
Se dice que la v.a continua X es una v.a. normal con parámetros µ y σ ² si su función de densidad es:
𝑓 𝑥 =
1
𝜎 2𝜋
𝑒
𝑥−𝜇 2
2𝜎2
Se denota X~ N(µ,σ²) y se dice X se distribuye normal con parámetros µ.

3. Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones estadísticas. Su propio nombre indica su
extendida utilización, justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos fenómenos tienden a
parecerse en su comportamiento a esta distribución. Muchas variables aleatorias continuas presentan una
función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.
IMPORTANCIA:
Esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos.
Mientras que los mecanismos que subyacen a gran parte de este tipo de fenómenos son desconocidos, por
la enorme cantidad de variables incontrolables que en ellos intervienen, el uso del modelo normal puede
justificarse asumiendo que cada observación se obtiene como la suma de unas pocas causas independientes.
Se dice que la v.a continua X es una v.a. normal con parámetros µ y σ² si su función de densidad es: Se
denota X~ N(µ,σ²) y se dice X se distribuye normal con parámetros µ

4. Función de distribución normal : aparece como el límite de varias distribuciones de probabilidad
continuas y discretas
la distribución normal también es importante por su relación con la estimación por
mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más simples y antiguos.

5. Propiedades de la
Distribución
Normal
* TIENE UNA ÚNICA MODA, QUE COINCIDE CON SU MEDIA Y SU
MEDIANA (APROXIMADAMENTE).
* LA CURVA NORMAL ES ASINTÓTICA AL EJE DE LAS ABSCISAS. POR
ELLO, CUALQUIER VALOR ENTRE MENOS INFINITO E INFINITO ES
TEÓRICAMENTE POSIBLE. EL ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL ES
IGUAL A LA UNIDAD.
* LA CURVA NORMAL ES ASINTÓTICA AL EJE DE ABSCISAS. POR
ELLO, CUALQUIER VALOR ENTRE -∞ Y +∞ ES TEÓRICAMENTE
POSIBLE. EL ÁREA TOTAL BAJO LA CURVA ES, POR TANTO, IGUAL A 1.
* EL ÁREA BAJO LA CURVA COMPRENDIDA ENTRE LOS VALORES
SITUADOS APROXIMADAMENTE A DOS DESVIACIONES ESTÁNDAR
DE LA MEDIA ES IGUAL A 0.95. EN CONCRETO, EXISTE UN 95% DE
POSIBILIDADES DE OBSERVAR UN VALOR COMPRENDIDO EN EL
INTERVALO.
* LA FORMA DE LA CAMPANA DE GAUSS DEPENDE DE LOS
PARÁMETROS Μ Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR
*LA MEDIA INDICA LA POSICIÓN DE LA CAMPANA, DE MODO QUE
PARA DIFERENTES VALORES DE Μ LA GRÁFICA ES DESPLAZADA A LO
LARGO DEL EJE HORIZONTAL.
* LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR DETERMINA EL GRADO DE
APUNTAMIENTO DE LA CURVA. CUANTO MAYOR SEA EL VALOR DE
LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR, MÁS SE DISPERSARÁN LOS DATOS EN
TORNO A LA MEDIA Y LA CURVA SERÁ MÁS PLANA. UN VALOR
PEQUEÑO DE ESTE PARÁMETRO INDICA, POR TANTO, UNA GRAN
PROBABILIDAD DE OBTENER DATOS CERCANOS AL VALOR MEDIO
DE LA DISTRIBUCIÓN.
Propiedades
de la
Distribución
Normal

6. Ejemplos de variables asociadas a fenómenos
naturales que siguen el modelo normal :
 Caracteres morfológicos : de individuos como la estatura.
 Caracteres fisiológicos: como el efecto de un fármaco.
 Caracteres sociológicos : como el consumo de cierto producto por un mismo
grupo de individuos.
 Caracteres psicológicos : como el cociente intelectual.
 Nivel de ruido en telecomunicaciones, Errores cometidos: al medir ciertas
magnitudes.

7. La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia estadística. Por ejemplo, la distribución muestral
de las medias muestrales es aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se extrae la
muestra no es normal. Además, la distribución normal maximiza la entropía entre todas las distribuciones con media y
varianza conocidas, lo cual la convierte en la elección natural de la distribución subyacente a una lista de datos
resumidos en términos de media muestral y varianza. La distribución normal es la más extendida en estadística y muchos
tests estadísticos están basados en una "normalidad" más o menos justificada de la variable aleatoria bajo estudio.
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N(μ, σ). Su gráfica es la campana de Gauss:
Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal son:
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.
“La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva”

8. Estandarización de variables aleatorias normales:
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el
valor cero, μ =0, y por desviación típica la unidad, σ =1.
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y
para calcularla utilizaremos una tabla
Tipificación de la variable:
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una
distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

9. Cálculo de probabilidades en
distribuciones normales
La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.
Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ(k).
Φ(k) = P(z ≤ k)
Búsqueda en la tabla de valor de k.
Unidades y décimas en la columna de la izquierda.
Centésimas en la fila de arriba.
P(Z ≤ a)
P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a) P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

10. P(Z > −a) = P(Z ≤ a) P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)
P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )
Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor
de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora
tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K.
P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

11. p = K
Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.
Aproximación de la binomial por la normal: Teorema de Moivre
Si: n·p ≥ 0 y n·q ≥ 0.
La distribución binomial B(n,p) se puede aproximar mediante una distribución normal :

13. LA DISTRIBUCION BINOMINAL
es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de
n ensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del
éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son posibles dos
resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro,
fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. Para representar que una variable aleatoria X sigue una
distribución binomial de parámetros n y p, se escribe:
*La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística es el número
de pruebas.