Este documento introduce varias distribuciones de probabilidad importantes como la distribución de Bernoulli, binomial, Poisson, normal, gamma y t de Student. Explica que cada distribución modela la probabilidad de resultados aleatorios en diferentes tipos de experimentos y que tienen aplicaciones estadísticas como realizar pruebas de hipótesis.

1. DISTRIBUCIONES
DE
PROBABILIDAD,
INTRODUCCION
Y CONCEPTOS
Iris Márquez 2 “C”

2. DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución de probabilidad de
una variable aleatoria es una función que asigna a cada suceso definido sobre la
variable aleatoria la probabilidad de que dicho suceso ocurra. La distribución de
probabilidad está definida sobre el conjunto de todos los sucesos, cada uno de los
sucesos es el rango de valores de la variable aleatoria.
Cuando la variable aleatoria toma valores en el conjunto de los números reales, la
distribución de probabilidad está completamente especificada por la función de
distribución, cuyo valor en cada realx es la probabilidad de que la variable
aleatoria sea menor o igual que x.

3. DISTRIBUCION DE BERNOULLI
La distribución de Bernoulli, nombrada así por
el matemático y científico suizo Jakob Bernoulli, es una distribución de
probabilidad discreta, que toma valor 1 para la probabilidad de éxito ( ) y valor 0
para la probabilidad de fracaso ( ).
Eventos Probabilidad
Éxito(1) P
Fracaso(0) Q= 1-p
Suma 1
Ejemplo
Eventos Probabilidad
Águila(1) 0.55
Sello(0) 0.45
Suma 1
Formulas
MEDIA ARITMETICA O VALOR ESPERADO
Sustitución
VARIANZA

4. Sustitución

5. DISTRIBUCION BINOMIAL
En estadística, la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta
que mide el número de éxitos en una secuencia de n ensayos
de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del
éxito entre los ensayos.
Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico, esto es, sólo son
posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y tiene una
probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q = 1 - p. En
la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de forma
independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado número de
éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una distribución de
Bernoulli.
Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución binomial de
parámetros n y p, se escribe:
La distribución binomial es la base del test binomial de significación estadística.
Ejemplos
Las siguientes situaciones son ejemplos de experimentos que pueden modelizarse
por esta distribución:
 Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de treses obtenidos:
entonces X ~ B(10, 1/6)
 Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas:
entonces X ~ B(2, 1/2)

6. DISTRIBUCIÓN DE POISSON
En este modulo se describe el uso de la distribución de Poisson para obtener la
probabilidad de ocurrencia de sucesos raros cuyo resultado lo representa una
variable discreta.
La Distribución de Poisson se llama así en honor a su creador, el francés Simeón
Dennis Poisson (1781-1840), esta distribución de probabilidad fue uno de los
múltiples trabajos matemáticos que Dennis completo en su productiva trayectoria.
La distribución de probabilidad de Poisson es un ejemplo de distribución de
probabilidad discreta.
La distribución de Poisson parte de la distribución Binomial.
Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la
muestra n es grande y la probabilidad de éxito p en cada ensayo es baja, es aquí
donde aplica el modelo de distribución Poisson.
SE TIENE QUE CUMPLIR QUE:
P<0.10
P*N<10
LA FUNCION P(X=K)
A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson:
P(x=k)= e-λ*
Donde:
P(x=k) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta x toma un valor
finito K.
λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo,volumen, area, etc.). es
igual a P por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de
2.711828.
K= es el numero de éxitos por unidad.

7. Aquí se muestran las formulas para determinar la media, la varianza y la
desviación.
μ= λ
Media
σ2 =λ
Varianza
Desviación σ=λ
típica

8. DISTRIBUCION NORMAL
Una distribución normal de media μ y desviación típica σ se designa por N (μ, σ).
Su gráfica es la campana de Gauss:
El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es
igual a la unidad.
Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área
igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha .
La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
Distribución normal estándar
N (0, 1)
La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella
que tiene por media el valor cero, μ =0, y por desviación típica la
unidad, σ =1.
La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto
sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla

9. Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que
sigue una distribución N (μ, σ) en otra variable Z que siga una
distribución N (0, 1).
Cálculo de probabilidades en distribuciones normales
La tabla nos da las probabilidades de P (z ≤ k), siendo z la variable
tipificada.
Estas probabilidades nos dan la función de distribución Φ (k).
Φ (k) = P (z ≤ k)

10. DISTRIBUCION GAMMA
En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua
con dos parámetros y cuya función de densidad para valores es
Aquí es el número e y es la función gamma. Para valores la
aquella es (elfactorial de ). En este caso - por ejemplo
para describir un proceso de Poisson - se llaman la distribución Erlang con un
parámetro .
El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son

11. DISTRIBUCION DE T DE
STUDENT
En probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribución de probabilidad que
surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de
la muestra es pequeño.
Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para la determinación de las diferencias
entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre
las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe
ser estimada a partir de los datos de una muestra.
La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente
donde
 Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1
 V tiene una distribución ji-cuadrado con grados de libertad
 Z y V son independientes
Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue
la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad .
Aparición y especificaciones de la distribución t de Student
Supongamos que X1,..., Xn son variables aleatorias independientes distribuidas normalmente, con
2
media μ y varianza σ . Sea
la media muestral. Entonces
sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.
Sin embargo, dado que la desviación estándar no siempre es conocida de
antemano, Gosset estudió un cociente relacionado,

12. donde
es la varianza muestral y demostró que la función de densidad de T es
Donde es igual a n − 1.
La distribución de T se llama ahora la distribución-t de Student.
El parámetro representa el número de grados de libertad. La distribución
depende de , pero no de o , lo cual es muy importante en la práctica.