La distribución normal describe fenómenos estadísticos de manera probabilística. Una variable aleatoria sigue una distribución normal si puede tomar cualquier valor real y su función de densidad tiene la forma de la curva de Gauss. Las propiedades de la distribución normal incluyen ser simétrica respecto a la media y tener un máximo en la media. La probabilidad equivale al área debajo de la curva de densidad.
2. Distribución normal
◦La distribución normal, una de las más
importantes, recibe su nombre debido a que en cierto
momento se pensó que la mayoría de los fenómenos
estaban distribuidos de dicha manera. Esta
distribución nos permite representar fenómenos
estadísticos de manera probabilística.
3. Variable aleatoria de la distribución
normal
◦ Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal
de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se
cumplen las siguientes condiciones:
◦ 1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞)
◦ 2. La función de densidad, es la expresión en términos de
ecuación matemática de la curva de Gauss:
4. Propiedades de la distribución
normal
◦ El campo de existencia es cualquier valor real, es
decir, (-∞, +∞).
◦ Es simétrica respecto a la media µ.
◦ Tiene un máximo en la media µ.
◦ Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.
◦ En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.
◦ El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
5. ◦ El área del recinto determinado por la función y el eje
de abscisas es igual a la unidad.
◦ Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja
un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la
derecha.
◦ La probabilidad equivale al área encerrada bajo la
curva.
6. Curva de la distribución normal
◦p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.683 = 68.3 %
9. Ejercicios
◦Determina en cuáles de los siguientes casos se
trata de una población con distribución normal.
◦a. Sueldos que se pagan en una empresa.
◦b. Edad a la que una persona muere.
11. Función densidad
◦ La distribución normal estándar, o tipificada o reducida,
es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y
por desviación típica la unidad, σ =1.
◦ Su función de densidad es:
12. Ejercicio resuelto
◦El resultado de una prueba de cuarto
medio, tiene una distribución N(5,3 ; 0,6). El
total de estudiantes que rindió la prueba es de
150. ¿Cuál es la probabilidad de que al
escoger un estudiante al azar este haya
obtenido al menos un 6,0?
13. ◦Calcularemos la probabilidad de que un alumno
tenga menos de un 6,0; para facilitar el uso de la
tabla, el complemento será lo buscado.
Ver tabla
14.
15. Si una población
tiene distribución
normal con
media μ y
desviación
típica, anotamos
que ella
distribuye
N(μ, ).
◦En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849;
por lo tanto,1 – 0,8849 = 0,1151
(probabilidad de obtener un alumno
con nota igual o superior a 6,0, o
bien el 11,51% de los alumnos obtuvo
◦una nota perteneciente a ese
intervalo).
◦¿Cuántos estudiantes obtuvieron una
nota igual o superior a 6?
◦¿Cuántos estudiantes obtuvieron una
nota inferior a 6?
