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Distribución normal y variable tipificada

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presentación dedicada a la distribución normal y a la tipificación de una variable aleatoria

Publicado en: Educación
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Distribución normal y variable tipificada

  1. 1. DISTRIBUCIÓN NORMAL
  2. 2. Distribución normal ◦La distribución normal, una de las más importantes, recibe su nombre debido a que en cierto momento se pensó que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribución nos permite representar fenómenos estadísticos de manera probabilística.
  3. 3. Variable aleatoria de la distribución normal ◦ Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ), si se cumplen las siguientes condiciones: ◦ 1. La variable puede tomar cualquier valor: (-∞, +∞) ◦ 2. La función de densidad, es la expresión en términos de ecuación matemática de la curva de Gauss:
  4. 4. Propiedades de la distribución normal ◦ El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞). ◦ Es simétrica respecto a la media µ. ◦ Tiene un máximo en la media µ. ◦ Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella. ◦ En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión. ◦ El eje de abscisas es una asíntota de la curva.
  5. 5. ◦ El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad. ◦ Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha. ◦ La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.
  6. 6. Curva de la distribución normal ◦p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.683 = 68.3 %
  7. 7. ◦p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.955 = 95.5 %
  8. 8. ◦p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %
  9. 9. Ejercicios ◦Determina en cuáles de los siguientes casos se trata de una población con distribución normal. ◦a. Sueldos que se pagan en una empresa. ◦b. Edad a la que una persona muere.
  10. 10. Variable tipificada ◦
  11. 11. Función densidad ◦ La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la unidad, σ =1. ◦ Su función de densidad es:
  12. 12. Ejercicio resuelto ◦El resultado de una prueba de cuarto medio, tiene una distribución N(5,3 ; 0,6). El total de estudiantes que rindió la prueba es de 150. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante al azar este haya obtenido al menos un 6,0?
  13. 13. ◦Calcularemos la probabilidad de que un alumno tenga menos de un 6,0; para facilitar el uso de la tabla, el complemento será lo buscado. Ver tabla
  14. 14. Si una población tiene distribución normal con media μ y desviación típica, anotamos que ella distribuye N(μ, ). ◦En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849; por lo tanto,1 – 0,8849 = 0,1151 (probabilidad de obtener un alumno con nota igual o superior a 6,0, o bien el 11,51% de los alumnos obtuvo ◦una nota perteneciente a ese intervalo). ◦¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota igual o superior a 6? ◦¿Cuántos estudiantes obtuvieron una nota inferior a 6?

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