distribución normal areas bajo la curva normal application de distribución normal

1. UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ ANTIGUA GUATEMALA
CURSO: ESTADÍSTICA
FACULTAD: INGENIERÍA EN SISTEMAS
TEMAS:
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL CONTINUA
• ÁREAS BAJO CURVA NORMAL
• APLICACIÓN DE DISTRIBUCIÓN NORMAL

2. INTRODUCCIÒN
La distribución de probabilidad más importante en todo el campo de la estadística es la
distribución normal. Por la cantidad de fenómenos que explica. Esta distribución es
también llamada como la campana de Gauus, ya que Karl Friedrich Gauus derivo su ecuación a
partir de un estudio de errores en mediciones repetidas de la misma cantidad y que tiene
forma de campana.
A continuación veremos las características principales de una distribución de probabilidades
normal, definiendo posteriormente la distribución normal así como sus usos, como también el
área bajo la curva de una probabilidad y así como la aplicación de la distribución normal.

3. Distribución de Probabilidad Normal
La Probabilidad Normal es la distribución más importante. Multitud de variables
aleatorias continuas siguen una distribución normal o aproximadamente normal.
Una de sus características más importantes es que casi cualquier distribución de
probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar por una normal
bajo ciertas condiciones. La distribución de probabilidad normal y la curva normal
que la representa, tiene principales características las cuales son las siguientes:
Una de las características muy notorias es la forma de campana de la curvatura y
la de un solo pico en el centro de su distribución.

4. De esta forma, la media aritmética, la mediana y la moda de la distribución son iguales y
se localizan en el pico. Así, la mitad del área bajo la curva se encuentra a la derecha de
este punto central y la otra mitad está a la izquierda de dicho punto.
La distribución de probabilidad normal es simétrica alrededor de su media (µ).
La campana de Gauus desciende suavemente en ambas direcciones a partir del valor
central.

5. Es asintótica, lo que quiere decir que La curva se acerca cada vez más al eje X sin
embargo jamás llega a tocarlo, también pode ser descrito como una asíntota por su
característica. En otras palabras las colas de la curva se extienden de forma
indefinida en ambas direcciones (positiva y negativa).
La ecuación matemática para la distribución de probabilidad de la variable normal
depende de dos parámetros, su media y desviación estándar (µ y δ). Se denota los
valores de la densidad de X con n(x; µ,δ).
• La función de densidad de la variable aleatoria X, con media µ y varianza δ², es:
n(x; µ,δ) =
{displaystyle phi (x)={tfrac {1}{sqrt {2pi }}},e^{-{frac {scriptscriptstyle
1}{scriptscriptstyle 2}}x^{2}}}

6. En la fórmula anterior interviene las siguientes constantes:
π = 3.141592
e = 2.718281
σ=Parámetro desviación estándar probabilística de x (variables normales
diferentes pueden tener distintas desviaciones estándar probabilísticas, pero
para cada variable normal, su desviación estándar probabilística es constante).
µ = Parámetro media aritmética de probabilística de x (variables normales
diferentes pueden tener distinta medias aritméticas probabilísticas, pero para
cada variable normal su media aritmética probabilística es constante).

7. Comparación de la Distribución Normal
En esta grafica dibujamos dos curvas normales que tienen la misma
desviación estándar pero diferentes medias. Las dos curvas son
idénticas en formas pero están centradas en diferentes posiciones
a lo largo del eje horizontal.

8. En esta otra figura trazamos dos curvas
normales con la misma media pero con diferentes
desviaciones estándar. En esta vemos que las dos
curvas están centradas exactamente en la misma
posición cobre el eje horizontal, pero la curva con
la mayor desviación es más baja y se extiende
más lejos.
Señalamos en un principio el papel que juega la
distribución normal como una aproximación
razonable de variables científicas en
experimentos de la vida real. Bajo condiciones la
distribución normal proporciona una buena
aproximación continua a las distribuciones
binomiales e hipergeométricas.

9. Áreas bajo la Curva Normal
Una variable de análisis es estándar o tipificada si la
probabilidad de la media es 0 y la desviación estándar es 1. Si
una variable de experimentación x es normal y tipificada, su
función de densidad de probabilidad se denomina normal
estándar o normal tipificada y se ajusta a la fórmula:

10. Sin embargo sería un trabajo sin fin establecer tablas separadas para
diferentes valores de µ y δ. Afortunadamente somos capaces de
transformar todas las observaciones de cualquier variable aleatoria normal
X a un nuevo conjunto de observaciones de una variable aleatoria normal Z
con media cero y varianza 1 se convierte a la curva normal, en un modelo
matemático con características fijas y definidas y así se hace posible el
cálculo de probabilidades. Este proceso se conoce con el nombre de
tipificación de la curva normal.
Tipificación de la variable
Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue
una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

11. Ejemplo:
1) En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el
mes de junio si una distribución normal, con media 23° y
desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en
los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

12. 1) Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal
con media 100 y desviación típica 15.
Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95
y 110.

13. Aplicaciones de la Distribución Normal
¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población, con una desviación típica de
15?

14. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan
un coeficiente superior a 125?

15. En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen
al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya
por lo menos 30 tipos se han teléfono.

16. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 35 y 40 hogares tenga cuando menos dos
televisores?