5. poligonales

Apuntes de Topografía II 2009/2010
(c) Carlos Soler y José Juan Arranz 1
TEMA 5
Poligonales
TOPOGRAFÍA II
Curso 2009/2010
TOPOGRAFÍA II: Poligonales 2
Fundamento
• Se podría considerar como una sucesión de
radiaciones con una comprobación final:
– Establecimiento de estaciones en el terreno y
señalización
– Observación de ángulos y distancias entre
estaciones consecutivas
– Cálculos de ángulos y coordenadas
– Estudio de cierres y compensación

Tipos de itinerarios
• Según la naturaleza de los puntos inicial y final, los itinerarios se
pueden clasificar en:
– Abierto: Los puntos inicial y final son distintos
– Cerrado: El punto inicial y final es el mismo
– Encuadrado: Los puntos inicial y final son de posición
conocida
– Colgado: La posición del punto final es desconocida
• Según el objetivo de su finalidad:
– Poligonal para apoyo a un vuelo fotogramétrico
– Itinerarios concurrentes, propios de zonas urbanas
– Poligonal de apoyo a obras lineales de ingeniería civil
– Itinerarios de precisión mediante centrado forzado
Señalización
• Se pueden señalizar antes de realizar las
observaciones, como en:
– itinerarios en zonas urbanas
– determinadas poligonales de apoyo en obras
lineales
• O al mismo tiempo de realizar las observaciones, como
en los itinerarios para apoyo a vuelos fotogramétricos
• El tipo de señalización para las estaciones de una
poligonal puede ser muy variado

Tipos de señalización
• Clavo de acero, de diferentes tipos
• Clavos de tipo Attemberger
• Clavos de tipo Feno
• Señal hito con centrado forzado
• Señal hito
(vértice geodésico)
• Diseño específico

• Señal mixta
(altimétrica y planimétrica)
• Señal altimétrica
• Secuencia de
señalización de un
hito tipo “feno”
Reseña de estaciones
• Los datos imprescindibles:
– Sistema de Referencia planimétrico
– Origen de Referencia altimétrico
– Nombre y numeración de la señal
– Descripción del tipo de señal utilizada
– Coordenadas
– Reseña literal de su ubicación así como de su
acceso
– Croquis del entorno y accesos
– Croquis de detalle
– Fotografía panorámica

Reseña de estaciones
Observación: Itinerario encuadrado
• Estacionamiento en el primer hito de la poligonal, de
coordenadas conocidas. (Anotar altura del instrumento)
– Observación horizontal en C.D. a Referencia 1 de posición
conocida
conocida
– Observación horizontal, cenital, distancia geométrica y
altura de prisma en C.D. al siguiente hito de la poligonal
– Observación horizontal, cenital en C.I. a la misma altura de
enrase que en C.D., a la siguiente estación del itinerario
– Observación horizontal en C.I. a la Referencia 2
– Observación horizontal en C.I. a la Referencia 1. Cierre de la
vuelta de horizonte

• Estacionamiento en el segundo punto de la poligonal. (Anotar
altura de instrumento)
altura de prisma en C.D. al anterior hito de la poligonal
enrase que en C.D., a la anterior estación del itinerario.
Cierre de la vuelta de horizonte
…
…
• Estacionamiento en el penúltimo hito de la poligonal. (Anotar
altura del instrumento)
enrase que en C.D., a la anterior estación del itinerario.
Cierre de la vuelta de horizonte

• Estacionamiento en el último hito de la poligonal, de coordenadas
conocidas. (Anotar altura del instrumento)
conocida
conocida
enrase que en C.D., a la anterior estación del itinerario
– Observación horizontal en C.I. a la Referencia 4
– Observación horizontal en C.I. a la Referencia 3. Cierre de la
vuelta de horizonte
Observación: Puntos de apoyo
• Basada en la combinación simultánea de la
observación de un itinerario con la de las distintas
radiaciones a los puntos de apoyo
• La posición de las estaciones dependerán de:
– La topografía del terreno
– La dirección de la pasada del vuelo
– La escala del vuelo
• Generalmente, este método se utiliza para vuelos de
pasadas únicas, muy habitual para la obtención de
cartografía base en proyectos lineales de ingeniería
civil

• Las estaciones de la poligonal, generalmente, estarán
ubicadas en zonas elevadas y en el centro de la
pasada
• Debido a que la señalización es simultánea a la
observación → se utiliza el método de
“pares sobre la referencia”
Pasada 1
• Estacionamiento en el primer hito de la poligonal, de
coordenadas conocidas. (Anotar altura del instrumento)
conocida
conocida
– Observación horizontal en C.D. a una referencia (REF) muy
bien definida. (De posición conocida o desconocida)
– Observación horizontal en C.I. a REF
– Observación horizontal en C.I. a Referencia 2 de posición
conocida
– Observación horizontal en C.I. a Referencia 1 de posición
conocida. Cierre de la vuelta de horizonte

– Observación horizontal en C.D. REF
– Observación horizontal, cenital y de distancia en C.D. al
punto de apoyo seleccionado
– Observación horizontal, cenital y de distancia en C.I. al
punto de apoyo seleccionado
– Observación horizontal en C.I. REF
– … Estas operaciones se realizarán tantas como puntos de
apoyo se puedan observar desde esta estación
– Observación horizontal en C.D. REF
– Observación horizontal en C.I. REF
– Cambio de estación realizando las mismas operaciones que
en la estación anterior

• Utilizados para minimizar el error de dirección
• Por ejemplo, itinerarios en galerías, túneles, zonas
urbanas con ejes de longitudes muy diversas
• Elevada precisión
Observación: Centrado forzado

• Posibilidad de cambiar plataformas nivelantes de placas de
puntería con la de la estación total
• Se realiza la observación a las placas de puntería desde la
estación
1001
1002
1003
1004

• Finalizada la observación, se retira el trípode de la estación
anterior
• Se suelta la estación total de la plataforma nivelante
• Se coloca, sobre la plataforma nivelante de la estación total, la
placa de puntería que estaba situada en el punto anterior
1001
1002
1003
1004
• Se trasladan, el trípode con plataforma nivelante del punto
anterior y la estación sin plataforma nivelante al tercer punto de
la observación
• Se coloca, sobre la plataforma nivelante de la estación total, la
placa de puntería que estaba situada en el punto anterior
1001
1002
1003
1004

• Se traslada el trípode con plataforma nivelante del punto anterior
al nuevo punto y la estación sin plataforma nivelante
• Al llegar a la altura del tercer trípode se separa la placa de
puntería de la plataforma nivelante, colocándola en el trípode
libre
1001
1002
1003
1004
• Sobre la plataforma nivelante que se acaba de liberar se coloca la
estación total
• Al llegar a la altura del siguiente punto a observar, se estaciona
el tercer trípode con la placa de puntería y plataforma nivelante.
Esta operación se repite secuencialmente hasta finalizar la
observación de toda la poligonal
1001
1002
1003
1004

• Precaución con plomada óptica / láser:
Imposibilidad de utilización de plomada
de la estación con base nivelante
• Procurar coincidir altura de
prisma con altura de
estación: única medición →
minimiza errores
altimétricos
• Procurar misma
sensibilidad de nivel entre
accesorios
• Alternativas: trípode en
prismas
Observación: Itinerarios concurrentes
• Este tipo de itinerarios suelen diseñarse en
levantamientos de cartografía urbana a grandes
escalas
Cartografía 1/500
Palma de Mallorca

• Este tipo de itinerarios no tienen una metodología
especial de observación
• Se pueden combinar con los de centrado forzado
• La diferencia estriba en método de cálculo
• Existen dos métodos de cálculo
– Ponderación. Itinerarios con un solo nodo. En
desuso
– Mínimos Cuadrados. Malla de itinerarios
Cartografía 1/500
Leganés

Cartografía 1/500
Leganés
Cartografía 1/500
Leganés

Cartografía
1/500
Leganés
Cálculo angular
• Cálculo de desorientaciones más probables en los extremos del
itinerario
A
REF-1
REF-2
N
B C
M
REF-4
REF-3
1 1 1
1
1
arctan
R I R R
R A
A A A A
R A
E E
LH
N N
 
 

    
 

 
2 2 2
2
2
arctan
R II R R
R A
A A A A
R A
E E
LH
N N
 
 

    
 

 
  2
I II
A A H


    
3 3 3
3
3
arctan
R I R R
R N
N N N N
R N
E E
LH
N N
 
 

    
 

 
4 4 4
4
4
arctan
R II R R
R N
N N N N
R N
E E
LH
N N
 
 

    
 

 
  2
I II
N N H


    

Cálculo angular
• Arrastre acimutal:
…
• Error medio en cada uno de los N
ángulos medidos en una poligonal será:
Pr Pr
2
I II
B B
A A
A A A A
LH

  
     
200
A B A A C C
B A B B B B B B
LH LH
   
         
200
B C B B D D
C B C C C C C C
LH LH
   
         
200
L M L L N N
M L M M M M M M
LH LH
   
         
' ' Pr
200
M N M L
N M N N M N N
LH 
   
          
   
H N



 
Cierre acimutal
N=número de
estaciones
Cálculo angular
• Tolerancia acimutal:
– Se supone observado por la misma persona, con el mismo
instrumental y que las longitudes de los tramos son iguales
– Se considera que el error angular en todos los ángulos
medidos tendrán la misma desviación típica angular
• Compensación angular:
– Se compensa a todos los ángulos por igual
– Los acimuts compensados registrarán las compensaciones
de todos los ejes anteriores
       
   
1 2 1
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2
N N
H H H H
H H
T
N N
    
 
   
 

     
   

Errores en un itinerario
• Dos causas fundamentales:
– Medida de ángulos: errores transversales
– Medida de distancia: errores longitudinales
• Afectan al cierre de coordenadas
• Son independientes y perpendiculares
Error transversal
• Es el desplazamiento que sufre el último punto de un
itinerario como causa exclusivamente de los errores
accidentales angulares
• Para su estudio se van a realizar las siguientes
generalizaciones:
– El itinerario es rectilíneo. Todos los ángulos del
itinerario son 200g
– Los ejes del itinerario tienen la misma longitud

Error transversal
• En primer lugar se supone que solo tiene error
angular el ángulo medido en la estación 1, el resto
carece de error
• Todas las estaciones pasarán a la posición n1
1 2 5 6 7
3 4
1
2 1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
Error transversal
• A continuación se supone que en la estación segunda
se vuelve a producir el error accidental en la medida
de ángulos horizontales, en el resto de los ángulos no
se produce error alguno
1 2 5 6 7
3 4
1
2 1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
2
3
2
6
2
4
2
5
2
7

Error transversal
• Seguidamente se supone que en la estación tercera se
vuelve a producir el error accidental en la medida de
ángulos horizontales, en el resto de los ángulos no se
produce error alguno
1 2 5 6 7
3 4
1
2 1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
2
3
2
6
2
4
2
5
2
7
3
7
3
4
3
6
3
5
Error transversal
• Nuevamente se supone que en la estación cuarta se vuelve a
producir el error accidental en la medida de ángulos horizontales,
en el resto de los ángulos no se produce error alguno
1 2 5 6 7
3 4
1
2 1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
2
3
2
6
2
4
2
5
2
7
3
7
3
4
3
6
3
5
4
5
4
6
4
7

Error transversal
• Ahora supone que en la estación quinta se vuelve a producir el
error accidental en la medida de ángulos horizontales, en el resto
de los ángulos no se produce error alguno
1 2 5 6 7
3 4
1
2 1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
2
3
2
6
2
4
2
5
2
7
3
7
3
4
3
6
3
5
4
5
4
6
4
7
5
7
5
6
Error transversal
• Por último, se supone que en la estación sexta se vuelve a
producir el error accidental en la medida de ángulos horizontales,
en el resto de los ángulos no se produce error alguno
1 2 5 6 7
3 4
1
2 1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
2
3
2
6
2
4
2
5
2
7
3
7
3
4
3
6
3
5
4
5
4
6
4
7
5
7
5
6
6
7

Error transversal
• El error máximo será la componente cuadrática de los distintos
errores producidos por cada una de las aportaciones angulares
 
   
   
   
   
 
   
 
1
1
1 2
2
2 3
3
3 4
4
2 1
1
1
77
7 7 1
7 7 2
7 7 3
7 7 2
7 7 1
Hz
Hz
Hz
Hz
n n
Hz n
n n
Hz n
L
m n
n
L
m n
n
L
m n
n
L
m n
n
L
m n n
n
L
m n n
n






 


 
  
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
    
 
 
    
 
   
Hz Hz
i
m m
 
  
 
• Se ha supuesto que el instrumento
es el mismo para todos los ángulos
de la poligonal y que los ejes tienen
la misma longitud
• El valor de la desviación típica de
cada ángulo medido resulta idéntico
• n = número de tramos (n=N-1)
Error transversal
• Haciendo la consideración de que todos los errores accidentales
angulares son iguales, se obtiene:
• En el radicando se encuentra el sumatorio del cuadrado de los n
primeros números naturales, cuya ley de sucesión es:
• Por tanto, el error transversal es:
       
         
   
2 2 2 2
1 1 2 2 1 1
2 2 2
2
2 2 2
77 77 7 7 ... 7 7 7 7
... ( 2) ( 1)
1 2 1
n n n n n
Hz Hz Hz
T
Hz
L L L
m n m n n m n n
n n n
L
m n n E
n
  

  
     
     
     
              
     
     
     
        
 
   
2
2 2 2 1 2 1
1 2 1
6
n n n
n n
   
     
 
   
1 2 1
6
T Hz
n n n
L
E m
n

   
  

Error transversal
• Dependiendo de la naturaleza de los itinerarios:
– Itinerarios Abiertos. Suponiendo la desviación típica en la
medida de un ángulo:
– Itinerarios Encuadrados. Suponiendo que el error accidental
angular es la desviación típica media a posteriori de un
ángulo de un itinerario después de realizar las
compensaciones angulares:
 
     
2 1 2 1
2
6
Hz
T cc
Hz
n n n
m E D
r

 


    
     
     
1 2 1
6
T cc
H
n n n
N
N
E D
N r
N
 
 

 
 


   
     
Error longitudinal
• Es el desplazamiento que sufre el último punto de un
itinerario como consecuencia exclusivamente de los
errores accidentales en la medida de las distancias
• Para obtener una expresión manejable y general se
realizarán las siguientes generalizaciones:
– El itinerario es rectilíneo. Todos los ángulos del
itinerario son 200g
– Los ejes del itinerario tienen la misma longitud
2
D
L
E n

 

Error longitudinal
• Este error toma distintas magnitudes según la proximidad o
lejanía del punto considerado con respecto al de salida
• Da lugar a la formación de una figura homotética de la real, con
el centro de homotecia en la primera estación
• Si la poligonal es cerrada,
aun no produciéndose
errores angulares, si
existiera algún error en las
distancias, la posición del
resto de las estaciones
sería errónea, tanto más
cuanto más alejadas se
encuentren del punto de
salida
Cálculo de coordenadas planimétricas
• Reducción de las distancias al sistema de coordenadas al que
pertenecen coordenadas de los puntos fijos (marco de referencia):
– Sistema local de coordenadas (Tierra Plana):
– Sistema oficial de coordenadas (UTM-ED50 o UTM-ETRS89):
 
3
2
2 2
43
sen( - )
cos( /2)
-
1 1
UTM C
C
A
A
A
M
rt M
A
r rt
g
C
A B
r
D R
R Z
D D k
D
D D
R
V r
D D
D h
D
H H
D R R







   
   
   
   

 
 


 


  
r g
D D senV
 

Cálculo de coordenadas planimétricas
• Análisis de tolerancia entre distancias directas y recíprocas
(según el itinerario):
• Promedio de las distancias cuya diferencia sea tolerable
• Cálculo de coordenadas parciales con acimuts y distancias
compensadas:
• Error de cierre planimétrico de un itinerario:
   
1
1
2
i i
r r D
i i
D D 


  
   
   
2 7
2 7
2 1 1 7 6 6
1 6
2 7
2 7
2 1 1 7 6 6
1 6
cos cos
r r
r r
E E D sen E E D sen
N N D N N D
 
 

     

     
7 7
7 7
E
N
E E
N N



 

 
Cálculo de la coordenada altimétrica
• Análisis de tolerancia entre desniveles directos y
recíprocos (según el itinerario):
• Arrastre de altitudes:
• Error de cierre altimétrico:
   
1
1
2
i i
H
i i
H H 



    
7 7
H H H
 
 
 
2
2 1 1
3
3 2 2
7 6 Pr
H H H
H H H
H H H
  
  
    

Análisis de tolerancia planimétrica
• Dado que los errores angulares y longitudinales son
independientes y ortogonales el error máximo no será
la componente cuadrática, sino el mayor de ambos:
   
1 2 1
6
T cc
EN
L D
n n n
N
N
E D
r
T
ó
E n
 
 



    
   

 


 


Análisis de tolerancia planimétrica
• Tolerancia total:
• Compensación de errores de cierre: Normalmente,
proporcional a las longitudes de los tramos
   
 
   
 
   
 
2 2
2 2
1 2 1 1
1 1
3 3
3 3
2 3 2 2
2 2
7 7
7 7
6 7 6 6
6 6
E
E E
E
E E
E
E E
C D E E E C
D
C D E E E C
D
C D E E E C
D



      

      

      

     
1 7
2 2
2 2 2
total EN EN EN E N
T T    
    
   
 
   
 
   
 
2 2
2 2
1 2 1 1
1 1
3 3
3 3
2 3 2 2
2 2
7 7
7 7
6 7 6 6
6 6
N
N N
N
N N
N
N N
C D N N N C
D
C D N N N C
D
C D N N N C
D



      

      

      


Análisis de tolerancia
• Tolerancia total:
• Compensación de errores de cierre: Normalmente,
proporcional a las longitudes de los tramos
   
 
   
 
   
 
2 2
2 2
1 2 1 1
1 1
3 3
3 3
2 3 2 2
2 2
7 7
7 7
6 7 6 6
6 6
H
H H
H
H H
H
H H
C D H H H C
D
C D H H H C
D
C D H H H C
D



      

      

      

   
1 7
2 2
2
total H H H H
T T   
   
 
2
H prom
H
T n


Descubrimiento de errores groseros
• Para descubrir las equivocaciones de un modo
aproximado
• Tienen que ser bastante acusadas
• Dos tipos:
– Angulares: error angular excesivo
– de distancias: cierre en coordenadas excesivo
• Si la poligonal es cerrada se podrá descubrir si existe
error pero no dónde
• Sólo pueden descubrirse si la ocurrencia es única
• Habrá que volver al campo y repetir las observaciones.
Nunca se puede subsanar desde el gabinete

Errores groseros angulares
• Se radian las distintas estaciones desde el punto de inicio, puesto
que se conocen acimuts y distancias, llegando a un punto
diferente al punto final
• Se desarrolla la poligonal en sentido contrario, partiendo ahora
del punto final
• Se llegará con el mismo defecto, pero habrá un punto en el que
coincidan los dos desarrollos: Este punto será el causante del
error angular
Errores groseros de distancia
• Se tiene un error de igual magnitud EE’=CC’
• El acimut del error coincide aproximadamente con el
del tramo equivocado
' ' '
tan E E C C
x
E E C B
y
e
e
   
   

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