5. ecuaciones cap 5 (1)

CAPITULO 5. TRANSFORMADA DE LAPLACE

CAPITULO 5.
TRANSFORMADA
DE LAPLACE
En los modelos matemáticos lineales desarrollados para un sistema físico, tal como un sistema
masa-resorte o un circuito eléctrico en serie, la entrada o función impulsora representa una fuerza
externa f(t) o un voltaje aplicado E(t). En los capítulos anteriores f y E eran continuas. No obstante,
funciones impulsoras discontinuas no son raras. Resolver una ecuación diferencial del sistema
puede resultar difícil cuando se utilizan las herramientas conocidas anteriormente en los capítulos
3 y 4. La TRANSFORMADA DE LAPLACE, QUE SE ESTUDIA EN ESTE CAPITULO, es una herramienta
invaluable que simplifica la solución de problemas como estos.

CONTENIDO
5.1. DEFINICION TRANSFORMADA DE LAPLACE

5.2. TRANSFORMADA INVERSA

5.3. TRANSFORMADA DE DERIVADAS

5.4. SOLUCION DE ECUACIONNES DIFERENCIALES

5.5. TEOREMAS DE TRASLACION

5.6 PROPIEDADES OPERACIONALES

DERIVADAS DE TRANSOFRMADAS

CONVOLUCION

ECUACIION INTEGRAL DE VOLTERRA

ECUACION INTEGRO-DIFERENCIAL

5.7. APLICACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES

VIGAS
Fuente: ECUACIONES DIFERENCIALES. Dennis Zill
Apuntes de Clase Prof. JORGE VILLAMIZAR MORALES Realizado: JAVIER O. GUERRERO R.
Revisado y complementado: Grupo de Ecuaciones Diferenciales S1 1er semestre 2011 Sede UIS-Socorro

5.1. DEFINICION TRANSFORMADA DE LAPLACE

TEOREMA. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Sea f una función definida para entonces se dice que la integral

Es la transformada de Laplace de f siempre y cuando la integral converja.

TEOREMA. CONDICIONES DE EXISTENCIA
Si es continua por tramos en el intervalo [0, ) y de orden exponencial c, entonces
existe para s c.

DEFINICION. FUNCION CONTINUA POR TRAMOS
Una función f es continua por tramos en [0, ) si, cualquier intervalo , hay cuando
mucho una cantidad finita de puntos en los cuales f tiene
discontinuidades finitas y es continua en todo el intervalo .

DEFINICION. ORDEN EXPONENCIAL
Se dice que una función f es de orden exponencial c si existen constantes tales
que para todo .

Ejemplo. Transformada de una función continúa por tramos.

Evaluar

La función es continua por tramos. Como f está definida en dos partes se expresa como la
suma de dos integrales.


5.2. TRANSFORMADA INVERSA
En esta sección se dan unos cuantos pasos en el estudio de cómo se puede utilizar la transformada
de Laplace para resolver ciertos tipos de ecuaciones.

Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f(t), que es , entonces
se dice que f(t) es la transformada inversa de Laplace de F(s) y se escribe .

La transformada inversa puede hallarse por medio de 2 métodos de fácil aplicación:
TABLAS
FRACCIONES PARCIALES

Ejemplo. División término a término, linealidad y fracciones parciales.

Evaluar

Solución. Primero se debe escribir como 2 expresiones la función de s usando la división termino
a término y después aplicando la propiedad de linealidad, se tiene:

Aplicando fracciones parciales, se tiene:

5.3. TRANSFORMADA DE DERIVADAS
Tal como fue señalado en la introducción de este capítulo, nuestra meta inmediata es usar la
transformada de Laplace para resolver ecuaciones diferenciales. Con ese fin, se necesitan evaluar
cantidades como:

TEOREMA. TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA
Si son continuas en [0, ) y de orden exponencial, y si es continua por
tramos en [0, ) entonces

Donde .


5.4. SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES
A partir del resultado del teorema anterior, resulta evidente depende de y
de las derivadas n-1 de y(t) evaluadas en t =0. Esta propiedad hace que la transformada de Laplace
sea tan adecuada para resolver problemas de valor inicial lineales donde la ecuación diferencial
contenga coeficientes constantes. Una ecuación deferencial de tal índole simplemente es una
combinación lineal de los términos :

Donde son constantes. Gracias a la propiedad de linealidad, la
transformada de Laplace de esta combinación Lineal es una combinación lineal de transformadas
de Laplace:

Con base en teorema de transformadas de derivadas, se tiene:

Donde y . En otras palabras la transformada de Laplace de una
ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes se convierte en una ecuación algebraica en
. El procedimiento se resume en los siguientes pasos:

1. Encontrar la incógnita y (t) que satisfaga la ED y las condiciones iniciales.
2. Aplicar la transformada de Laplace.
3. La ED transformada se convierte en una ecuación algebraica en
4. Resolver las ecuación transformada de
5. Aplicar la transformada inversa.
6. Resolver y(t) del PVI original.

TEOREMA. COMPORTAMINETO CUANDO

Si es continua por tramos en [0, ) y de orden exponencial, entonces:


5.5. TEOREMAS DE TRASLACION
No es conveniente usar la definición de la transformada de Laplace cada vez que se desee
encontrar la transformada de Laplace para una función f(t) dada. En esta sección se presentaran
varios teoremas que ahorran esfuerzo y permiten crear una lista más amplia de transformadas sin
la necesidad de usar la definición obtenida en la sección 5.1.

TEOREMA. PRIMER TEOREMA DE TRASLACION

Si es cualquier número real, entonces:

De manera análoga:

Ejemplo. Evaluar

DEFINICION. FUNCION ESCALON UNITARIO

En ingeniería es común encontrar funciones que están en estado ‘’activo’’ o ‘’inactivo’’. Por
ejemplo, una fuerza externa que actúe sobre un sistema mecánico o un voltaje aplicado a un
circuito pueden ser suspendidas después de cierto tiempo. Resulta conveniente, entonces, definir
una función especial que sea del numero 0 (inactiva) hasta cierto tiempo t=a, y de numero 1
(activa) después de ese tiempo. Esta función se denomina función escalón unitario o función de
Heaviside.

La función escalón unitario se define como:

TEOREMA. SEGUNDO TEOREMA DE TRASLACION

Si entonces:

De manera análoga:


5.6. PROPIEDADES OPERACIONALES ADICIONALES
En esta sección se desarrollaran muchas más propiedades de la transformada de Laplace. En
específico, se verá cómo encontrar la transformada de una función que esta multiplicada por
un monomio , la transformada de un tipo especial de integral y la transformada de una función
periódica. Las dos últimas propiedades de las transformadas nos permiten resolver algunas
ecuaciones con las cuales no se ha trabajado hasta este punto: las ecuaciones integrales de
Volterra, ecuaciones integrodiferenciales ordinarias donde la función de entrada es una función
periódica definida por tramos.

TEOREMA. DERIVADAS DE TRANSFORMADAS

Sea entonces:

Ejemplo. Evaluar

CONVOLUCION
Si las funciones f y g son continuas por tramos en el intervalo [0, ), entonces un producto
especial, denotado como está definido por la integral:

Y se conoce como convolución de f y g. la convolución f*g es una función de t y cumple con las
siguientes propiedades:
1. CONMUTATIVA
2. ASOCIATIVA
3. DISTRIBUTIVA

TEOREMA. CONVOLUCION

Si las funciones f y g son continuas por tramos en el intervalo [0, ) y de orden exponencial,
entonces:


ECUACION INTEGRAL DE VOLTERRA
El teorema de convolución es útil para resolver otros tipos de ecuaciones en los cuales una
función desconocida aparezca bajo un signo integral. (Las funciones g y h son conocidas)

ECUACION INTEGRO-DIFERENCIAL
El teorema de convolución es útil para resolver este otro tipo de ecuación conocida como
ECUACION INTEGRO FIFERENCIAL.

Resolver:

Si se observa detalladamente la integral, se tiene

Aplicando transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación:

Aplicando transformada inversa, se tiene:



5.7. APLICACIONES

SISTEMAS DE ECUACIONES
Resolver:

Aplicando Laplace y las condiciones iniciales a ambos lados des sistema:

Entonces:

Aplicando fracciones parciales y transformada inversa de Laplace, se tiene:

Análogamente se resuelve para


VIGAS
TIPO DE VIGA CONDICIONES

VIGA EMPOTRADA

VIGA EN VOLADIZO

VIGA SIMPLEMENTE APOYADA

Para solucionar este tipo de problemas se utiliza la siguiente ecuación para describir la deflexión
de las vigas:


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