TRANSFORMADA DE LAPLACE

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
BARCELONA _ ESTADO ANZOÁTEGUI
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Elaborado Por:
JAVIER SALAZAR C.I:14.008.669

2. CONTENIDO DE LA PRESENTACION
INTRODUCCIÒN
TRANSFORMADA DE LAPLACE
PERPESCTIVA HISTORICA
PROPIEDADES
DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
CONCLUSION
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

3. La transformada de LAPLACE es un operador LINEAL muy
útil para la resolución de ecuaciones diferenciales.
Laplace demostró como transformar las ecuaciones lineales
NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que pueden
resolverse por medios algebraicos.
INTRODUCCION

4. La transformada de Laplace de una función f(t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una
función L[f] de una variable real s dada por:
Denotamos al operador de Laplace por L, y como operador,
actúa sobre una función f y devuelve otra función L[f].
Esta definida para todo s ∈ R donde la integral tenga sentido
TRANSFORMADA DE LAPLACE

5. PERSPECTIVA HISTÓRICA
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático
francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la
probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de
integrales de la forma:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
como soluciones de ecuaciones
diferenciales, pero no profundizó en ellas y
pronto abandonó su investigación. Joseph
Louis Lagrange, admirador de Euler,
también investigó ese tipo de integrales, y
las ligó a la teoría de la probabilidad en un
trabajo sobre funciones de densidad de
probabilidad de la forma:

6. PERSPECTIVA HISTÓRICA
Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de Laplace.
Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en 1782, y siguiendo la
idea de Euler, trató de emplear estas integrales como soluciones de ecuaciones
diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso más allá, y reenfocó el problema para
en vez de usar las integrales como soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar
a las transformadas de Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral
de la forma:
análoga a la transformada de Mellin, con la que
transformó una ecuación diferencial en una ecuación
algebraica de la que buscó su solución. Planteó alguna
de las principales propiedades de su transformada, y de
alguna forma reconoció que el método de Joseph
Fourier para resolver por medio de series de Fourier la
ecuación de difusión podría relacionarse con su
transformada integral para un espacio finito con
soluciones periódicas.

7. TRANSFORMADA DE LAPLACE
linealidad
Integración
Derivación
Dualidad
Desplazamiento de
la frecuencia
Desplazamiento
temporal

8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Potencia n-
esima
función con
periodo p
Convulacion
Valor inicial
Valor final

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
linealidad
Derivación
Propiedad de
desplazamiento en el
eje S
Propiedad de
desplazamiento en el
eje t
DEMOSTRACION
DE LAS
PROPIEDADES

10. TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEMOSTRACION
DE LAS
PROPIEDADES
Integración
Transformada del
Delta de Dirac
Conociendo
previamente la función
del Delta de Dirac,
saliendo de la propia
definición

11. TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEMOSTRACION
DE LAS
PROPIEDADES
Transformada de
Funciones
Periódicas
Usando la definición de
transformada, y teniendo
conocimiento previo de la
función periódica
es necesario hacer la
sustitución

12. TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEMOSTRACION DE
LAS PROPIEDADES
Derivada de una
Transformada
Usando la definición de
transformada

13. TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEMOSTRACION DE
LAS PROPIEDADES
Integral de una
Transformada
Integrando la función en
el espacio de las
transformadas
Se integra primero en S y
después en T

14. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
la transformada inversa de
Laplace de una función F(s) es
la función f(t) que cumple con
la propiedad
La transformada de Laplace junto
con la transformada inversa de
Laplace tienen un número de
propiedades que las hacen útiles para
el análisis de sistemas dinámicos
lineales.
FORMA INTEGRAL
Una fórmula integral para la
transformada inversa de
Laplace, llamada integral de
Bromwich, integral de Fourier-
Mellin o fórmula inversa de
Mellin, es dada por la integral
lineal:
donde la integración se realiza a lo
largo de la línea vertical Re(s) = γ en
el plano complejo tal que γ es mayor
que la parte real de todas
las singularidades de F(s)

15. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
DEMOSTRACION
DE LAS
PROPIEDADES
linealidad
Si C1 y C2 son constantes
arbitrarias y F1 (s) y F2 (s)
son las transformada de
Laplace de F1 (t) y F2(t)
También se aplica
para mas de dos
funciones.
Traslación
entonces

16. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
linealidad entonces
Donde K es
una constante
Derivadas
entonces
Integrales
entonces

17. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
multiplicación entonces
convolución
entonces
Por lo que
multiplicar por s
produce el efecto
derivar F(T)
La expresión F*G se llama
convolucion de F y G y este
teorema se llama el teorema
de convolucion o propiedad
de convolucion

18. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente
abreviada "EDO") es la ecuación diferencial que relaciona una
función desconocida de una variable independiente con sus
derivadas. Es decir, una sola variable independiente (a diferencia
de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran
derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus
derivadas respecto de tal variable.
Isaac Newton se daba cuenta de
la importancia que tenían las
ecuaciones diferenciales para el
análisis de los fenómenos de la
naturaleza.

19. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ecuación diferencial ordinaria
la n-ésima derivada de Y,
entonces una ecuación
diferencial ordinaria
(EDO) de orden n tiene la
siguiente forma
Cuando una ecuación
diferencial de
orden n tiene la forma
La ecuación (2) es
llamada un sistema de
ecuaciones lineales
diferenciales de
dimensión m
Es llamada una
ecuación diferencial
implícita
Es llamada una
ecuación diferencial
explicita

20. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EDO DE
PRIMER ORDEN

21. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

22. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EDO EXACTAS

23. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EDO DE
SEGUNDO
ORDEN

24. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EDO DE
SEGUNDO
ORDEN

25. 1. Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se
convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y
de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido
aplicada con más éxito.
2. Muchos problemas básicos de las ciencias experimentales pueden ser
modelados usando ecuaciones donde aparecen involucradas una funcion
junto con sus derivadas.
CONCLUSIÒN

26. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
• https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace
• https://previa.uclm.es/profesorado/raulmmartin/Ampliacion
Matematicas/laplace.pdf
• https://temasdecalculo.com/2018/06/29/2-2-propiedades-
de-la-transformada-inversa-de-laplace-laplace/