Transformada Laplace

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO SANTIAGO MARIÑO
BARCELONA _ ESTADO ANZOÁTEGUI
TRANSFORMADA DE LAPLACE
Elaborado Por:
MARIA CORNIVEL C.I:23.734.548

2. CONTENIDO DE LA PRESENTACION
INTRODUCCIÒN
TRANSFORMADA DE LAPLACE
PERPESCTIVA HISTORICA
PROPIEDADES
DEMOSTRACION DE LAS PROPIEDADES
TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
CONCLUSION
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

3. La transformada de LAPLACE es un operador LINEAL muy
útil para la resolución de ecuaciones diferenciales.
Laplace demostró como transformar las ecuaciones lineales
NO HOMOGENEAS en ecuaciones algebraicas que pueden
resolverse por medios algebraicos.
INTRODUCCION

4. La transformada de Laplace de una función f(t), 0 ≤ t ≤ ∞ es una
función L[f] de una variable real s dada por:
Denotamos al operador de Laplace por L, y como operador,
actúa sobre una función f y devuelve otra función L[f].
Esta definida para todo s ∈ R donde la integral tenga sentido
TRANSFORMADA DE LAPLACE

5. PERSPECTIVA HISTÓRICA
La transformada de Laplace recibe su nombre en honor del matemático
francés Pierre-Simon Laplace, que la presentó dentro de su teoría de la
probabilidad. En 1744, Leonhard Euler había investigado un conjunto de
integrales de la forma:
TRANSFORMADA DE LAPLACE
como soluciones de ecuaciones
diferenciales, pero no profundizó en
ellas y pronto abandonó su
investigación. Joseph Louis Lagrange,
admirador de Euler, también investigó
ese tipo de integrales, y las ligó a la
teoría de la probabilidad en un trabajo
sobre funciones de densidad de
probabilidad de la forma:

6. PERSPECTIVA HISTÓRICA
Que algunos historiadores interpretan como auténticas transformadas de
Laplace. Este tipo de integrales atrajeron la atención de Laplace cuando, en
1782, y siguiendo la idea de Euler, trató de emplear estas integrales como
soluciones de ecuaciones diferenciales. Parece ser que en 1785 dio un paso
más allá, y reenfocó el problema para en vez de usar las integrales como
soluciones, aplicarlas a las ecuaciones dando lugar a las transformadas de
Laplace tal y como hoy en día se entienden. Usó una integral de la forma:
análoga a la transformada de Mellin, con la que
transformó una ecuación diferencial en una
ecuación algebraica de la que buscó su solución.
Planteó alguna de las principales propiedades de
su transformada, y de alguna forma reconoció
que el método de Joseph Fourier para resolver
por medio de series de Fourier la ecuación de
difusión podría relacionarse con su transformada
integral para un espacio finito con soluciones
periódicas.

7. TRANSFORMADA DE LAPLACE
linealidad
Integración
Derivación
Dualidad
Desplazamiento
de la frecuencia
Desplazamiento
temporal

8. TRANSFORMADA DE LAPLACE
Potencia
n-esima
función con
periodo p
Convulacion
Valor inicial
Valor final

9. TRANSFORMADA DE LAPLACE
linealidad
Derivación
Propiedad de
desplazamiento en
el eje S
Propiedad de
desplazamiento en
el eje t
DEMOSTRACION
DE LAS
PROPIEDADES

10. TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEMOSTRACION
DE LAS
PROPIEDADES
Integración
Transformada del
Delta de Dirac
Conociendo
previamente la
función del Delta de
Dirac, saliendo de la
propia definición

11. TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEMOSTRACION
DE LAS
PROPIEDADES
Transformada de
Funciones
Periódicas
Usando la definición de
transformada, y teniendo
conocimiento previo de la
función periódica
es necesario hacer
la sustitución

12. TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEMOSTRACION DE
LAS PROPIEDADES
Derivada de una
Transformada
Usando la definición
de transformada

13. TRANSFORMADA DE LAPLACE
DEMOSTRACION DE
LAS PROPIEDADES
Integral de una
Transformada
Integrando la función
en el espacio de las
transformadas
Se integra primero en
S y después en T

14. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
la transformada inversa de
Laplace de una función F(s)
es la función f(t) que cumple
con la propiedad
La transformada de Laplace junto
con la transformada inversa de
Laplace tienen un número de
propiedades que las hacen útiles
para el análisis de sistemas
dinámicos lineales.
FORMA INTEGRAL
Una fórmula integral para la
transformada inversa de
Laplace, llamada integral de
Bromwich, integral de
Fourier-Mellin o fórmula
inversa de Mellin, es dada
por la integral lineal:
donde la integración se realiza a
lo largo de la línea vertical Re(s)
= γ en el plano complejo tal que γ
es mayor que la parte real de
todas las singularidades de F(s)

15. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
DEMOSTRACION
DE LAS
PROPIEDADES
linealidad
Si C1 y C2 son
constantes arbitrarias y
F1 (s) y F2 (s) son las
transformada de Laplace
de F1 (t) y F2(t)
También se aplica
para mas de dos
funciones.
Traslación
entonces

16. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
linealidad entonces
Donde K es
una
constante
Derivadas
entonces
Integrales
entonces

17. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE
multiplicación entonces
convolución
entonces
Por lo que
multiplicar por s
produce el efecto
derivar F(T)
La expresión F*G se llama
convolucion de F y G y
este teorema se llama el
teorema de convolucion o
propiedad de convolucion

18. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
En matemáticas, una ecuación diferencial ordinaria (comúnmente
abreviada "EDO") es la ecuación diferencial que relaciona una
función desconocida de una variable independiente con sus
derivadas. Es decir, una sola variable independiente (a diferencia
de las ecuaciones diferenciales parciales que involucran
derivadas parciales de varias variables), y una o más de sus
derivadas respecto de tal variable.
Isaac Newton se daba cuenta
de la importancia que tenían
las ecuaciones diferenciales
para el análisis de los
fenómenos de la naturaleza.

19. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ecuación diferencial ordinaria
la n-ésima derivada de
Y, entonces una
ecuación diferencial
ordinaria (EDO) de
orden n tiene la
siguiente forma
Cuando una
ecuación diferencial
de orden n tiene la
forma
La ecuación (2) es
llamada un sistema
de ecuaciones
lineales diferenciales
de dimensión m
Es llamada una
ecuación diferencial
implícita
Es llamada una
ecuación
diferencial explicita

20. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EDO DE PRIMER
ORDEN

21. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

22. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EDO EXACTAS

23. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EDO DE SEGUNDO
ORDEN

24. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
EDO DE SEGUNDO
ORDEN

25. 1. Hacia principios del siglo XX, la transformada de Laplace se
convirtió en una herramienta común de la teoría de vibraciones y
de la teoría de circuitos, dos de los campos donde ha sido
aplicada con más éxito.
2. Muchos problemas básicos de las ciencias experimentales
pueden ser modelados usando ecuaciones donde aparecen
involucradas una funcion junto con sus derivadas.
CONCLUSIÒN

26. • https://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace
• https://previa.uclm.es/profesorado/raulmmartin/AmpliacionMatematicas/l
aplace.pdf
• https://temasdecalculo.com/2018/06/29/2-2-propiedades-de-la-
transformada-inversa-de-laplace-laplace/
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS