tranformacion lamplace , definición, propiedades,condiciones de existencia .

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO
EXTENSIÓN VALENCIA
TRANFORMACIONES LAPLACE
AUTOR : LUIS MONTES DE OCA
CI.: 21020777
ASIGNATURA: MATEMATICA IV
PROF.: PEDRO BELTRAN
ABRIL ,2019

2. INTRODUCCION
Es preciso indicar que el tema que se muestra, se apreciara el
estudio de las transformaciones laplace, conceptos y a su vez sus
ejemplos , además de ello los tipos de transformaciones que tiene
el método mostrando sus propiedades en cada caso y condiciones
de existencia.

3. DEFINICIÓN DE TRANSFORMADA LAPLACE
 La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números
reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento
de crecimiento de f(t).
 Gracias a la transformada de Laplace se pueden resolver muchos circuitos
(siempre que sean "Laplace-transformables"),

4. PROPIEDADES DE TRANFORMADAS
 Propiedad de transformación lineal:
 Para hablar de transformación lineal deben establecerse los espacios
vectoriales previamente y es evidente que los espacios vectorial real con
las definiciones usuales de suma de funciones y producto escalar. Por
ejemplo :

5. EJEMPLO SOBRE LA PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Problema
Determine:
Solución
Usando la propiedad de linealidad tenemos:
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
Haciendo álgebra:
Por tanto:

6. PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE.
Expresaremos aquí las propiedades más importantes de la
transformada de Laplace de funciones:

7. EJEMPLO
Con la ayuda de la tabla hallemos la transformada de Laplace de la función:
 f(x) = 3 + 2 x²
 Respuesta: Utilizando la propiedad 1, de linealidad de la transformadas, y
con ayuda de la tabla tenemos:

8. PROPIEDAD DE TRASLACIÓN EN LA
FRECUENCIA Y EN EL TIEMPO
ESCALACIÓN EN EL TIEMPO.

9. DERIVADAS
Derivadas de f(t)
Derivadas de F(s)

10. Integrales de F(s)
INTEGRALES
Integrales de f(t)

11. existe
CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA
DE UNA TRANSFORMADA INVERSA:
DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA
INVERSA DE LAPLACE.
Si la transformada de Laplace de f(t) es
F(s), entonces decimos que la
transformada inversa de Laplace de F(s)
es f(t), o

12. PROPIEDADES DE TRANSFORMADA INVERSA
PROPIEDAD DE LINEALIDAD
Si C1 y C2 son constantes arbitrarias y f 1(s) y f t(t) son
transformadas de laplace f2(t) y f2(s) entonces :
PRIMERA PROPIEDAD DE TRANSLACIÓN
, entonces

13.  EJEMPLO: SOBRE EL PRIMER TEOREMA DE TRASLACIÓN
Problema
Determine:
Solución
Para usar el primer teorema de traslación reconocemos:
Y por tanto:
Utilizando ahora la tabla de transformadas tenemos:
Haciendo álgebra:
Por tanto:

14.  SEGUNDA PROPIEDAD DE TRANSLACIÓN
Si , entonces:
 PROPIEDAD DEL CAMBIO DE ESCALA
Si , entonces:
Donde representa una constante

15. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE EN LAS DERIVADAS
 Si , entonces

16.  EJEMPLO: SOBRE TRANSFORMADA DE LA DERIVADA
Problema
Sabiendo que y(0)=3 y que y'(0)=-1, simplifique:
Solución
Aplicando la propiedad de linealidad:
Por el teorema de la transformada de la derivada:
Y
De donde:
Agrupando términos
Y por tanto:

17.  TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE EN LAS
INTEGRALES
Si , entonces

18.  EJEMPLO : SOBRE LA TRANSFORMADA DE LA INTEGRAL
Problema
Determine:
Solución
Para aplicar el teorema reconocemos que:
Es decir que:
Aplicando el teorema de la transformada de la integral tenemos:
Haciendo uso de la tabla de transformadas:
Desarrollando la integral
Así la integral queda:
Por tanto :

19.  Multiplicación por s^n.
Si y , entonces
 Por lo que, multiplicando por produce el efecto de derivar .
Si , entonces o también :

20. DIVISIÓN POR S.
 Si , entonces :
De manera que la división por s (o multiplicación por 1/s) produce el
efecto de integrar f (t) entre 0 y t .

21. PROPIEDAD DE CONVOLUCIÓN
Si ,y entonces:
La expresión F*G se llama convolucion de F y G y este teorema de
convolucion o propiedad de convolucion.

22.  Ejemplo : Sobre el teorema de convolución
Problema
Determine
Solución
En este caso
Donde
Si usamos el teorema de convolución:
Como :
y
Entonces:

23. TRANSFORMADA DE LAPLACE: SOLUCIÓN DE ED
Una de las principales aplicaciones de la transformada de Laplace es la de
resolver ED lineales con condiciones iniciales.
El método es esencialmente simple y puede ser descrito en los siguientes
pasos.
 Aplicar la transformada en ambos miembros de la ED
 Utilizar las propiedades de la transformada para que solo quede en
términos de L{y(t)} y despejarla. Lo que se obtiene recibe el nombre
de ecuación algebraica o subsidiaria.
 Aplicar la transformada inversa para despejar y(t)

24. Resuelva el problema:
que satisface:
Solución
Aplicando la transformada en ambos miembros tenemos:
por la propiedad de linealidad aplicada en el primer miembro
Ec 1
por el teorema de la transformada de la derivada sabemos que:
y que:
sustituyendo lo anterior en la ecuación 1 tenemos:
Agrupando y solo dejando en el primer miembro los términos que
contienen L{y(t)}:

25.  Así la ecuación subsidiaria o algebraica queda:
Ec 2
 Si aplicamos el método rápido de fracciones parciales en el segundo
miembro:
 para A; su denominador se hace cero para s=0 asi:

para B; su denominador se hace cero para s=3 asi:
 para C; su denominador se
hace cero para s=-1 así:

26. 
 aplicando la transformada inversa:
 Por tanto queda :

27. CONDICIONES PARA LA EXISTENCIA
DE TRANSFORMADA DE LAPLACE.
f(t) es continua a tramos en
•f(t) es de orden exponencial
cuando . Eso es que existen constantes reales K, a
y T tales que
para todo
Nota: 1) y 2) son condiciones suficientes pero no
necesarias para que F(s) exista.

28. CONCLUSIÓN
 Se aprecia que las transformaciones laplace tiene muchas aristas
para ser resueltas , que el mismo es útil para resolver circuitos de
una manera metódica , y ecuaciones ordinarias de manera un poco
mas metódica. Cabe destacar que es tema complejo y que el
tiempo de estudio hacia ella es importante.

29. BIBLIOGRAFÍA
 transformación laplace disponible en :
http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/transform_lapl.htm
[consulta el 29 marzo de 2019]
 transformación laplace disponible en
:http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/transform_lapl.htm[
consulta el 02 abril de 2019].
 transformación laplace disponible en :
www.mty.itesm.mx/etie/deptos/m/ma-841/laplace/ [consulta el 02 abril de
2019].
 transformación laplace disponible en :
euler.us.es/~renato/clases/mm2/laplace.pdf [consulta el 02 de abril 2019].
 transformación laplace disponible en :
https://temasdecalculo.com/2018/06/29/2-2-propiedades-de-la-
transformada-inversa-de-laplace-laplace/[consulta el 02 de abril del 2019].

30. GRACIAS POR LA ATENCIÓN!!!
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