teorema de laplace

1. Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio de Poder Popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico
Santiago Mariño
Sede Barcelona
Profesor:
Pedro Beltrán
Alumnos
Jesús Caraballo
María Aponte
Yorgelis Méndez
Teorema de Laplace

2. Introducción
- Pierre- Simon Laplace fue un astrónomo, físico, matemático y matemático
francés, continuador de la mecánica newtoniana, descubrió y desarrolló la
transformada de Laplace y la ecuación de Laplace; como estadístico, sentó las
bases de la teoría analítica de la probabilidad y como astrónomo planteo la
teoría nebular sobre la formación del sistema solar. Compartió la doctrina
filosófica del determinismo científico.
- Pierre- Simon Laplace nació el 23 de marzo de 1749 en Normandía, Francia y
murió a los 77 años el 5 de marzo de 1827 en Paris Francia y se encuentra
sepultado en el cementerio de Montparnasse.

3. Desarrollo
-Transformada de Laplace: Es un tipo de trasformada integral frecuentemente usada
para la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias. La Transformada de
Laplace de una función F(t) definida para todos los números positivos, es la
función:
-Siempre y cuando la integral este definida. Cuando F(t) es una distribución con
una singularidad en 0, la definición es:

4. Ejemplos de la Transformada de
Laplace

5. Ejemplos de la Transformada de
Laplace

6. Propiedades de la Transformada de
Laplace
1-)Propiedad Lineal: La Transformación de Laplace es lineal, dadas dos
funciones f , g se verifica:
2-)Propiedad de cambio de escala: Sea f(t) perteneciente a E. La función g(t)
también pertenece a E y se verifica:

7. Propiedades de la Transformada de
Laplace
3-)Propiedad de desplazamiento en frecuencia: Sea F(t) perteneciente a E. La
función g(t) también pertenece a E y se verifica:
4-)Propiedad de desplazamiento en el tiempo: Sea f(t) perteneciente a E. La
función g(t)= F(t-T)u(t-T) también pertenece a E y se verifica:

8. Propiedades de la Transformada de
Laplace
-Derivada primera de una función: Sea F(t) una función continua de orden,
cuya derivada primera F´(t) sea continua a trozos de orden exponencial. La
transformada de Laplace de la primera derivada de f se verifica:
-Primitiva de una función: Sea F(t) perteneciente a E. Su primitiva g(t) es
continua y de orden exponencial, su transformada de Laplace viene dada
por:

9. Ejemplos de las propiedades de la
transformada de Laplace

10. Ejemplos de las propiedades de la
transformada de Laplace

11. Ejemplos de las propiedades de la
transformada de Laplace

12. Transformada inversa de Laplace
-La transformada inversa de Laplace de una función es una F(t) que cumple
con la propiedad L{f(t)}=F(s), donde L es la transformada de Laplace. La
transformada de Laplace junto con la transformada inversa de Laplace
tienen un numero de características que las hacen útiles para el análisis de
sistemas dinámicos lineales.
-Características:
-Es un método operacional que puede resolver ecuaciones diferenciales
ordinarias.
-Sirve para reemplazar operaciones como derivadas e integrales, por
operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.
-Las funciones senoidales y exponenciales se pueden convertir en funciones
algebraicas lineales en la variable S.

13. Ejemplos de transformada inversa de
Laplace

14. Ejemplos de transformada inversa de
Laplace

15. Propiedades de la Transformada
Inversa de Laplace
1-)Propiedad Lineal: Distribuye sobre las sumas y restas y sacan
constantes que multiplican:
2-)Propiedad de trasladación: La transformada de Laplace se convierte
en un factor exponencial en una translación en la variable S

16. Propiedades de la Transformada
Inversa de Laplace
3-)Teorema de la transformada de la derivada: La transformada de
Laplace cancela la derivada multiplicando por la variable S
4-)Teorema de la transformada de la integral

17. Propiedades de la Transformada
Inversa de Laplace
4-)Teorema de la derivada de la transformada
4-)Teorema de la integral de la transformada

18. Ejemplos de las propiedades de la
Transformada Inversa de Laplace

19. Ejemplos de las propiedades de la
Transformada Inversa de Laplace

20. Ecuaciones diferenciales ordinarias
por transformación de Laplace
-La aplicación de la transformación de Laplace para resolver ecuaciones
diferenciales lineales con coeficientes constantes radica en reducirlas en
ecuaciones algebraicas lineales.
-Cabe resaltar que algunos problemas que involucran ecuaciones diferenciales
no homogéneas con coeficientes constantes suelen tener como parte no
homogénea una función que no es continua, por lo que estos problemas es mas
sencillo cuando se utiliza la transformada de Laplace.
-Se resuelven con facilidad las ecuaciones diferenciales de coeficientes no
constantes en derivadas parciales y ecuaciones integrales.

21. Serie de Fourier
-Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una
función periódica y continua a trozos.
-Las series de Fourier constituyen una herramienta matemática básica para el
análisis de Fourier, empleado para analizar funciones periódicas a través de
la descomposición de dicha función de una suma infinita de funciones
sinoidales mucho mas simples.
-Las series de Fourier tienen la siguiente forma:

22. Ejemplo de la serie de Fourier

23. Condición de existencia
-Condiciones suficientes para desarrollar una función en serie de Fourier:
1-)Sea continua en un intervalo de amplitud igual a un periodo, salvo en un
numero finito de puntos de discontinuidad de salto finito.
2-)Tener un numero finito de máximos y mínimos en este intervalo.
-Si cumple estas condiciones la serie de Fourier es convergente y tiene por
suma el valor de la función f(x) .

24. Periocidad de funciones
-Las series de Fourier surgen de la tarea practica de representar una
función periódica f(t) dada en términos de funciones seno y coseno.
-Estas series son trigonométricas cuyos coeficientes se determinan a
partir de f(t) mediante ciertas formulas (formula de Euler), las cuales
se establecen primero.

25. Serie de Fourier para periodos
diferentes de 2
-Muchas aplicaciones de las series trigonométricas de Fourier en la ciencia
y la técnica requieren determinar el desarrollo de una función periódica con
periodo T>0, siendo T distinto de 2.
-El desarrollo de la serie de Fourier de una función periódica con periodo
T>0 y distinto de 2 se expresa de la siguiente forma:

26. Serie de coseno Fourier
-Si f es una función definida en el intervalo 0 , p y se busca obtener un
desarrollo en serie de Fourier de solo cosenos que la represente, se debe hacer
una extensión par de la función al intervalo simétrico y realizar el desarrollo de
esta nueva función en el intervalo –p , p .
-Entonces si desarrollamos la función g(x) definida en el intervalo ´-p , p en una
serie de Fourier, como es una función par, resultara en una de solo cosenos.

27. Serie de seno Fourier
-Si f es una función definida en el intervalo 0 , p y se busca obtener un
desarrollo en serie de Fourier de solo senos que la represente, se debe hacer una
extensión impar de la función al intervalo simétrico y realizar el desarrollo de
esta nueva función en el intervalo –p , p .
-Entonces si desarrollamos la función g(x) definida en el intervalo ´-p , p en una
serie de Fourier, como es una función impar, resultara en una de solo senos.

28. Transformada de Fourier
-Es una transformación matemática empleada para transformar señales
entre el dominio del tiempo y el dominio de la frecuencia.
-La transformada de Fourier es una aplicación que hace corresponder a
una función F con otra función G definida de la siguiente manera:

29. Ejemplos de la transformada de
Fourier

30. Ejemplos de la transformada de
Fourier

31. Condición de existencia
-Estas son las condiciones para que exista la transformada de Fourier:
1-)Es absolutamente integrable.
2-)Es continua por intervalos a , b finitos.

32. Propiedades de la transformada de
Fourier
-Cambio de escala
-Transformada de la
derivada
-Trasladación
-Trasladación de la
variable transformada
-Derivada de la
transformada

33. Interpretación de la transformada de
Fourier
-La transformada de Fourier se puede interpretar como un espectro de
frecuencias de una función.
-Un ejemplo de esto puede ser el oído humano, ya que recibe una onda
auditiva y la transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que
es lo que finalmente escucha).
-La transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo
durante el cual existió la señal.

34. Conclusión
-El estudio de la transformada de Laplace es muy importante, pues su uso
convierte funciones habituales trascendentes en funciones algebraicas, con este
método la transformada de Laplace es una vía para la solución de ecuaciones
diferenciales lineales que constituyen los modelos matemáticos mas frecuentes
en la representación matemática de problema de circuitos.
-Por otra parte, la transformada de Fourier se encarga de transformar una señal
del dominio del tiempo, al dominio de la frecuencia, de donde se puede realizar
su anti transformada y volver al dominio temporal.

35. Bibliografía
-Murray R: Transformada de Laplace (2014) Mc Graw Hill / Interamericana de
México, México D.F. ISBN 978-0-8176-4393-5
-Bergasa J: Laplace: el matemático de los cielos (2003). Nivola. ISBN 84-
95599-63-5.
-Braun, M: Ecuaciones diferenciales y su aplicación (1993). Springer-Verlaf,
Berlin. ISBN 978-0-8218-8328-0
-Zafrany S: Series de Fourier y transformación de integrales (1997). Cambridge
University Press. ISBN 1-58488-299-9