Trabajo de Estadistica diseño 2 ala 2.pptx

Universidad Nacional de ingeniería
Instituto de Estudios superiores
Facultad de Sistemas
Trabajo de Estadística II
Tema: Diseño 2^2
Integrantes: Leiker Fabian López Castillo
Diana Belén Alemán Campos
Boris Eduardo Briceño Vilchez
Jeremy Boanerges Calderón Fuentes
Pedro Pablo Chávez Colindres
Marcos García
Profesora: Ana Gabriela Moreno Ulloa
Grupo: 2m2-s
Fecha: Jueves 07 de octubre del 2021
Carrera: Ingeniería en Sistemas

Definición del Diseño 2^2
Son denominados diseño 2^K los diseños en los cuales cada uno de los factores cuenta con dos niveles es decir
cuando se realiza un experimento con un numero de factores K en el cada uno de estos solo puede adoptar dos
niveles .Estos niveles podrían ser cualitativos o cuantitativos y una replica completa de tal diseño requiere que
realizar 2^k Combinaciones.
Este diseño describe como realizar los experimentos de la forma mas adecuada para conocer simultáneamente que
efectos tiene K factores sobre una respuesta y descubrir su interacción entre ellos.
El modelo mas sencillo para el diseño 2^K es el modelo 2^2 sin replica el cuenta con dos factores de dos niveles
cada uno .Estos factores por ejemplo podrían ser A y B los cuales tienen cada uno dos niveles a los que trabajar ,alto y
bajo.
Debido a que solo hay dos niveles para cada factor asumimos que la respuesta es aproximadamente lineal en el rango
de los niveles elegidos en los factores.
El efecto de un factor se define como el cambio en la respuesta que produce un cambio en el nivel del factor

Respuesta
b
ab
(1)
a
Bajo Nivel A Alto
Gráfico del diseño 𝟐𝟐

Diseño 𝟐𝒌 para K = 2 factores
Este diseño es el mas sencillo de la serie consideramos dos factores: A y B cada uno a 2 niveles
Normalmente consideramos estos niveles como los niveles alto y bajo del factor El diseño 𝟐𝟐
puede ser representado
geometricamente como un cuadrado con 4 ensayos .
Para cualquier diseño 2𝑘
con n replicas , la estimación del efecto y de los cuadrados se estiman de la siguiente forma
Efecto = Contraste/n 2𝑘−1
𝑺𝑺𝑿 = [Contraste]𝟐
/𝒏𝟐𝒌
Los efectos de interés en el diseño 𝟐𝟐
son los efectos principales de A y B y la interacción AB. Estimaremos cada uno de los
efectos de la siguiente forma
A = [a + ab-b-(1)]/2n
B = [b + ab -a-(1)]/2n
AB = [ab + (1)-a -b]/2n
Las cantidades entre los corchetes en las ecuaciones anteriores se llaman “Contrastes” .Podemos utilizar los contrastes
para calcular la suma de los cuadrados para A Y B y La interacción A y B
𝑺𝑺𝑨 = [a + ab-b-(1)]𝟐
/4n
𝑺𝑺𝑩 = [b + ab - a-(1)]𝟐/4n
𝑺𝑺𝑨𝑩 = [ab+(1)-a-b]𝟐/4n

ventajas del diseño factorial 2²
 - son mas eficientes que los experimentos de un solo factor ala vez
 - los diseños factoriales 2k son necesarios cuando alguna interacción
pueda estar presente para evitar conclusiones engañosas
 -los diseños factoriales pueden estimar los efectos de un factor en
diversos niveles de los otros factores produciendo conclusiones que son
validas sobre la extensión de las condiciones experimentales

Desventajas del diseño factorial 2²
 - Se requiere un mayor número de unidades experimentales que los
experimentos simples y por lo tanto se tendrá un mayor costo y trabajo
en la ejecución del experimento.
 -Como en los experimentos factoriales cada uno de los niveles de un
factor se combinan con los niveles de los otros factores; a fin de que
exista un balance en el análisis estadístico se tendrá que algunas de las
combinaciones no tienen interés práctico, pero deben incluirse para
mantener el balance.
 - El análisis estadístico es más complicado que en los experimentos
simples y la interpretación de los resultados se hace más difícil a medida
que aumenta el número de factores y niveles por factor en el
experimento

Características del diseño factorial 2²
 - los diseños factoriales son ampliamente utilizados en experimentos en
los que intervienen para estudiar el efecto conjunto de estos para
estudiar una respuesta
 - una clase especial de diseños factoriales equilibrados, lo constituyen
los diseños conocidos como 2k en ellos, se ensayan factores, cada uno a
dos factores
 -su nombre se deriva de la cantidad de los tratamientos ensayados o
experimentos elementales que se realizan
 Si el experimento es sin replicación 2k será el total de pruebas
 Particularmente útil en las primeras fases del trabajo experimental,
cuando posiblemente haya muchos factores que investigar

Signos Algebraicos para Calcular los efectos del Diseño 𝟐𝟐
Combinacione
s de
Tratamientos
I A B AB
(1) + - - +
a + + - -
b + - + -
ab + + + +

Tabla de Anova Diseño 𝟐𝟐
La 𝑠𝑠𝐸(suma de los cuadrados del error) la obtenemos por diferencia respecto
a 𝑠𝑠𝑇
Fuente de
variación
Suma de
Cuadrados
Grados de
libertad
Cuadrado medio Fe
Tratamiento A SSA a-1 MSA = SSA / a-1 MSA/MSE
Tratamiento B SSB b-1 MSB=SSB/b-1 MSB/MSE
Interacción AB SSAB (a-1)(b-1) MSA=SSAB/(a-1)(b-1) MSAB/MSE
Error SSE ab(n-1) MSE =SSE/ab(n-1)
Total SST abn -1

Ejemplo Aplicado del Diseño 2²
Se usa máquina para hacer ranuras de localización en una tarjeta de circuitos impresos. El
nivel de vibración en la superficie de la tarjeta cuando se hacen las ranuras se considera una
fuente principal de variación dimensional de las ranuras. Se piensa que dos factores influyen
en la vibración: el tamaño de las ranuras (A) y la velocidad de corte (B).
Se seleccionan dos tamaños de las ranuras (1/16 y 1/8 de pulgada) y dos velocidades (40 y 90
rpm). La variable de respuesta es la vibración:
Réplicas
I II III IV 𝒚
- - (1) 18.2 18.9 12.9 14.4 64.4
+ - a 27.2 24.0 22.4 22.5 96.1
- + b 15.9 14.5 15.1 14.2 59.7
+ + ab 41.0 43.9 36.3 39.9 161.1
Total 381.3
Tratamientos
A B
1. Calculo de los tratamientos:
 Sumar cada una de las filas como lo muestra la flecha naranja
 Luego sumar todos lo resultados de cada una de las filas lo cual nos dara un
resultado de 381.3 que no servirá para sacar la media como lo muestra la flecha de
color verde

 Ahora vamos sacar la media de 𝒚 lo cual se hace dividiendo el total de la suma de
las filas entre el numero de elementos totales que este caso son 16 ¿porque son
16 en la fecha morada indica los elementos que forman los 16
Réplicas
I II III IV 𝒚
- - (1) 18.2 18.9 12.9 14.4 64.4
+ - a 27.2 24.0 22.4 22.5 96.1
- + b 15.9 14.5 15.1 14.2 59.7
+ + ab 41.0 43.9 36.3 39.9 161.1
Total 381.3
A B Tratamientos
Todos esos elementos
sumados forman 16 en
total
𝑦 =
381.3
16
= 23.83125 = 23.83
Como resultado nos dio 23.83 de la media de 𝒚 que muestra la flecha de color amarillo que ese es el valor que
ocuparemos mas adelante

2. Calculo de los efectos :
 Sustituimos en cada una de las formulas que el resultado de las sumas de
cada fila en esta caso de a, b , ab , n y (1)
a = 96.1 ab = 161.1 b = 59.7 n = 4 (1) = 64.4
A = [a + ab-b-(1)]/2n
A = [96.1+ 161.1 -59.7 -64.4 ]/2(4)
A = [257.2 – 124. 1 ]/8
A = [133.1]/8
A = 16.6375
A = 16.64
 Como puede ver en las flechas de color morado se sustituyo cada uno de las
variables por el valor al que equivalen y se realizaron las operaciones se sumaron
los números con signos semejantes y se restaron los números con signos
diferentes y se multiplico el 2 por el número de replicas el cual equivale a 4 y al final
se dividido el resultado de la resta de lo números con signos diferentes se dividido
entre 8 el cual nos dio 16.64 así como lo muestra la fecha celeste el antes de que
fuera redondeado
Resultado de la calculadora
Resultado redondeado

 Sustituimos en cada una de las formulas al igual que la primera
a = 96.1 ab = 161.1 b = 59.7 n = 4 (1) = 64.4
B = [b + ab - a- (1)]/2n
B= [59.7+ 161.1 - 96.1 – 64.4]/2(4)
B = [220.8 – 160.5 ]/8
B = [60.3]/8
B = 7.5375
B = 7.54
 Como puede ver en las flechas de color morado se sustituyo cada uno de las variables por el
valor al que equivalen y se realizaron las operaciones se sumaron los números con signos
semejantes y se restaron los números con signos diferentes y se multiplico el 2 por el
número de replicas el cual equivale a 4 y al final se dividido el resultado de la resta de lo
números con signos diferentes se dividido entre 8 el cual nos dio 7.54 así como lo muestra la
fecha celeste el antes de que fuera redondeado

 Sustituimos en cada una de las formulas al igual que la primera
a = 96.1 ab = 161.1 b = 59.7 n = 4 (1) = 64.4
AB = [ab + (1) - a- b]/2n
AB= [161.1 + 64.4 - 96.1 – 59.7]/2(4)
AB = [225.5 – 155.8 ]/8
AB = [69.7]/8
AB = 8.7125
AB = 8.71
 Como puede ver en las flechas de color morado se sustituyo cada uno de las variables por el
valor al que equivalen y se realizaron las operaciones se sumaron los números con signos
semejantes y se restaron los números con signos diferentes y se multiplico el 2 por el
número de replicas el cual equivale a 4 y al final se dividido el resultado de la resta de lo
números con signos diferentes se dividido entre 8 el cual nos dio 8.71 así como lo muestra la
fecha celeste el antes de que fuera redondeado

3. Calculo de las sumatorias de los cuadrados:
 Sustituimos en cada una de las formulas que el resultado de las sumas de cada fila en esta caso de a,
b , ab , n y (1)
a = 96.1 ab = 161.1 b = 59.7 n = 4 (1) = 64.4
𝑺𝑺𝑨 = [a + ab-b-(1)]𝟐
/4n
𝑺𝑺𝑨 = [96.1 + 161.1 -59.7-64.4]𝟐
/4(4)
𝑺𝑺𝑨 = [257.2 – 124.1]𝟐
/16
𝑺𝑺𝑨 = [133.1]𝟐
/16
𝑺𝑺𝑨 = [17715.61] /16
𝑺𝑺𝑨 = 1107.225625
𝑺𝑺𝑨 = 1107.22
 Como podemos ver en las flechas de color morado se sustituyeron los valores y se realizaron las operaciones al
igual que en el calculo de los efectos lo único diferente es que el resultado que nos dio la resta que es este caso
133.1 lo elevamos al cuadrado lo que nos dio como resultado 17715.61 y eso lo dividimos entre 16 que es la
multiplicación de 4 por el número de replicas nos da 1107.22 el resultado final en celeste resultados
Resultado no redondeado

b , ab , n y (1)
a = 96.1 ab = 161.1 b = 59.7 n = 4 (1) = 64.4
𝑺𝑺𝑩 = [b + ab - a-(1)]𝟐
/4n
𝑺𝑺𝑩 = [59.7+ 161.1 -96.1-64.4]𝟐
/4(4)
𝑺𝑺𝑩 = [220.8 – 160.5]𝟐
/16
𝑺𝑺𝑩 = [60.3]𝟐
/16
𝑺𝑺𝑩 = [3636.09] /16
𝑺𝑺𝑩 = 227.255625
𝑺𝑺𝑩 = 227.25
60.3 lo elevamos al cuadrado lo que nos dio como resultado 3636.09 y eso lo dividimos entre 16 que es la

b , ab , n y (1)
a = 96.1 ab = 161.1 b = 59.7 n = 4 (1) = 64.4
𝑺𝑺𝑨𝑩 = [ab+(1)-a-b]𝟐
/4n
𝑺𝑺𝑨𝑩 = [161.1+ 64.4 -96.1-59.7]𝟐
/4(4)
𝑺𝑺𝑨𝑩 = [225.5 – 155.8]𝟐
/16
𝑺𝑺𝑨𝑩 = [69.7]𝟐
/16
𝑺𝑺𝑨𝑩 = [4858.09] /16
𝑺𝑺𝑨𝑩 = 303.630625
𝑺𝑺𝑨𝑩 = 303.63
69.7.lo elevamos al cuadrado lo que nos dio como resultado 4858.09 y eso lo dividimos entre 16 que es la

4. Gráfico de las interacciones
50
59.7
64.4
96.1
100
161.1
200
A - A+
B- B+
Como podemos observar el plano se
encuentra los totales de cada una de las filas
la fecha naranja representa los valores de –A
y A+ que son de A- 64.4 y A+ 96.1
Y la flecha de color verde representa lo
valores de –B y +B que son de –B 59.7 y +B
161.1 los cuales fueron en el comienzo del
ejercicio

Calculo de las sumatorias de los cuadrados continuación:
𝑺𝑺𝑻 = 𝑺𝑺𝑨 + 𝑺𝑺𝑩 𝑺𝑺𝑨𝑩 + 𝑺𝑺𝑬
𝑺𝑺𝑻 =
𝑰=𝟏
𝟐
𝑱=𝟏
𝟐
𝒌=𝟏
𝟒
(𝒚𝒊𝒋𝒌 − 𝒚 )𝟐
Bien con estas formulas haremos la suma de los cuadrados totales los cuales restaremos menos la media que
sacamos en el comienzo que es 23.83 en la flecha morada señala y luego lo elevamos al cuadrado una vez que
hayamos elevado las cantidades al cuadrado la sumaremos lo cual nos dara un total de 1709.83
𝒚 = 𝟐𝟑. 𝟖𝟑 Formulas a
utilizar para el
procedimiento
𝑺𝑺𝑻 = (18.2 − 23.83)2
+ (18.9 − 23.83)2
+ (12.9 − 23.83)2
+ (14.4 − 23.83)2
+ (27.2 − 23.83)2
+ (24.0 − 23.83)2
𝑺𝑺𝑻 = (22.4 − 23.83)2 + (22.5 − 23.83)2 + (15.9 − 23.83)2 + (14.5 − 23.83)2 + (15.1 − 23.83)2 + (14.2 − 23.83)2
𝑺𝑺𝑻 = (41.0 − 23.83)2 + (43.9 − 23.83)2 + (36.3 − 23.83)2 + (39.9 − 23.83)2
𝑺𝑺𝑻 = (−5.63)2 + (−4.93)2 + (−10.93)2 + (−9.43)2 + (3.37)2 + (0.17)2 + (−1.43)2 + (−1.33)2 + (−7.93)2 + (−9.33)2
𝑺𝑺𝑻 = (−8.73)2
+ (−9.63)2
+ (17.17)2
+ (20.07)2
+ (12.47)2
+ (16.07)2
𝑺𝑺𝑻 = 31.6969 + 24.3049 + 119.4649 + 88.9249 + 11.3569 + 0.0289 + 2.0449 + 1.7689 + 62.8849 + 87.0489 + 76.2129
𝑺𝑺𝑻 = 92.7369 + 294.8089 + 402.8049 + 155.5009 + 258.2449 = 1709.83
𝑺𝑺𝑻 = 1709.83

4. Calculo de la suma de los cuadrados del error
𝑺𝑺𝑬 = 𝐒𝐒𝐓 − 𝐒𝐒𝐀 − 𝐒𝐒𝐁 − 𝐒𝐒𝐀𝐁
𝑺𝑺𝑬 = 𝟏𝟕𝟎𝟗. 𝟖𝟑 − 𝟏𝟏𝟎𝟕. 𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝟕. 𝟐𝟓 − 303.63
𝑺𝑺𝑬 = 71.73
Como puede observar a la suma de los cuadrados totales le restamos los resultados de la sumatorias de A,
B Y AB el cual nos dio un resultado de 71.73 el cual será incluido en la tabla nova como lo muestra la flecha
celeste

Fuente de
variación
Suma de
cuadrados
Grados de
libertad
Cuadrado
medio
Fo
A 1107.22 1 1107,2 185,46
B 227.25 1 227,25 38,06
AB 303.63 1 303,63 50,85
Error 71.73 12 5,97
Total 1709.83 15
5. Tabla Anova del diseño𝟐𝟐
Conclusión
Los factores A(tamaño de ranura) y B(Velocidad de corte) Inciden en la vibración siendo el tamaño de
ranura el que tiene un efecto mas significativo De igual manera la interacción es igual de importante

Suma de cuadrados: En la suma de cuadrados solo ponemos los resultados encontrados en
cada uno de los cuadrados y luego lo sumamos y el resultado debe ser igual al de la sumatorias
total de cuadrados sino es igual deberá revisar los cálculos y volver a revisar el procedimiento
Calculo de los Grados de Libertad
En este caso utilizaremos la formula que aparece en la tabla Anova a - 1
𝒂 = 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒏𝒊𝒗𝒆𝒍𝒆𝒔 𝒓𝒆𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒔 𝒚 𝒕𝒓𝒂𝒕𝒂𝒎𝒊𝒆𝒏𝒕𝒐𝒔
𝒂 = 𝟐 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂
𝑎 − 1 = 2 − 1 = 1
Como resultado nos va da 1 que ese 1 ira en A y en B sucede lo mismo debido a que tiene el mismo números de
niveles y nos da el mismo tal como lo muestra la flecha amarilla en A y flecha naranja En B
B = 𝟐 𝒔𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒊𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒖𝒍𝒂
En Ab para obtener ese grado de libertad multiplicamos el grado de Libertad A por el grado de libertad B osea 1 X
1 = 1 y el grado de libertad de ab es 1 y el grado de libertad de los errores lo sacamos el numero total de
elementos que en este caso son 16 – 1 = 15 y luego le restamos los grados lo grados de libertad de A, B y AB =
15-1-1-1 = 12 y asi obtenemos este este resultado
𝒃 − 𝟏 = 𝟐 − 𝟏 = 𝟏

Calculo de los cuadrados medios:
Los cuadrados medios se calculan dividiendo los grados de libertad entre la suma de cuadrados
Es decir asi en base ala formula que aparece en la tabla Anova
Cuadrado medio de A
𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑏𝑒𝑟𝑡𝑎𝑑
=
1107.22
1
= 1107,2
Cuadrado medio de B
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 =
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠
=
227.25
1
= 227.25
Cuadrado medio de AB
=
303.63
1
= 303.63
Cuadrado medio del Error
=
71.73
12
= 5.97
Como puede ver aquí tenemos los resultados del cuadrado medio del error nos dieron tal como salen en el
cuadro de la tabla Anova la flecha celeste lo muestra ahora vamos a Mostrar como se calculo el F0

Calculo de Fo
Para calcular el Fo de A , B y AB se debe dividir el cuadrado medio de cada uno de ellos
entre el cuadrado medio del error asi sucesivamente o sea así
Fo de A
𝐹𝑜 =
𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐴
𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟
=
1107.2
5.97
=185.46
Fo de B
𝐹𝑜 =
𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐵
=
227.25
5.97
=38.06
Fo de AB
𝐹𝑜 =
𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝐴𝐵
=
303.63
5.97
= 50.85
Como puede ver aquí se muestra el calculo de los valores de Fo asi como lo muestra la
flecha verde

Bibliografía
https://upcommons.upc.edu/bitstream/handle/2117/339723/TFM_Fernandez_Bao_Sheila.pdf?sequence=1
&isAllowed=y
https://es.slideshare.net/yahairalgonzalez/diseo-factorial-2k
https://www.youtube.com/watch?v=0mAmDU7pzhs

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