Este documento describe diseños factoriales 2k para experimentos de diseño de experimentos. Explica que un diseño factorial 2k considera k factores con 2 niveles cada uno, lo que da un total de 2k tratamientos. También describe cómo se calculan los efectos principales e interacciones, y cómo se representa y analiza la varianza del diseño a través de un ANOVA. Incluye ejemplos para ilustrar cómo aplicar estos diseños factoriales 2k para resolver problemas reales de ingeniería.

1. capitulo 6
Diseños Factoriales 2^k
diseño de experimentos

2. Diseño factorial 22
Se estudia el efecto de dos factores
Hay varias notaciones que se
utilizan en situaciones particulares
Por ejemplo:
 +1,-1
 +,-
 A+,A-
 YATES [(1),a,b,ab]

3. Representación geométrica
El diseño factorial 22 se representa de manera geométrica por
los vértices del cuadrado

4. Cálculo del los efectos
 En este diseño hay tres efectos de interés: los dos efectos principales (A y B) y
el efecto de interacción (AB).

5. Análisis de varianza
 el ANOVA se pueden calcular como se indicó en el capítulo 5 o también por
medio de los efectos estimados.
 Contraste
que la suma de cuadrados para cualquier contraste C está dada por

6.  Métodos para calcular contraste
La tabla de signos se construye a partir de la matriz de diseño, multiplicando las
columnas que intervienen en la interacción que se quiera calcular.
Una vez obtenidas las columnas de signos de los efectos de interés, el contraste
de cada efecto resulta de multiplicar su columna de signos por la columna de los
datos expresados en la notación de Yates.

7.  Para obtener el ANOVA se necesita calcular la suma de cuadrados de cada uno
de los efectos.

8. ANOVA

9. Experimento 22
: ejemplo integrador
interesa estudiar el efecto del tamaño de broca (factor A) y de la velocidad
(factor B) sobre la vibración de la ranuradora (respuesta Y). Para ello, se decide
utilizar un diseño factorial 22
con cuatro réplicas, lo cual da un total de 4 × 22
=16
corridas del proceso, que se realizan en orden aleatorio. El tamaño de la broca se
prueba en 1/16 y en 1/8 de pulgada y la velocidad en 40 y 90 revoluciones por
segundo, según se describe en la siguiente tabla:

11. cuando la broca se encuentra en su
nivel bajo, la velocidad no afecta
de manera significativa la
vibración, por el contrario, cuando
la broca se encuentra en su nivel
alto, la velocidad tiene un efecto
considerable sobre la vibración.

12. DISEÑO FACTORIAL 2³

13. En este diseño se estudian tres factores en dos niveles cada uno, consta de 8 tratamientos
diferentes.
Con este diseño se pueden estudiar los 7 efectos: tres efectos principales A, B, C; tres
interacciones dobles AB, AC, BC y una interacción triple ABC.

14. ANALIZIS DEL DISEÑO FACTORIAL 2³
Al igual que el diseño 2², las columnas de los efectos principales A, B y C, son las
mismas que la matriz de diseño, y al multiplicar las columnas correspondientes
se obtienen los efectos de interacción.

15. Al multiplicar las columnas de signos de la tabla por la columna de totales
representados por la notación de Yates, se obtienen los contrastes para los siete
efectos, dados por:

16. el efecto principal de A se estima de la siguiente manera:
TAMBIÉN LAS SUMAS DE CUADRADOS DE LOS EFECTOS SE CALCULAN A PARTIR DE
LA SIGUIENTE FORMULA:
LA SUMA TOTAL DE CUADRADOS SE OBTIENE DE LA MANERA USUAL COMO:

17. Estas son las fórmulas para sacar la suma de cuadrados de cada variante:

18. EXPERIMENTO 2³: EJEMPLO
INTEGRADOR

19. En una empresa que fabrica dispositivos electrónicos se identificó mediante
un análisis de Pareto que las fracturas de las obleas de silicio por choques
térmicos era la principal causa de obleas rotas en las etapas de
procesamiento conocidas como “grabado mesa” y “piraña”. Un grupo de
esas áreas identificó a tres factores principales (temperaturas) como las
probables causas del problema. Por ello, se utilizó un experimento factorial
23 con el objetivo de localizar una combinación de temperaturas en la cual
se rompan un mínimo de obleas por efecto térmico.
Los tres factores controlados y sus niveles en unidades originales, son las
temperaturas:
T1 : Temperatura de grabado (–3°C, –1°C)
T2 : Temperatura de piraña (60°C, 98°C)
T3 : Temperatura de agua (20°C, 70°C)

20. en este caso se sabe que el número de obleas que se rompen en el tratamiento usual son
30 por cada 1 000, lo cual equivale a una proporción de p0 = 0.03. La estimación del
número de obleas a correr en cada prueba se calcula con la fórmula:
SUSTITUYENDO Y HACIENDO LA OPERACIÓN SE OBTIENE QUE M ES IGUAL A 203
OBLEAS. PERO SE DECIDE UTILIZAR O MÁS BIEN REMPLAZAR EL VALOR QUE SALIÓ
EN M POR 250 PARA QUE ASÍ PODAMOS DETECTAR EFECTOS UN POCO MÁS
PEQUEÑOS.

21. En la tabla siguiente se da la proporción de obleas rotas por cada 250
procesadas.

23. Aquí pueden ver el anova ya terminado, la suma de cuadrados las
podemos sacar con las formulas mostradas anteriormente.

24. Y este es el anova ya simplificado se podría decir, solo con los factores
que fueron estadísticamente positivos del diagrama de Pareto.

26. Diseño factorial 2𝑘

27.  Se considera k factores con 2 niveles cada uno.
 En caso general tendremos de 2 o 5 factores donde sus niveles serán alto y bajo
 Útil en 2 ≤ 𝑘 ≤ 5
25
5
1
= 5 efectos principales
5
2
=
5(5−1)
2
=
20
2
= 10 interacciones dobles
5
3
=
5!
3! 5−3 !
=
120
6(2)
=10 interacciones triples
5
4
=
5!
4! 5−4 !
=
120
24(2)
= 5 interacciones cuádruples
5
5
=
5!
5! 5−5 !
=
120
120
= 1 interacción quíntuples
lo cual da un total 25 – 1 = 31 efectos

28.  Cada uno de los efectos se estima a partir de su
contraste, el cual a su vez se puede obtener
construyendo la tabla de signos del diseño
 las columnas de signos para los contrastes que
definen a los efectos principales están dadas
directamente por la matriz de diseño, mientras que la
columna de un efecto de interacción se obtiene
multiplicando las columnas que señala dicho efecto
de interacción.

29. Diseño factorial 2𝑘
no
replicado

30. Numero de replicas en los factoriales 2𝑘
 Al aumentar el numero de factores en el diseño crece rápidamente el numero de
tratamientos, así como el numero de corridas experimentales.
 cuando se trata de cuatro factores se recomienda, en primera instancia, correr una sola
vez el diseño; cuando son cinco factores se recomienda correr sólo la mitad del diseño,
y después de analizar esta primera mitad se decide completar una réplica del factorial
25 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜, de seis factores en adelante, el diseño siempre se corre fraccionado y sólo
una réplica de la fracción elegida.
 un máximo de 16 pruebas son suficientes para la mayoría de los problemas

31. construcción de la suma de cuadrados del
error (SCE) para el ANOVA de un
factorial 2k con una sola réplica
 Se puede suponer de antemano que las interacciones de tres o más factores no son
significativas y enviadas directamente al error. Sin embargo, es recomendable que antes
de enviar al error las interacciones triples se verifiquen, mediante técnicas gráficas, que
efectivamente son efectos despreciables.
 Se utilizan técnicas gráficas, tabulares y numéricas para decidir cuáles de los efectos
principales, interacciones dobles y triples se pueden enviar al error. Con los efectos
excluidos se obtiene una suma de cuadrados del error, y con ella se construye la tabla de
análisis de varianza.

32. ¿Cómo decidir que efectos se mandan a
error?
 Cuando se corre sólo una réplica del experimento, el cuadrado medio del
error (CME), necesario para probar la significancia de cada efecto, debe
construirse a partir de efectos pequeños o despreciables.
 Si mandamos al error un efecto que no se debe al azar, que es un efecto real,
éste puede inflar el CME reduciendo la potencia del ANOVA para detectar
efectos significativos
 si el error resulta exageradamente pequeño, se estarían detectando como
significativos efectos que no lo son, lo cual puede llevar a decisiones
incorrectas
 Si el cuadrado medio del error, resulta muy diferente de la 𝜎2
de la misma
respuesta, es un síntoma de que posiblemente no está bien estimado.

33. Uso del diagrama de Pareto de efectos
El diagrama de Pareto para los efectos sin estandarizar representa una manera
práctica de ver cuáles efectos son los más grandes en cuanto a su magnitud
 Con el Pareto muchas veces se logran detectar claramente los efectos
significativos, y una vez que se construya el error, el ANOVA sólo confirmará lo
que ya se ha encontrado con estos gráficos
No se toma
Se toma

34. Colapsación o proyección del diseño
 Eliminar completamente del análisis a tal factor, con lo que el diseño factorial
2k original se convierte en un diseño completo con un factor menos (2k – 1) y
con dos repeticiones en cada punto.
Es como construir un cubo de cartón que representa el diseño, colocarlo en el piso
cuidando que el factor que no afecta quede en el sentido vertical, y hacer fuerza
sobre el cubo hasta que éste se colapse y se convierta en un plano.

35. Factoriales 2k con punto al centro

36. Factoriales 2k con punto al centro
 ¿Cuándo se recomienda usar este método?
 Como se le conoce al nivel antes hablado y que beneficios tiene?

37. Ejemplo.
Factorial 23 con repeticiones al centro. En un proceso de circuitos integrados(obleas) interesa
minimizar la corriente de fuga, que se supone depende de la temperatura de quemado (A), tiempo
de quemado (B) y porcentaje de nitrógeno (C). Para ello se decide correr un experimento factorial
23 con dos réplicas y cuatro repeticiones al centro. Los resultados obtenidos se muestran enseguida:

38. ¿Como identificar la curvatura?

39. Factorial 2K en bloques.
Por lo general, no es posible correr todos los tratamientos de un diseño factorial 2k bajo las
mismas condiciones experimentales, es decir, durante la planeación del experimento aparece
alguna restricción adicional que hace necesario considerar al menos un factor de bloque en el
estudio
Conclusiones para los bloques:
1. No es posible correr el factorial completo 2k en el mismo día, ya sea porque las corridas o
el proceso de medición son lentos, o por la cantidad de corridas.
2. Cuando un lote de material no alcanza para hacer todas las corridas experimentales y se
sospecha que las diferencias entre lotes podrían sesgar los resultados, es necesario
repartir de manera adecuada las corridas experimentales en varios lotes.
3. Cuando no es posible contar durante el experimento completo 2k con el mismo operador o
con el mismo instrumento de medición, y se sospecha que éstos pueden influir en el
desempeño del proceso, entonces hay que considerarlos como factores de bloque.

40. ¿como correr el diseño factorial 2k en b bloques?
 Distribución.
 ¿Cómo es la distribución?

41. Ejemplo.
Las conclusiones sobre el mejor
tratamiento serían las mismas que se
obtuvieron anteriormente; en este caso,
el efecto de bloque significativo
implicaría que la respuesta esperada
sobre el mejor tratamiento cambia de
manera significativa día con día.

42. Gracias por su atención.