Breve descripción de una función

1. FUNCIONES
Mtra. Ma. Luisa E. Ortega Cruz

2. Unidad 1
Mtra. Ortega cruz María Luisa Edith
Plantel: CONALEP – Chipilo
Periodo escolar: Febrero - Julio 2022
Módulo: Análisis derivativo de funciones
Elaborado: 16 de febrero 2022

3. PROPÓSITO
Determina la derivada de una función en
un punto correspondiente al valor de la
tasa de variación instantánea en ese
punto, para resolver situaciones de la
vida personal y profesional

4. Resultado de Aprendizaje 1.1
Determina la razón de cambio de
una variable y lo representa en
tablas y gráficas.

5. El desarrollo del presente trabajo es con el motivo de que
el estudiante amplié sus conocimientos sobre dos
funciones especiales, haciendo uso dé:
a) Recordar conceptos básicos sobre la forma de graficar
una ecuación.
b) Conozca algunas propiedades y leyes que rigen a las
funciones logaritmo y exponencial.
c) Confirme que el uso de ecuaciones conlleva a
cálculos más precisos.
d) Aplique los conocimientos adquiridos en su vida
cotidiana.
Justificación

6. INICIO
¿Ha escuchado frases como “el éxito está en función del trabajo arduo” y “la
demanda está en función del precio”? La palabra función se usa a menudo para
sugerir una relación o una dependencia de una cantidad con respecto a otra. Como
tal vez sepa, en matemáticas el concepto de una función posee una interpretación
similar pero ligeramente más especializada.
El cálculo trata, en esencia, sobre funciones. Así, resulta conveniente empezar su
estudio con una unidad dedicada a un repaso de este importante concepto
Competencia específica
Comprender el concepto de función real e identificar tipos de funciones, así
como aplicar sus propiedades y operaciones
Dennis G. Zill y Warren S. Wright

7. Relación y función
Para lograr la comprensión es necesario adentrarnos en la noción de
Correspondencia , ya que esta tiene un papel fundamental en las
relaciones y funciones.
Lo primero es entender que Correspondencia es equivalente a
Relación . En nuestra lengua, decir “en relación a”, es equivalente a
decir “corresponde a”.
Ejemplos:
• En una tienda comercial, cada artículo está relacionado con su
precio; o sea, a cada artículo le corresponde un precio.
• En la guía telefónica, cada cliente está relacionado con un
número; o sea, a cada nombre de la guía le corresponde un número.

8. • A cada libro le corresponde por lo menos un autor
• Para cada estado hay un gobernador…
En matemáticas estamos interesados en un tipo
especial de correspondencia: una
“correspondencia con valor único” denominada
Función.
Pero una relación…

9. Definiendo cada una se tiene:
Relación es la correspondencia de un primer conjunto, llamado Dominio
, con un segundo conjunto, llamado Recorrido o Rango , de manera que
a cada elemento del Dominio le corresponde uno o más elementos del
Recorrido o Rango.
Función es una relación a la cual se añade la condición de que a cada
valor del Dominio le corresponde uno y sólo un valor del Recorrido.
De las definiciones anteriores podemos deducir que todas las
funciones son relaciones , pero no todas las relaciones son funciones.
También debemos agregar que toda ecuación es una Relación ,
pero no toda ecuación es una Función.
Todas las Relaciones pueden ser graficadas en el Plano Cartesiano.

10. RECORDANDO
• En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto
dado X (llamado dominio ) y otro conjunto de elementos Y (llamado
codominio, contradominio, rango o imagen ) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del
codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o
ámbito )
• Es decir:
(x) = y

11. GRÁFICAMENTE
función
relación

12. ACTIVIDAD

13. X Y
1
2
3
4
.
.
.
1
4
9
16
.
.
.

x x2
(x) = x2

14. Una función suele denotarse por una letra como , g o h
Entonces podemos representar una función  de un conjunto X en un
conjunto Y por medio de la notación : X  Y.
El conjunto X se llama Dominio de . El conjunto de elementos
correspondientes “y” en el conjunto Y se denomina Rango de la función.
El único elemento “y” en el rango que corresponde a un elemento “x” selecto
en el dominio X se denomina Valor de la función en “x”, o imagen de x, se
escribe (x).
Que se lee “ de x” o “ en x” escribiéndose entonces:
Y = (x)
El valor de “y” depende de la elección de “x” por lo que se le denomina
variable dependiente, y “x” variable independiente.

15. Si una función f está definida por medio de una fórmula o ecuación, entonces por lo
regular el dominio de y = f(x) no se plantea explícitamente. Por lo general es posible
deducir el dominio de y = f(x) ya sea a partir de la estructura de la ecuación o del
contexto del problema.
Ejemplo:
Cualquier número real x puede elevarse al cuadrado y el resultado
x2 es otro número real, (x) = x2 es una función de  en  ; es decir, En otras palabras,
el dominio de  es el conjunto  de números reales. Al usar notación de intervalos, el
dominio también puede escribirse como (-, ). Debido a que x2  0para todo número
real
x, es fácil ver que el rango de  es el conjunto de números reales no negativos o [0, ).
Por lo que:
El dominio de una función  es el mayor subconjunto del conjunto de números reales
para los que (x) es un número real.

16. Sea la función (x) = 5x + 4 entonces tenemos que:
Dominio: x Є R
si x = 3 => (3) = 5(3) + 4
= 15 + 4
= 19
como (x) = y => (3) = 19 si construimos un par ordenado tenemos
que:
( 3, 19)
Si visualizamos todo el conjunto de los reales, ¿podemos decir que:
Rango es: y Є R?
Ejemplos

17. 2.- Determine el dominio y el rango de 𝒇 𝒙 = 𝟒 + 𝒙 − 𝟑
Solución:
El radicando x – 3 debe ser no negativo.
Al resolver la desigualdad 𝑥 − 3 ≥ 0 se obtiene 𝑥 ≥ 3, de modo que el dominio de
f es [3,).
Luego, como el símbolo  denota la raíz cuadrada no negativa de un número,
𝑥 − 3 ≥ 0 para 𝑥 ≥ 3 y en consecuencia 𝟒 + 𝒙 − 𝟑 ≥ 4
El menor valor de 𝒇(x) ocurre en x = 3 y es 𝒇 𝟑 = 𝟒 + 𝟑 − 𝟑 = 4.
Además, debido a que x – 3 y 𝑥 − 3 aumentan cuando x crece, se concluye que
𝒚 ≥ 𝟒
Por consiguiente, el rango de 𝒇 es [4, ).

18. EJERCITATE
Determine el dominio y el rango de las siguientes
funciones
𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 2𝑥 − 15
𝑔 𝑥 =
5𝑥
𝑥2 − 3𝑥 − 4

19. Si tomamos a<0 y a ≠ 1, con lo que la función queda conformada por
una expresión de la forma:
y = (x) = ax
con x siendo un numero real
A esta expresión le llamamos función exponencial
Ejemplo:
Si  𝑥 =
1
3
𝑥
construiremos la grafica, el dominio y el rango de ella.
Función exponencial

20.  𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙
x
1
3
𝑥
-2 9
0 1
2 0.11
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-3 -2 -1 0 1 2 3
(1/3)^x
Dominio: x Є R
Imagen: y > 0

21. Propiedades
1) 𝒂𝒙+𝒚
= 𝒂𝒙
𝒂𝒚
2) 𝒂𝒙−𝒚
=
𝒂𝒙
𝒂𝒚
3) 𝒂𝟎 = 𝟏
4) 𝒂−𝒏 =
𝟏
𝒂𝒏
5) 𝒂
𝒎
𝒏 =
𝒏
𝒂𝒎
6) 𝒂
−𝒎
𝒏 =
𝟏
𝒂
𝒎
𝒏
=
𝟏
𝒏
𝒂𝒎

22. Una función logarítmica es la inversa de la función exponencial
𝑦 = 𝑙𝑜𝑔𝑏x significa 𝑥 = 𝑏𝑦
Ejemplo:
9 = 32 => 2 = 𝑙𝑜𝑔3 9 se lee como “2 es
logaritmo base 3 de 9”
200
=
Función logaritmo

23. x 𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟏
𝟐
x
1/8 3
1/4 2
1/2 1
1 0
2 -1
4 -2
8 -3
𝒇 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝟏
𝟐
x

24. Propiedades logaritmo
1) 𝐥𝐨𝐠𝒃
𝑴
𝑵
= 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑴 − 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑵
2) 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑴𝒏 = 𝒏 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑴
3) 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑴𝑵 = 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑴 + 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝑵
4) 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝟏 = 𝟎
5) 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒃 = 𝟏
6) 𝐥𝐨𝐠𝒃 𝒃𝒏
= 𝒏
7) 𝒍𝒐𝒈𝒃
𝒏
𝒙 =
𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙
𝒏
8) 𝒃𝒍𝒐𝒈𝒃 𝑵= N
9) 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒙 = 𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒚  𝒙 = 𝒚
10)𝒍𝒐𝒈𝒃 𝒂 = 𝒙𝒃𝒙
= 𝒂

26. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 Garrido Domínguez Meidys, 2015, “Representación
simbólica y angular del entorno”, Edit. MX
 Murillo Manuel, 2006 , “Matemáticas básicas con
Aplicaciones” Edith. Universidad Estatal a Distancia
 Ortiz, Ortiz. 2014, Matemáticas 4, Edith. Grupo editorial
Patria

27. PAGINAS WEB
http://www.vitutor.com/fun/2/c_14.html
http://www.universoformulas.com/matematicas/analisis/funcion-logaritmica/
http://www.montereyinstitute.org/courses/DevelopmentalMath/TEXTGROUP-1-
19_RESOURCE/U18_L2_T2_text_final_es.html
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/mod_f
un_expolog_macr/TRES.htm