Limites continuidad y derivadas miii

FACULTAD DE CIENCIAS
E INGENIERÍA
E.A.P. DE INGENIERÍA:
ELECTRÓNICA Y TELECOMUNICACIONES
MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA III
Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe
www.jacobiperu.com Teléfono: 999685938
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TEMA: FUNCIÓN REAL DE VARIABLE VECTORIAL SEMESTRE: 2017 - I
TURNO: NOCHE PABELLÓN: B AULA: 604 B SEMANA: 9 FECHA: 19/05/17
FUNCIÓN REAL DE VARIABLE VECTORIAL
DEFINICIONES Suponga que D es un conjunto de n-adas de números reales 1 2 3( , , ,..., )nx x x x . Una función de
valores reales f en D es una regla que asigna un único número real (individual) 1 2 3( , , ,..., )nw f x x x x
a cada elemento en D. El conjunto D es el dominio de la función. El conjunto de valores w asignados por f es el rango
de la función. El símbolo w es la variable dependiente de f, y se dice que f es una función de n variables independientes
1 2 3, , ,..., nx x x x . También llamamos a las jx variables de entrada de la función y a w la variable de salida de la función
Diagrama de flechas para la función 𝑍 = 𝑓(𝑥, 𝑦).
Como es usual, calculamos las funciones definidas mediante fórmulas, sustituimos los valores de las variables
independientes en la fórmula y calculamos el valor correspondiente de la variable dependiente. Por ejemplo, el valor
de 𝑧 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) = √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 en el punto (3, 0, 4) es
𝑓(3, 0, 4) = √32 + 02 + 52 = √25 = 5
Dominios y rangos
Para definir una función de más de una variable, seguimos la práctica usual de excluir las entradas que conducen a
números complejos o a la división entre cero. Si 2
( , )f x y y x  , y, y no puede ser menor que 2
x Si
1
( , )f x y
xy

, 𝑥𝑦 no puede ser cero. Supondremos que el dominio de una función es el conjunto más grande para el cual la regla que
la define genera números reales, a menos que el dominio esté indicado de manera explícita. El rango consiste en el
conjunto de valores de salida para la variable dependiente.
Ejemplo:
(a) Ahora veamos funciones de dos variables. Observe las restricciones que se aplican para obtener un valor real de la
variable dependiente 𝑧.

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Función Dominio Rango
2
z y x 
2
y x  0, 
1
z
xy

0xy  , 0 0,  
( )z sen xy El plano
completo
 1, 1
(b) Las siguientes son funciones de tres variables con restricciones.
Función Dominio Rango
2 2 2
w x y z   El espacio completo  0, 
2 2 2
1
w
x y z

 
( , , ) (0,0,0)x y z  , 0 0,  
lnw xy z El semi espacio 𝑧 > 0 , 
Funciones de dos variables:
Describa el domino de la función 2
z y x 
Solución Puesto que f está definida sólo cuando 2
0y x  , el
dominio es la región cerrada, no acotada. La parábola 2
y x es la
frontera del dominio. Los puntos dentro de la parábola forman el
interior del dominio.
Gráficas, curvas de nivel y contornos de funciones de dos
variables
Hay dos maneras habituales de dibujar los valores de una función f
(x, y). Una es trazar y etiquetar las curvas en el dominio donde f
asume un valor constante. La otra es dibujar la superficie 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) en el espacio.
DEFINICIONES El conjunto de puntos en el plano donde la función f (x, y) tiene un valor constante 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐
se llama curva de nivel de f. El conjunto de todos los puntos (x, y, f (x, y)) en el espacio, para (x, y) en el dominio
de f, se llama la gráfica de f. La gráfica de f también se llama superficie 𝒛 = 𝒇 (𝒙, 𝒚).
EJEMPLO: Grafique 2 2
( , ) 100f x y x y   y trace las curvas de nivel 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0, 𝑓(𝑥, 𝑦) = 51, y
𝑓 (𝑥, 𝑦) = 75 en el dominio de f en el plano.
El dominio de f es el plano 𝑥𝑦 completo, y el rango de f es el conjunto de números reales menores o iguales a 100. La
gráfica es el paraboloide 2 2
100z x y   , la porción positiva que se muestra en la figura.
La curva de nivel 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 0 es el conjunto de puntos en el plano 𝑥𝑦 para los cuales
2 2
( , ) 100 0f x y x y    o 2 2
100,x y 
lo cual es una circunferencia de radio 10 con centro en el origen. De manera similar, las curvas de nivel 𝑓 (𝑥, 𝑦) =
51 y 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 75 son las circunferencias

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2 2
( , ) 100 51f x y x y    o 2 2
49x y 
2 2
( , ) 100 75,f x y x y    o 2 2
25x y 
La curva de nivel 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 100 sólo consta del origen. (Es
sólo una curva de nivel). Si 2 2
100,x y  entonces los
valores de f (x, y) son negativos. Por ejemplo, la
circunferencia 2 2
144,x y  la cual es una circunferencia
de radio 12 con centro en el origen, da un valor constante
𝑓 (𝑥, 𝑦) = −44 y es una curva de nivel f.
La curva en el espacio donde el plano 𝑧 = 𝑐 corta a una
superficie 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) está formada por los puntos que
representan el valor de la función 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐. Esta curva
se llama curva de contorno 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐 para distinguirla
de la curva de nivel 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐 en el dominio de f.
La figura muestra la curva contorno 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 75 sobre la
superficie 2 2
100z x y   definida por la función
2 2
( , ) 100f x y x y   . La curva de contorno se
encuentra directamente arriba de la circunferencia
2 2
25x y  , que es la curva de nivel 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 75 en
el dominio de la función.
Sin embargo, no todos hacen esta distinción y usted podría
llamar a ambas clases de curvas por el mismo nombre y
usar el contexto para aclarar lo que tiene en mente. En la
mayoría de los mapas, por ejemplo, las curvas que
representan una elevación constante (altura sobre el nivel
del mar) se llaman contornos, no curvas de nivel (ver
figura).
Funciones de tres variables
En el plano, los puntos donde una función de dos variables
independientes tiene un valor constante 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑐
forman una curva en el dominio de la función. En el
espacio, los puntos donde una función de tres variables
independientes tiene un valor constante 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐
forman una superficie en el dominio de la función.
DEFINICIÓN El conjunto de puntos (𝑥, 𝑦, 𝑧) en el
espacio, donde una función de tres variables
independientes tiene un valor constante 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐, es
una superficie de nivel de f.
Como las gráficas de las funciones de tres variables consisten en puntos (x, y, z, f (x, y, z)) que se encuentran en un
espacio con cuatro dimensiones, no podemos trazarlas en nuestro marco de referencia tridimensional. Sin embargo,
podemos ver cómo se comporta la función analizando sus superficies de nivel tridimensionales.

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Ejemplo: Describa las superficies de nivel de la función
2 2 2
( , , ) .f x y z x y z  
Solución
El valor de f es la distancia del origen al punto (x, y, z). Cada
superficie de Nivel √𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑐, 𝑐 > 0, es una esfera de
radio c con centro en el origen. La figura muestra un corte
esquemático de tres de estas esferas. La superficie de nivel
2 2 2
0x y z   consta sólo del origen.
Aquí no graficamos la función; sólo observamos las superficies de
nivel en su dominio de la función. Las superficies de nivel
muestran cómo cambian los valores de la función conforme nos
movemos a través de su dominio. Si permanecemos en una esfera
de radio c con centro en el origen, la función mantiene un valor
constante, digamos, c. Si nos movemos de una esfera a otra, el
valor de la función cambia. Crece al alejarnos del origen y decrece
si nos movemos hacia el origen. La manera como cambian los
valores depende de la dirección que tomemos. El hecho de que el
cambio dependa de la dirección es importante.
Ejercicios
I. En los ejercicios 1 a 4, obtenga los valores específicos de la función.
1. 2 3
( , )f x y x xy 
a. 𝑓(0, 0) b. 𝑓(−1, 1) c. 𝑓(2, 3) d. 𝑓(−3, −2)
2. ( , ) ( )f x y sen xy
a. 𝑓(2,
𝜋
6
) b. 𝑓(−3,
𝜋
12
) c. 𝑓(𝜋,
1
4
) d. 𝑓(−
𝜋
2
, −7)
3. 2 2
( , , )
x y
f x y z
y z



v
a. 𝑓(3, −1, 2) b. 𝑓(1,
1
2
, −
1
4
) c. 𝑓(0, −
1
3
, 0) d. 𝑓(2, 2, 100)
4. 2 2 2
( , , ) 49f x y z x y z   
a. 𝑓(0, 0, 0) b. 𝑓(2, −3, 6) c. 𝑓(−1, 2, 3) d.
4 5 6
( , , )
2 2 2
f
II. En los ejercicios 5 a 8, obtenga y grafique el dominio de cada función.
5. ( , ) 2f x y y x   6. 2 2
( , ) ln( 4)f x y x y  
7.
  3
( 1)( 2)
( , )
( )
x y
f x y
y x y x
 

 
8. 2 2 25
( )
( , )
sen xy
f x y
x y 



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LÍMITES Y CONTINUIDAD EN DIMENSIONES SUPERIORES
Límites para funciones de dos variables
Si valores de f (x, y) son arbitrariamente cercanos a un número real fijo L para todos los puntos (x, y) suficientemente
cercanos a un punto (𝑥0, 𝑦0), decimos que f tiende al límite L cuando (x, y) tiende a (𝑥0, 𝑦0). Esto es similar a la
definición informal de límite de una función de una sola variable. Sin embargo, observe que si (𝑥0, 𝑦0)está en el
interior del dominio de f, (x, y) se puede acercar a (𝑥0, 𝑦0) desde cualquier dirección. Para que el límite exista, se
debe obtener el mismo valor límite desde cualquier dirección de aproximación. Ilustramos este hecho con varios
ejemplos después de la definición.
DEFINICIÓN Decimos que una función f (x, y) tiende al límite L cuando (x, y) tiende a (𝑥0, 𝑦0), y escribimos
0 0( , ) (x ,y )
lim (x,y) L
x y
f

 si para cada número 𝜀 > 0, existe un número correspondiente 𝛿 > 0 tal que para todo (x,
y) en el dominio de f , (x,y) Lf   siempre que 2 2
0 00 (x x ) (y y ) .    
En la definición de límite, d es el radio de un disco con centro en (𝑥0, 𝑦0). Para todos los puntos (x, y) dentro de
este disco, los valores de la función f (x, y) se encuentran dentro del intervalo correspondiente 〈𝐿 − 𝜀, 𝐿 + 𝜀〉.
Propiedades de los límites de funciones de dos variables
Las siguientes reglas se cumplen si L, M y k son números reales y
0 0( , ) (x ,y )
lim (x,y) L
x y
f

 y
0 0( , ) (x ,y )
lim g(x,y)
x y
M


Regla de la suma
0 0( , ) (x ,y )
lim ( (x,y) g(x,y)) M
x y
f L

  
Regla de la resta
0 0( , ) (x ,y )
x y
f L

  
Regla de la multiplicación por una constante
0 0( , ) (x ,y )
lim (x,y) L
x y
kf k

 (Para cualquier número k)

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Regla del producto
0 0( , ) (x ,y )
x y
f L

 
Regla de del cociente
0 0( , ) (x ,y )
(x, y)
lim , 0
g(x, y)x y
f L
M
M
 
  
 
Regla de la potencia
 0 0( , ) (x ,y )
lim (x,y) L
n n
x y
f

 , n es entero positivo
Regla de la raíz
0 0
1
( , ) (x ,y )
lim (x,y) Ln nn
x y
f L

  , n es entero positivo, y n es par. Suponemos que 𝐿 > 0
Ejemplo 01: Compruebe que el siguiente límite no existe
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
Solución
El dominio de esta función es D = R2
– {(0,0)}. Para comprobar que le límite no existe, consideramos dos
trayectorias diferentes de acercamiento al punto (0,0).
∎ Sobre el eje 𝑋 (𝒚 = 𝟎) cada punto es de la forma (x, 0) y el límite en esta dirección es:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 = lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 =
𝑥(0)
𝑥2+(0)2 =
0
𝑥2 = 0
∎ Sobre la trayectoria 𝒚 = 𝒙 cada punto es de la forma (𝑥, 𝑥) y el límite en esta dirección es
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 = lim
(𝑥,𝑦)→(𝑥,𝑥)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2 =
𝑥(𝑥)
𝑥2+(𝑥)2 =
𝑥2
𝑥2+𝑥2 =
𝑥2
2𝑥2 =
1
2
Esto quiere decir que en un disco abierto cualquiera centrado en (0,0) existen puntos (𝑥, 𝑦) en los cuales f vale
1/2 y 0. Luego f no puede tener límite cuando (𝑥, 𝑦) → (0,0).
Ejemplo 02. Compruebe que: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
3𝑥2 𝑦
𝑥2+𝑦2 = 0
Solución
La técnica que usamos con el ejemplo anterior no es adecuada para este caso, pues aunque el límite dé cero a través
de muchas trayectorias esto no demuestra que este sea su valor; pero nos hace sospechar que el límite existe.

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Sea 𝜀 > 0, queremos encontrar un 𝛿 > 0 tal que
|
3x2y
x2+y2 − 0| < 𝜀 siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿
Es decir:
3x2|y|
x2+y2 < 𝜀 siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿
Como:
𝑥2
≤ 𝑥2
+ 𝑦2 1
x2+ y2 ≤
1
x2
3x2|y|
x2+y2 ≤
3x2|y|
x2 = 3|𝑦| = 3√𝑦2 ≤ 3√𝑥2 + 𝑦2
Por consiguiente, si elegimos a δ =
ε
3
, entonces
|
3x2
y
x2 + y2
− 0| ≤ 3√𝑥2 + 𝑦2 ≤ 3𝛿 = 3 (
𝜀
3
) = 𝜀
Por consiguiente, por la definición:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
3𝑥2 𝑦
𝑥2+𝑦2 = 0
Recordatorio sobre las propiedades del valor absoluto
(1) |𝐚. 𝐛| = |𝐚|. |𝐛|
(2) |
𝐚
𝐛
| =
|𝐚|
|𝐛|
(3) |𝐚 + 𝐛| ≤ |𝐚| + |𝐛|
(4) |𝒂 − 𝒃| ≥ |𝒂| − |𝒃|
Ejemplo 03. Usar la definición de límite para demostrar que 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟑)
(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) = 𝟏𝟏
Solución
El primer requisito de la definición es que 2x + 3y debe estar definido en algún disco abierto que tenga centro en el
punto (1,3), excepto posiblemente en (1,3). Como 2𝑥 + 3𝑦 está definida en cada punto (x, y), entonces cualquier
disco abierto centrado en (1,3) satisfará este requisito. Ahora, debe demostrarse que para cualquier 𝜀 > 0 existe un
𝛿 > 0 tal que:
Si 0< √(𝒙 − 𝟏) 𝟐 + (𝒚 − 𝟑) 𝟐 < 𝛿, entonces |𝐟(𝐱, 𝐲) − 𝐋| = |𝟐𝐱 − 𝟑𝐲 − 𝟏𝟏| < 𝜀
De la desigualdad,
|𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟏𝟏| = |𝟐𝒙 − 𝟐 + 𝟑𝒚 − 𝟗| ≤ 𝟐|𝒙 − 𝟏| + |𝒚 − 𝟑|
Debido que:

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|𝑥 − 1| ≤ √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 y |𝑦 − 3| ≤ √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2
Se deduce que:
Si0 < √(𝑥 − 1)2 + (𝑦 − 3)2 < 𝛿 entonces 2|𝑥 − 1| + 3|𝑦 − 3| < 2𝛿 + 3𝛿
Esta proposición muestra que una elección adecuada para 𝛅 es 5𝜹 = 𝜺, esto es, 𝜹 =
𝟏
𝟓
𝜺. Con esta 𝛅 se tiene el
argumento siguiente:
0< √(𝒙 − 𝟏) 𝟐 + (𝒚 − 𝟑) 𝟐 < 𝛿 |𝒙 − 𝟏| < 𝛿 y |𝒚 − 𝟑| < 𝛿
2|𝒙 − 𝟏| + 𝟑|𝒚 − 𝟑| < 5𝛿 |𝟐(𝒙 − 𝟏) + 𝟑(𝒚 − 𝟑)| < 5 (
𝟏
𝟓
𝜺)
|𝟐𝐱 + 𝟑𝐲 − 𝟏𝟏| < 𝜀
De este modo, se ha probado que para cualquier 𝜺 > 0 se elige 𝛿 =
1
5
𝜀 a fin de que la proposición 0<
√(𝒙 − 𝟏) 𝟐 + (𝒚 − 𝟑) 𝟐 < 𝛿, entonces |(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) − 𝟏𝟏| < 𝜀
Sea verdadera. Esto demuestra que:
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟑)
(𝟐𝒙 + 𝟑𝒚) = 𝟏𝟏
Ejemplo 04. Calcule el límite siguiente: lim
(𝑥,𝑦)→(1,0)
𝑥+𝑦
𝑥2 + 𝑦2
Solución
Evaluando da:
1+0
(1)2+02 = 1
(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑥−𝑦
𝑥3− 𝑦3
Solución
Evaluando dá:
1−1
(1)3−13 =
0
0
la cual es una indeterminación, entonces factorizando el denominador, recordando
que: A3
- B3
= (A – B)(A2
+ AB + B2
), luego:
lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
𝑥−𝑦
𝑥3− 𝑦3 = lim
(𝑋,𝑌)→(1,1)
𝑥−𝑦
(𝑥−𝑦)(𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 = lim
(𝑥,𝑦)→(1,1)
1
𝑥2+𝑥𝑦+𝑦2 =
1
(1)2 + (1)(1)+ (1)2 =
1
1 + 1 + 1
=
1
3
(𝑥,𝑦)→(4,4)
𝑥 − 𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
Solución

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Evaluando dá:
4 − 4
√4 − √4
=
0
0
la cual es una indeterminación, entonces racionalizando el denominador, nos queda:
lim
(𝑥,𝑦)→(4,4)
𝑥 − 𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
= lim
(𝑥,𝑦)→(4,4)
𝑥 − 𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
√ 𝑥 + √ 𝑦
√ 𝑥 + √ 𝑦
= lim
(𝑥,𝑦)→(4,4)
(𝑥 – 𝑦)(√ 𝑥 + √𝑦)
(𝑥 − 𝑦)
=
= lim
(𝑥,𝑦)→(4,4)
(√ 𝑥 + √ 𝑦)= √4 + √4 = 2 + 2 = 4
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
√𝑥2+ 𝑦2
Solución
Sean (r,𝜃) las coordenadas polares del punto (x, y) y sean (r, θ, z) las coordenadas cilíndricas del punto (x, y, z).
Entonces debemos tener presente que en coordenadas polares y en coordenadas cilíndricas:
Polares Cilíndricas
𝑥 = 𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃 x = ρ. sen∅. cosθ 𝜌2
= x2
+ y2
+ z2
𝑦 = 𝑟. 𝑠𝑒𝑛𝜃 y = ρ. sen∅. senθ
𝑟2
= 𝑥2
+ 𝑦2 z = ρ. cos∅
Evaluando da:
(0)(0)
√(0)2+(0)2
=
0
0
la cual es una indeterminación, luego usando coordenadas polares, cuando
(x,y)→(0,0) entonces r→ 𝟎, luego el
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
√𝑥2+ 𝑦2
= lim
𝑟→0
(𝑟.𝑐𝑜𝑠𝜃)(𝑟.𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑟
= lim
𝑟→0
𝑟. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃 = 0. 𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃 =0
Pues, |𝑐𝑜𝑠𝜃. 𝑠𝑒𝑛𝜃| ≤ 1 para cualquier valor de 𝜃.
Ejemplo 08. Estudie la existencia del siguiente límite: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3 𝑦
𝑥6 + 𝑦2
Solución
∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen 𝒚 = 𝒎𝒙, donde m ≠ 0, tenemos:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3 𝑦
𝑥6 + 𝑦2 = lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥3(𝑚𝑥)
𝑥6 + (𝑚𝑥)2 = lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥3(𝑚𝑥)
𝑥2(𝑥4 + 𝑚2)
=
𝑚(0)
(0)4 +𝑚2 =
0
𝑚2 = 0
∎ Usando como trayectoria la parábola y=x2
, luego tenemos que:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑦
𝑥6 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥3
(𝑥2
)
𝑥6 + (𝑥2)2
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥5
𝑥4(𝑥2 + 1)
=
0
(0)2 + 1
=
0
1
= 0

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∎ Esto nos podría llevar a concluir que el límite existe y es cero, pues las rectas y la parábola que pasan por el
origen son una infinidad de trayectorias. Pero observe que al usar la trayectoria y = x3
, obtenemos:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥3
𝑦
𝑥6 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑥3)→(0,0)
𝑥3
(𝑥3
)
𝑥6 + (𝑥3)2
= lim
(𝑥,𝑥2)
𝑥6
2𝑥6
=
1
2
Por tanto, el límite no existe.
Ejemplo 09. Calcule el siguiente límite: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4−𝑦4
𝑥2 + 𝑦2
Solución
Evaluando da:
(0)4−(0)4
(0)2+(0)2 =
0
0
la cual es una indeterminación, entonces factorizando el numerador, nos queda:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4−𝑦4
𝑥2 + 𝑦2 = lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥2−𝑦2)(𝑥2+𝑦2)
𝑥2 + 𝑦2 = lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
(𝑥2
− 𝑦2) =
= (o)2
- (0)2
= 0
Ejemplo 10. Calcule el siguiente límite: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2− 𝑥𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
Solución
Evaluando dá:
(0)2−(0)(0)
√0 − √0
=
0
0
la cual es una indeterminación, entonces racionalizando el denominador, nos queda:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2− 𝑥𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
= lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥2− 𝑥𝑦
√ 𝑥 − √ 𝑦
√ 𝑥+√ 𝑦
√ 𝑥+√ 𝑦
= lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥(𝑥− 𝑦)(√ 𝑥 + √ 𝑦)
𝑥 − 𝑦
=
= lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥(√ 𝑥 + √ 𝑦) = (0)(√0 + √0) = 0
Ejemplo 11. Aplicando la definición de límite, demostrar que: lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
4𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 = 0
Solución
Para cualquier 𝜀 > 0 existe un𝛿 > 0 tal que:
|𝑓(𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀 Siempre que 0< √(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 < 𝛿, o sea
|
4xy2
x2+y2 − 0| < 𝜀 Siempre que 0< √(𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 < 𝛿
|
4xy2
x2+y2| < 𝜀 Siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿
4|x|y2
x2+y2 < 𝜀 Siempre que 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿

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Desde 𝑦2
≤ 𝑥2
+ 𝑦2
tenemos que:
4|x|y2
x2 + y2
≤ 4|x| = 4√x2 ≤ 4√x2 + y2
Si escogemos 𝛿 = 𝜀
4⁄ y deje 0< √𝑥2 + 𝑦2 < 𝛿, obtendremos que:
|
4xy2
x2 + y2
− 0| ≤ 4√x2 + y2 < 4𝛿 = 4 (
𝜀
4
) = 𝜀
Esto demuestra que:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
4𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
= 0
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐)
𝟑𝒙 𝟐 + 𝟑𝒚 𝟐 =
𝟏
𝟑
2) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒕𝒈(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐)
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
3) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟏)
𝒙𝒚 − 𝟏
𝟏 + 𝒙𝒚
= 𝟎
4) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)
𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 + 𝒙𝒛
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐+ 𝒛 𝟐 = 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆
5) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)
𝒙𝒚 + 𝒚𝒛 𝟐 + 𝒙𝒛 𝟐
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐+ 𝒛 𝟐
6) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)
𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 + 𝒚𝒛
√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐+ 𝒛 𝟐
= 𝟎
7) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝒌,𝟎)
𝒙 𝟐.𝒔𝒆𝒏(
𝒚
𝒌
)
𝒚
(Trabajo)

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8) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒔𝒆𝒏(𝒙+𝒚)
𝒚
9) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒆 𝒙𝒚 − 𝟏
𝒙
(Trabajo)
10) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒔𝒆𝒏(𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐)
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 𝟏
11) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙 𝟑 + 𝒚 𝟑
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 = 𝟎
12) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙 𝟐 − 𝒚 𝟐
√𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐
= 𝟎
13) 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
(𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
)𝒍𝒏(𝒙 𝟐
+ 𝒚 𝟐
) = 𝟎
14) Usar coordenadas esféricas para encontrar el límite. (Sugerencia: tomar:
x = ρ. sen∅. cosθ
y = ρ. sen∅. senθ
z = ρ. cos∅
𝜌2
= x2
+ y2
+ z2
Observar que (x, y, z)→(0, 0, 0) es equivalente a 𝜌 → 0+
)
𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)
𝒙𝒚𝒛
𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 + 𝒛 𝟐
= 𝟎
Continuidad
Como en las funciones de una variable, la continuidad se define en términos de límites.
DEFINICIÓN Una función f (x, y) es continua en el punto (𝑥0, 𝑦0) si
1. ƒ está definida en (𝑥0, 𝑦0).
2.
0 0( , ) (x ,y )
lim (x,y)
x y
f

existe,

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3.
0 0
0 0
( , ) (x ,y )
lim (x,y) f(x ,y )
x y
f


Una función es continua si es continua en todos los puntos de su dominio.
La definición de continuidad para funciones de dos variables, pueden extenderse a funciones de tres o más variables.
Ejemplo 01. Determine si la función g es continua en (0, 0), si
 
4 2 2 4
2 2
2 2
(x,y) (0,0)
(x,y)
2 (x,y) 0,0
g
si
x x y y
si
x y
  





 


Solución
(i) 𝒈(𝟎, 𝟎) = 𝟐. Por tanto, se cumple la primera condición.
(ii) Veremos si lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑔(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, para ello calculemos el límite:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4+2𝑥2+2𝑦2+𝑦4
𝑥2+𝑦2 , evaluando da: 0
0⁄
∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2𝑦2
+ 𝑦4
𝑥2 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2(𝑚𝑥)2
+ (𝑚𝑥)4
𝑥2 + (𝑚𝑥)2
=
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2𝑚2
𝑥2
+ 𝑚4
𝑥4
𝑥2 + 𝑚2 𝑥2
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥2
(𝑥2
+ 2 + 2𝑚2
+ 𝑚4
𝑥2
)
𝑥2(1 + 𝑚2)
=
=
(0)2
+ 2 + 2𝑚2
+ 𝑚4
(0)2
(1 + 𝑚2)
=
2 + 2𝑚2
1 + 𝑚2
=
2(1 + 𝑚2
)
1 + 𝑚2
= 2
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2𝑦2
+ 𝑦4
𝑥2 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥4
+ 2𝑥2
+ 2(𝑥2
)2
+ (𝑥2
)4
𝑥2 + (𝑥2)2
=
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥2
(𝑥2
+ 2 + 2𝑥2
+ 𝑥6
)
𝑥2(1 + 𝑥2)
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥2
+ 2 + 2𝑥2
+ 𝑥6
1 + 𝑥2
=
(0)2
+ 2 + 2(0)2
+ (0)6
1 + (0)2
=
2
1
= 2
𝐿𝑢𝑒𝑔𝑜 lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑔(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑦 𝑒𝑠 2
(𝑖𝑖𝑖) lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑔(0,0) = 2
Por tanto, podemos concluir que g es continua en el punto (0,0), ya que cumple con las tres condiciones de
continuidad.
Ejemplo 02. Determine si la función h es continua en (0, 0), si

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 
2 2
(x,y) (0,0)
h(x,y)
0 (x,y) 0,0s
xy
si
i
x y





 


Solución
(i) 𝒉(𝟎, 𝟎) = 𝟎. Por tanto, se cumple la primera condición.
(ii) Veremos si lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
ℎ(𝑥, 𝑦) 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒, para ello calculemos el límite:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2+𝑦2, evaluando da: 0
0⁄
∎ Usando trayectorias rectas que pasan por el origen y=mx, donde m ≠ 0, tenemos:
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑥(𝑚𝑥)
𝑥2 + (𝑚𝑥)2
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑚𝑥2
𝑥2(1 + 𝑚2)
=
= lim
(𝑥,𝑚𝑥)→(0,0)
𝑚
(1+𝑚2)
=
𝑚
(1+𝑚2)
, ya podemos concluir que el limite no existe porque el limite quedo en función de
m, sin embargo vamos a usar otra trayectoria de acercamiento al punto (0,0), para verificar que el limite no existe.
lim
(𝑥,𝑦)→(0,0)
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥(𝑥2
)
𝑥2 + (𝑥2)2
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥(𝑥2
)
𝑥2(1 + 𝑥2)
=
= lim
(𝑥,𝑥2)→(0,0)
𝑥
1 + 𝑥2
=
0
1 + (0)2
=
0
1
= 0
Luego, el 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒉(𝒙, 𝒚) 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆, 𝑦𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑛𝑜 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖ó𝑛
Si una función f de dos variables es discontinua en un punto (a,b) pero 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙, 𝒚) 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆, entonces se
dice que f tiene una discontinuidad removible (o eliminable) en (a,b) debido a que si se redefine f en (a,b) de
modo que:
𝒇(𝒂, 𝒃) = 𝐥𝐢𝐦
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙, 𝒚)
Entonces la nueva función es continua en (a,b). Si una discontinuidad no es removible, entonces de denomina
discontinuidad esencial.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1) Analizar la continuidad de la función siguiente:
𝒇(𝒙, 𝒚) = {
𝑥2
+ 2𝑥𝑦2
+ 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2
𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎)
𝟏 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎)

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2) En los ejercicios (2.1) a (2.4) la función es discontinua en el origen debido a que 𝑓(0, 0) no existe. Determine
si la discontinuidad es removible o esencial. Si la discontinuidad es removible redefina 𝑓(0, 0) de modo que la
nueva función sea continua en (0,0).
(2.1) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
(2.2) 𝑓(𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦). 𝑠𝑒𝑛 (
𝑥
𝑥2 + 𝑦2) 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑓(0,0) = 0
(2.3) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥3 𝑦2
𝑥6 + 𝑦4 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑠𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
(2.4) 𝑓(𝑥, 𝑦) =
𝑥3−4𝑥𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐸𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑏𝑙𝑒, 𝑓(0,0) = 0
Derivadas parciales de una función de varias variables
El cálculo de varias variables es como
el cálculo de una variable aplicado a cada una
de las variables. Cuando mantenemos
constantes todas las variables independientes
de una función, excepto una, y derivamos con
respecto a esa variable, obtenemos una
derivada “parcial”. Esta sección muestra cómo
se definen e interpretan geométricamente las
derivadas parciales y cómo calcularlas
aplicando las reglas de derivación para
funciones de una sola variable. La idea de
derivabilidad de funciones de varias variables
requiere algo más que la existencia de las
derivadas parciales, pero veremos que las
funciones derivables de varias variables se
comportan del mismo modo que las funciones
derivables de una variable.
Derivadas parciales de una función de dos variables
Si 0 0(x ,y ) es un punto en el dominio de una función f (x, y), el plano vertical 𝑦 = 𝑦0 cortará la superficie 𝑧 =
𝑓 (𝑥, 𝑦) en la curva 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦0) (figura). Esta curva es la gráfica de la función 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦0) en el plano 𝑦 =
𝑦0. La coordenada horizontal en este plano es x; la coordenada vertical es z. El valor de y se mantiene constante
en 𝑦0, de manera que y no es una variable.

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Definimos la derivada parcial de f con respecto a x en el punto 0 0(x ,y ) como la derivada ordinaria de f (x, 𝑦0)
con respecto a x en el punto 𝑥 = 𝑥0. Para distinguir las derivadas parciales de las ordinarias usamos el símbolo 0
en vez de la d usada previamente. En la definición, h representa un número real, positivo o negativo.
DEFINICIÓN La derivada parcial de f (x, y) con respecto a x en el punto (x0, y0) es
0 0
0 0 0 0
0
( , )
( , ) ( , )
lim ,
h
x y
f x h y f x ydf
dx h
 
 si el límite existe.
DEFINICIÓN La derivada parcial de f (x, y) con respecto a x en el punto (x0, y0) es
0 0
0 0 0 0
0
( , )
( , ) ( , )
lim ,
h
x y
f x y x y hdf
dy h
 
 si el límite existe.
La pendiente de la curva 𝑧 = 𝑓 (𝑥0, 𝑦)
en el punto 𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑓 (𝑥0, 𝑦0)) del
plano vertical 𝑥 = 𝑥0 es la derivada
parcial de f con respecto a y en
(𝑥0, 𝑦0). La recta tangente a la curva en
P es la recta en el plano 𝑥 = 𝑥0 que
pasa por P con esta pendiente. La
derivada parcial proporciona la tasa de
cambio de f con respecto a y en (𝑥0, 𝑦0)
cuando x se mantiene fija en el valor 𝑥0.
La derivada parcial con respecto a y se
representa del mismo modo que la
derivada parcial con respecto a x:
0 0( , )
f
x y
y


, 0 0( , )yf x y , yf ,
dy
dx
Observe que ahora tenemos dos rectas
tangentes asociadas a la superficie 𝑧 =
𝑓 (𝑥, 𝑦) en el punto
𝑃(𝑥0, 𝑦0, 𝑓 (𝑥0, 𝑦0))
Notaciones de derivadas parciales: Si definimos a la función  yxfz , se puede denotar:
La derivada parcial de f respecto de x
    fDyxf
xx
f
yxff xxx 





 ,,
La derivada parcial de f respecto de x
    fDyxf
yy
f
yxff yyy 





 ,,

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Ejemplo. El plano 𝑥 = 1 corta al paraboloide 2 2
z x y  en
una parábola. Determine la pendiente de la tangente a la
parábola en (1, 2, 5)
Solución
La pendiente es el valor de la derivada parcial
dz
dy
en (1, 2):
 2 2
(2,1)
(1,2) (1,2)
2 2(2) 4.
z
x y y
y y
 
    
 
Para verificar, podemos considerar a la parábola como la
gráfica de una función de una sola variable
2 2 2
z (1) 1y y    en el plano 𝑥 = 1 y calcular la
pendiente en 𝑦 = 2. La pendiente, calculada ahora como una
derivada ordinaria, es
 2 2
2
2 2
1 2 4.y
y y
z
y y
y y 
 
 
   
 
Funciones de más de dos variables
Las definiciones de las derivadas parciales de funciones de más de dos variables independientes son similares a
las definiciones para funciones de dos variables. Son derivadas ordinarias con respecto a una variable, la cual se
calcula mientras las demás variables independientes se mantienen constantes.
Ejemplo 01: Si x, y y z son variables independientes y
(x, y,z) xsen(y 3z),f   entonces
 (y 3z) (y 3z)
f
xsen x sen
z z z
  
   
  
⇒
xcos(y 3 ) (y 3z) 3xcos(y 3z).z
z

   

Ejemplo 02: Si tres resistencias de R1, R2 y R3 ohms se
conectan en paralelo para obtener una resistencia de R
ohms, se puede obtener el valor de R con la ecuación
1 2 3
1 1 1 1
R R R R
   Determine el valor de
2
R
R


cuando
1 2 330, 45 90 .R R y R ohms  
Solución
Para obtener
2
R
R


, consideramos a R1 y R3 como
constantes y, usando la derivación implícita, derivamos
ambos lados de la ecuación con respecto a R2:

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2 2 1 2 3
1 1 1 1R
R R R R R R
   
    
    
⇒ 2 2
2 2
1 1
0 0
R R R

    

⇒
2
2
2
2 2 2
R R R
R R R
 
   
  
Cuando 1 2 330, 45 90 ,R R y R ohms  
1 1 1 1 3 2 1 6 1
,
30 45 90 90 90 15R
 
     
de manera que 𝑅 = 15 y
2 2
2
15 1 1
.
45 3 9
R
R
    
     
    
Por lo tanto, en los valores dados, un pequeño cambio en la resistencia R2 trae consigo un cambio en R con un
tamaño cercano a 1 y 9.
Reglas para hallar derivadas parciales
Para hallar xf considere a la letra y como constante y derive  yxf , con respecto a x.
Para hallar yf considere a la letra x como constante y derive  yxf , con respecto a y.
Ejemplo 1: Si f(x, y)= x3
+ x2
y3
+ 2 y2
, hallar las expresiones de xf y yf .
Solución:
Hallamos primeramente xf , hacemos y constante, al derivar respecto a x se obtiene:   32
23, xyxyxfx 
Ahora se halla yf , hacemos x constante, al derivar respecto a y se obtiene:
  yyxyxfy 43, 22

Bien, si además piden evaluar esas derivadas parciales en el punto  1,2 .Se hace:
       16122231,2
32
xf
        8141231,2
22
yf
Ejemplo 2: Si   







y
x
senyxf
1
, , hallar las expresiones de
y
f
y
x
f




.
Solución:
Recordando usar la regla de la cadena para las funciones de una variable se tiene:
yy
x
y
x
xy
x
x
f

























1
1
1
cos
11
cos
Con respecto de y se tiene:
 2
11
cos
11
cos
y
x
y
x
y
x
yy
x
y
f



























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Ejercicios Propuestos
1. En los siguientes ejercicios determine las derivadas parciales para la función.
a.  
yx
yx
yxf


, b.  
y
x
yxyxf  2
, c.    22
ln, yxxyxf 
2. En los siguientes ejercicios determine las derivadas parciales para la función en el punto indicado.
  yxeyxf y
3,  , evalúe en el punto (1, 0)
  yxyxf 32,  , evalúe en el punto (2, 4)
   xysenyxf , , evalúe en el punto (3, 3)
  22
2, yxyxyxf  , evalúe en el punto (0, 1)
 





 x
ysen
eyxf , , evalúe en el punto (1, 1)
   yxsen
eyxf 
, , evalúe en el punto (1, 1)
  22
, yxyxf  , evalúe en el punto (2, -1)
BIBIOGRAFIA:
1. J.STEWART. Cálculo. Conceptos y contextos. 1999. Ed.Thomson.
2. J.STEWART. Cálculo multivariable. 2001. Ed.Thomson.
3. P.MARTÍN et al. Ejercicios resueltos de Cálculo para Ingenieros. 2006. Ed.Delta Publicaciones.
REFERENCIA:
http://www.ehu.eus/~mtpalezp/libros/
www.jacobiperu.com

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