Presentación donde se explica el teorema de Green

1. CIPAS # 2
Unidad 3 – Calculo Vectorial
Ejercicio 4- Teorema de Green.
Curso de Calculo Multivariado
Abril-12- 2023
Escuela de Ciencias Básicas
Tecnología e Ingeniería ECBTI
Angel Urueta Fernandez
Tutor

2. Teorema de Green

3. Teorema de Green

4. Teorema de Green

5. Teorema de Green

12. Teorema de Green

13. Teorema de Green

14. Teorema de Green

15. Teorema de Green
𝑥 = 𝑎cos 𝑡
𝑑𝑥 = −𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡
y = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑑𝑦 = 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡

16. Teorema de Green
𝑥 = 𝑎cos 𝑡
𝑑𝑥 = −𝑎𝑠𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑡
y = 𝑏𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑑𝑦 = 𝑏𝑐𝑜𝑠𝑡 𝑑𝑡

17. Teorema de Green
0
2𝜋
𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠2(𝑡) + 𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡
=
1
2
=
𝑎𝑏
2 0
2𝜋
𝑐𝑜𝑠2(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡

18. Teorema de Green
0
2𝜋
𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠2(𝑡) + 𝑎𝑏𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡
=
1
2
=
𝑎𝑏
2 0
2𝜋
𝑐𝑜𝑠2(𝑡) + 𝑠𝑒𝑛2 𝑡 𝑑𝑡

19. Teorema de Green

20. Teorema de Green

28. Tenemos que 𝑥 = −2, 𝑦 = 3

34. Valores máximos y mínimos absolutos

35. Valores máximos y mínimos absolutos

36. Valores máximos y mínimos absolutos

37. Valores máximos y mínimos absolutos

39. Sean 𝑥, 𝑦 y 𝑧 las longitudes altura ancho y fondo, respectivamente y 𝑉0
entonces 𝑉0 = 𝑥𝑦𝑧, y 𝑧 = 𝑉0/𝑥𝑦 así el área de la superficie

40. Sean 𝑥, 𝑦 y 𝑧 las longitudes altura ancho y fondo, respectivamente y 𝑉0
entonces 𝑉0 = 𝑥𝑦𝑧, y 𝑧 = 𝑉0/𝑥𝑦 así el área de la superficie

41. Sean 𝑥, 𝑦 y 𝑧 las longitudes altura ancho y fondo, respectivamente y 𝑉0
entonces 𝑉0 = 𝑥𝑦𝑧, y 𝑧 = 𝑉0/𝑥𝑦 así el área de la superficie

42. Sean 𝑥, 𝑦 y 𝑧 las longitudes altura ancho y fondo, respectivamente y 𝑉0
entonces 𝑉0 = 𝑥𝑦𝑧, y 𝑧 = 𝑉0/𝑥𝑦 así el área de la superficie
Resolviendo simultáneamente

55. 𝑄 = (−3/2, 2)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦

56. 𝑄 = (−3/2, 2)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦

57. 𝑄 = (−3/2, 2)
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦

65. Ahora sus derivadas parciales son

66. Ahora sus derivadas parciales son

67. Ahora sus derivadas parciales son

68. Ahora sus derivadas parciales son

69. Ahora sus derivadas parciales son

70. Ahora sus derivadas parciales son

71. Ahora sus derivadas parciales son

72. Ahora calcularemos el ángulo de inclinaciones
cos(𝜃) =
∇𝐹 1, −1,4 ∗ 𝐾
|| ∇𝐹(1, −1,4)||

77. Explique como obtener la parametrización de un cilindro
generado al rotar una recta en el plano 𝑥𝑦 paralela al eje 𝑥 ,
alrededor del eje 𝑥.
Si parametrizamos
𝑦 = 𝑟 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑡
𝑧 = 𝑟 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑥 = 𝑟(𝑥)
La función de la recta en el plano 𝑥𝑦,
paralela al eje y, será 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑐
Tomemos una recta 𝑟(𝑡) = 1

78. 𝑌 = 𝑓(𝑥), a≤ 𝑥 ≤ 𝑏 en torno al eje x
𝑥 = 𝑢, 𝑦 = 𝑓(𝑢) cos(𝑣) 𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑢) 𝑠𝑒𝑛(𝑣) así
𝑥 = 1 , 𝑦 = 1𝑐𝑜𝑠 𝑡 , 𝑧 = 1𝑠𝑒𝑛 𝑡

79. Explicar mas de una parametrización para el cilindro
𝑥2
+ 𝑦2
= 4
1) 𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠 𝑢 𝑦 = 2𝑠𝑒𝑛 𝑢 , 𝑣, 0 ≤ 𝑢 ≤ 2𝜋, −∞ ≤ 𝑣 ≤ ∞
2) Despejamos x entonces 𝑥 = ± 4 − 𝑦2
𝑥 = ± 4 − 𝑦2 , 𝑦 = 𝑦, 𝑧 = 𝑧,
3) Despejando y entonces 𝑦 = ± 4 − 𝑥2
𝑥 = 𝑥, 𝑦 = ± 4 − 𝑥2 , 𝑧 = 𝑧,

80. Explique como obtener la parametrización de un cilindro 𝑥2 + 𝑧2 = 16,
2 ≤ 𝑦 ≤ 5 en el primer octante.
Parametrizamos
𝑋 = 4cos(𝑣),
𝑌 = 𝑢,
𝑍 = 4𝑠𝑒𝑛(𝑣)
Otra Parametrizamos
𝑋 = 𝑢
𝑌 = 𝑣,
𝑍 = 16 − 𝑥2
Grafiquemos en GeoGebra

82. Porción del cilindro en el primer cuadrante

83. Tapa de abajo

85. Tapas laterales

86. ¡GRACIAS!

87. Sea C el triángulo orientado situado en el plano 2x + 2y + z = 6 , evaluar
Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de

88. Sea C el triángulo orientado situado en el plano 2x + 2y + z = 6 , evaluar
Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de

89. Sea C el triángulo orientado situado en el plano 2x + 2y + z = 6 , evaluar
Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de

90. Sea C el triángulo orientado situado en el plano 2x + 2y + z = 6 , evaluar
Usando el teorema de Stokes, se empieza por hallar el rotacional de

104. 1° Identificar la función objeto junto con las restricciones
2° Calcular las derivadas parciales de las función objeto y las restricciones

106. Función objeto

107. Función objeto
Restricción

108. Calculamos las derivadas parciales

109. Calculamos las derivadas parciales

110. Calculamos las derivadas parciales

111. Calculamos las derivadas parciales

112. Calculamos las derivadas parciales
Ahora tenemos el sistema de ecuaciones

116. Igualamos

117. Igualamos

118. Igualamos

121. 350= x+y
X+y= costo publicidad
V
U(x,y)=0,1V-x-y

122. x
y
z
A(x,y,z)=Xy+2xz+2yz=16
V=xyz

123. A(x,y,z)=2Xy+2xz+2yz=50
V=xyz

131. Preguntas

133. Para tres variables
Para dos variables

134. ¡GRACIAS!