Este documento describe varios métodos de interpolación polinómica, incluyendo interpolación de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange y Hermite. Estos métodos construyen polinomios que pasan a través de puntos de datos conocidos para aproximar funciones desconocidas. También discute la aplicación de estos métodos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias.

1. Interpolación Polinómica.
Instituto Universitario
Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión: Porlamar.
Nombre:
Germary Infante
C.I: 20438999.

2. Interpolación Polinómicas
El Problema De La Interpolación
Muchas veces, de una función sólo conocemos
un conjunto de valores. Esto puede suceder, por ejemplo,
porque son los resultados de un experimento gobernado por
una ley que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la
función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos
utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor
que obtengamos será una aproximación del valor real.
También puede suceder que sepamos la expresión analítica de
la función, pero sea lo suficientemente complicada como para
calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de
otros ya conocidos.
Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una
de las más utilizadas es la interpolación, que consiste en
construir una función que pase por los valores conocidos
(llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la
función primitiva, también se dice, que la interpolación
polinomial es una técnica de interpolación de un conjunto de
datos o de una función por un polinomio. Es decir, dado cierto
número de puntos obtenidos por muestreo o a partir de
un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase
por todos los puntos. Si se utilizan polinomios como funciones
de aproximación, hablamos de interpolación polinómica.
Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor
aproximado de la función se encuentra fuera del mayor
intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que
estamos haciendo extrapolación.
Siempre que se utiliza un valor aproximado se está
cometiendo un error. El estudio del error queda fuera de los
límites del curso al que está dirigida esta unidad didáctica.

3. x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x)
0,0 0,000
0,203
0,2 0,203 0,017
0,220 0,024
0,4 0,423 0,041 0,020
0,261 0,044
0,6 0,684 0,085 0,052
0,346 0,096
0,8 1,030 0,181 0,211
0,527 0,307
1,0 1,557 0,488
1,015
1,2 2,572
Dados los valores de una función
desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es
el comportamiento de la función?; el propósito es
determinar dicho comportamiento, con las muestras de los
pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que
satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi))
donde los valores que aporten el Polinomio y la función se
comportan casi de la misma manera, en el intervalo en
cuestión.
Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los
mismos puntos que la función desconocida se puede
establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un
poco engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en
una tabla con los valores de x en forma ascendente. Además
de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las
diferencias de los valores funcionales. Cada una de las
columnas de la derecha de f(x), se estima o determina
calculando las diferencias entre los valores de la columna a
su izquierda. La siguiente tabla es una tabla típica de
diferencias
Tabla De Diferencias

4. Polinomios Interpolantes de Newton-
Gregory y Gauss
Polinomio Interpolante de Newton-Gregory
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio
que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la
fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso).
la fórmula usa la notación, que es el número de combinaciones de s cosas tomadas de n a la vez, lo que lleva a razones
factoriales. Donde s viene dada por: x es el valor a interpolar el polinomio obtenido; Xo viene a ser el punto de partida
para seleccionar los valores , que serán seleccionados de la tabla de diferencias, formando una fila diagonal hacia abajo en
el caso de la fórmula de avance; en caso de la fórmula de retroceso los valores forman una fila diagonal hacia arriba y a la
derecha. Y ha viene a ser la longitud o distancia entre los valores de xi
Polinomio Interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la
forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss
(en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán
seleccionados en forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia
arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag,
iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las
fórmulas de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

6. Interpolación De Hermite
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y
f'(x) en los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la
solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la
disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones.
Interpolación Usando Splines
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su
segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo
humano es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este
tipo de funciones no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por pedazos con
las siguientes propiedades:
1.s(x) es polinomio cúbico en .
2.existen y son continuas en .
3.s(x) interpola a la función f en los datos .
4.s(x) es continua en el intervalo.
Si escribimos , entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras
que de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan
imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x).
Defina . Como s(x) es cúbico en , entonces s"(x) es lineal

7. Polinomio Interpolante De Lagrange
Para construir un
polinomio de grado menor o
igual que n que pase por los
n+1 puntos: , donde se
supone que si i ¹ j. Este
Polinomio Pn es la fórmula
del Polinomio Interpolante
de Lagrange.
Esta fórmula si
puede aplicarse
independientemente del
espaciamiento de la tabla,
pero tiene el
inconveniente de que no
se conoce el grado del
polinomio. Como no se
conoce, se tiene que
determinar
iterativamente. Se
propone un grado, se
realiza la interpolación,
se propone el siguiente
grado, se vuelve a
interpolar y se compara
con algún criterio de
convergencia, si se
cumple terminamos si no,
se repite el
procedimiento.

8. X f(x) .......
X0 f(X0)
X1 f(X1)
..................
X2 f(X2) ..................
..................
X3 f(X3) ................
.
.
.
X4 f(Xn)
Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton
La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de Polinomios está entre los modelos más populares
y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n + 1 puntos: ... , , Se usan estos datos para determinar los
coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una tabla de diferencias divididas que viene dada por
Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton, no es necesario que los datos tabulados
sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el
polinomio de Newton está sujeto a un error

9. Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La
Resolución De Problemas.
Formulas como las de Newton-Gregory, Gauss, lagrange, Hermite, newton, etc, son compatibles con computadoras y
debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas formulas tienen relevancia en la
solución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
El polinomio de interpolación
suele usarse para estimar
valores de una función
tabulada, en las abscisas que
no aparecen en la tabla.
El aumento de grado no
siempre mejora la aproximación
El polinomio es muy sensible a
los errores de los datos