La interpolación polinómica consiste en construir una función polinómica que pasa por valores conocidos de una función para aproximar los valores desconocidos. Existen varios métodos para la interpolación polinómica como el polinomio interpolante de Newton-Gregory, el polinomio interpolante de Gauss y la interpolación de Hermite. Los splines cúbicos también se utilizan comúnmente para la interpolación.

1. Interpolación
Polinómica
RODRIGO DÍAZ 21459335

2. El Problema De La Interpolación
En algunos casos en una función sólo conocemos un conjunto de valores. Si
queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las
conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el
valor que obtengamos será una aproximación del valor real.
Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más
utilizadas es la interpolación, que consiste en construir una función que pase
por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de
la función primitiva. Si se utilizan polinomios como funciones de aproximación,
hablamos de interpolación polinómica.
Polinomio Interpolante de Newton-Gregory
Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le
puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir
un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es la
fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y
retroceso).

3. Polinomio Interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-
Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias
 Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en
forma de zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán
seleccionados en forma de zig-zag.
 Fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero
hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula
de avance los valores son tomados en forma de zig-zag
Interpolación De Hermite
Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada
subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos. La función Hn(x) queda
determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución
de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de
Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en
muchas aplicaciones

4. Interpolación Usando Splines
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora
tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de
interpolación. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por
pedazos, La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar
los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para
formar nuestra interpolación. Podemos decir, que una función spline está formada
por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si
bajo ciertas condiciones de continuidad. Cabe mencionar que entre todas, las
splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas.
Polinomio Interpolante De Lagrange
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: ,
donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de
Lagrange. pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como
no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la
interpolación, se propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún
criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.

5. Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton
 La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de Polinomios está entre los modelos
más populares y útiles. Para un polinomio de grado n se requiere de n + 1 puntos: ... , , Se usan
estos datos para determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una
tabla de diferencias divididas que viene dada por
 Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton, no es necesario
que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar
ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a un
error
Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación
Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las
que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace). Matemáticamente, estas
ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir,
ecuaciones de auto valores para un operador diferencial auto adjunto. Los polinomios de
Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas
soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de
familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada
polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una
función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. de Hermite.