Este documento describe diferentes métodos para construir polinomios interpolantes, incluyendo tablas de diferencias, polinomios de Newton-Gregory, Gauss, Hermite, Lagrange y splines. Explica cómo usar estas técnicas para aproximar funciones desconocidas a partir de datos tabulados y resolver problemas físicos descritos por ecuaciones diferenciales.

1. 2014
Polinomios Interpolantes
Realizado por: Dismery Martínez
03/02/2014

2. Polinomios interpolantes a través de
las formas de Newton-Gregory, Gauss,
Hermite y Lagrange
Objetivo Terminal
1- Escribir correctamente las tablas de diferencia
2- Formular correctamente los polinomios
interpolantes a través de las formas de NewtonGregory,Gauss
3- Formular polinomios interpolantes a través del
polinomio interpolante de Hermite y la forma de
Lagrange.
4- Escribir correctamente la tabla de diferencias
divididas
5- Formular polinomios interpolantes a través de la
fórmula general de Newton.
Polinomios Interpolantes
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3. El Problema De La Interpolación
interpolación, que consiste en
construir una función que pase por
Muchas veces, de una función
sólo conocemos un conjunto de
valores. Esto puede suceder, por
ejemplo, porque son los resultados
de un experimento gobernado por
una ley que desconocemos. Si
queremos calcular el valor de la
los valores conocidos (llamados
polos)
y
utilizar
aproximación
ésta
de
como
la
función
primitiva. Si se utilizan polinomios
como funciones de aproximación,
hablamos
de
interpolación
polinómica.
función para una abscisa diferente
de las conocidas, debemos utilizar
Si
la
abscisa
para
queremos
naturalmente,
que
aproximado de la función se
una
encuentra
valor
real.
intervalo definido por las abscisas
suceder
que
de los polos, se dice que estamos
obtengamos
aproximación
También
valor
será
del
puede
sepamos la expresión analítica de
la
función,
pero
sea
fuera
un
que
otra función que la aproxime y,
el
encontrar
la
del
valor
mayor
haciendo extrapolación.
lo
suficientemente complicada como
para calcular aproximaciones a los
valores de la función a partir de
Siempre que se utiliza un valor
aproximado se está cometiendo un
error. El estudio del error queda
fuera de los límites del curso al que
otros ya conocidos.
está dirigida esta unidad didáctica.
Existen varias formas de hacer
esto, pero la más sencilla y una de
las
más
utilizadas
Polinomios Interpolantes
es
la
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4. Tabla De Diferencias
Dados
los
valores
una
se deberán tabular las diferencias
desconocida
de los valores funcionales. Cada
correspondiente a dichos valores
una de las columnas de la derecha
de x, ¿cuál es el comportamiento
de f(x), se estima o determina
de la función?; el propósito es
calculando las diferencias entre los
determinar dicho comportamiento,
valores de la columna a su
con las muestras de los pares de
izquierda. La siguiente tabla es una
datos (x, f(x)); se encontrará un
tabla
polinomio
(ejemplo):
función
que
de
de las columnas para x y para f(x)
satisfaga
un
típica
de
diferencias
conjunto de puntos seleccionados
(xi, f(xi)) donde los valores que
aporten el Polinomio y la función
x
f(x)
0,0
manera,
en
el
intervalo
en
0,2
0,203
desea
encontrar
0,423
un
polinomio que pase a través de los
0,6
0,8
0,085
1,030
0,052
0,096
0,181
0,527
1,0
0,020
0,044
0,346
1,557
0,211
0,307
0,488
1,015
resulta conveniente arreglar los
datos en una tabla con los valores
0,041
0,684
un sistema de ecuaciones, pero
este proceso es un poco engorroso;
0,024
0,261
mismos puntos que la función
desconocida se puede establecer
1,2
2,572
de x en forma ascendente. Además
Polinomios Interpolantes
D 4f(x)
0,017
0,220
0,4
se
D 3f(x)
0,203
cuestión.
Si
D 2f(x)
0,000
se comportan casi de la misma
D f(x)
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5. Polinomio Interpolante de
desde el punto de partida Xo serán
Newton-Gregory
seleccionados en forma de zig-zag.
Cuando la función ha sido
En el caso de la fórmula de avance
tabulada, se comporta como un
los valores son tomados en forma
polinomio, se le puede aproximar
de zig-zag, iniciando primero hacia
al polinomio que se le parece. Una
abajo, luego hacia arriba, luego
forma sencilla de escribir un
hacia abajo, y así sucesivamente.
polinomio
un
En fórmula de avance los valores
puntos
son tomados en forma de zig-zag,
equiespaciados, es la fórmula del
iniciando primero hacia arriba,
Polinomio Interpolante de Newton-
luego hacia abajo, luego hacia
Gregory (en avance y retroceso).
arriba, y así sucesivamente.
que
conjunto
pasa
de
por
Interpolación De Hermite
Polinomio Interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de fórmulas
de
interpolación
Método
difieren
de
del
pedazos Hn(x) que sea cúbico en
Newton-Gregory,
de
además
Aquí buscamos un polinomio por
cada subintervalo, y que interpole
la forma
las
a f(x) y f'(x) en los puntos . La
trayectorias tomadas en la tabla de
función Hn(x) queda determinada
diferencias; Por ejemplo la fórmula
en
del
de
condiciones y su cálculo requiere
Gauss (en avance y retroceso),
de la solución de n sistemas
donde la trayectoria es en forma
lineales de tamaño 4x4 cada uno.
de Zig-Zag, es decir los valores
La desventaja de la interpolación
Polinomio
de
Interpolante
forma
única
por
estas
de Hermite es que requiere de la
Polinomios Interpolantes
Página 5

6. disponibilidad de los lo cual no es
el caso en muchas en muchas
aplicaciones.
continua
en el
intervalo.
un total de 4n desconocidas. Las
Los dos tipos de polinomios por
pedazos que hemos discutidos
hasta ahora tienen la desventaja de
que su segunda derivada no es
en
es
Si escribimos , entonces tenemos
Interpolación Usando Splines
continua
4. s(x)
los
puntos
de
interpolación. Se ha observado que
condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1)
ecuaciones mientras que de 3)
obtenemos n+1 para un total de
4n-3(n-1)-(n+1)=2
grados
de
libertad. Estos grados de libertad se
fijan imponiendo condiciones de
frontera adicionales en s(x).
en aplicaciones gráficas, el ojo
humano es capaz de detectar
discontinuidades en la segundas
derivadas de una función, haciendo
que los gráficos con este tipo de
funciones no luscan uniformes.
Esto motiva el uso de los splines
que son funciones s(x) continuas
por pedazos con las siguientes
propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en .
2. existen y son continuas en .
3. s(x) interpola a la función f
en los datos .
Polinomios Interpolantes
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7. Polinomio Interpolante De
La diferencia dividida de Newton
Lagrange
para la Interpolación de Polinomios
está
Para construir un polinomio de
grado menor o igual que n que
pase por los n+1 puntos: , donde se
supone que si i ¹ j. Este Polinomio
Pn es la fórmula del Polinomio
Interpolante de Lagrange.
populares
los
y
modelos
útiles.
más
Para
un
polinomio de grado n se requiere
de n + 1 puntos: ... , , Se usan
estos datos para determinar los
coeficientes para las diferencias
divididas.
Esta fórmula si puede aplicarse
independientemente
entre
del
espaciamiento de la tabla, pero
tiene el inconveniente de que no se
Aplicación De Los Métodos
Numéricos De Interpolación En La
Resolución De Problemas.
conoce el grado del polinomio.
Para datos tabulados en forma
Como no se conoce, se tiene que
equiespaciada o no esquiespaciada,
determinar
Se
a través de una serie de técnicas
propone un grado, se realiza la
que antes de la llegada de las
interpolación,
el
computadoras tenían gran utilidad
a
para la interpolación, sin embargo,
interpolar y se compara con algún
con fórmulas como las de Newton-
criterio de convergencia, si se
Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite,
cumple terminamos si no, se repite
Newton, etc., son compatibles con
el procedimiento.
computadoras y debido a las
siguiente
iterativamente.
se
grado,
propone
se
vuelve
Diferencias Divididas Y La fórmula
General De Newton
Polinomios Interpolantes
muchas
funciones
tabulares
disponibles, como subrutinas de
Página 7

8. librerías; dichas fórmulas tienen
ortogonales, existen relaciones de
relevancia
recurrencia
en
la
solución
de
ecuaciones diferenciales ordinarias.
Una gran cantidad de problemas
físicos
están
descritos
por
ecuaciones diferenciales en las que
interviene un operador Laplaciano
(la ecuación de Laplace, la ecuación
de
onda,
la
ecuación
de
Schrödinger,
etc.).
Matemáticamente,
estas
ecuaciones corresponden a casos
particulares
del
Sturm-Liouville,
problema
vale
de
decir,
ecuaciones de autovalores para un
operador diferencial autoadjunto.
polinomio
que
vinculan
cada
con los de grados
inmediatamente
anterior
y
posterior, y típicamente poseen
una función generatriz, así_ como
operadores de subida y de bajada.
En
los
capítulos
siguientes
encontraremos nuevas familias de
polinomios
ellos
ortogonales.
provienen
de
Todos
sendos
problemas de Sturm-Liouville, y por
tanto no será extraño encontrar las
mismas características que hemos
identificado en los polinomios de
Hermite.
No entraremos en los detalles de
esta discusión. Sólo diremos que
los polinomios de Hermite son un
caso particular de soluciones a un
problema
Dichas
de
soluciones
Sturm-Liouville.
forman
un
conjunto completo y ortogonal,
con cierta función de peso. En el
caso de familias de polinomios
Polinomios Interpolantes
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