Controllability and observability on complex networks

Teor´ıa de Control
Controlabilidad de Redes Complejas
Observabilidad de Redes Complejas
Algoritmos de controlabilidad/observabilidad
Validación de los resultados
Controlabilidad y observabilidad en redes
Luis Úbeda, Iker Barriales y Pedro J. Zufiria
Mundo interconectado
Úbeda - Barriales - Zufiria Clase de doctorado

Contenido de la presentación
1 Teor´ıa de Control
2 Controlabilidad de Redes Complejas
Controlabilidad estructural
Justificación matemática del matching
Algunos resultados de controlabilidad
3 Observabilidad de Redes Complejas
Dualidad observabilidad-controlabilidad
Justificación matemática
4 Algoritmos de controlabilidad/observabilidad
Número de controladores/observadores
Controladores/observadores dedicados
5 Validación de los resultados
Simulaciones sobre la red de Twitter

Sistema din´amico
u(t)
Sistema
din´amico
y(t)

Sistema din´amico
u(t)
Sistema
din´amico
y(t)
˙x = f (t, x, u)
y = g(t, x, u)

Sistema din´amico
u(t)
Sistema
din´amico
y(t)
˙x = f (t, x, u)
y = g(t, x, u)
Dada u(t)
Ta ecuaciones diferenciales
=⇒ y(t)

El problema de control
Determinar u(t) para que el sistema satisfaga ciertas condiciones:
y(t) dada
funcional asociado a x(t) y u(t)
criterios ingenieriles (errores y perturbaciones en modelo)
etc.

El problema de control
Determinar u(t) para que el sistema satisfaga ciertas condiciones:
y(t) dada
funcional asociado a x(t) y u(t)
criterios ingenieriles (errores y perturbaciones en modelo)
etc.
Matem´aticamente es un problema inverso
Problema de la existencia de soluci´on u(t)
(Vinculado al concepto de controlabilidad)

Ejemplo
Problema de control ´optimo:
min
u(t)∈U
Φ(x(t0), t0, x(tf ), tf ) +
tf
t0
L(x(t), u(t), t)dt
sujeto a
˙x = f (t, x, u)
x(t0) = x0

Control en ingenier´ıa
Incertidumbre y perturbaciones en modelo

Control en ingenier´ıa
Incertidumbre y perturbaciones en modelo
Problemas habituales
Problema de regulación
Diseño de control robusto: realimentación
(relacionado con estabilidad del sistema)

Sistema din´amico bajo control
u(t)
Sistema
din´amico
y(t)Controlador
yr (t)
˙x = f (t, x, u)
y = g(t, x, u)

Sistema dinámico bajo control
u(t)
Sistema
dinámico
y(t)Controlador
yr (t)
˙x = f (t, x, u)
y = g(t, x, u)
Diseño
u = c(y, yr )

Controlabilidad y observabilidad: sensores y actuadores
Habitualmente, actuadores y sensores predeﬁnidos determinan
f (t, x, u) y g(t, x, u)

f (t, x, u) y g(t, x, u)
Problema de controlabilidad: modiﬁcar x(t) (mediante u(t))

f (t, x, u) y g(t, x, u)
Problema de observabilidad: estimar x(t) (midiendo y(t))

f (t, x, u) y g(t, x, u)
Dependen de interrelaci´on entre componentes de x(t), u(t),
y(t) ⇒ aspectos estructurales: modelo de red (dualidad)

f (t, x, u) y g(t, x, u)
Dependen de interrelación entre componentes de x(t), u(t),
y(t) ⇒ aspectos estructurales: modelo de red (dualidad)
Problemas más abiertos: podemos elegir número y ubicación de
sensores y actuadores
Ejemplo de diseño: m´ınimo número de sensores/actuadores
necesario para garantizar controlabilidad/observabilidad

Controlabilidad en sentido clásico
Definición
Un sistema se dice controlable si podemos llevarlo a cualquier
estado desde cualquier estado en tiempo finito.
Sistemas LTI:
dx
dt
= Ax + Bu , x ∈ RN
, u ∈ RM
Matriz de controlabilidad (Criterio de Kalman)
C(A, B) = B | AB |A2
B ... | AN−1
B
El sistema es controlable si y sólo si
rango (C) = N

No siempre es realista conocer con precisión los coeficientes
de las matrices.
En ocasiones, una perturbación de algunos coeficientes
cambia el rango de la matriz de Controlabilidad.
Nuevo concepto: Controlabilidad Estructural
Diagnóstico de controlabilidad basado en la estructura del
sistema.
Abstracción respecto a los valores concretos de los parámetros.
Introducción de las matrices estructuradas.

Ejemplo I: Sistema Controlable
1
2 3
u
β1
α21 α31
α33
dx
dt
=


0 0 0
α21 0 0
α31 0 α33

 x +


β1
0
0

 u1
C = B AB A2
B = β1


1 0 0
0 α21 0
0 α31 α33α31


El sistema es controlable
Para cualquier combinaci´on posible de par´ametros, el rango C = 3

Ejemplo II: Sistema No Controlable
1
2 3
u
β1
α21 α31
dx
dt
=


0 0 0
α21 0 0
α31 0 0

 x +


β1
0
0

 u1
C = B AB A2
B = β1


1 0 0
0 α21 0
0 α31 0


El sistema NO es controlable
Para cualquier combinaci´on posible de par´ametros, el
rango C = 2 < 3

Ejemplo III: Sistema Estructuralmente Controlable
1
2 3
u
β1
α21 α31
α23
α32
dx
dt
=


0 0 0
α21 0 α23
α31 α32 0

 x +


β1
0
0

 u1
C = B AB A2
B = β1


1 0 0
0 α21 α23α31
0 α31 α32α21


El sistema es estructuralmente controlable
rango C = 3 excepto para el caso α2
21α32 = α2
31α23.

Condiciones de controlabilidad estructural
Una red es estructuralmente controlable si y sólo si:
No presenta vértices inaccesibles desde las entradas.
No presenta dilataciones.
1
2 3
u 1
2 3
u
Accesibilidad.
∃v ∈ V tq ∀u ∈ U, d(u, v) = ∞
Dilatación.
∃S ⊆ V tq |T(S)| ≤ |S|

Estructura controlable: el cactus
1
2
3
4
5
6
7
u
Estructura compuesta por tallos y yemas.
Garantiza que no hay v´ertices inaccesibles
ni dilataciones.
Toda red que extiende un cactus es
estructuralmente controlable.

Número m´ınimo de controladores
Dada la matrix A (red), determinar B con el menor número de
columnas para que el sistema sea controlable.
Teorema de entradas m´ınimas
ND = max {N − |M∗| , 1}
Metodolog´ıa propuesta:
Encontrar M, el matching máximo de la red.
Identificar los vértices no apuntados por las aristas de M.

N´umero m´ınimo de controladores.
1
2 3
u1
u2
1
2 3
u1
El n´umero de controladores es
dos.
Es controlable con una sola
entrada.

Matching ≡ ausencia de dilatación
Teorema de Hall
Un grafo bipartito G := G(X, Y ) tiene un matching que cubre
todos los vértices de X si y sólo si |N(S)| ≥ |S|, ∀S ⊆ X.
Corolario
Un grafo bipartito G := G(X, Y ) tiene un matching perfecto si y
sólo si |X| = |Y | y |N(S)| ≥ |S|, ∀S ⊆ X.
Podemos reescribir un grafo dirigido como un grafo bipartito con
X = Y = V . El matching perfecto garantiza la ausencia de
dilataciones.

El matching no garantiza accesibilidad
1
2
3
4
5
6
7
u
Los v´ertices del ciclo est´an cubiertos por el matching perfecto pero
no son accesibles desde la entrada.

El matching no garantiza accesibilidad
1
2
3
4
5
6
7
u1 u2
Es necesario recablear para garantizar la accesibilidad, aunque ND
continúa inalterado.
Propuesta de validación de accesibilidad en el algoritmo de
búsqueda de matching.

Caso patológico.
Solución deseada
1
2
3
4
u
Solución proporcionada
1
2
3
4
u
Maximizar el número de aristas no necesariamente conduce a la
solución más simple.

Importancia en control frente al grado
Sistemáticamente en las simulaciones, los vértices identificados
como controladores tienen grado medio o bajo.

La distribución de centralidad de control
Si aleatorizamos los enlaces de la red manteniendo la distribución
de grado, la distribución de centralidad de control no var´ıa.

La distribuci´on de grado determina ND
Al aleatorizar los enlaces, se conserva ND si respetamos la
distribuci´on de grado de la red. No importan los enlaces concretos.

Modelo anal´ıtico
En redes libres de escala:
nD =
ND
N
= e
−1
2
1− 1
γ−1
k
En redes Erdös Renyi:
nD =
ND
N
= e−k
2
Observación: Cuantas más aristas haya en la red (mayor k),
menor número de controladores necesarios. Eliminando aristas, la
estructural controlable minimal es el cactus.

El problema dual: observabilidad
Definición:
Un sistema se dice observable si podemos inferir su estado a
partir de sus salidas en tiempo finito.
Dualidad
El problema de observabilidad es dual al de controlabilidad. Se
puede resolver estudiando la controlabilidad del problema
representado por AT .
A partir de las simulaciones, hemos observado que ND = NO.

Justificación ND = NO
Ideas intuitivas:
La matriz AT tiene la misma estructura agregada que A.
La descomposición de AT en subgrafos hamiltonianos es la
misma que la de A.
Nuestra aproximación
El problema de completitud de rango C se reduce a la de
rangog(AB).
ND será el número m´ınimo de vectores columna de B que lo
garanticen.
Podemos añadir valores no nulos a cada vector de B para
garantizar accesibilidad, pero no afecta al rango.
ND = N − rangog A = N − rangog AT = NO ⇒ ND = NO

Matching m´aximo. (Liu, Slotine, Bar´abasi)

u1

u1 u1
Ambas redes tienen un solo controlador

Algoritmo 1
WorldComp Las Vegas 2013
A combined algorithm for analyzing structural controllability and
observability of complex networks
La idea tras el algoritmo
Encontrar de manera eficiente una solución de control estudiando
inaccesibilidades desde los controladores.
Calcular el Matching Máximo (M∗) y situar los controladores
en los nodos sin enlace entrante del matching.
Buscar los ciclos del matching (origen de inaccesibilidades).
Incluir entradas dedicadas adicionales a los ciclos del matching
que no sean accesibles desde los controladores.

Algoritmo 1

Algoritmo 1
u1

Algoritmo 1
u1 u2

Divisi´on en componentes fuertemente conexas

Algoritmo 2.
Net Works. El Escorial 2013
Controllability and Observability in Complex Networks
La idea tras el algoritmo
Encontrar de manera eficiente una solución que haga el sistema
estructuralmente controlable teniendo en cuenta desde el principio
los potenciales problemas de accesibilidad.
Encontrar las Snt
cc
Calcular el Matching Máximo (M∗)
Incluir entradas dedicadas adicionales a aquellas Snt
cc que no
hayan recibido una entrada con el cálculo de M∗

0.- La red

1.- Encontrar las Snt
cc
S1nt
cc S2nt
cc

2.- Encontrar un Matching M´aximo M∗

3.- Incluir los controladores dados por M∗
u1
u2

(!) Hay v´ertices inaccesibles desde los controladores
u1
u2

4.- Incluir entradas dedicadas extra para accesibilidad
u1
u2
u3

Mejora de algoritmo 2

u1

u1 u2 u3

u1 u2 u3 u1

u1 u2 u3 u1 u2

Algoritmo 3.
Mathematical Problems in Engineering. ∼2014
Mathematical Foundations for Eﬃcient Structural Controllability
and Observability Analysis of Complex Systems

Presentaci´on de los resultados

Red dinámica de Madrid, Febrero 2012
Caracter´ısticas de la red
119.217 nodos.
933.737 enlaces.
Disponibilidad de métricas de influencia
de usuarios.

Red dinámica. Distribución de grado
Caracter´ısticas de la red
Distribuciones en ley de potencias.
Influencia del Número de Dunbar.

Red dinámica. Número de controladores y observadores
Controladores y observadores
Número de controladores: 27.129.
Número de controladores adicionales por
accesibilidad: ∼800.
Número de observadores: 27.129.
Número de observadores adicionales por
accesibilidad: ∼1600.

Red din´amica. Distribuci´on de controladores

Red din´amica. Distribuci´on de observadores

Red dinámica. Correlación con métricas habituales

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