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1. ANÁLISIS ESTRUCTURAL I
CLASE 02
 AUTOR: JORGE VÁSQUEZ
Ph.D. University of California, Berkeley
UC-Chile

2. La Ecuación de Equilibrio
2
Desde el punto de vista de la estática el
Sistema Estructural tiene m esfuerzos
internos incógnitas (EII, EsII), y n GsDL
Un EII por cada componente de
esfuerzo necesario para la discretización
En una estructura plana, dos GsDL en
un nudo de reticulado, tres GsDL en un
nudo al que concurran barras flexurales
Deberá poderse escribir una ecuación

3. La Ecuación de Equilibrio 2
3
Al pasar a la estructura, reconocemos
que habrá r GsDL restringidos, cuyos
desplazamientos ya no son incógnitas,
mayormente son nulos, pero lo que
importa para el equilibrio es que r
componentes del vector dejan de ser
datos
Como se dijo, habrá dos alternativas; una
aumentativa en que se incorporan las
reacciones en un vector de incógnitas ,
con el que se desdobla el vector en

4. La Ecuación de Equilibrio 3
4
en que el vector contiene los índices
de los GsDL restringidos, el vector es
una copia del vector de cargas al que
se le han remplazado por cero las
componentes de índice
Con la notación
queda la forma aumentativa

5. La Ecuación de Equilibrio 4
5
La otra estrategia, reductiva, consiste en
suprimir las líneas de la ecuación del
sistema estructural las líneas que
corresponden a componentes reactivas,
es decir, las de índices dados por el
vector ,
o mejor, tal vez, definir un vector de
índices complemento, 1: →
y luego hacer

6. La Ecuación de Equilibrio 5
6
con lo que queda
En los casos determinados, se puede
resolver
En los casos indeterminados, la
ecuación correspondiente se juntará a
las que provendrán de cinemática y de
constitutividad para obtener la solución

7. Incidencia de GsDL
7
Para la formación de la matriz de
equilibrio del sistema estructural nos
referiremos primero el concepto de
incidencia, que se basa en la
identificación de GsDL de los elementos
con GsDL del sistema estructural
Los GsDL de un elementos, GsDL
locales, son un subconjunto de los del
sistema, los GsDL globales
En cuanto a desplazamientos hay
coincidencia, pero en cuanto a fuerzas

8. Incidencia de GsDL 2
8
hay contribución de las fuerzas que
deben aplicarse en los GsDL locales del
elemento a las fuerzas totales que
deben aplicarse en los GsDL globales en
los que inciden
La contribución al equilibrio de un GDL
global, el de índice i del vector , de la
fuerza en un GDL local, por ejemplo el
GDL j del elemento a, implica que la
componente j de debe ser sumada en
la componente i de

9. Equilibrio Directo
9
Esto nos lleva a escribir que para un
conjunto de elementos identificados
por los índices a=1, 2, 3, …,b
No es en rigor una suma, porque el
vector tiene n componentes, y cada
vector tiene su propio número na de
componentes, que inciden en los GsDL
globales dados por un vector de índices

10. Equilibrio Directo 2
10
subconjunto del de los índices 1 a n del
vector , que denotaremos por para
indicar su asociación con el elemento
identificado con la letra a
De esa forma transformaremos la
sumatoria en la secuencia de
reemplazos
que en términos de EII se puede escribir

11. Equilibrio Directo 3
11
en que por una parte, se puede plantear
la identidad
para llegar a
mientras que por otra parte, por ser los
EII locales a un elemento un
subconjunto de los EII, que constituye

12. Equilibrio Directo 4
12
un vector de índices de dimensión ma,
número de EsII del elemento, se tiene
con lo que queda
Esta expresión, que deberá cumplirse
para todo , implica para la matriz que

13. Equilibrio Directo 5
13
o mejor, reconociendo que
multiplicamos para que quede
que se simplifica a
con esto en definitiva se tiene la
siguiente secuencia de reemplazos para
la matriz de equilibrio

14. Equilibrio Directo 6
14
La formulación se presta para la
codificación inmediata con MATLAB o
similar; por ejemplo, algo así como
C = zeros(n,m)
C(a1,aa1) = Ca1
C(a2,aa2) = Ca2
C(a3,aa3) = Ca3
C(a4,aa4) = Ca4
……
C(ak,aak) = Cak

15. Equilibrio de Barras
Considerando que la barra puede tener
cargas locales, su ecuación de equilibrio
será de la forma
Para una barra de reticulado la
geometría se maneja de la forma
15

16. Equilibrio de Barras 2
16

17. Equilibrio de Barras 3
17
expresiones que con notación matricial
adoptan la forma estándar, , al
definir

18. Equilibrio de Barras 4
18
Para una barra flexural

19. Equilibrio de Barras 5
19

20. Equilibrio de Barras 6
20
Para una barra axial-flexural

21. Equilibrio de Barras 7
21

22. Equilibrio de Barras 8
22

23. Incluir Cargas Locales
Hay una variante en las fórmulas derivadas
para cuando hay barras en las que debe
considerarse el vector de equilibrio de las
fuerzas locales
23
que se reflejará en la ecuación del sistema
estructural a través de la siempre válida
secuencia de remplazos
y haciendo los pasos que se siguieron
cuando no se consideró carga local

24. Incluir Cargas Locales 2
que por la arbitrariedad de los vectores de
debidos a cargas locales se desdobla en
24
que ya sabemos conduce a
y la secuencia de remplazos independiente
para las cargas locales

25. Incluir Cargas Locales 3
Consideremos un ejemplo simple en que
primero no consideraremos cargas locales
25

26. Ejemplo de Aplicación
y luego remplazando la carga concentrada
en los extremos superiores de las
columnas por una carga uniformemente
distribuida equivalente en ellas
26
P/a P/a

27. Ejemplo de Aplicación 2
Numeración de GsDL y Geometría
27
Para la barra 3
Para la barra 4
Para ambas

28. Ejemplo de Aplicación 3
Entonces de aplicar la fórmula
28
y para las columnas, con el nudo 1 arriba

29. Ejemplo de Aplicación 4
Identificación de GsDl Locales
29
que conduce los vectores de incidencia

30. Ejemplo de Aplicación 5
30
y a los vectores de ordenamiento de la
tabla
con lo cual la formación de la matriz de
equilibrio del sistema estructural se logra
a través de la secuencia de remplazos

31. Ejemplo de Aplicación 6
31
y el vector es un vector de ceros con el
valor P en las componentes 4, 7 y 11, y –P
en la componente 8
Para resolver naturalmente debemos
eliminar las líneas correspondientes al
vector de GsDL restringidos, , de
componentes los índices 1, 2, 14 y 15,
haciendo

32. Ejemplo de Aplicación 7
32
Al considerar la carga uniforme, es un
vector de ceros con el valor P solamente
en la componente 7, y –P en la
componente 8
El vector para las columnas se obtiene
de la fórmula, reconociendo que el seno es
cero, el coseno uno, la carga total 2P, y la
resultante está a mitad de la longitud de la
barra, lo que entrega el por lo demás
esperable resultado
C

33. Ejemplo de Aplicación 8
33
con este se realizará la secuencia
C
para resolver luego de hacer el remplazo
C
0
0
C

34. Codificación
34
Es claro que esta no es la forma práctica de
hacerlo; por de pronto no es muy
aprovechable el trabajo para resolver otros
problemas
Para empezar, se querrá una función para
obtener la matriz de equilibrio de una
barra
El caso más general sería una barra axial-
flexural con una posible carga local
La función podría ser

35. 35
function [C,L,cs,sn] = axibend_C(x1,x2,y1,y2)
%C matriz de equilibrio
%L longitud de la barra
%cs coseno de la inclinación de la barra
%sn seno de la inclinación de la barra
%x1,x2 abscisas del primer y segundo nudo
%y1,y2 ordenadas del primer y segundo nudo
cs = x2-x1; sn = y2-y1;
L = sqrt(cs^2+sn^2);
cs = cs/L; sn = sn/L;
csL = cs/L; snL = sn/L;
C = [-snL -snL -cs
csL csL -sn
1 0 0
snL snL cs
-csL -csL sn
0 1 0 ];
Codificación 2

36. 36
function Ql = axibend_Ql(L,cs,sn,P,T,rP)
%Ql vector de cargas locales
%L longitud de la barra
%cs coseno de la inclinación de la barra
%sn seno de la inclinación de la barra
%P resultante de la carga normal
%T resultante de la carga tangencial
%rP distancia de P al primer nudo, fracción de L
Ql = [ P*(1 – rP)*sn
-P*(1 – rP)*cs
0
P*rP*sn + T*cs
-P*rP*cs + T*sn
0 ];
Codificación 3
y para el vector de cargas locales

37. Codificación 4
37
Aquí por primera vez encontramos una
clara oportunidad de complicar las cosas
un poco para facilitar la tarea del ingeniero
Ordinariamente las cargas locales se
especifican en las direcciones x e y más
bien que en normal y tangencial, lo que
lleva a tener que transformar las
resultantes en esas direcciones en las
componentes P=Pr y T=Pt que requiere la
fórmula de que disponemos

38. Codificación 5
38
La correspondiente descomposición de
fuerzas es
cuyo remplazo directo conduce a

39. Codificación 6
39
Es un fórmula que habría que revisar
detenidamente antes de incorporarla a un
código, además de cuidar de no
equivocarse al transcribirla
No, es mucho más simple y seguro
codificar directamente la transformación

40. Codificación 7
40
que lleva a escribir una función intermedia
function [P,T,rP] = axibend_Tr(cs,sn,Px,Py,xi,eta)
%P resultante de la carga normal
%T resultante de la carga tangencial
%rP distancia de P al primer nudo, fracción de L
%cs coseno de la inclinación de la barra
%sn seno de la inclinación de la barra
%Px resultante de la carga de dirección x
%Py resultante de la carga de dirección y
%xi distancia de Px al primer nudo, fracción de L
%eta distancia de Py al primer nudo, fracción de L
P = -Px*sn + Py*cn;
T = Px*cs + Py*sn;
rP = (-Px*sn*eta + Py*cn*xi)/P;

41. Codificación 8
41
Además esta función admite fácilmente
modificarse para recibir como datos cargas
distribuidas de direcciones x e y con
diversos patrones de carga y calcular sus
resultantes antes de hacer la
transformación a las direcciones normal y
tangencial; un aspecto importante es que
las intensidades de carga podrán
especificarse por unidad de longitud de la
barra (peso propio) o de la proyección
correspondiente (sobrecarga o viento)